LAPORAN LUASAN MINIMUM rev
advertisement
PENGGUNAAN GEOGEBRA UNTUK MENEMUKAN LUASAN MINIMUM SEGITIGA YANG MENYINGGUNG LINGKARAN Visensia Evitaria1 dan Yohana Fransisca Liliana Chandra2 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta Email: [email protected] 2 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta Email: [email protected] 1 Abstrak GeoGebra banyak digunakan untuk membantu mengkaji permasalahan geometri secara visual atau digunakan untuk visualisasi topik pada matematika. Pada penelitian ini, akan ditunjukkan penggunaan GeoGebra untuk menemukan luasan minimum segitiga yang setiap sisinya menyinggung sebuah lingkaran. Segitiga yang dipilih adalah segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki. Metode yang digunakan adalah dengan menunjukkan pembuktian menggunakan GeoGebra. Penelitian ini dilakukan dengan mempelajari artikel sebelumnya yang mengkaji mengenai luasan maksimum segitiga yang dibatasi lingkaran, dan didapat hasil luasan maksimum yaitu segitiga sama sisi. Hasil penelitian ini adalah terdapat luasan minimum segitiga yang menyinggung lingkaran yaitu segitiga sama sisi. Kata Kunci: Garis Singgung, Lingkaran, Segitiga, Luasan Minimum, GeoGebra. 1. PENDAHULUAN Mata pelajaran matematika mempunyai berbagai kegunaan penting bagi kehidupan, sehingga termasuk mata pelajaran yang mempunyai porsi terbanyak dibandingkan dengan mata pelajaran lainnya. Matematika juga dipelajari pada tiap jenjang sekolah yaitu sejak Sekolah Dasar hingga Perguruan Tinggi. Materi pembelajaran yang sulit membuat tingkat kesukaran matematika cukup tinggi dikalangan pelajar. Proses pembelajaran cukup berperan dalam penyampaian materi. Proses pembelajaran dengan menggunakan metode yang menarik dapat meningkatkan rasa ingin tahu peserta didik dan menghidupkan suasana kelas. Metode yang dapat digunakan misalnya dengan pembuktian menggunakan media pembelajaran. Salah satu media pembelajaran matematika yang dapat digunakan dalam membantu penyampaian materi dalam proses pembelajaran adalah GeoGebra. GeoGebra merupakan media pembelajaran matematika berbentuk software yang banyak digunakan untuk membantu mengkaji permasalahan dalam bidang Kalkulus, Aljabar, Statistika dan Geometri secara visual. Manfaat GeoGebra dalam bidang geometri salah satunya adalah untuk menentukan luasan pada bangun datar segi-n, baik yang beraturan maupun yang tidak beraturan. Dengan menggunakan Geogebra, luasan daerah yang dibentuk dari sembarang bangun datar segi-n dapat diketahui tanpa perlu menghitungnya dengan menggunakan rumus. Bangun datar yang dapat dibentuk juga beragam baik yang beraturan maupun yang tidak beraturan. Dalam artikel ini, penulis ingin menemukan luasan minimum bangun datar segi-n yang dibatasi oleh lingkaran. Bangun datar yang digunakan hanya bangun datar segitiga. Selain itu, penulis juga ingin meneliti apakah segitiga sama sisi akan menjadi segitiga dengan luasan minimum di antara segitiga lainnya, yaitu seperti segitiga sama kaki, dan segitiga siku-siku, ketika segitiga tesebut menyinggung lingkaran yang sama. Proses penelitian ini dibantu dengan menggunakan program GeoGebra. 2. KAJIAN LITERATUR DAN PEGEMBANGAN HIPOTESIS Penelitian ini merupakan pengembangan dari arikel yang mengkaji mengenai bangun datar segi-n apakah yang mempunyai luasan maksimum di antara bangun datar segi-n lainnya ketika dibatasi oleh lingkaran. Pada artikel sebelumnya bangun datar yang dikaji adalah bangun datar segitiga dan bangun datar segi empat. Terdapat dasar teori yang menyebutkan, segi n beraturan yang dapat di buat dalam satu lingkaran memiliki luasan lebih besar dari pada segi banyak lainnya yang dibatasi lingkaran yang sama. pembuktian teorema ini dengan menampilkan segi-n yang dibatasi sebuah lingkaran (Rokach, 2005). Pembentukan segi-n yang beraturan dengan menggunakan metode menambah dan mengurangi sudut pada segi-n tersebut. Artikel mengenai pembentukan luasan maksimum pada segi-n ini menunjukan bangun datar segitiga dan segiempat. Luas suatu daerah dapat dihitung secara manual dengan menggunakan rumus yang telah ada, misalnya rumus luas 1 bangun datar segitiga yaitu πΏ = ππ‘ dan 2 rumus luas bangun datar segiempat, yaitu πΏ = π 2 . Rumus luasan ini sebagai acuan dalam menentukan luasan pada segitiga dan segiempat yang dibentuk pada segi-n yang dibatasi oleh lingkaran. Ketika dibatasi oleh lingkaran, bangun datar segitiga yang memiliki luasan maksimum adalah segitiga sama sisi. Hal tersebut dibuktikan dengan menggunakan beberapa teorema dan kesepakatan. Teorema yang digunakan adalah teorema sudut pusat, 360° yaitu πΌ = , dengan mengubah sudut π pusatnya menjadi sama besar maka berakibat pada panjang sisinya menjadi sama panjang. Sehingga didapat bangun datar segi-n beraturan yang memiliki luasan maksimum ketika dibatasi oleh lingkaran yang sama. Bangun datar segitiga didapat segitiga sama sisi yang memiliki luasan maksimum, sedangkan bangun datar segiempat didapat persegi yang memiliki luasan maksimum. Sehingga bangun datar segi-n lainnya yang memiliki luasan maksimum adalah bangun segi-n beraturan. Pada artikel ini, hanya dipilih bangun datar segitiga ketika segitiga tersebut menyinggung lingkaran yang sama. Penulis menggunakan bantuan program GeoGebra untuk menemukan bangun datar segitiga apakah yang memiliki luasan minimum ketika menyinggung lingkaran yang sama. 3. METODE PENELITIAN Penelitian ini menggunakan metode penemuan mandiri dengan menggunakan bantuan program GeoGebra. GeoGebra sangat bermanfaat sebagai media pembelajaran matematika dengan beragam situasi menurut Hohenwarter & Fuchs (2004), seperti: (1) Sebagai alat media demonstrasi dan visualisasi, (2) Sebagai alat bantu konstruksi, (3) Sebagai alat bantu proses penemuan. Pemanfaatan program GeoGebra memberikan beberapa keuntungan, di antaranya adalah sebagai berikut : 1. Lukisan-lukisan geometri yang biasanya dihasilkan dengan dengan cepat dan teliti dibandingkan dengan menggunakan pensil, penggaris, atau jangka. 2. Adanya fasilitas animasi dan gerakan-gerakan manipulasi (dragging) pada program GeoGebra dapat memberikan pengalaman visual yang lebih jelas kepada siswa dalam memahami konsep geometri. 3. Dapat dimanfaatkan sebagai balikan/evaluasi untuk memastikan bahwa lukisan yang telah dibuat benar. 4. Mempermudah guru/ siswa untuk menyelidiki atau menunjukkan sifat-sifat yang berlaku pada suatu objek geometri. Peneliti memanfaatkan program GeoGebra sebagai alat bantu proses penemuan untuk mencari luasan minimum pada segitiga yang menyinggung lingkaran. Setiap luasan yang didapat dibandingkan untuk melihat bangun segitiga mana yang memiliki luasan minimum ketika menyinggung lingkaran. Rancangan kegiatan ini dimulai dengan mencoba membuat lingkaran dengan jarijari tetap dan membuat tiga buah garis singgung lingkaran yang bertujuan untuk membentuk segitiga. Penulis menggunakan garis singgung agar sisi-sisi dari segitiga yang terbentuk benar-benar menyinggung lingkaran. Segitiga yang dipilih adalah segitiga sikusiku, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi. Sisi segitiga ada yang dibuat tetap (sisi tetap) dan ada yang dibuat dapat digeser (sisi geser). Penulis dapat menemukan perbedaan luas segitiga ketika panjang sisi tersebut diperpendek ataupun diperpanjang. Selain sisinya yang dibuat dapat dirubah, besar sudutnya pun dibuat dapat dirubah dengan memperkecil ataupun memperbesar salah satu sudut. Penulis dapat menemukan perbedaan luas segitiga ketika sudut dalam segitiga diperkecil ataupun diperbesar. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Penelitian ini menggunakan beberapa bangun datar segitiga, yaitu segitiga sikusiku, segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki, yang masing-masing akan menyinggung lingkaran yang sama. Pada pembuktian segitiga siku-siku, didapat dua jenis segitiga siku-siku, yaitu segitiga siku-siku sama kaki, dan segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya dapat divariasi. Dengan menggunakan bantuan aplikasi Geogebra, didapat hasil dan pembahasan penelitian sebagai berikut: 1. Segitiga Siku-siku Sama Kaki : a. Langkah Pertama Membuat segitiga siku-siku diawali dengan membuat 2 titik yaitu titik A(1,1) dan titik B(1,2). Kemudian membuat lingkaran dengan jari-jari 1 satuan panjang yang bertitik pusat di A(1,1). Berikut langkah membuat lingkarannya, yaitu dengan klik Circle with Center through Point pada menu bar, lalu klik pada titik A dan hubungkan dengan titik B, sehingga terbentuklah lingkaran dengan pusat A. Gambar 1 b. Langkah Kedua Membuat segitiga dengan menggunakan garis singgung lingkaran sebagai sisi-sisi segitiga. Membuat titik C pada sumbu π¦ dengan koordinat (0,3). Kemudian membuat garis singgung yang menghubungkan titik C dengan lingkaran dengan pusat A. Berikut langkah membuat garis singgungnya, yaitu dengan klik Perpendicular Line > Tangents pada menu bar kemudian klik titik C dengan lingkaran dengan pusat A. Sehingga terbentuklah garis yang menyinggung lingkaran yaitu garis singgung π. Kemudian buat titik perpotongan antara sumbu π₯ dan sumbu π¦ dengan nama titik D menggunakan Point > intersect, cara ini berlaku untuk membuat perpotongan garis pada garis singgung g dengan sumbu π₯, beri nama titik perpotongannya yaitu titik E. Gambar 2 c. Langkah Ketiga Membuat daerah yang akan dihitung luasannya, yaitu daerah pada bangun datar segitiga yang terbentuk dari garis singgung lingkaran. Langkah membuat daerah yaitu dengan menghubungkan ketiga titik C, D dan E agar terbentuk sebuah daerah luasan. Berikut langkah membuat daerahnya, yaitu klik Polygon pada menu bar, lalu hubungkan titik C, D dan E sehingga didapatkan gambar dengan warna merah muda yang menandakan sebuah daerah dengan luasan tertentu. Selanjutnya membuat ∠πΆ, ∠π· dan ∠πΈ untuk membantu membuktikan bahwa segitiga CDE merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Berikut langkah membuat sudutnya, yaitu klik Angle pada menu bar kemudian hubungkan ketiga titik pada segitiga CDE. Misalnya membuat ∠πΆπ·πΈ, berarti harus menghubungkan titik C lalu titik D dan titik E sehingga terbentuk ∠900, dengan kata lain terbukti benar bahwa segitiga CDE merupakan segitiga siku-siku. Selanjutnya analog untuk membuat ∠πΆπΈπ· dan ∠π·π΄πΈ. Gambar 3 Gambar 4 d. Langkah Keempat Membentuk segitiga sama kaki dengan menggeser salah satu titik yaitu titik C sehingga terbentuk segitiga sama kaki. Langkah membentuk segitiga sama kaki, yaitu membuat sisi CD = DE dengan menggeser salah satu titik yaitu titik C melalui sumbu π¦. Ketika menggeser titik C perlu diperhatikan pula ∠πΆπΈπ· dan ∠π·π΄πΈ, karena pada segitiga siku-siku sama kaki salah satu sudutnya ∠900 dan kedua sudut lainnya adalah ∠450. Setelah menemukan titik di mana ∠πΆπΈπ· dan ∠π·π΄πΈ besarnya ∠450 perlu diperhatikan pula panjang sisi CD dan DE. Ketika panjangnya sama maka terbukti segitiga CDE merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Didapat luasan daerah yaitu 5,83 (dengan pembulatan). Gambar 5 2. Segitiga Sama Sisi : a. Langkah Pertama Membuat segitiga siku-siku diawali dengan membuat 2 titik yaitu titik A(1,1) dan titik B(1,2). Kemudian membuat lingkaran dengan jari-jari 1 satuan panjang yang bertitik pusat di A(1,1). Berikut langkah membuat lingkarannya, yaitu dengan klik Circle with Center through Point pada menu bar lalu klik pada titik A dan hubungkan dengan titik B, sehingga terbentuklah lingkaran dengan pusat A. (lihat Gambar 1). b. Langkah Kedua Membuat daerah pada segitiga sama sisi. Berikut langkah membuat segitiga sama sisi dengan membuat segitiga sama kaki terlebih dahulu. Membuat titik C yang satu sumbu dengan titik A atau pusat lingkarannya. Misalnya diambil titik C dikoordinat (1,4), kemudian membuat garis yang menyinggung lingkaran dari titik C. Berikut langkah membuat garis singgung lingkaran, yaitu klik Perpendicular Line > Tangents lalu klik titik C dan lingkaran dengan pusat di A, sehingga terbentuklah garis g dan f yang menyinggung lingkaran. Kemudian membuat titik perpotongan antara garis singgung lingkaran dengan sumbu π₯ caranya dengan klik Point > intersect, sehingga terdapat titik perpotongan dengan nama titik D dan titik E. Gambar 6 c. Langkah Ketiga Membuat daerah luasan pada segitiga dengan menghubungkan ketiga titik yaitu titik C, D, E dengan menggunakan Polygon pada menu bar. Kemudian membuat sudut pada segitiga, yaitu ∠πΆπ·πΈ, ∠πΆπΈπ· dan ∠π·πΆπΈ dengan acara klik Angle pada menu bar kemudian hubungkan ketiga titik pada segitiga CDE, misalnya akan mebuat sudut ∠πΆπ·πΈ maka klik titik C ke titik D lalu ke titik E, dengan begitu akan kita dapatkan sudut ∠πΆπ·πΈ. Berikutnya analog untuk ∠πΆπΈπ· dan ∠π·πΆπΈ. Gambar 7 d. Langkah Keempat Membentuk segitiga sama sisi. Syarat sudut pada segitiga sama sisi adalah ketiga sudutnya ∠600. Sehingga perlu membentuk ketiga sudut dalam segitiga menjadi ∠600. Luasan daerah segitiga sama sisi yaitu 5.2 satuan. (lihat Gambar 7). 3. Segitiga Siku-siku Variasi : a. Langkah Pertama Membuat segitiga siku-siku diawali dengan membuat 2 titik A(1,1) dan B(1,2). Kemudian membuat lingkaran dengan jari-jari 1 satuan panjang yang bertitik pusat di A(1,1). Berikut langkah membuat lingkarannya, yaitu dengan klik Circle with Center through Point pada menu bar, lalu klik pada titik A dan hubungkan dengan titik B, sehingga terbentuklah lingkaran dengan pusat A. (lihat Gambar 1). b. Langkah Kedua Membuat satu titik C pada sumbu π¦ dengan koordinat (0,3). Kemudian membuat garis singgung yang menghubungkan titik C dengan lingkaran dengan pusat A. Berikut langkah membuat garis singgungnya, yaitu klik Perpendicular Line > Tangents pada menu bar kemudian klik titik C dengan lingkaran dengan pusat A. Sehingga terbentuklah garis yang menyinggung lingkaran yaitu garis singgung π. Kemudian buat titik perpotongan antara sumbu π₯ dan sumbu π¦ dengan nama titik D menggunakan Point > intersect, cara ini berlaku untuk membuat perpotongan garis pada garis singgung g dengan sumbu π₯, beri nama titik E.(lihat Gambar 2). c. Langkah Ketiga Langkah ini akan menguji bagaimana luasan yang terbentuk ketika segitiga siku-siku yang salah satu sisinya diperpanjang dengan titik C menjauhi lingkaran namun masih menginggung lingkaran mengikuti sumbu π¦. Berikut langkahnya, yaitu dapat dilihat pada salah satu titik di sumbu π¦, kemudian akan ditarik titik C, ke arah mengikuti sumbu π¦ sehingga pada titik E akan mendekati sudut 900. Setelah melaksanakan langkahlangkah tersebut, didapatkan bahwa luasan pada segitiga akan terus bertambah dan semakin besar. Hal ini berlaku pula untuk titik E yang digeser menjauhi sumbu π¦. untuk titik E ketika didekatkan ke arah titik D, maka luasannya akan bertambah dan ketika garis g sejajar dengan sumbu y maka luasanya menjadi tidak terdefinisi, hal tersebut terjadi karena garis g tidak memotong di garis g. Gambar 10 Gambar 8 Gambar 11 Gambar 9 d. Langkah Keempat Langkah ini akan menguji bagaimana luasan yang terbentuk ketika segitiga siku-siku yang salah satu sisinya diperpanjang dengan titik C mendekati lingkaran namun garis g masih menginggung lingkaran mengikuti sumbu π¦. Kemudian didapatkan bahwa luasan pada segitiga akan bertambah. Luasan terkecil akan didapat ketika segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku sama kaki, yaitu 5,83. Setelah melewati segitiga sama kaki luasannya akan semakin bertambah namun ketika garis g sejajar dengan sumbu π₯ maka luasannya menjadi tidak dapat didefinisi. Hal ini berlaku juga Gambar 12 4. Segitiga Sama Kaki : a. Langkah Pertama Membuat segitiga siku-siku diawali dengan membuat 2 titik yaitu titik A(1,1) dan titik B(1,2). Kemudian membuat lingkaran dengan jari-jari 1 satuan panjang yang bertitik pusat di A(1,1). Berikut langkah membuat lingkarannya, klik Circle with Center through Point pada menu bar, lalu klik pada titik A dan hubungkan dengan titik B (lihat Gambar 1). Kemudian membuat sebuah titik yang satu sumbu dengan titik A, misalnya berkoordinat (1,3) dengan titik C, titik C berfungsi untuk menghubungkan titik dengan lingkaran sehingga membentuk garis yang menyinggung lingkaran tersebut. Pada menu bar klik tangent pada menu bar lalu hubungan titik C dengan lingkaran dengan pusat A sehingga terbentuk 2 buah garis f dan g yang menyinggung lingkaran dengan pusat di A. Beri nama perpotongan garis itu dengan titik D dan titik E dengan menggunakan Point > intersect pada menu bar. (lihat Gambar 6) b. Langkah Kedua Membuat daerah yang akan dihitung luasannya, yaitu dengan menghubungkan ketiga titik C, D dan E agar terbentuk sebuah daerah luasan. Berikut langkah membuat daerah luasan, yaitu dengan klik Polygon pada menu bar, lalu hubungkan titik C, D dan E. Didapatkan gambar dengan warna merah muda yang menandakan sebuah daerah dengan luasan tertentu. (lihat Gambar 7). c. Langkah Ketiga Membuat sudut di titik π· dan titik E, didapat ∠πΆπ·πΈ dan ∠πΆπΈπ·. Kedua sudut ini harus dipastikan sama sehingga βCDE dapat dikatakan segitiga sama kaki, misalnya ketika titik C ditarik menjauhi lingkaran. Dari percobaan itu dapat dikatakan bahwa luasannya semakin bertambah menjadi semakin besar hingga garis g dan garis f mendekati sejajar dengan sumbu y, dan ∠ CDE dan ∠CED mendekati 900 (lihat Gambar 13 dan Gambar 14). Setelah titik C ditarik menjauhi lingkaran, berikutnya titik C ditarik mendekati lingkaran. Didapatkan bahwa luasan pada segitiga akan bertambah, tetapi ketika sampai pada titik yang berpotongan di lingkaran, luasannya menjadi tak terdefinisi karena tidak terbentuk luasan segitiganya (lihat Gambar 15, Gambar 16 dan Gambar 17). Tetapi luasan minimumnya didapat ketika segitiga sama kaki mempunyai sisi-sisi yang sama panjang, atau membentuk segitiga sama sisi dengan luas daerah 5.2 satuan. Gambar 13 Gambar 14 Gambar 15 maksimum ketika dibatasi oleh lingkaran, dan segitiga sama sisi juga menjadi segitiga dengan luasan minimum ketika menyinggung sebuah lingkaran. Penggunaan aplikasi Geogebra cukup efektif dalam membantu penelitian ini. Peneliti dapat dengan mudah mengetahui luasan daerah pada bangun datar dengan bentuk yang beragam tanpa menghitung luasannya menggunakan rumus matematika. Oleh karena itu, baik halnya aplikasi Geogebra diterapkan pula sebagai media pembelajaran pada proses kegiatan belajar mengajar di sekolah, agar lebih menarik minat peserta didik dalam mempelajari materi matematika. Dengan demikian, diharapkan prestasi peserta didik dapat meningkat. Gambar 16 Gambar 17 5. KESIMPULAN Proses penelitian pada artikel ini dimulai dengan mencari luasan segitiga siku-siku sama kaki, segitiga sama sisi, segitiga siku-siku, dan segitiga sama kaki menggunakan bantuan Geogebra. Hasil penelitian dari artikel ini, didapat luasan minimum segitiga yang menyinggung lingkaran, yaitu segitiga sama sisi, dengan luasan yang didapat yaitu 5.2 satuan. Hasil tersebut didapat dengan membandingkan hasil percobaan luasan daerah dari segitiga lainnya. Penulis dapat simpulkan dari hasil penelitian, ada keterkaitan dengan hasil artikel kajian yang penulis baca, yaitu mengenai segitiga sama sisi. Segitiga sama sisi menjadi segitiga dengan luasan 6. REFERENSI Ali, Mashadi. 2014. Alternatif Pembahasan Konsep Umum Luas Daerah Suatu Bangun Datar. [9 Maret 2017]. Aulia, Fikri. 2015. Visualisasi Geometri Dengan Menggunakan GeoGebra. Makalah IF2123 Aljabar GeometriIndonesia ITB-Semester I Tahun 2015/2016. [10 Mei 2017]. Mahmudi, Ali. 2010. Membelajarkan Geometri dengan Program GeoGebra. Makalah terdapat pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 27 november 2010. Seminar diselenggarakan di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY. [6 Mei 2017]. Murdanu. 2010. GEOMETRI BIDANG. Disampaikan dalam Pembekalan OSN-2010 SMP N 1 Kebumen. [10 Mei 2017]. Rokach, Arie. 2005. Finding the Maximal Area of Bounded Polygons in a Circle. Tersedia: http://www.jstor.org/stable/27971782 . [16 Februari 2017]. Staff.uny.ac.id/sites/default/files/tmp/10_ Geogebra4Lingkaran.pdf. [10 Mei 2017].
