(t) a(t)

GERAK
SUGIYO, SPd.M.Kom
TUJUAN PEMBELAJARAN:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Membedakan Perpindahan dan Jarak
Menghitung jarak dan perpindahan grk 1 dimensi
Menjelaskan hubungan antara vektor posisi, vektor
kecepatan, dan vektor percepatan untuk gerak
benda dalam bidang datar
Membedakan persamaan GLB dg GLBB
Memahami arti posisi sudut, kecepatan sudut, dan
percepatan sudut serta menyebutkan analogi
besaran-2 tsb pd Gerak Lurus dan Gerak Melingkar
Memahami konsep gerak parabola.
PRE-REQUISITE:
1.
2.
3.
4.
Apa yg menjadi ciri gerak lurus?
Apa yang dimaksud dengan: Vektor Satuan,
Vektor Posisi, Vektor Kecepatan, Vektor
Percepatan dan adakah hubungan antara
keempat besaran tersebut!
Apa yang menjadi ciri dari Gerak Melingkar
Beraturan (GMB) dan Gerak Melingkar
Berubah Beraturan (GMBB)?
Apa yg dimaksud dg Gerak Parabola?
Pengertian




Kinematika: Bagian fisika yang
mempelajari gerak benda tanpa
memperhatikan penyebab gerak benda
tersebut
Benda bergerak: benda yang posisinya
berubah terhadap acuan
Benda diam: benda yang posisinya tidak
berubah terhadap titik acuan
Posisi: letak kedudukan benda terhadap
titik acuan
Posisi

Posisi benda ditentukan dengan
menggunakan sistem koordinat




Koordinat garis (satu dimensi): menggunakan
satu acuan
Koordinat bidang (dua dimensi):
menggunakan dua acuan
Koordinat ruang (tiga dimensi): menggunakan
tiga acuan
Posisi benda dalam koordinat dapat
dinyatakan dengan sebuah vektor posisi
Vektor Posisi

Jika sebuah benda berada pada titik A
dengan koordinat A(xA, yA), maka posisi A
dapat dinyatakan dengan vektor posisi
rA  xA i  yA j
rA  vektor posisi titik A
xA , y A  komponen vektor A pada sumbu X dan Y
i, j  vektor satuan untuk sumbu X dan Y
Vektor Posisi



Vektor Posisi adalah vektor yang
menunjukkan posisi benda dalam suatu
koordinat
Komponen vektor adalah proyeksi vektor
posisi pada sumbu koordinat
Vektor satuan adalah vektor yang
besarnya satu dan arahnya sejajar dengan
salah satu sumbu koordinat
vektor satuan i  untuk sumbu X
vektor satuan j  untuk sumbu Y
vektor satuan k  untuk sumbu Z
Andaikan partikel Bergerak pada lintasan
melengkung
VEKTOR POSISI
Vektor Posisi r1 = OA = x1 i + y1 j
y
A
Vektor Posisi r2 = OB = x2 i + y2 j
B
r
r1
O
Pergeseran = r = AB = r2 – r1
r2
x
= (x2 i + y2 j) - x1 i + y1 j
= (x2 - x1) i – (y2 - y1) j
= x i + y j
Vektor Posisi
Besar vektor posisi dinyatakan dengan:
rA  x A  y A
2
2
Besar sudut  antara vektor posisi rA
dengan sumbu-X ditentukan dengan:
yA
tan  
xA
Contoh (1)

Jika koordinat titik A (3, 4) dan titik B
(5, 12), tentukan:



vektor posisi titik A dan titik B
besar vektor posisi A dan B
sudut antara vektor posisi A dan B
terhadap sumbu-X
Contoh (2)

Posisi suatu benda merupakan fungsi waktu
dinyatakan dengan persamaan:
r (t )  2t i  3t j
3
2
dengan r dalam cm dan t dalam s, tentukan:
 vektor posisi benda saat t =1 s dan t =2 s
 besar vektor posisi benda saat t =1 s
dan t =3 s
 sudut antara vektor posisi benda saat t =1
s dan t =3 s dengan sumbu-X
Perpindahan

Jika sebuah benda berpindah dari
titik A (xA, yA) menuju titik B (xB, yB),
maka perubahan posisi atau
perpindahan benda dinyatakan
dengan:
r  rB  rA
 r  perubahan posisi atau perpindahan
Perpindahan
r  rB  rA
r  ( xB i  yB j )  ( xA i  y A j )
r  ( xB  xA )i  ( yB  yA ) j
 r  xi  y j
Perpindahan

Jarak atau besar perpindahan
dinyatakan dengan:
 r  x   y
2
2
r  besar perpindahan atau jarak
Contoh (3)

Sebuah benda berpindah dari titik A
(3, 4) menuju titik B (5, 12),
tentukan:


perpindahan benda
besar perpindahan benda
Contoh (4)

Posisi suatu benda merupakan fungsi
waktu dinyatakan dengan
persamaan:
3
2
r (t )  2t i  3t j
dengan r dalam cm dan t dalam s,
tentukan:


perpindahan benda dari t =1 s hingga
t=3s
besar perpindahan benda dari t =1 s
hingga t = 3 s
KECEPATAN
Perubahan posisi per satuan waktu
A. Kecepatan Rata-rata
y
A
V 
B
r
r1
O
r2
x
r
r r
 2 1
t
t 2  t1
Catatan :
Kecepatan rata-rata tidak tergantung lintasan
partikel tetapi tergantung pada posisi awal (r1) dan
posisi akhir (r2).
4.3
Kecepatan Rata-rata

Kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai
perubahan posisi (perpindahan) dibagi
selang waktu
r
v
t
v  kecepatan rata-rata
t  selang waktu
Kecepatan Rata-rata
 r xi  y j
v

t
t
x y
v
i
j
t
t
v  vx i  v y j
Kecepatan Rata-rata

Besar kecepatan rata-rata dinyatakan
dengan:
2
v  vx  v y
2
v  besar kecepatan rata-rata
v x , v y  komponen kecepatan rata-rata
pada sumbu X dan Y
Misalkan perpindahan sebuah benda titik ditentukan oleh:
x = -4t + 2t2
x dalam m dan t dalam s.
Tentukan:a) Perpindahan antara t = 0 dan t = 1s,
t = 1s dan t = 3s
•Kecepatan rata-rata pada selang waktu dipertanyaan (a).
•Kecepatan sesaat pada t = 3s
Jawab: a) x0 = 0
x1 = -4 + 2 = -2m
x3 = -4.3 +2.32 = -12 + 18 = 6m
x0-1 = x1 – x0 = -2 – 0 = -2 m
x1-3 = x3 – x1 = 6 – (-2) = 6 + 2 = 8 m
x0-1 = -2
•v0-1 = ------- = ----- = -2 m s-1
t
1
x1-3
8
8
v1-3 = -------- = ------- = ---- = 4 m s-1
t
3 -1
2
dx
•----- = -4 + 4t
dt
v3 = -4 + 4 . 3 = -4 +12 = 8 m s-1
Contoh (5)

Sebuah benda berpindah dari titik A
(3, 4) menuju titik B (5, 12), dalam
waktu 2 s tentukan:


kecepatan rata-rata benda
besar kecepatan rata-rata benda
Contoh (6)

Posisi suatu benda merupakan fungsi
waktu dinyatakan dengan persamaan:
r (t )  2t i  3t j
3
2
dengan r dalam cm dan t dalam s,
tentukan:


kecepatan rata-rata gerak benda dari t =1 s
hingga t = 3 s
besar kecepatan rata-rata gerak benda dari t
= 1 s hingga t = 3 s
Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai
perubahan posisi benda untuk selang
waktu mendekati nol
r d r
v  lim

t  0 t
dt
v  kecepatan sesaat
dr
 laju perubahan posisi benda
dt
Kecepatan Sesaat
d r d ( xi  y j )
v

dt
dt
dx dy
v i
j
dt
dt
v  vx i  v y j
Kecepatan sesaat

Besar kecepatan sesaat dinyatakan
dengan:
v  vx  v y
2
2
v  besar kecepatan sesaat
vx , v y  komponen kecepatan sesaat
pada sumbu X dan Y
Contoh (7)

Posisi suatu benda merupakan fungsi
waktu dinyatakan dengan persamaan:
r (t )  2t i  3t j
3
2
dengan r dalam cm dan t dalam s,
tentukan:


kecepatan benda pada saat t =1 s dan t = 3 s
besar kecepatan benda pada saat t = 1 s dan
t=3s
Percepatan Rata-rata

Percepatan rata-rata didefinisikan sebagai
perubahan kecepatan dibagi selang waktu
v
a
t
a  percepatan rata-rata
Percepatan Rata-rata
v vx i  v y j
a

t
t
v y
vx
a
i
j
t
t
a  ax i  a y j
Percepatan Rata-rata

Besar Percepatan rata-rata dinyatakan
dengan:
2
a  ax  a y
2
a  besar percepatan rata-rata
a x , a y  komponen percepatan rata-rata
pada sumbu X dan Y
Contoh (8)

Posisi suatu benda merupakan fungsi
waktu dinyatakan dengan persamaan:
r (t )  2t i  3t j
3
2
dengan r dalam cm dan t dalam s,
tentukan:


percepatan rata-rata gerak benda dari t =1 s
hingga t = 3 s
besar percepatan rata-rata gerak benda dari
t = 1 s hingga t = 3 s
Selesaikanlah
Posisi suatu benda merupakan fungsi waktu
dinyatakan dengan persamaan:
𝑟 = (2𝑡 3 + 𝑡 2 − 4𝑡 + 5)𝑖 + (3𝑡 2 + 4𝑡 + 10)𝑗 + ((2𝑡 + 5)𝑘
dengan r dalam cm dan t dalam s, tentukan:
Posisi partikel saat t = 1 s dan t = 3 s
kecepatan rata-rata gerak benda dari t =1 s hingga
t=3s
besar kecepatan rata-rata gerak benda dari t = 1 s
hingga t = 3 s
percepatan rata-rata gerak benda dari t =1 s hingga
t=3s
besar percepatan rata-rata gerak benda dari t = 1
s hingga t = 3 s
Percepatan Sesaat

Percepatan sesaat didefinisikan sebagai
perubahan kecepatan benda untuk selang
waktu mendekati nol
v d v
a  lim

t 0 t
dt
a  kecepatan sesaat
dv
 laju perubahan kecepatan benda
dt
Percepatan Sesaat
dv d (vx i  v y j )
a

dt
dt
dv y
dvx
a
i
j
dt
dt
a  ax i  a y j
Percepatan sesaat

Besar Percepatan sesaat dinyatakan
dengan:
a  ax  a y
2
2
a  besar percepatan sesaat
ax , a y  komponen percepatan sesaat
pada sumbu X dan Y
Contoh (9)

Posisi suatu benda merupakan fungsi
waktu dinyatakan dengan persamaan:
r (t )  2t i  3t j
3
2
dengan r dalam cm dan t dalam s,
tentukan:


percepatan benda pada saat t =1 s dan
t=3s
besar percepatan benda pada saat t = 1 s dan
t=3s
Gerak suatu benda ditentukan oleh v = (40 – 5t2) ms-1
Tentukan: a) Percepatan rata-rata pada selang waktu
t=0
dan t = 2s
b) Percepatan pada t = 2s
Jawab:
•v = 40 – 5t2, vo = 40 ms-1
v2 = 40 – 5.22 = 40 – 20 = 20 ms-1
v2 – v 0
Jadi ao-2 = ---------t2 – t0
20 – 40
-20
= --------- = ------ = -10 ms-1
2
2
•a = -10 t, t = 2  a = -20 ms-2
Menentukan Fungsi Kecepatan
dari Percepatan

Jika sebuah benda bergerak dengan
percepatan a, dan kecepatan awal v0,
maka fungsi kecepatan benda dapat
dirumuskan dengan
v  v 0   adt
Contoh (10)

Sebuah benda mula-mula diam, lalu
bergerak dengan percepatan:
a(t )  2ti  3 j 2
dengan a dalam m/s dan t dalam s,
tentukan:


kecepatan benda pada saat t =1 s dan
t=3s
besar kecepatan benda pada saat
t = 1 s dan t = 3 s
Menentukan Fungsi Posisi dari
Kecepatan

Jika sebuah benda bergerak dengan
kecepatan v, dan posisi awal r0, maka
fungsi posisi benda dapat dirumuskan
dengan
r  r 0   vdt
Contoh (11)

Sebuah benda mula-mula diam di titik
acuan, lalu bergerak dengan percepatan:
a(t )  2ti  3 j
dengan a dalam m/s2 dan t dalam s,
tentukan:


posisi benda pada saat t =1 s dan t = 3 s
jarak benda dari titik acuan pada saat t = 1 s
dan t = 3 s
Gerak Lurus Beraturan (GLB)

GLB adalah gerak benda dengan
lintasan berupa garis lurus dan
kecepatan tetap


r(t) = x(t)
v(t) = c
Gerak Lurus Beraturan (GLB)
d r dx
v

c
dt dt
dx
v
 gradien kemiringan garis
dt
dv
a
0
dt
Gerak Lurus Beraturan (GLB)
dx
v
c
dt
x  x0   vdt
x  x0   vdt  luas di bawah kurva
x  x0  vt
Animasi
Animasi
Dua benda A dan B mula2 berjarak 140 meter satu
sama lain A dan B bergerak berlawanan arah dengan
kecepatan masing2 8 m/s dan 6 m/s. A bergerak
5 detik lebih dulu.
a. Setelah berapa detik keduanya bertemu
b. Dimana A dan B bertemu
2. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan awal
5 m/s semula terletak 10 m di sebelah kanan acuan
Partikel dipercepat dengan percepatan 2 m/s2
Tentukan
a. persamaan gerak benda
b.Posisi, perpindahan dan kecepatannya selama 2 s
c. Posisi dan jarak yang ditempuh partikel saat
kecepatannya 15 m/s
1. Dua benda semula berjarak 500 m bergerak lurus
saling mendekat. A bergerak dengan kecepatan
tetap 5 m/s dan B bergerak dipercepat 2 m/s dari
keadaan diam. Kapan dan dimana
Keduanya bertemu
2. Sebuah mobil dipercepat dari keadaan diam denga
n percepatan konstan 2 m/s2 Tentukan:
a. Kecepatannya setelah 4 s
b. Jarak yang ditempuh selama 4 s
c. Kecepatan rata2 dari t = 0 s/d t = 4 s
3.Sebuah mobil bergerak sepanjang garis lurus dengan
kecepatan rata2 72 km/jam selama 3 jam dan kemudian
Dengan kecepatan 36 km/jam selama 5 jam.
Tentukan perpindahan total selama 8 jam
A – B = 140 m
D1
B
A
tA = tB + 5
vA = 8 m/s
vB = 6 m/s
tA = ............?
XA = .........................XB
A bertemu B berarti XAB = XA + XB
XAB = vA.tA + vB.tB
140 = 8 (tB + 5) + 6.tB
140 - 40 = 8tB + 6.tB
tB =100/14
s , tA = 17014
s
Gerak Lurus Berubah
Beraturan (GLBB)

GLBB adalah gerak benda dengan
lintasan berupa garis lurus dan
percepatan tetap



r(t) = x(t)
v(t) = vx(t)
a(t) = c
Gerak Lurus Berubah
Beraturan (GLBB)
dv
a
c
dt
dv
a
 gradien kemiringan garis
dt
v  v0   adt
v  v0  at
Gerak Lurus Berubah
Beraturan (GLBB)
dx
v
 v0  at
dt
x  x0   vdt
x  x0   vdt  luas di bawah kurva
•Dara berlari lurus ke selatan dengan kelajuan
• tetap 8 m/s selama 1 menit.
Kemudian berbalik ke utara dan berlari
lurus dengan kelajuan yang sama selama 20 sekon.
Jika arah utara sebagai arah positip maka kelajuan rata-rata
•dan kecepatan rata-rata Dara adalah … .
1.2 m/s dan 4 m/s
2.4 m/s dan 2 m/s
3.8 m/s dan 2 m/s
4.8 m/s dan 4 m/s
5.4 m/s dan 8 m/s
Gerak Lurus Berubah
Beraturan (GLBB)
x  x0   vdt
x  x0   (v0  at )dt
2
1
x  x0  v0t  2 at
Contoh (12)

Sebuah benda bergerak lurus sepanjang sumbu-X
mengikuti grafik fungsi waktu di bawah. Tentukanlah:
 percepatan rata-rata benda dari t = 1 s hingga
t = 5 s, dan dari t = 3 s hingga t = 6 s
 percepatan benda pada saat t = 1 s, 3 s, 5 s, dan
6s
 Jarak tempuh benda dari t = 0 hingga t = 4 s, dan
dari t = 2 s hingga t = 7 s
v (m/s)
30
2
4
7
t (s)
Turunan (Diferensial)

Jika x merupakan fungsi waktu dengan
persamaan x(t ) = ct n, maka turunan x
terhadap waktu dirumuskan dengan
dx
n 1
x '(t ) 
 nct
dt
Contoh

Tentukan turunan fungsi x dan y
terhadap t untuk persamaan-persamaan
berikut:




x = 3t 5 + 2t 4 + 4t 3
y = t 4 + 5t 3 + 3t 2
x = 2t 3 + 4t 2 + t
y = 5t 2 + 3t + 2
Kembali
Integral

Integral adalah operasi matematika
yang merupakan kebalikan dari
diferensial (turunan)
Integral

Jika x’ (t) merupakan fungsi turunan x
terhadap t dengan persamaan:
dx
x '(t ) 
 ct n
dt
maka x sebagai fungsi waktu
dirumuskan dengan
c n 1
x(t )  x0   x '(t )dt  x0 
t
n 1
Contoh

Selesaikan persamaan-persamaan
integral berikut:
a.  (10t 4  4t 3 ) dt  . . .
b.  (9t  2t ) dt  . . .
2
c.  (5t 4  7)dt  . . .
d.  (8t  3t )dt  . . .
3
2
Kembali
Contoh Soal
GERAK TRANSLASI 1- DIMENSI
Perpindaha n : x  x  x0 arah :  atau x  x0
x
Kecepatan rata - rata : v 

t  t0
t
panjang lintasan yg ditempuh
l
Laju rata - rata : v 

selang waktu yang ditempuh
t
dx
Kecepatan sesaat : v 
dt
v  v0
v
Percepatan rata - rata : a 

t  t0
t
dv d 2 x
Percepatan sesaat : a 

dt
dt 2
Gerak Khusus
GERAK DENGAN PERCEPATAN TETAP (1 D)
Persamaan
Kinematika
t
1) vt  v0 
 adt
0
vt  v0  a (t  t 0 )
t
2) xt  x0 
 (v
0
 at ) dt
1
2
at 2
0
xt  x0  v0t 
3) vt2  v02  2a ( xt  x0 )
4) x 
1
2
vt
 v0  t
ANALISA GRAFIK
x
v
t
t
-Kemiringan
-Luas
-Rata-rata
a
t
Selesaikanlah
1. Sebuah benda bergerak dari keadaan
diam dengan percepatan konstan 8 m/s2
di sepanjang garis lurus. Tentukan:
A. Laju setelah 5 detik
B. Laju rata2 pada interval 5 detik
C. Jarak yang ditempuh dalam 5 detik
2. Laju sebuah truk meningkat beraturan
dari 15 km/jam menjadi 60 km/jam dalam
waktu 20 detik. Tentukan:
A. Laju rata2
B. Percepatan
C. Jarak yang ditempuh.
𝑎. 𝑣𝑥 = 𝑣0 + at = 0 + 8.5
𝑚
𝑠
b.
𝑣𝑥 = 40
𝑣0+ 𝑣𝑥
V=
2
c. 𝑥 = 𝑣0. 𝑡 +
=
𝑚
𝑠
0+40
= 20 m/s
2
1
1
2
𝑎𝑡 = 0 + 2 8.52 = 100 𝑚
2
𝑎. 𝑣𝑜 =
𝑣𝑥 =
b.
𝑣=
15.103 𝑚
3600 𝑠
60.103 𝑚
3600 𝑠
𝑣0+ 𝑣𝑥
2
= 4,17
𝑚
𝑠
= 16,7
=
c. 𝑥 = 𝑣0. 𝑡 +
𝑚
𝑠
0+40
2
=
𝑚
20 𝑠
1
1
2
𝑎𝑡 = 0 + 2 8.52 = 100 𝑚
2
Gerak Khusus
GERAK DENGAN PERCEPATAN TETAP (2D)
Arah x
Arah y
t
t
a
v x  v0 
x
v y  v0 
dt
t
0x
 a x t ) dt
t
y  y0 
t0
x  x0  v0 x t 
1
2
v x
 (v
0y
 a y t ) dt
t0
1
2
axt 2
v x2  v 02  2a x ( x  x 0 )
x
dt
v y  v0  a y t
v x  v0  a x t
 (v
y
t0
t0
x  x0 
a
 v0 x  t
y  y 0  v0 y t 
1
2
a yt 2
v y2  v 02 y  2a y ( y  y 0 )
y 
1
2
v
y
 v0 y  t
GERAK VERTIKAL
KETEORI
ATAS
DASAR

V
Agar benda
dapatbergerak ke
atas maka benda
harus mempunyai …,
pada saat benda
berada di titik puncak
kecepatan benda ….
Rumus penting:
a) Vt=vo-gt
b) ht=vot-½ gt2
c) vt2=vo2-2gh
Keterangan rumus :
Vo = kecepatan awal (m/s)
Vt = kecepatan pada saat t (m/s)
t = waktu benda bergerak (s)
g = percepatan gravitasi (m/s2)
h = panjang lintasan benda bergerak (m)
CONTOH
1
1. Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal
20 m/s, ketinggian maksimum yang dicapai adalah
……m
Penyelesaian:
diketahui: Vo= 20 m/s
g = 10 m/s2
ditanya : h ?
Vt2=Vo2-2gh
h = Vo2/2g
= ( 202 )/ 2.10
= 20 m
jawab: Pada saat benda dititik tertinggi,
kecepatan benda nol (vt = 0 )
Benda dilempar dengan kecepatan tertentu sehingga mencapai
tinggi maksimum 80 m. Besarnya kecepatan awal benda adalah … m
catatan : Nilai percepatan gravitasi bumi adalah 10 m/s2
LATIHAN 1
1. Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 20
m/s, Maka waktu yang digunakan untuk mencapai titik
tertinggi adalah … sekon.
2. Benda dilempar dengan kecepatan tertentu sehingga
mencapai tinggi maksimum 80 m. Besarnya kecepatan
awal benda adalah … m/s.
4.3
GERAK PELURU
 Merupakan gerak pada bidang datar yang lintasannya berbentuk
parabola
 Percepatan pada gerak peluru adalah tetap
vo

vox i  voy j
v ox  v o cos 
v oy  v o sin 
v  v o  gt
Kecepatan
(catatan a = -g)
= ( v ox i + v oy j ) - gtj
= v ox i  ( v oy  gt ) j
= v xi  v y j
v x  v ox
v y  v oy  gt
4.5
r = xi + yj
Posisi
x  vox
 (vox i  voy j )t  1 2 gt 2 j
y  voy  1 2 gt 2
 vox i  (voy  1 2 gt ) j
2

Waktu yang diperlukan peluru untuk mencapai titik tertinggi (A)  vy = 0
v y  voy  gt
0  voy  gt

t
voy
g

vo sin 
g
Tinggi maksimum (h)
h  voyt  12 gt 2
v0 sin 
h
2g
2
 v0 sin 
 v0 sin 
1
÷
÷
 v0 sin 
÷ 2 g 
÷
 g 
 g 
2
2
4.6

Waktu untuk mencapai titik terjauh (B)  y = 0
t

2vo sin 
g
Jarak terjauh yang dicapai peluru
R
 v ox t
 v ox


2 v o sin 
g
2
2 v 0 sin  cos 
g
2
v 0 sin 2
g
Catatan :
Jarak terjauh maksimum jika  = 45o
4.7
RANGKUMAN
Komponen x
Komponen y
Posisi
Kecepatan
Percepatan
4.8
Contoh Soal
1. Sebuah pohon mangga yang sedang berbuah berada pada jarak 10 m dari seorang
anak. Anak tersebut seang mengincar sebuah mangga yang menggantung pada
ketinggian 8 m. Jika anak tersebut mengarahkan batu pada sudut 450 terhadap
horisontal, berapa kecepatan lemparan supaya batu mengenai sasaran ? Percepatan
gravitasi 10 m/s2.
Jawab :
Y
Jarak mendatar
: x = 10 m
Ketinggian
:y=8m
Sudut elevasi
: α0 = 45 0
Vy
Percepatan gravitasi : g = 10m/s2
Vox = Vo.cos α0 = Vo.cos 450 = ½.√2.Vo
Vo.sin 450
Vo.cos 450
10 m
Voy = Vo.sin α0 = Vo.sin 450 = ½.√2.Vo
X = Vo.t
Vx
45 0
Voy = Vo.sin α0 = Vo.sin 450 = ½.√2.Vo
- Untuk jarak horisontal
Vt
8m
X
- Untuk jarak vertikal
10 = ( ½. √2.Vo).t
Y
= (1/2 √2.Vo).(20/(Vo.√2) – ½.(10)(20/(Vo. √2)2
t = 20/(Vo.√2)
8
= 10 – 5.(20X20)/(2.Vo2)
Y = Voy.t – 1/2gt2
Vo2 = 5(10X20) / 2 = 500, Vo = 10 √5 m/s
Jadi kecepatan lemparan adalah 10 √5 m/s
4.14
2. Sebuah pesawat penyelamat terbang dengan
kecepatan 198 km/jam pada ketinggian 500 m
diatas permukaan laut, dimana sebuah
perahu mengalami kecelakaan, pilot pesawat
akan menjatuhkan kapsul penyelamat untuk
meyelamatkan penumpang perahu. Berapa
sudut pandang pilot supaya kapsul jatuh
tepat pada korban ?
φ
h
Diketahui :
x
φ = tan -1
h
y - y 0 = ( v 0 sin θ 0 ) t - 1 g t 2
2
1
- 500 m = ( 55.0 m / s ) (sin 0o) t - ( 9.8 m / s2 ) t 2
2
Sehingga didapat t = ± 10.1 s (ambil nilai positif)
x - x 0 = ( v 0 cos q 0) t
x - 0 = (55 .0 m / s ) (cos 0 o) (10 .1 s )
Sehingga didapat :

X = 555 ,1m
φ = tan -1
555.5 m
= 48 
500 m
4.15
Gerak Melingkar
Sama halnya dengan gerak lurus,
pada gerak melingkar:
-
GMB (Gerak Melingkar Beraturan)
GMBB (Gerak Melingkar Berubah
Beraturan)
GMB
GMB adalah gerak
suatu benda pada


2

.
f
lintasan
yang
dalam
setiap
perubahan
f = frekuensi
posisinya
selalu T = Periode
memiliki kecepatan
sudut yang sama.
ω = konstan
2

T
Apa yang dimaksud dengan
gerak melingkar?
Gerak suatu benda
dalam
sebuah
lintasan
yang
berbentuk lingkaran
Apakah yang perlu
diketahui dari gerak
melingkar?
1 putaran = 360o
Apakah sudut memiliki satuan?
1 putaran = 2π rad
1 rad = …. o
Posisi benda dalam geraknya
pada lintasan (θ)
Pada geraknya benda dalam lintasan, benda
akan selalu berpindah posisi. Posisi benda
ini selalu terhitung dalam satu posisi
acuan yang sama
GMB
Δv
P2
vo
P1
∆𝑣 𝑃1𝑃2 𝑉∆𝑡 ∆𝑣 𝑣 2
=
=
→
=
𝑣
𝑅
𝑅
∆𝑡
𝑅
Kecepatan sudut (ω)
Kecepatan sudut adalah besarnya
perubahan sudut yang dialami
oleh benda selama bergerak
dalam lintasan lingkaran dalam
selang waktu.
Definisi kecepatan sudut rata-rata:


t


Karena 𝑎 =
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 ∆𝑣
, maka 𝑎𝑁
∆𝑡 →0 ∆𝑡
=
𝑣2
𝑅
𝑎𝑁 adalah percepatan
normal,sentripetal,radial yang arahnya
selalu menuju poros linkaran
ds
V
dt
d
V
R
dt

d
dt
v
R
𝜔
𝑑𝜃
𝑑𝑡
dan
𝑣 = 𝜔. 𝑅
𝑣 2 (𝜔𝑅)2
𝑎𝑁 = =
𝑅
𝑅
= 𝜔2 𝑅
Kecepatan sudut rata-rata (ω)
Δθ
Δt
= Perubahan posisi benda
= selang waktu yang dibutuhkan benda


t
Contoh soal
Bulan berputar mengelilingi bumi dan kembali ke
tempat semula dalam waktu 29 hari. Jika radius antara
bumi dan bulan 38,4.104 km. Tentukan
a. Kecepatan linier
b. Kecepatan anguler
c. Percepatan sentripetal
Jawab:
∅ = 2𝜋𝑅 = 2𝜋38.4107 m , T = 28x24x3600
𝜃
2𝜋38,4𝑥107
241,152𝑥107
𝑚
𝑣= =
=
= 962,5
𝑇
29𝑥24𝑥3600
2505600
𝑠
𝑣
962,5
𝑟𝑎𝑑
−7
𝜔= =
= 3,99 10
7
𝑅 241,152𝑥10
𝑠
𝑣2
(962,5)2
926406,25
𝑚
−4
𝑎𝑁 =
=
=
= 3,8410
7
7
𝑅
241,152𝑥10
241,152𝑥10
𝑠2
Sebuah roda yang diameternya 3 m
Kecepatan angulernya berkurang
Dari 100 rpm saat t=0 hingga ber
Henti saat t = 4 s. Hitunglah percepatan
Sudut di tepi roda pada t = 2 s
o = 100 . 2/60 rad/s = 10  /3 rad
= 0
= /t = 10  /3/4 = -5 /6 rad/s
Vs = R =3/2 x 5 /6 m/s
2 = o + t = 10  /3 -5 /6 x 2
2 = 5 /3d/s, at = v2/R = 2.R
at = 5 /3 x 3/2 = 5  /2 rad/s2
GMBB
GMBB adalah gerak suatu benda
pada lintasan yang dalam setiap
perubahan posisinya kecepatan
sudut yang dimilikinya berubah.
Kecepatan sudutnya itu berubah
beraturan dalam setiap waktunya.
GMB
Pada GMB benda memiliki kecepatan sudut
tetap, sehingga persamaan posisi benda
dalam lintasan yang dilaluinya:
θ = θo + ω.t
θ
θo
ω
t
=
=
=
=
Posisi akhir (rad)
Posisi awal (rad)
kecepatan sudut (rad/s)
selang waktu (s)
Apakah posisi dan
kecepatan sudut
memiliki arah?
Pada gerak melingkar, besaran posisi
dan kecepatan sudut juga memiliki
arah. Namun arahnya tidak dapat
disamakan dengan gerak lurus.
Bagaimanakah arah dari gerak
melingkar?
And how about direction?
Rules
Anticlockwise:
θ > 0 (positive)
ω > 0 (positive)
Clockwise:
θ < 0 (negative)
ω < 0 (negative)
Percepatan Sudut (α)
Dalam GMBB, kecepatan sudut berubah
secara teratur dalam selang waktu yang
sama oleh karena faktor percepatan
sudut (α). Besar percepatan sudut:


t
Percepatan Sudut Rata-rata (α)

  o
t  to
α
= percepatan sudut (rad/s2)
ω
ωo
t – to
= kecepatan sudut akhir (rad/s)
= kecepatan sudut awal (rad/s)
= selang waktu (s)
Formulasi Pada GMBB
Persamaan 1 :
   o  o .t  . .t
1
2
2
GMBB
Persamaan 2 :
t  o   .t
Persamaan 3 :
t  o  2. .   o 
2
2
Adakah hubungan antara gerak
melingkar dengan gerak linear?

Gerak Melingkar

Gerak Linear
Hubungan posisi sudut dengan
posisi linear
S  S o     o .R
R = Jari-jari lintasan (m)
S = posisi linear akhir (m)
So = posisi linear awal (m)
θ = posisi sudut akhir (rad)
θo = posisi sudut awal (rad)
Hubungan kecepatan sudut
dengan kecepatan linear
v = ω.R
V = kecepatan linear (m/s)
ω = kecepatan sudut (rad/s)
R = jari-jari lintasan (m)
Percepatan sudut dengan
percepatan linear
a = α.R
a = percepatan linear (m/s2)
α = percepatan sudut (rad/s2)
R = Jari-jari lintasan (m)
Hubungan Antar Gerak
Melingkar
Gerak Melingkar Seporos
Jika R1 < R2
θ1 = θ2 dan S1 <
S2
1  2
V1
R1

V2
R2
Gerak Melingkar
Bersinggungan
Ketika R1 < R2
S1 = S2 dan θ1 >
θ2
v1 = v2 atau
ω1.R1 = ω2.R2
Gerak Melingkar Dengan
Sabuk
Ketika R1 < R2
S1 = S2 dan
θ1 > θ2
v1 = v2 atau
ω1.R1 = ω2.R2
Hubungan Antar Roda-Roda
Hubungan Antar Roda
Soal
Tentukan kecepatan sudut dan kecepatan
linier dari roda-roda di bawah ini:
v A  10 m/s
A
B
C
D
RA  10 cm
R B  6 cm
RC  8 cm
R D  15 cm
SOAL
Sebuah sepeda
bergerak
dengan
kecepatan 10 m/s. Jika R1 = 10 cm,
R2 = 5 cm, dan R3 = 30 cm.
Berapakah kecepatan sudut gear
pada kaki saat sepeda itu bergerak?
3
2
1
Soal
Sebuah mesin pengrata aspal bergerak dengan
kelajuan 5 m/s. Jika R1 dan R2 panjangnya
10 cm dan 20 cm, maka kecepatan sudut
masing-masing roda dari mesin tersebut
adalah…
1
2
Percepatan Sentripetal
Setiap benda yang mengalami gerak
melingkar akan selalu memiliki
percepatan sentripetal yang arahnya
selalu menuju pusat rotasi.
4.4 GERAK MELINGKAR
y
v
Gerak yang lintasannya berbentuk lingkaran.
r
x,y
x
4.4.1 Gerak Melingkar Beraturan
 Lintasan mempunyai jarak yang tetap terhadap pusat
 Besar kecepatan tetap, arah selalu menyinggung arah lintasan
(berubah)
v
v
a
a
v
a
Percepatan
Sentripetal :
v2
a
r
4.9
ds = r dθ
ds
r
d
v =


Kecepatan sudut :
Kecepatan

: v

ds
dt
= r
dθ
dt
d
dt
r
atau

v
r
4.4.2 Gerak Melingkar Berubah Beraturan
 Gerak melingkar dengan kecepatan berubah, baik arah
maupun besarnya
aT
a
 Perubahan besar kecepatan  Percepatan singgung
(tangensial)
ar
 Perubahan arah kecepatan  Percepatan radial
4.10
Percepatan Sentripetal :
Percepatan Sudut :
dω
a=
dt
v2
a =
r
Percepatan partikel tiap saat
a = a r + aT
a =
 
arctg
a r 2  at 2
ar
aT
4.11
Analogi gerak melingkar beraturan dengan gerak lurus berubah beraturan
Gerak Lurus
Gerak Melingkar
4.12
4.5
GERAK RELATIF
• Gerak benda yang berpangkal pada kerangka acuan
yang bergerak
• Benda dan kerangka acuan bergerak terhadap kerangka
acuan diam
4.13
Posisi Partikel pada Suatu
Bidang
Posisi Partikel pada
bidang
r = xi + yj
Perpindahan pada garis
lurus
Δx = x2 - x1
Contoh:
r=5i+4j
Panjang r ditulis |r| = |0A|
|r | = √ (52 +42)
= √(25 + 16)
= √41 satuan
KECEPATAN SUATU
TITIK MATERI


Gerakan titik materi secara keseluruhan
dapat diamati jika posisinya setiap saat
diketahui.
Seberapa cepat letak titik materi itu
berubah setiap saat disebut :
KECEPATAN.
PERHATIKAN………..!
Titik materi yang bergerak dari
A yang posisinya r1 pada saat t1,
ke titik B yang posisinya r2 pada
saat t2.
Vektor perpindahannya Δr = r2 - r 1
dan selang waktu yang dipergunakan titik
materi untuk bergerak dari A ke B adalah
Δt = t2 - t1
Kecepatan rata-rata didefinisikan :
kecepatan rata-rata tidak tergantung pada
lintasan titik materi, tetapi tergantung dari
posisi awal ( r1 ) dan posisi akhir (r2).
Jika kita ingin mengetahui kecepatan titik materi
pada suatu saat misal saat titik materi berada di
antara A dan B, digunakan kecepatan sesaat.
Jadi kecepatan sesaat merupakan turunan
pertama dari posisi terhadap waktu (t)
Kelajuan
Besarnya kecepatan disebut dengan laju
Laju didefinisikan sebagai :
Laju dapat pula berarti panjang lintasan
dibagi waktu yang bersangkutan.
Nilai dari komponen kecepatan sesaat
dari suatu titik materi dapat dilihat dari
kemiringan grafik yang dibentuk
oleh komponen posisi ( r ) terhadap
waktu ( t ).
Persamaan kecepatan sesaat
dari grafik di samping di dapat
:
v1 = tg α1
v2 = tg α2
Makin besar derajat
kemiringannya makin
besar pula harga
kecepatannya.
Posisi dari suatu titik materi yang
bergerak merupakan fungsi waktu, oleh
karena itu, vektor posisi r dapat ditulis
sebagai r = r ( t ) artinya r merupakan
fungsi waktu ( t ).
Kecepatan titik materi pada sebuah
bidang datar/ruang dapat ditulis :
X, Y, Z merupakan fungsi dari waktu
Sebaliknya untuk menentukan posisi titik
materi jika diketahui fungsi
kecepatannya maka dapat diselesaikan
dengan INTEGRAL ( kebalikan dari
deferensial ).
Contoh soal………..
Suatu benda bergerak sepanjang sumbu-x
mengikuti persamaan x = 2t3 + 5t2 – 5 dengan x
dalam meter dan t dalam detik.
a. Tentukan persaman kecepatan dan persamaan
percepatan.
b. Tentukan posisi, kecepatan dan percepatan
pada t = 2 s.
c. Tentukan kecepatan rata-rata antara t = 2 s dan
t = 3 s.
PERCEPATAN
Kecepatan titik materi dapat berubah-ubah setiap
saat baik besar, atau arah, ataupun keduaduanya yang disebabkan oleh karena adanya
percepatan yang dialami oleh titik materi
tersebut.
Jika pada saat t1 kecepatannya v1 dan pada saat
t2 kecepatannya v2, maka percepatan rataratanya dalam selang waktu Δt = t2 - t1
didefinisikan sebagai :
Percepatan merupakan turunan pertama dari
kecepatan terhadap waktu (t) atau turunan
kedua dari posisi terhadap waktu (t).
Percepatan sesaat dari suatu titik materi
dapat dilihat dari kemiringan komponen
grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t).
dari grafik di
samping besar
percepatan sesaat :
a1 = tg α1
a2 = tg α2
Percepatan dalam arah masing-masing
sumbu dalam bidang/ruang dapat
dituliskan sebagai :
Sebaliknya untuk menentukan kecepatan
dari grafik fungsi percepatan terhadap
waktu dengan cara mengintegralkan :
KESIMPULAN: