KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU

APLIKASI FUNGSI LINIER
DALAM BIDANG EKONOMI
FUNGSI PERMINTAAN & PENAWARAN
Oleh :
Agus Arwani, SE, M.Ag.
FUNGSI PERMINTAAN
Qdx,t = ƒ (Px,t, Py,t, Yt, PeX,t+1,St)
Dimana
Qdx,t
Px,t
Py,tt
Yt
Pex,t+1
St
= Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t.
= Harga produk X dalam periode t.
= Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t.
= Pendapatan konsumen dalam periode t.
= Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang t + 1.
= Selera dari konsumen pada periode t.
Qdx = ƒ(Px)
P
Bila fungsi permintaan ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan linier, maka bentuk umumnya adalah,
(0,P)
Qx = a – bPx
Dimana
Qx
= Jumlah produk X yang diminta
Px
= Harga produk X
a dan b = Parameter
Qd = a - bp
(Q,0)
0
X
Hukum Permintaan

Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang
diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi
dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta
turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah
barang yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan
mempunyai slope negatif (miring ke kiri)
Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah:
P
a/b
Qd = a - bP
Qx = f (Px)
Qx = a – b Px
dimana:
Qx = Jumlah produk x yang diminta
Px = Harga produk x
a dan b = parameter
0
b
Qd
Contoh
Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun
menjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan
gambarkanlah grafiknya?
Penyelesaian :
Diketahui: P1 = 100; P2 = 75; Q1 = 10; Q2 = 20
Q – Q1= Q2 – Q1
P – P1
P2 – P1
P
(0,125)
Q – 10 = 20 – 10
P – 100 75 – 100
Q = 50 – 2/5 P
100
(Q – 10) = 10/-25 (P-100)
75
(Q – 10) = 40 – 2/5 P
50
Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5P – 50 = 0
25
Kurva permintaan ini ditunjukkan
oleh Gambar disamping.
0
(50,0)
10
20
30
40
50
Q
FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS
p
p
D
D
0
Q
Q
0
FUNGSI PENAWARAN
Qsx,t = ƒ(Px,t , Tt , PF,t , PR,t , Pex,t+1)
Dimana Qsx,t = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t.
Px,t = harga produk X dalam periode t
Tt
= Teknologi yang tersedia dalam periode t
PF,t = harga faktor-faktor produksi dalam periode t
PR,t = harga produk lain yang berhubungan dalam periode t
Pex,t+1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1
Qsx = g (Px)
Dimana Qsx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen
Px = Harga produk X
P
Qsx = a + bP
S
Qs = a + bP
- a/b
0
Q
Hukum Penawaran

Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah
produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual
dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan
bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang
ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa
jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan
turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope
positif (miring ke kanan)
Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah:
Qx = f (Px)
P
Qx = -a + b Px
dimana:
Qx = Jumlah produk x yang ditawarkan
Px = Harga produk x
a dan b = parameter
Qs = -a + bP
a/b
-a
0
Qd
Contoh
Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak
60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual
sebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam
satu diagram
Penyelesaian :
Diketahui: P1 = 500; P2 = 700; Q1 = 60; Q2 = 100
Q – Q1 = Q2 – Q1
P – P1 P2 – P1
P
(0,125)
Q – 60 = 100 – 60
P – 500 700 – 500
(Q – 60) = 40/200 (P-500)
(Q – 60) = -100 +1/5 P
Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5P + 40 = 0
700
600
500
(60, 500)
400
Q = -40 + 0,2P
300
Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh
Gambar
200
(50,0)
100
0
20
40
60
80
100
Q
KESEIMBANGAN PASAR
SATU MACAM PRODUK
p
Qs
Pe
E (Qe, Pe)
Qd
0
Qe
Q
Contoh
Jika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang ditunjukkan
oleh :
Qd = 6 – 0,75 P
Qs = -5 + 2P
a) Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar?
b) Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!
Penyelesaian:
a) Syarat keseimbangan Qd = Qs
Bila Qd = Qs, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P
-2,75P = -11
P=4
Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam salah satu
persamaan permintaan atau penawaran sehingga,
Q = 6 – 0,75 (4)
Q=6–3
Q=3
Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3,4).
b) Menggambarkan keseimbangan pasar :
Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75 P
Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6,0)
Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,8)
Untuk fungsi permintaan Q = -5 + 2P
Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5,0)
Jika Q = 0, maka P = 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,5/2)
Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar
p
8
(0, 8)
7
Qs = -5 + 2P
6
5
E (3, 4)
4
3
Qd = 6 – 0,75P
2,5
2
1
(6, 0)
0
1
2
3
4
5
6
Q
Fungsi Kuadrat pada Fungsi
Permintaan dan Penawaran
Fungsi Permintaan



Fungsi Penawaran
Variabel p selalu positif atau
0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)
Untuk setiap p ada satu nilai Q.
Grafik fungsi turun.
P



Variabel p selalu positif atau
0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)
Untuk setiap p ada satu nilai Q.
Grafik fungsi naik.
P
Q
Q
Latihan
Tentukan titik keseimbangan pasar dan gambarkan grafiknya dari
fungsi-fungsi permintaan dan penawaran berikut:
1. Pd = -Q2 + Q + 2 dan Ps = Q2 + Q - 2
P
Jawab:
Ps
2

2
-2
-1
1
0
-2
2,
2

Q
2
2
Pd
Contoh
Jika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8P – 2P2, gambarkanlah fungsi
permintaan tersebut dalam satu diagram!
Penyelesaian :
Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah
(64,0)
64 - 8P – 2P2 = 0 atau
Jika Q = 0, maka
P = 4P – 32 = 0
(P + 8) (P – 4) = 0
P = -8 (Tidak memenuhi)
P=4
Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0,4) dan (0, -8).
a = -2 b = -8
c= 64
Koordinat titik puncak
Jadi Titik puncak=(72,-2)
D
 b
  , 
 2a 4a 
  8  576 
 ,

 4  8 
 (2,72)
Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta koordinat titik
Y
puncat,
maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8P – 2P2 dapat
digambarkan seperti di bawah.
P
(0,4)
Q =64 – 8P – 2P2
4
3
2
1
(64,0)
Q
-1
8
-2
16
24
32
40
48 56
64 72
(72,-2)
(2,0)
KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM
PRODUK
Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh
permintaan barang lain. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau
lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau
secara komplementer (produk pelengkap). Produk substitusi misalnya:
beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain- lain.
Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen
dengan pasir, dan lain sebagainya.
Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja.
Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk
yang beinteraksi mempunyai dua variabel bebas.
Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan
jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2)
hargaproduk lain yang saling berhubungan.
Penggunaan Fungsi dalam ekonomi
Analisa keseimbangan pasar
Keseimbangan pasar – Model linear
Asumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses demand” =
0 atau (Qd – Qs = 0)
Asumsi-2: Qd = jumlah permintaan adalah fungsi linear P
(harga). Jika harga naik, maka Qd turun.
Asumsi-3: Qs = jumlah penawaran adalah fungsi linear P. Jika
harga naik, maka Qs juga naik, dengan syarat
tidak ada jlh yang ditawarkan sebelum harga
lebih tinggi dari nol.
Persoalan,bagaimana menentukan nilai keseimbangan ?
Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi pada
saat:
Qd = Qs
22
Qd = a - bP,
slope (-)
(1)
Qs = -c + dP,
slope (+)
(2)
Gambarnya sbb:
Qd , Qs
a
Qd = a -bP
Qs = -c + dP
keseimbangan
Q0
0
P1
P0
P
-c
Matematika Ekonomi
Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb:
2 dan Q = 4P – 1
Q
=
4
–
p
s
d
23
Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam
ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21)
tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah
positip) maka keseimbangan pada (1, 3)}
4
QS = 4p - 1
1,3
3
1/4
-1 0
keseimbangan
QD = 4 - p2
1
2
Matematika Ekonomi


Latihan
Temukan keseimbangan dari Qd dan Qs tersebut
24
Matematika Ekonomi
Keseimbangan pasar (lanjutan)
25
Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an
permintaan dan penawaran dari suatu komoditi
tertentu jika:
Qd = 16 – P2 , (Permintaan)
QS = 2p2 – 4p (penawaran)
Gambarkan grafiknya
Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5
Matematika Ekonomi
Penjelasan
Pada
saat
keseimbangan
maka
Q
=
Q
d
s
26
16 – p2 = 2p2 – 4p
3p2 – 4p – 16 = 0
Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2
dengan bentuk umum: ax2 + bx + c
Koefisien a = 3, b = -4, dan c = -16
p = (-b) ± (b2 – 4ac)1/2 = 4 ± (16 + 192)1/2 = 3.1 (+)
6
2a
Qd = 16 – p2 = 16 - (3.1)2 = 6.4
Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas
6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1)
Matematika Ekonomi
Grafik:
Fungsi Permintaan: Qd = 16 – p2
27
a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 16, (16,0)
b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 16 – p2 = 0
(p – 4)(p + 4). p – 4 = 0, p = 4,
ttk (0, 4)
p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4)
c.Titik maks/min: (Q,p)
Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0
p = (b2 – 4ac)/(-4a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16
atau pada titik (0, 16)
Matematika Ekonomi
Grafik:
Fungsi
penawaran
28
Qs = 2p2 – 4p
a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 0, (0,0)
b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 2p2 – 4p = 0
Atau 2p(p – 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0)
(p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2)
c. Titik maks/min: (Q,p)
Q = (-b/2a) = 4/4 = 1
p = (b2 – 4ac)/(-4a) = (-4)2 – 4(2)(0)/(-4)(2) = 2
atau pada titik (1, 2)
Matematika Ekonomi
Grafik:
29
Qs
p
4
3.1
Qd
2
0
6.4
16
Q
Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5
Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5,
terjadi ekses demand Matematika Ekonomi
Penjelasan ekses suplai dan ekses demand
30
Qs
Qd
Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses
supply mendorong harga turun.
Matematika Ekonomi
Notasi fungsi permintaan menjadi:
Qdx = a0 - a1Px + a2Py
Qdy = b0+ b1Px - b2Py
Sedangkan fungsi penawarannya:
Qsx = -m0 + m1Px + m2Py
Qsy = -n0 + n1Px + n2Py
Dimana:
Qdx= Jumlah yang diminta dari produk X
Qdy= Jumlah yang diminta dari produk Y
Qsx= Jumlah yang ditawarkan dari produk X
Qsy= Jumlah yang ditawarkan dari produk Y
Px= Harga produk X
Py = Harga produk Y
a0,b0,m0,n0 = konstanta
SYARAT KESEIMBANGAN PASAR DICAPAI JIKA:
Qsx = Qdx dan Qsy = Qdy
Contoh :
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua
macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai
berikut:
Qdx = 5 -2Px + Py
Qdy = 6 + Px – Py
dan
Qsx = -5 + 4Px - Py
Qsy = -4 - Px + 3Py
Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar
Penyelesaian:
Syarat keseimbangan pasar :
Qsx = Qdx
-5 + 4Px – Py = 5 - 2Px + Py
4Px + 2Px – Py – Py = 5 + 5
6Px – 2Py = 10 …(1)
Qsy = Qdy
-4 – Px + 3Py = 6 + Px – Py
-Px – Px + 3Py + Py = 6 + 4
-2Px + 4Py = 10
- Px + 2Py = 5 …(2)
(1)Dan (2)
6Px – 2Py = 10
- Px + 2Py = 5
5Px
= 15
Px = 3
Py = 4
Qsx = 3
Qsy = 5
MEx = ( 3, 3 )
MEy = ( 5, 4 )
KESEIMBANGAN PASAR (FUNGSI KUADRAT)
Contoh :
Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah
keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran
berikut ini :
Pd = 24 – 3Q2
Ps = Q2 + 2Q + 4
Penyelesaian :
Syarat keseimbangan pasar adalah Pd = Ps
24 – 3Q2 = Q2 + 2Q + 4
4Q2 + 2Q - 20 = 0
Q1, 2 
 2  4  {( 4)( 4)( 20)}
 2  324
 Q,1, 2 
8
8
Q 
1
 2  18
2
8
 2  18
Q1 
 2,5 tidak memenuhi
8
Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satu
persamaan permintaan penawaran, sehingga diperoleh
nilai P, yaitu
P = 24 – 3(2)
P = 24 – 12 = 12
Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2,12).
Selanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan Pd = 24 – 3 Q2 dan fungsi
penawaran Ps = Q2 + 2Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar dapat
digambarkan seperti dibawah. s
P
P =q2 + 2Q + 4
24
(3,19)
20
16
12
E (2,12)
P =24 – 3Q
8
4
Q
0
1
2
2,83