makalah semnas UMM2010-word03

Poincare Map of a Time Periodic Ordinary Diferential Equation
Dwi Lestari
FKIP, Universitas Ahmad Dahlan
Email: [email protected]
Abstract
This Paper explain about periodically forced oscillators. An importance of poincare map to know
dynamic of a system. This technique offers several advantages in the study of ordinary diferential
equation (ODE) such as dimensial reduction. In this occasion will be examined what happens for δ = 0 .
In this case involve Harmonic Response, Subharmonic Response of Order m, Ultraharmonic Response of
Order n, Ultrasubharmonic Response of Order m,n, and Quasiperiodic Response. Those are depend on the
relationship of ω to ω 0 . Beside, using a pigeon hole principle to explain that the orbit of the point
densely fills out a circle on the cross section which correspondens to an invariant two-torus in x − y − θ
space.
Keyword : poincare map, periodic orbit, ODE
1
I. Pendahuluan
Poincare map merupakan suatu pemetaan yang digunakan untuk mempelajari
kestabilan dan bifurkasi dari orbit periodik. Poincare map atau first return map
didefinisikan oleh Henri Poincare pada tahun 1881. Pembentukan poincare map yakni
dari flow atau kurva solusi medan vektor (vector field) yang diberikan. Langkah
pembentukan poincare map bisa dengan menentukan bidang pemotong (cross section)
atau periodenya terlebih dahulu.
Pada makalah ini akan diberikan contoh sistem persamaan diferensial biasa.
Selanjutnya akan dipelajari dinamik orbit periodik sistem tersebut untuk kasus δ = 0 .
Hal ini tergantung pada hubungan ω dan ω0. Beberapa kasus yang akan dibahas meliputi
Harmonik response, Subharmonics response of order m, Ultraharmonic response of
order n, Ultraharmonic response of order m,n, serta Quasiperiodic response. Selain itu
akan diberikan contoh sistem dari pasangan osilator melalui pemetaan lingkaran.
II. Tinjauan Literatur dan Metode
Dalam penulisan makalah ini digunakan beberapa literatur yang meliputi aljabar,
kombinatorik, analisis, dan persamaan diferensial non linear serta sistem dinamik.
Adapun literatur aljabar untuk mempelajari mengenai persamaan karakteristik suatu
persamaan diferensial serta nilai eigen suatu matriks. Literatur kombinatorik dan
analisis digunakan untuk membuktikan bahwa setiap kurva fase pada sistem yang
diberikan everywhere dense. Literatur persamaan diferensial non linear dan sistem
dinamik digunakan untuk mempelajari poincare map serta orbit periodik. Metode yang
digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur yakni dari buku-buku referensi.
III. Pembahasan
Poincare map atau first return map didefinisikan oleh Henri Poincare pada tahun
1881. Ide pembentukan poincare sangat sederhana. Berikut ini merupakan definisi
poincare map.
Definisi 1
Diberikan Γ adalah orbit periodik dari sistem
.
x = f ( x)
(1)
2
yang melalui titik x0 dan Σ merupakan bidang pemotong yang tegak lurus dengan Γ
pada x0. Untuk sebarang x ∈ Σ yang cukup dekat dengan x0, solusi persamaan (1)yang
melalui x saat t=0 yakni φt ( x) , akan memotong Σ kembali pada titik P(x) yang dekat
dengan x0. Pemetaan xP(x) ini disebut poincare map. Perhatikan Gambar 1.
Selain itu, poincare map juga didefinisikan saat Σ merupakan permukaan yang
smooth pada titik x0 ∈ Γ yang tidak menyinggung Γ pada x0 . Dalam hal ini, Σ
dikatakan memotong kurva Γ secara transversal pada x0.
P(x)
Σ
x
x0
Γ
Gambar 1. Poincare Map.
Diberikan ODE :
(2)
dengan
pada open set
.
Andaikan waktu pada persamaan (2) periodik dengan periode
, artinya
(3)
Selanjutnya, diberikan contoh osilator linear periodik (periodically forced linear
osilators) yang memiliki bentuk sebagai berikut.
Contoh 1:
(4)
Persamaan differensial homogennya persamaan (4) adalah
(5)
Persamaan karakteristik dari (5) yakni sebagai berikut:
3
Untuk
, maka solusi homogen
dari (4) ada 3 kasus tergantung dari tanda
.
Kasus 1.
, maka solusi homogennya:
Untuk
Kasus 2.
Untuk
, maka
, sehingga solusi homogennya :
Kasus 3.
Untuk
, maka akar-akarnya kompleks dengan :
Pada makalah ini, akan dibahas mengenai apa yang terjadi jika nilai δ = 0 , artinya tidak
ada redaman pada masalah osilator linear periodik.
Poincare Map untuk
Untuk δ = 0 , persamaan differensial (4) menjadi
(6)
Persamaan (6) diubah ke bentuk persamaan diferensial orde satu yakni diperoleh sistem
sebagai berikut :
(7)
Persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk sistem autonomous, yakni
,
,
(8)
,
Flow yang dihasilkan oleh (8) adalah
(9)
Diperhatikan kembali persamaan (6), persamaan karakteristiknya adalah
4
Solusi homogen persamaan (6) adalah
(10)
Misalkan solusi khusus persamaan (6) yaitu:
(11)
(12)
(13)
Jika persamaan (11) dan (13) disubstitusikan pada persamaan (6), serta diasumsikan
ω ≠ ω maka diperoleh
0
(i).
(14)
(ii).
(15)
Jadi, solusi khusus (6) adalah
(16)
Jadi, solusi umum persamaan differensial (6) yaitu :
(17)
Oleh karena itu, diperoleh nilai x(t) dan y(t) sebaga berikut.
atau ditulis:
,
(18)
dan
,
(19)
dengan
,
(20)
Jika diberikan syarat awal
dan
5
maka diperoleh konstanta
dan
yaitu :
(21)
Jika
disubstitusikan pada persamaan (18) dan (19), maka diperoleh
dan
Dengan menghilangkan subskrip “0” pada x dan y, diperoleh Poincare Map :
(22)
Selanjutnya akan dibahas orbit periodik dari poincare map yang tergantung hubungan
dari
dan
.
1). Respon Harmonik
−
Diberikan titik (x,y) = ( A ,0)
(23)
yakni titik tetap P yang berkorespondensi dengan solusi (8) dengan frekuensi ω .
Selanjutnya akan di deskripsikan secara geometri dari solusi persamaan (8). Persamaan
(23) berkorespondensi dengan solusi yakni
−
x(t) = A cos ω t,
−
y(t) = - A sin ω t
(24)
Jika solusi di gambarkan pada bidang x-y, seperti gambar 2 tampak sebagai lingkaran
yang tertutup setelah periode 2π
ω . Jika solusi di gambarkan pada bidang x-y- θ ,
seperti gambar 3 tampak sebagai suatu spiral pada permukaan suatu silinder. Karena θ
adalah periodik, gabungan ujung silinder membentuk suatu torus, dan trayektori suatu
kurva pada permukaan torus. Torus memiliki dua sudut sebagai parameter, sudut θ
sudut longitudinal (membujur) dan sudut θ 0 sudut latitudinal (melintang). Gambar 2
6
menunjukkan cara yang lebih mudah yang dapat merepresentasikan informasi. Pertama
Jika torus dipotong terbuka, kedua ujung torus seperti gambar 3. Jika dipotong secara
membujur dengan sudut θ dan dibentang akan berupa segiempat seperti gambar 4.
Gambar 2. Torus
Gambar 3 Torus yang telah dipotong
Gambar 4 Torus yang telah dipotong melintang
2) Respon Subharmonik orde m
Misalkan ω = m ω 0 , m > 1
(m adalah bilangan bulat)
(25)
−
Untuk semua titik pada ∑ kecuali (x,y) = ( A ,0) adalah titik periode ke-m.
Persamaan (25) dan (18)-(19) menyatakan bahwa x(t) dan y(t) mempunyai frekwensi
ω
m
. Jadi setelah waktu t = 2π
artinya θ 0 menjadi 2π
m
ω , solusi berputar dengan sudut
2π
m
pada bidang x-y,
. Selanjutnya solusi membentuk m lintasan membujur dan satu
lintasan melintang di sekitar torus sebelum closing up. Irisan trayektori dengan θ 0 = 0
diperoleh m
titik berbeda dengan Poincare map P. Solusi seperti ini disebut
Subharmonik orde m .
7
3) Respon Ultraharmonik orde n
Misalkan n ω = ω 0 , n > 1 (n adalah bilangan bulat)
(26)
−
Semua titik pada ∑ kecuali (x,y) = ( A ,0) merupakan titik tetap dari poincare map.
Persamaan (26) dan (18)-(19) menyatakan bahwa x(t) dan y(t) mempunyai frekwensi
n ω . Artinya setelah waktu t = 2π
ω , solusi berputar dengan sudut 2π n sebelum closing
up . Karena 2π n = 2π (mod 2 π ), ini menjelaskan kenaturalan titk tetap Poincare map
P, yang mengakibatkan solusi membentuk n lintasan melintang dan satu lintasan
membujur di sekitar torus sebelum closing up. Solusi seperti ini disebut Ultraharmonik
orde n.
4) Respon Ultrasubharmonik orde m,n.
Misalkkan n ω = m ω 0 , m,n > 1 (m, n adalah bilangan bulat prima)
(27)
−
Analog pada bagian (2) dan(3), bahwa semua titik pada ∑ kecuali (x,y) = ( A ,0) adalah
titik dengan periode m yang berkoresponden dengan trayektori yang mengakibatkan m
lintasan membujur dan n lintasan melintang di sekitar torus sebelum closing up. Solusi
seperti ini disebut ultrasubharmonik orde m, n.
5) Respon Quasiperiodik
Misakan ω
ω0 = bilangan irrasional
(28)
−
maka untuk semua titik pada ∑ kecuali (x,y) = ( A ,0), orbit dari titik dense di luar
lingkaran pada ∑ yang berkoresponden dengan invarian dua torus pada ruang x-y- θ .
Lebih jelasnya, pada contoh berikut.
Contoh 2:
Studi Pasangan Osilator melalui Pemetaan Lingkaran
Diberikan sistem order dua yang terdiri atas pasangan osilator linear, yakni
..
x + ω12 x = 0
..
y + ω22 y = 0
(29)
8
Atau ditulis sebagai sistem berikut.
.
x1 = x2
.
x2 = −ω12 x1
.
y1 = y2
, (x1, x2, y1, y2) ∈ R
4
(30)
.
y2 = −ω22 y1
Sistem (30) dapat diintegralkan sehingga diperoleh dua fungsi berikut
x22 ω12 x12
h1 =
+
2
2
h2 =
y22 ω22 y12
+
2
2
(31)
Kurva ketinggian dari fungsi pada (31) merupakan himpunan kompak. Oleh karena itu,
orbit-orbit pada ruang fase berdimensi 4 terletak pada Torus bidang dua. Selanjutnya,
diubah ke bentuk koordinat polar diperoleh
x1 =
2 I1
sin θ1
, x2 =
2ω1I1 cosθ1
y1 =
2I 2
sin θ 2
, y2 =
2ω2 I 2 cosθ 2
ω1
ω2
sehingga menghasilkan persamaan baru sebagai berikut.
.
I1 = 0
.
θ1 = ω1
.
, I2 = 0
.
θ 2 = ω2
Karena I1 dan I2 konstan maka dinamik dari sistem yang dibahas dilihat dari persamaan
.
θ1 = ω1
.
θ 2 = ω2
(32)
(θ1 , θ 2 ) ∈ S 1 × S 1 ≡ T 2
9
Oleh karena itu, sistem direduksi dari dimensi 4 ke dimensi 2. Flow dari persamaan (32)
yang didefinisikan pada S × S ≡ T , yakni
1
1
2
θ1 yang merupakan flow membujur
(longitude) dan θ 2 yang merupakan flow melintang (latitude). Lihat gambar berikut
Gambar 5. Flow sistem pada persamaan (32)
Flow pada persamaan (32), yakni
θ1 (t ) = ω1t + θ10
(mod 2π )
θ 2 (t ) = ω2t + θ 20
Orbit dari flow bergantung pada hubungan
(33)
ω1 dan ω 2 .
Definisi 2
ω1 dan ω 2 dikatakan incommensurate jika persamaan
mω1 + nω2 = 0
tidak memiliki solusi m, n ∈ Z (bilangan bulat). Sebaliknya, jika ada m, n ∈ Z
memenuhi mω1 + nω 2 = 0 , maka ω1 dan ω 2 dikatakan commensurate.
Lemma 3:
1
Andaikan lingkaran S dirotasikan melalui sudut
2π . Maka barisan
α dan α incommensurate dengan
S = {θ , θ + α , θ + 2α , … , θ + nθ , … , (mod 2π )}
Everywhere dense pada lingkaran. (n bilangan bulat)
Bukti:
Didefinisikan
 θ + mα
θ + mα (mod 2π ) = 
θ + (mα − 2πk )
, jika mα − 2π < 0
, jika mα − 2πk > 0, k > 1
dan mα − 2π ( k + 1) < 0
10
karena
α dan 2π incommensurate maka barisan S infinite dan tidak pernah berulang.
Selanjutnya, digunakan prinsip Pigeon hole, yakni jika ada n kotak dan n+1 objek yang
akan dimasukkan ke kotak, maka satu kotak harus memuat paling sedikit dua objek.
Lingkaran dibagi kedalam k interval setengah terbuka dengan panjang interval
2π
. Maka diantara k+1 angota dari barisan S paling sedikit dua anggota masuk dalam
k
interval yang sama. Sebut saja
( p − q)α ≡ sα <
θ + pα ,θ + qα (mod 2π ) dengan p>q. Sehingga
2π
(mod 2π ) . Untuk sebarang dua titik yang berurutan dari
k
barisan S yang diberikan sebagai berikut.
S = {θ , θ + sα , θ + 2sα ,… ,θ + nsα , …, (mod 2π )}
memilki jarak yang sama yaki d, dimana d <
2π
. (catatan: S ⊂ S )
k
Sekarang, pilih sebarang titik pada S1 dan bentuk persekitaran
titik tersebut. Jika k dipilih sedemikian sehingga
anggota S termuat pada persekitaran
ε mengelilngi
2π
< ε , maka paling sedikit satu dari
k
ε . Jadi lemma 2 terbukti.
Teorema 4:
Jika
ω1 dan ω 2 commensurate, maka setiap kurva fase sistem (32) tertutup. Jika ω1
dan
ω 2 dikatakan incommensurate, maka setiap kurva fase sistem (32) everywhere
dense pada torus.
Bukti: akan digunakan lemma 3 untuk membuktikan teorema 4.
Pertama, andaikan
n
ω1 dan ω 2 commensurate, yakni ∃n, m ∈ Z ∋ ω1 =  ω2 .
m
Dibentuk poincare map dengan bidang pemotong Σ yang didefinisikan
Σθ10 = {(θ1,θ 2 ) | θ1 = θ10}
(34)
11
Poincare map yang diperoleh, yakni
Pθ10 : Σθ10 → Σθ10 ,
θ 2 → θ 2 + ω2
Karena
2π
(35)
ω1
ω2 m
= , diperoleh
ω1 n
θ 2 → θ 2 + 2π
m
(mod 2π )
n
yang disebut sebagai pemetaan lingkaran. Bilangan
(36)
ω2
disebut bilangan rotasi. Jelas
ω1
untuk iterasi ke-n diperoleh
θ 2 → θ 2 + 2πm(mod 2π ) = θ 2
Oleh karena itu, setiap
(37)
θ 2 adalah titik periodik, sehingga flo memuat orbit periodik.
Terbukti untuk bagian yang pertama.
Selanjutnya, bukti bagian kedua. Andaikan
ω1 dan ω 2 incommensurate, maka
ω2
= α dimana α bilangan irrasional. Sehingga poincare map diberikan pada
ω1
persamaan berikut,
θ 2 → θ 2 + 2πα (mod 2π )
Dengan menggunakan lemma 3, orbit dari sebarang titik
(38)
θ 2 dense pada lingkaran.
Kemudian pilih sebarang titik p pada T2 dan bentuk persekitaran dengan pusat p jari-jari
ε . Karena incommensurate, maka setiap orbit yang melalui persekitaran akan bergeser
sedikit sehingga sampai iterasi beberapa kali akan dense pada bidang pemotong yang
dibentuk yakni Σ
θ10
yang memuat persekitaran. Jadi, terbukti untuk teorema 4.
12
IV. Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa poincare
map merupakan suatu pemetaan yang dibentuk dari kurva solusi suatu sistem yang
diberikan. Poincare map digunakan untuk menyelidiki dinamik (kestabilan dan
bifurkasi) orbit periodik suatu sistem. Poincare map mereduksi dimensi suatu sistem
paling sedikit satu. Pada nilai δ = 0 , ada lima kasus yang dibahas meliputi Harmonik
response, Subharmonics response of order m, Ultraharmonic response of order n,
Ultraharmonic response of order m,n, serta Quasiperiodic response. Selain itu, diperoleh
hubungan frekuensi commensurate dan incommensurate dimana masing-masing
mengakibatkan kurva solusi tertutup dan dense pada torus.
V. Daftar Pustaka
Anton, H and Rorres. 2005. Elementary Linear Algebra, Applications Version,9thed.
USA: John Wiley & Sons.
Balakrishnan. 1995. Combinatorics. (Schaum’s theory and problems). USA: Mc.GrawHill,Inc.
Perko, L. 1991. Differential Equations and Dynamical Systems. New York: SpringerVerlag.
Royden, H.L. 1988. Real Analysis. 3thed. New York: Macmillan Publishing Company.
Wiggins, Stephen. 1990. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and
Chaos. New York: Springer-Verlag.
13