5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Biasa

5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Persamaan Diferensial Biasa
Pengertian dari persamaan diferensial biasa (PDB) yaitu suatu
persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari suatu fungsi yang
telah ditentukan. Misalkan
( ) diturunkan terhadap peubah . Persamaan
tersebut dapat juga melibatkan
sendiri atau fungsi dari
(Burghes & Borrie,
1981, p.21). Contoh persamaan diferensial biasa yaitu persaman seperti
dibawah ini
Contoh 2.1
Persamaan diferensial memiliki solusi apabila memenuhi kondisi
Lipschitz.
Definisi 2.1 (Cronin, 1994) Jika diberikan fungsi (
dalam
*(
parameter
)(
fungsi
)+
(
) ,
, maka
terdapat
| (
)
) dengan domain
konstanta
(
)|
sehingga
|
memenuhi kondisi Lipschitz untuk setiap nilai
jika
| , Kemudian
dalam
, dan
disebut konstanta Lipschitz untuk .
Persamaan diferensial biasa, dapat dibedakan menjadi dua bagian,
antara lain: persamaan diferensial biasa linier dan persamaan diferensial biasa
nonlinier.
5
6
2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Linier
Persamaan diferensial biasa linier memiliki bentuk umum seperti
dibawah ini,
( )
dengan
( )
( )
( )
( ) (2.1)
disebut order (tingkat) dari persamaan diferensial sedangkan
disebut koefisien persamaan diferensial. Fungsi ( )
adalah fungsi khusus yang memuat variable bebas
yang ditinjau. Jika
( )
dan kontinu dalam interval
persamaan (2.1) disebut persamaan linier
homogen (Edwards & Penny, 1993, p.103). Sebagai contoh persamaan
diferensial biasa linier order dua yaitu persamaan seperti dibawah ini
Contoh 2.2
2.1.2 Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Nonlinier
Bentuk persamaan diferensial biasa nonlinier orde dua yaitu
(
fungsi
*
adalah fungsi yang memuat variable
(2.2)
dan
(Burghes &
Borrie, 1981, p.120). Sebagai contoh persamaan diferensial biasa nonlinier
order satu yaitu persamaan berikut ini
Contoh 2.3
7
2.2
Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat
persamaan diferensial dan
buah
buah fungsi yang nilainya tidak diketahui. Fungsi
tersebut jika sama dengan nol maka sistem dapat dikatakan sebagai sistem
persamaan diferensial homogen. Begitu juga sebaliknya, dapat dikatakan
sebagai persamaan diferensial nonhomogen. Sistem persamaan diferensial
dibedakan menjadi dua macam, yaitu sistem persamaan diferensial linier dan
sistem persamaan diferensial nonlinier.
2.2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linier
Sistem persamaan diferensial linier dinyatakan dalam bentuk sebagai
berikut
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(2.3)
( )
dengan kondisi awal
( )
( )
( )
Solusi dari persamaan (2.3) adalah pasangan
( )
( )
( )
buah fungsi yaitu
( ) yang saling berkaitan satu sama lainnya terhadap interval
yang sama (Edwards & Penny, 1993, p.383). Contoh dari sistem persamaan
diferensial linier adalah persamaan di bawah ini
8
Contoh 2.4
2.2.2 Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier
Sistem persamaan diferensial nonlinier dapat dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut
(
)
(
)
(2.4)
(
dengan kondisi awal
)
( )
atau ditulis dalam bentuk
pesamaan di bawah ini
( )
adalah fungsi nonlinier dan kontinu (Rumlawang & Nanlohy, 2011). Contoh
dari sistem persamaan diferensial nonlinier adalah persamaan sebagai berikut
Contoh 2.5
9
Dengan memperhatikan titik-titik kesetimbangan dari sistem persamaan
diferensial nonlinier (2.4) dapat membantu dalam menentukan, apakah titiktitik kesetimbangan stabil atau tidak. Perilaku solusi pada persekitaran titik-titik
kesetimbangan tersebut dapat ditentukan setelah dilakukan pelinieran pada
persekitaran titik kesetimbangan sistem.
2.3
Titik Kesetimbangan
Definis 2.2 (Lucas, 1983, p.37) Nilai atau titik kesetimbangan dari suatu
persamaan diferensial yaitu tidak berubah. Nilai kesetimbangan ini adalah
solusi dari persamaan
(
)
( )
atau
, untuk nilai
sembarang .
Dengan demikian titik kesetimbangan pada contoh (2.5) akan
didapatkan
pada
*(
)(
saat
dan
(
)
2.4
Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan
yaitu
)+
(
Definisi 2.3 (Edwards & Penny, 1993, p.515) Titik kesetimbangan
di daerah sistem dikatakan stabil apabila untuk setiap solusi
( ( ) ( )) berada di persekitaran titik asal
(
kesetimbangan
untuk setiap
) yaitu
|
|
(
√(
)
()
) dengan titik
)
(
)
.
Jenis kestabilan pada titik-titik kesetimbangan tersebut dibedakan
menjadi dua bagian, yaitu titik kesetimbangan stabil dan titik kesetimbangan
stabil asimtotik.
10
2.4.1 Titik Kesetimbangan Stabil
Definisi 2.4 (Edwards & Penny, 1993, p.515) Titik kesetimbangan
stabil jika untuk setiap bilangan
hingga |
|
berlaku | ( )
terdapat bilangan
|
dikatakan
sedemikian
untuk setiap
.
2.4.2 Titik Kesetimbangan Stabil Asimtotik
Definisi 2.5 (Edwards & Penny, 1993, p.517) Titik kesetimbangan
stabil asimtotik jika
|
2.5
|
stabil dan terdapat bilangan
( )
berlaku
dikatakan
sedemikian hingga
untuk setiap
).
Pelinieran
Pelinieran
dilakukan
untuk
menentukan
perilaku
solusi
pada
persekitaran titik kesetimbangan sistem (2.4).
Definisi 2.6 (Rumlawang & Nanlohy, 2011) Sistem
linearisasi sistem (
( ( ̅ )) disebut
) di ̅ .
Pelinieran terhadap sistem dapat dilakukan melalui ekspansi Taylor di
sekitar titik tetap
diperoleh matriks Jacobian untuk sistem (
) sebagai
berikut:
(2.5)
[
]
perilaku dinamik untuk sistem dapat diidentifikasi secara lengkap oleh nilai
eigen dari matriks pada persamaan (2.5), yaitu:
11
|
|
(2.6)
||
||
(Rumlawang & Nanlohy, 2011)
Contoh 2.6
Dari contoh (2.5) sistem pesamaan diferensial nonlinier yaitu
Misalkan
akan
kesetimbangan (
)
disekitar titik (
ditentukan
*(
)(
hampiran
)+ sehingga
dan
dengan
titik
dapat diuraikan
) dengan menggunakan Deret Taylor dapat ditulis sebagai
berikut
. /
liniernya
( *
̅
̅
( *, dengan nilai ( * kecil.
̅
̅
̅
(
)
(
)
(
)
. / (
(
)
̅
)
(
*
12
Hampiran linier di dekat titik-titik (
) adalah
̅
(
̅
( *
̅
)
̅
(
)
dihitung pada titik (
)
(
(
di (
*
)
)
(
) maka hampirannya adalah
)
.
(
) maka hampirannya adalah
)
.
̅
(
di (
̅
)
̅
/( *
̅
̅
(
2.6
̅
̅
/( *
̅
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.7 (Anton & Rorres, 2004, p.384) Jika
maka sebuah vektor tak nol
jika
pada
adalah sebuah matrik
,
disebut vektor eigen (eigenvector) dari
adalah sebuah kelipatan skalar dari , yaitu:
(2.7)
13
untuk skalar sembarang , skalar
disebut sebagai vektor eigen dari
disebut nilai eigen (eigenvalue) dari , dan
yang terkait dengan .
Contoh 2.7
Nilai eigen dari persamaan yang didapat dari contoh (2.6) yaitu
̅
(
̅
)
̅
/( *
̅
.
|
|
persamaan ini disebut persamaan karakteristik matriks .
demikian diperoleh
untuk nilai
dan
. Selanjutnya ditentukan vektor eigen
maka
̅
/( *
̅
.
̅
hasilnya ( *
̅
. /
. / dengan
sembarang bilangan riil. vektor eigen untuk nilai
maka
.
̅
hasilnya ( *
̅
/ maka dengan
̅
/( *
̅
. /
. / dengan
sembarang bilangan riil.
14
2.7
Jenis Kestabilan
Seperti yang dituliskan dalam buku (Edwards & Penny, 1993, p.522)
jika diberikan sistem persaman diferensial
(
jika titik (
)
(
)
(2.8)
) adalah titik kesetimbangan dari sistem persamaan diferensial
(2.8) maka solusi umum dan jenis kestabilan berdasarkan kajian terhadap nilai
eigen
dan
. Nilai eigen berupa bilangan riil sama, riil berbeda, kompleks
konjugat dan kompleks murni.
2.7.1 Nilai Eigen Berupa Bilangan Riil dan Berbeda
Solusi umum dari sistem persamaan diferensial dengan nilai eigen
berupa bilangan riil berbeda adalah
( )
jika
( )
maka (
(2.9)
) menuju titik kesetimbangan (
dengan demikian titik kesetimbangan (
) untuk
) disebut simpul stabil asimtotik.
Jenis kestabilan dalam bidang fase dapat dilihat pada gambar (2.1)
15
Gambar 2.1 simpul stabil asimtotik untuk
1993, p.525)
Jika
maka (
demikian titik kesetimbangan (
(Edwards & Penny,
) menuju tak hingga untuk
dengan
) disebut simpul tidak stabil. Selanjutnya jika
kedua nilai eigennya berlainan tanda dalam artian nilai eigen yang satu positif
dan yang lainnya negatif (
titik sadel dan tidak stabil.
) maka titik kesetimbangan (
) disebut
16
Jenis kestabilan dalam bidang fase dapat dilihat pada gambar (2.2)
Gambar 2.2 titik sadel dan tidak stabil
p.526).
(Edwards & Penny, 1993,
2.7.2 Nilai Eigen Berupa Bilangan Riil dan Sama
Solusi umum dari sistem persamaan diferensial dengan nilai eigen
berupa bilangan riil sama adalah:
( )
Jika
(
maka (
)
( )
(
) menuju titik kesetimbangan (
demikian titik kesetimbangan (
)
(2.10)
) untuk
dengan
) disebut node stabil asimtotik. Jenis
kestabilan dalam bidang fase ini dibedakan menjadi dua bagian, yang perama
jika
kestabilan dapat dilihat pada gambar (2.3). Yang kedua jika
kestabilan dalam bidang fase tampak seperti gambar (2.4)
17
Gambar 2.3 node stabil asimtotik untuk
p. 527).
(Edwards & Penny, 1993,
Gambar 2.4 node stabil asimtotik untuk
terhadap semua
kemunkinan kemiringan
(Edwards & Penny, 1993, p. 528).
Jika
maka (
kesetimbangan (
) menuju Tak hingga untuk
) disebut node tidak stabil.
dengan demikian titik
18
2.7.3 Nilai Eigen Berupa Bilangan Kompleks Konjugat
Misalkan
dan
dengan
maka solusi
umum dari sistem persamaan diferensial dengan nilai eigen berupa bilangan
kompleks konjugat adalah:
( )
(
)
(2.11)
( )
Jika
maka (
(
)
) menuju titik kesetimbangan (
demikian titik kesetimbangan (
) untuk
dengan
) disebut fokus stabil asimtotik. Jenis
kestabilan dalam bidang fase dapat dilihat pada gambar (2.5)
Gambar 2.5 fokus stabil asimtotik untuk
1993, p.528)
Jika
maka (
kesetimbangan (
) menuju tak hingga untuk
) disebut fokus tidak stabil.
(Edwards & Penny,
dengan demikian titik
19
2.7.4 Nilai Eigen Berupa Bilangan Kompleks Murni
Misalkan
dan
dengan
maka solusi umum dari
sistem persamaan diferensial dengan nilai eigen berupa bilangan kompleks
murni adalah:
( )
(2.12)
( )
Maka (
(
) berupa elips untuk
dengan demikian titik kesetimbangan
) disebut center stabil tetapi tidak stabil asimtotik.
Jenis kestabilan dalam bidang fase dapat dilihat pada gambar (2.6)
Gambar 2.6 center stabil untuk
(Edwards & Penny, 1993, p.529).
20
Contoh 2.8
Dari contoh (2.7) diperoleh
dan
menghasilkan nilai
berupa bilangan riil dan berlainan tanda atau
keseimbangan tidak stabil. Untuk
didapat vector eigennya . / dengan
didapat vector eigennya . /
sembarang bilangan riil sedangkan untuk
dengan
maka
sembarang bilangan riil. Sehingga solusi dari sistem persamaan yang
didapat sebagai berikut:
̅
(
̅
)
̅
adalah ( *
̅
2.8
̅
/( *
̅
.
. /
. /
Anjing
Anjing adalah kelompok hewan mamalia yang paling sering menjadi
sumber dari penular penyakit rabies (Besung, INK Kerta., At all, 2011). Anjing
dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian yaitu anjing yang tingkat kejadian
rabies tertinggi adalah anjin liar (
(
) , menengah adalah anakan anjing
) dan terendah adalah anjing rumahan (
Bali (Putra, A.A.G., 2011)
) dari total anjing rabies di
21
2.8.1
Rabies
Rabies merupakan penyakit zoonosis yang menyerang sistem saraf
pusat sehingga dapat berakibat fatal dan dapat menyerang ke semua spesies
mamalia termasuk manusia. Penyakit ini disebabkan oleh hewan tertular rabies
dan pembawa utamanya adalah anjing (Nugroho & Rahayujati, 2013)
2.8.2
Anjing Rabies
Anjing yang positif rabies dapat menularkan rabiernya melalui gigitan.
Seperti yang tertulis pada Natural History of Animals edisi 8, Aristotle (400
SM) dalam jurnal (Rumlawang & Nanlohy, 2011) menulis “Anjing itu menjadi
gila. Hal ini menyebabkan mereka agresif dan semua binatang yang digigitnya
juga mengalami sakit yang sama”.
2.9
Vaksinasi
Vaksinasi diartikan pemberian vaksin pada anjing yang sehat sehingga
tidak mudah tertular rabies. Pemberian vaksin pada anjing dilakukan secara
massal dengan cakupan menghampiri
dari populasi anjing di Bali (Putra,
A.A.G., 2012)
2.10
Metode Numerik
Metode numerik adalah suatu metode untuk mendapatkan penyelesaian
hampiran atau penyelesaian numerik dari masalah nilai awal dalam sistem
persamaan diferensial. Ada beberapa metode numerik diantaranya metode
Picard, metode Adams-Bashford, metode Numerov, metode Deret Taylor,
22
metode Runge-Kutta (Saxena, 2008). Dalam penelitian ini menggunakan
metode Deret Taylor tingkat satu.
2.10.1 Metode Deret Taylor
Metode Deret Taylor terdiri dari beberapa tingkat yaitu metode Deret
Taylor tingkat satu, tingkat dua, tingkat tiga dan seterusnya (Saxena, 2008).
Dalam penelitian ini digunakan metode Deret Taylor tingkat satu.
Diberikan sistem persamaan diferensial berikut:
(
)
( )
(2.13)
(
)
( )
Misalkan ingin dicari hampiran untuk nilai (
) di titik
. Proses
metode Deret Taylor tingkat satu yang memberikan penyelesaian untuk
masalah nilai awal ini, diberikan oleh:
[
]
) (
) (
(
(
[
)
]
)
(2.14)
Contoh 2.9
Contoh dengan menggunakan proses metode Deret Taylor tingkat satu
untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut ini
dengan
di
.
akan ditentukan ( ) di
Penyelesaian (
(
) (
)
metode Deret Taylor tingkat satu adalah
) dengan (
)
sehingga
23
(
)(
(
)
)
Solusi eksak dari persamaan ini adalah
( )
(
)