rangkaian listrik - Randy E. Saputra, ST. MT.

Rangkaian Listrik
Arus dan Tegangan AC
Sinusoidal dan Phasor
©Alexander Sadiku
edited by Agus Virgono Ir. MT. & Randy E. Saputra
Prodi S1-Sistem Komputer
Fakultas Teknik Elektro
Universitas Telkom - 2016
Sinusoidal dan Phasor
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Latar Belakang
Fitur Sinusoidal
Phasor
Hubungan Phasor untuk elemen rangkaian
Impedansi dan admittansi
Hukum Kirchhoff di domain frequensi
Impedansi kombinasi
2
Latar Belakang
Sine wave..? Why?
3
Latar Belakang
Bagaimana cara menyatakan v(t) dan i(t)?
vs(t) = 10V ???
4
Sinusoidal
• Sinyal sinusoidal mempunyai bentuk fungsi sinus atau
cosinus.
• Persamaan umum dari sinusoidal,
v(t )  Vm sin(t   )
dengan
Vm = amplituda dari sinusoidal
ω = frekuensi angular dalam rad/s
Ф = phasa
5
Sinusoidal
Sebuah fungsi periodik adalah yang memenuhi
v(t) = v(t + nT), untuk semua t dan semua n integer.
T
2

f 
1
Hz
T
  2f
• Hanya dua sinusoidal dengan frekuensi yang sama yang dapat
dibandingkan perbedaan amplituda dan phasanya.
• Jika beda phasa nol, berarti mereka se-phasa; jika beda
phasa tidak nol, berarti tidak se-phasa.
6
Sinusoidal
Sebuah fungsi periodik adalah yang memenuhi
v(t) = v(t + nT), untuk semua t dan semua n integer.
• Hanya dua sinusoidal dengan frekuensi yang sama yang dapat
dibandingkan perbedaan amplituda dan phasanya.
• Jika beda phasa nol, berarti mereka se-phasa; jika beda
phasa tidak nol, berarti tidak se-phasa.
7
Sinusoidal
Contoh 1
Diketahui sebuah sinusoid 5 sin(4t – 60). Hitung
amplituda, phasa, frekuensi angular, perioda, dan
frekuensinya.
Jawab:
Amplituda = 5
Phasa = –60o
Frekuensi angular = 4 rad/s
Perioda = 0.5 s
Frekuensi = 2 Hz
8
Sinusoidal
Sinus vs Cosinus
2 rad = 360
1 rad = 360  57.3
2
sin ωt = cos(ωt – 90o)
cos ωt = sin(ωt + 90o)
9
Sinusoidal
Contoh 2
Cari sudut phasa antara i1 = –4 sin(377t + 25) dan
i2 = 5 cos(377t – 40), apakah i1 leading atau lag i2?
Jawab:
Leading = mendahului (phasa lebih besar)
Lag = tertinggal (phasa lebih kecil)
cos ωt = sin(ωt + 90o)
i2  5 sin(377t  40o  90o )  5 sin(377t  50o )
i1  4 sin(377t  25o )  4 sin(377t  180o  25o )  4 sin(377t  205o )
Maka i1 leading i2 155o
10
Phasor
• Sebuah phasor adalah bilangan
kompleks yang menyatakan
amplitudo dan phasa dari sinusoidal.
• Bisa dinyatakan dalam 3 bentuk
dasar :
j  1
a. Rectangular z  x  jy  r (cos   j sin  )
b. Polar
c. Exponential
z  r 
z  re
j
dengan
r  x2  y2
  tan 1
y
x
11
Phasor
Operasi Matematika dari bilangan kompleks:
1.
Penjumlahan
z1  z 2  ( x1  x2 )  j ( y1  y2 )
2.
Pengurangan
z1  z2  ( x1  x2 )  j ( y1  y2 )
3.
Perkalian
z1 z2  r1r2 1  2
Rectangular
Pembagian
z1 r1
 1  2
z 2 r2
5.
Reciprocal
1
1
  
z
r
6.
Akar
7.
Konjugasi kompleks
z   x  jy  r     re j
8.
Identitas Euler
e  j  cos   j sin 
4.
Polar
z  r  2
12
Phasor
Contoh 3
• Hitunglah bilangan kompleks berikut:
a. [(5  j2)( 1  j4)  5 60o ]
b.
10  j5  340
 10 30o
 3  j4
o
j 2 = –1
Jawaban :
a. –15.5 + j13.67
b. 8.293 + j2.2
13
Phasor
• Mentransformasikan sinusoidal dari domain waktu ke
domain phasor dan sebaliknya :
v(t )  Vm cos(t   )
(domain waktu)
V  Vm 
(domain phasor)
• Amplituda dan perbedaan phasa adalah dua hal yang
paling diperhatikan dalam menyatakan sinusoidal
tegangan dan arus
• Phasor akan didefinisikan sebagai fungsi cosinus dalam
mata kuliah ini. Jika sebuah pernyataan arus atau
tegangan dinyatakan dalam bentuk sinus, maka akan
diubah jadi cosinus dengan mengurangi phasanya 90
14
Contoh 4
Ubah sinusoidal ini ke phasor:
i(t) = 6 cos(50t – 40) A
v(t) = –4 sin(30t + 50) V
Jawaban :
–sin ωt = sin(ωt + 180o)
–cos ωt = cos(ωt + 180o)
a. I = 6–40 A
b. Ubah menjadi bentuk positif :
–4 sin(30t + 50) = 4 sin(30t + 50 + 180) = 4 sin(30t + 230)
Ubah menjadi cos :
4 sin(30t + 50) = 4 cos(30t + 50 – 90) = 4 cos(30t + 140)
Bentuk phasor  V = 4140 V
15
Phasor
Contoh 5:
Ubah phasor ini ke sinusoidal :
a. V  1030 V
b. I  j(5  j12) A
j 2 = –1
Jawab:
a) v(t) = 10 cos(ωt + 210o) V
b) Bentuk polar : I  12  j5  12 2  52  tan 1  5   1322.62
 12 
i(t) = 13 cos(ωt + 22.62o) A
16
Phasor
Perbedaan v(t) dan V:
•
•
•
v(t) adalah representasi domain-waktu
V adalah representasi domain frekuensi atau domainphasor
v(t) adalah waktu tak bebas, V bebas.
v(t) selalu riil tidak dalam bentuk kompleks, V kompleks.
Catatan : analisa Phasor hanya bisa dilakukan ketika frekuensi konstan; untuk
dua atau lebih sinyal sinusoidal hanya ketika mempunyai frekuensi
yang sama saja
17
Phasor
Hubungan antara operasi differential dan integral di
phasor :
v(t )
V  V
dv
dt
jV
 vdt
V
j
18
Phasor
Contoh 6
Gunakan pendekatan phasor untuk menentukan arus i(t) di sebuah
rangkaian yang dinyatakan sebagai persamaan integral-differential :
Jawab :
di
4i  8 idt  3  50 cos(2t  75)
dt
 8 
di
4i  8 idt  3  4i   i  (3  2 j )i  4i  4 ji  6 ji  (4  10 j )i
dt
2j
(4  10 j )i  5075
(10.77  68.2)i  5075
5075
i
 4.64143.2
10.77  68.2
19
Phasor
• Turunkan persamaan differential untuk rangkaian berikut untuk mencari
vo(t) di domain phasa Vo.
d 2vo 5 dv0
400
o


20
v


sin(
4
t

15
)
0
2
dt
3 dt
3
•
Sepertinya cara ini cukup sulit .
Ada cara yang lebih mudah ?
20
Phasor
YA! Ada
Daripada mengubah persamaan differential
dan mengubahnya ke phasor untuk mencari
Vo, bisa dilakukan transformasi semua
komponen RLC ke phasor terlebih dahulu,
baru menerapkan hukum KCL laws dan
teorema lainnya untuk mendapatkan
persamaan phasor Vo secara langsung.
21
Hubungan Phasor pada
Elemen Rangkaian
Resistor:
Induktor:
Kapasitor:
22
Hubungan Phasor pada
Elemen Rangkaian
Hubungan arus-tegangan
Elemen
Domain waktu
R
v  Ri
L
vL
C
dv
iC
dt
di
dt
Domain Frequensi
V  RI
V  jLI
I  jCV
23
Hubungan Phasor pada
Elemen Rangkaian
Contoh 7
Jika tegangan v(t) = 6 cos(100t – 30o) diterapkan
ke kapasitor 50 μF, hitunglah arus i(t) yang
melalui kapasitor.
Jawab :
V  6  30
I  jCV
 j (100  50μ  6  30)
 j (30m  30)
 190  30m  30
 30m60  i(t) = 30 cos(100t + 60o) mA
24
Soal Latihan
1. Diketahui tegangan sinusoid v(t) = 50 cos(30t + 10) V.
Hitung amplituda Vm, frekuensi f, perioda T, dan besar
tegangan v(t) pada t = 10 ms.
2. Diketahui arus sinusoid i(t) = 8 cos(500t – 25) A.
Hitung amplituda Im, frekuensi angular , frekuensi f,
dan besar arus i(t) pada t = 2 ms.
3. Ubah sinusoidal berikut ke dalam bentuk cosinus :
a)
b)
c)
d)
4 sin(t – 30)
–2 sin(6t)
–10 sin(t + 20)
–10 sin(3t – 85)
25
Soal Latihan
4. Untuk tiap pasangan sinusoid v(t) dan i(t) berikut,
tentukan apakah i(t) leading atau lag terhadap v(t) dan
berapa beda phasa-nya :
a)
b)
c)
d)
v(t) = 20 sin(t + 60) dan i(t) = 60 cos(t – 10)
v(t) = 4 sin(4t + 50) dan i(t) = 10 cos(4t – 60)
v(t) = 4 cos(377t + 10) dan i(t) = –20 cos(377t)
v(t) = 15 cos(2t – 11) dan i(t) = 13 cos(2t) + 5 sin(2t)
5. Jika diketahui tiga phasor yaitu z1 = 6 – j8, z2 = 10–30,
dan z3 = 8–120, hitunglah :
26
Soal Latihan
6. Hitunglah operasi phasor berikut dan tuliskan hasilnya
dalam bentuk rectangular :
7. Hitunglah operasi phasor berikut dan tuliskan hasilnya
dalam bentuk polar :
27