Bilangan Berpangkat Dan Bentuk Akar 9

Bilangan Berpangkat Dan Bentuk Akar 9.2
Dari Crayonpedia
Langsung ke: navigasi, cari
Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu:
Kompetensi Dasar :
1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar
2. Melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar
3. Memecahkan masalah sederhanayang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk
akar
Daftar isi






1 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif
2 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif
3 Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
o 3.1 Bilangan Rasional dan Irasional
o 3.2 Bentuk Akar
o 3.3 Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan
Sebaliknya
4 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
o 4.1 Penjumlahan dan Pengurangan
o 4.2 Perkalian dan Pembagian
o 4.3 Perpangkatan
o 4.4 Operasi Campuran
5 Merasionalkan Penyebut
o 5.1 Penyebut Berbentuk √b
o 5.2 Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)
o 5.3 Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)
6 Referensi
Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan
Bulat Positif
Masih ingat bentuk berikut :
32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifatsifat berikut.
Sifat 1
an x an = am + n
24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
=2x2x2x2x2x2x2
= 27
= 24+3
Sifat 2
am : an = am - n, m > n
55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
=5x5
= 52
= 55 - 3
Sifat 3
(am)n = am x n
(34)2 = 34 x 34
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 34 x 2
Sifat 4
(a x b)m = am x bm
(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
= 43 x 23
Sifat 5
(a : b)m = am : bm
(6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
= (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 64 : 3 4
Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan
Bulat Negatif
Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n = 1/2n , secara umum dapat ditulis :
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan
bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk
menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan
menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
(1/2)5
Jawab :
Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat
Pecahan
Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan
bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan.
Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b
dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator
merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut
bilangan real.
Bentuk Akar
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk
seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan
salah satu akar memenuhi definisi
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3
Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat
Pecahan dan Sebaliknya
Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak
ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19
merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√am dapat ditulis am/n (dibaca: a
pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat pecahan.
contoh :
jawab :
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang
sejenis.
kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b
Perkalian dan Pembagian
Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :
jawab :
Perpangkatan
Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi
perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:
Operasi Campuran
Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah
menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi
campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.


1.
2.
3.
4.
Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada
dalam tanda kurung.
Jika tidak ada tanda kurungnya maka
pangkat dan akar sama kuat;
kali dan bagi sama kuat;
tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan
terlebih dahulu.
Contoh :
Merasionalkan Penyebut
Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar,
misalnya
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih
dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahanpecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi
pecahan dengan penyebut bilangan rasional.
Penyebut Berbentuk √b
Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan a/√b dapat
dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan √b/√b .
Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
jawab :
Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)
Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan
tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan
sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
jawab :
Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)
Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan
bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
Contoh:
Selesaikan soal berikut!
Jawab :
Heksadesimal
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Heksadesimal atau sistem bilangan basis 16 adalah sebuah sistem bilangan yang
menggunakan 16 simbol. Berbeda dengan sistem bilangan desimal, simbol yang digunakan dari
sistem ini adalah angka 0 sampai 9, ditambah dengan 6 simbol lainnya dengan menggunakan
huruf A hingga F. Nilai desimal yang setara dengan setiap simbol tersebut diperlihatkan pada
tabel berikut:
0hex
=
0dec
=
0oct
0
0
0
0
1hex
=
1dec
=
1oct
0
0
0
1
2hex
=
2dec
=
2oct
0
0
1
0
3hex
=
3dec
=
3oct
0
0
1
1
4hex
=
4dec
=
4oct
0
1
0
0
5hex
=
5dec
=
5oct
0
1
0
1
6hex
=
6dec
=
6oct
0
1
1
0
7hex
=
7dec
=
7oct
0
1
1
1
8hex
=
8dec
= 10oct
1
0
0
0
9hex
=
9dec
= 11oct
1
0
0
1
Ahex = 10dec = 12oct
1
0
1
0
Bhex = 11dec = 13oct
1
0
1
1
Chex = 12dec = 14oct
1
1
0
0
Dhex = 13dec = 15oct
1
1
0
1
Ehex = 14dec = 16oct
1
1
1
0
Fhex = 15dec = 17oct
1
1
1
1
Konversi
Konversi dari heksadesimal ke desimal
Untuk mengkonversinya ke dalam bilangan desimal, dapat menggunakan formula berikut:
Dari bilangan heksadesimal H yang merupakan untai digit hnhn − 1...h2h1h0, jika dikonversikan
menjadi bilangan desimal D, maka:
Sebagai contoh, bilangan heksa 10E yang akan dikonversi ke dalam bilangan desimal:


Digit-digit 10E dapat dipisahkan dan mengganti bilangan A sampai F (jika terdapat)
menjadi bilangan desimal padanannya. Pada contoh ini, 10E diubah menjadi barisan:
1,0,14 (E = 14 dalam basis 10)
Mengalikan dari tiap digit terhadap nilai tempatnya.
= 256 + 0 + 14
= 270
Dengan demikian, bilangan 10E heksadesimal sama dengan bilangan desimal 270.
Konversi dari desimal ke heksadesimal
Sedangkan untuk mengkonversi sistem desimal ke heksadesimal caranya sebagai berikut (kita
gunakan contoh sebelumnya, yaitu angka desimal 270):
270 dibagi 16 hasil:
16 dibagi 16 hasil:
1 dibagi 16 hasil:
16
1
0
sisa 14
sisa 0
sisa 1
( = E )
( = 0 )
( = 1 )
Dari perhitungan di atas, nilai sisa yang diperoleh (jika ditulis dari bawah ke atas) akan
menghasilkan : 10E yang merupakan hasil konversi dari bilangan desimal ke heksadesimal itu.
Sistem bilangan
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Sistem bilangan numerik adalah sebuah simbol atau kumpulan dari simbol yang
merepresentasikan sebuah angka. Numerik berbeda dengan angka. Simbol "11", "sebelas" and
"XI" adalah numerik yang berbeda, tetapi merepresentasikan angka yang sama yaitu sebelas.
Artikel ini akan menjelaskan beberapa sistem numerik. Secara garis besar terdapat dua sistem
numerik, yaitu sistem numerik berdasarkan penambahan (english: addition) dan sistem numerik
berdasarkan posisi (eng. position).
Daftar isi



1 Sistem Numerik Berdasarkan Penambahan
2 Sistem Numerik Berdasarkan Posisi
o 2.1 Basis eksponen
o 2.2 Faktoradik
3 Lihat pula
Sistem Numerik Berdasarkan Penambahan
Sistem numerik yang paling sederhana adalah Sistem numerik unary. Sistem ini sering dipakai
untuk melakukan pemilihan pada suatu voting. Contoh dari Sistem numerik Unary adalah Tally
mark. Kerugiann penggunaan dari sistem numerik Unary adalah sistem ini membutuhkan tempat
yang besar.
Selain sistem numerik unary, contoh lain dari sistem numerik berdasarkan penambahan adalah
angka Romawi.
I
V
1
5
X
L
C
D
M
10
50
100
500
1000
Angka Romawi dituliskan dengan simbol dari angka yang tersedia kemudian ditambahkan atau
dikurangkan.
Sebagai contoh adalah 1970 disimbolkan dalam angka romawi dengan MCMLXX. Simbol M
merepresentasikan angka 1000. Simbol CM merepresentasikan 900, hal ini dikarenakan oleh
peraturan dalam penulisan angka romawi, yang tidak diperkenakan pengulangan suatu simbol
lebih dari tiga kali. Jadi apabila 900 dituliskan dengan simbol DCCCC maka penulisan tersebut
salah. Simbol C disebelah kiri atau sebelum M merupakan angka pengurang dari angka
sesudahnya, jadi CM = 1000-100 = 900. Simbol selanjutnya adalah LXX yang melambangkan
angka 70.
Angka Romawi ini digunakan di Eropa sampai dengan abad ke 15. Kekurangan dari sistem ini
adalah tidak adanya angka Nol.
Sistem Numerik Berdasarkan Posisi
Di dalam sistem numerik ini, penulisan angka berdasarkan posisi dan basis. Posisi suatu angka
dalam sistem ini menentukan nilai dari bilangan yang diwakilinya. Maka notasi yang digunakan
disebut notasi posisional. Sistem numerik berdasarkan posisi yang sangat terkenal dan dipakai
paling luas adalah sistem bilangan desimal. Sistem desimal ini merupakan sistem numerik
berdasarkan posisi yang berbasis 10. Simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adalah bagian dari sistem
desimal. Sebagai contoh 612, angka ini berarti:
2 × 100 = 2 × 1 = 2
1 × 101 = 1 × 10 = 10
6 × 102 = 6 × 100 = 600
Basis eksponen
Selain sistem desimal yang digunakan sehari-hari, terdapat pula sistem lainnya, yaitu:





Sistem biner, berbasis 2,
Sistem oktal, berbasis 8,
Sistem heksadesimal, berbasis 16,
Sistem seksagesimal, berbasis 60,
dan sistem numerik berbasis lainnya.
Seluruh sistem di atas menggunakan eksponen. Berarti setiap angka pada posisi tertentu, nilainya
adalah sebesar angka tersebut dikalikan basisnya dipangkatkan posisinya.
Faktoradik
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Faktoradik
Faktoradik menggunakan pengali yang berbeda untuk setiap posisi bilangannya. Pengalinya
adalah sesuai dengan faktorial posisinya.
Sistem bilangan desimal
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yang menggunakan 10 macam angka dari 0,1,
sampai 9. Setelah angka 9, angka berikutnya adalah 1 0, 1 1, dan seterusnya (posisi di angka 9
diganti dengan angka 0, 1, 2, .. 9 lagi, tetapi angka di depannya dinaikkan menjadi 1). Sistem
bilangan desimal sering dikenal sebagai sistem bilangan berbasis 10, karena tiap angka desimal
menggunakan basis (radix) 10, seperti yang terlihat dalam contoh berikut:
angka desimal 123 = 1*102 + 2*101 + 3*100
Berikut adalah tabel yang menampilkan sistem angka desimal (basis 10), sistem bilangan biner
(basis 2), sistem bilangan/ angka oktal (basis 8), dan sistem angka heksadesimal (basis 16) yang
merupakan dasar pengetahuan untuk mempelajari komputer digital. Bilangan oktal dibentuk dari
bilangan biner-nya dengan mengelompokkan tiap 3 bit dari ujung kanan (LSB). Sementara
bilangan heksadesimal juga dapat dibentuk dengan mudah dari angka biner-nya dengan
mengelompokkan tiap 4 bit dari ujung kanan.
Desimal Biner (8 bit) Oktal Heksadesimal
0
0000 0000 000 00
1
0000 0001 001 01
2
0000 0010 002 02
3
0000 0011 003 03
4
0000 0100 004 04
5
0000 0101 005 05
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0000 0110
0000 0111
0000 1000
0000 1001
0000 1010
0000 1011
0000 1100
0000 1101
0000 1110
0000 1111
0001 0000
006
007
010
011
012
013
014
015
016
017
020
06
07
08
09
0A
0B
0C
0D
0E
0F
10
imbolberasal dari kata symballo yang berasal dari bahasa Yunani. Symballo artinya ”melempar
bersama-sama”, melempar atau meletakkan bersama-sama dalam satu ide atau konsep objek
yang kelihatan, sehingga objek tersebut mewakili gagasan. Simbol dapat menghantarkan
seseorang ke dalam gagasan atau konsep masa depan maupun masa lalu.[1] Simbol adalah
gambar, bentuk, atau benda yang mewakili suatu gagasan, benda, ataupun jumlah sesuatu.
Meskipun simbol bukanlah nilai itu sendiri, namun simbol sangatlah dibutuhkan untuk
kepentingan penghayatan akan nilai-nilai yang diwakilinya. Simbol dapat digunakan untuk
keperluan apa saja. Semisal ilmu pengetahuan, kehidupan sosial, juga keagamaan. Bentuk simbol
tak hanya berupa benda kasat mata, namun juga melalui gerakan dan ucapan. Simbol juga
dijadikan sebagai salah satu infrastruktur bahasa, yang dikenal dengan bahasa simbol.
Simbol dari 9 agama di dunia: Kristen, Yahudi, Hindu, Islam, ...
Simbol paling umum ialah tulisan, yang merupakan simbol kata-kata dan suara. Lambang bisa
merupakan benda sesungguhnya, seperti salib (lambang Kristen) dan tongkat (yang
melambangkan kekayaan dan kekuasaan). Lambang dapat berupa warna atau pola. Lambang
sering digunakan dalam puisi dan jenis sastra lain, kebanyakan digunakan sebagai metafora atau
perumpamaan. Lambang nasional adalah simbol untuk negara tertentu.
Kesalahan terbesar manusia dalam memahami simbol adalah menganggap bahwa simbol adalah
substansi. Sehingga mereka kerap kali terjebak pada pembenaran terhadap semua hal yang hanya
bersifat kasat mata sebagai kebenaran hakiki. Muara dari kesalahan itu adalah fanatisme. Contoh
kasus: Agama X menyebut kata Tuhan dengan sebutan X1, sedangkan agama Y menyebutnya
dengan Y1. Masing-masing agama mengklaim bahwa penyebutan yang benar adalah menurut
cara mereka masing-masing. Di luar penyebutan itu, dianggap sebagai ajaran sesat.
Begitu pula dengan bahasa yang dipakai. Agama A menggunakan bahasa A1 baik dalam kitab
sucinya, maupun dalam tata cara ibadah. Di lain pihak, agama B memilih menggunakan bahasa
B1. Perbedaan simbolik yang hanya terletak pada permukaan itu dijadikan alasan untuk saling
membenci, dan memusuhi satu sama lain.
Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka
dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh
Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua
sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem
bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary
Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte/bita.
Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII,
American Standard Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an 1
Byte.
20=1
21=2
22=4
23=8
24=16
25=32
26=64
dst
[sunting] Perhitungan
Desimal Biner (8 bit)
0
0000 0000
1
0000 0001
2
0000 0010
3
0000 0011
4
0000 0100
5
0000 0101
6
0000 0110
7
0000 0111
8
0000 1000
9
0000 1001
10
0000 1010
11
0000 1011
12
0000 1100
13
0000 1101
14
0000 1110
15
0000 1111
16
0001 0000
Perhitungan dalam biner mirip dengan menghitung dalam sistem bilangan lain. Dimulai dengan
angka pertama, dan angka selanjutnya. Dalam sistem bilangan desimal, perhitungan mnggunakan
angka 0 hingga 9, sedangkan dalam biner hanya menggunakan angka 0 dan 1.
contoh: mengubah bilangan desimal menjadi biner
desimal = 10.
berdasarkan referensi diatas yang mendekati bilangan 10 adalah 8 (23), selanjutnya hasil
pengurangan 10-8 = 2 (21). sehingga dapat dijabarkan seperti berikut
10 = (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20).
dari perhitungan di atas bilangan biner dari 10 adalah 1010
dapat juga dengan cara lain yaitu 10 : 2 = 5 sisa 0 (0 akan menjadi angka terakhir dalam bilangan
biner), 5(hasil pembagian pertama) : 2 = 2 sisa 1 (1 akan menjadi angka kedua terakhir dalam
bilangan biner), 2(hasil pembagian kedua): 2 = 1 sisa 0(0 akan menjadi angka ketiga terakhir
dalam bilangan biner), 1 (hasil pembagian ketiga): 2 = 0 sisa 1 (0 akan menjadi angka pertama
dalam bilangan biner) karena hasil bagi sudah 0 atau habis, sehingga bilangan biner dari 10 =
1010
atau dengan cara yang singkat 10:2=5(0),5:2=2(1),2:2=1(0),1:2=0(1)sisa hasil bagi dibaca dari
belakang menjadi 1010
Oktal atau sistem bilangan basis 8 adalah sebuah sistem bilangan berbasis delapan. Simbol
yang digunakan pada sistem ini adalah 0,1,2,3,4,5,6,7. Konversi Sistem Bilangan Oktal berasal
dari Sistem bilangan biner yang dikelompokkan tiap tiga bit biner dari ujung paling kanan (LSB
atau Least Significant Bit).
Biner Oktal
000 000 00
000 001 01
000 010 02
000 011 03
000 100 04
000 101 05
000 110 06
000 111 07
001 000 10
001 001 11
001 010 12
001 011 13
001 100 14
001 101 15
001 110 16
001 111 17
Garis Bilangan
August 10, 2008
By aurino
Garis Bilangan
Secara geometris, sistem bilangan real {R} dapat digambarkan dengan garis lurus. Buat garis
yang dimulai dari sembarang titik yang dianggap dan ditandai sebagai titik 0. Titik ini
dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat bagian sama besar
(segmen) dengan kesepakatan arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif
disebelah kiri O. Selanjutnya, tuliskan bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … pada masingmasing titik di kanan O dan bilangan-bilangan -1, -2,- 3, … pada titik-titik di sebelah kiri O.
Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan 1/2,
misalnya 2 1/2, atau 1 1/2
Bilangan asli
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Belum Diperiksa
Langsung ke: navigasi, cari
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama
definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan
nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer,
adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah
satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari
dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera
besar (Inggris: apes) juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk
membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya
dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli
dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indera
manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua
bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi,
lihat aritmetika Peano).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh,
bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan
mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa
dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua apel, tiga apel, ...).
[sunting] Sejarah bilangan asli
Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda,
dimulai dari bilangan satu.
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan sistem bilangan untuk
melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh,
orang-orang Babylonia mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang
Mesir kuno memiliki sistem bilangan dengan hieroglif berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat
10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari Karnak, tertanggal sekitar 1500 SM dan
sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan;
hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan
lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sedini 700 SM oleh orang-orang
Babylon, namun mereka mencopotnya bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.
Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan India Brahmagupta.
Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan. Dengan
definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan himpunan
kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan,
logika dan ilmu komputer. Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori bilangan, bertahan
pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.
Bilangan bulat
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Belum Diperiksa
Langsung ke: navigasi, cari
Simbol yang digunakan untuk melambangkan himpunan bilangan bulat
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah
sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa
komponen desimal atau pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau
dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").
), berasal
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali
dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di
bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat
pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
closure:
Asosiativitas:
Komutativitas:
Eksistensi unsur
identitas:
Eksistensi unsur
invers:
Distribusivitas:
Tidak ada pembagi
Penambahan
a + b adalah bilangan
bulat
a + (b + c) = (a + b) + c
a+b = b+a
Perkalian
a+0 = a
a×1 = a
a × b adalah bilangan bulat
a × (b × c) = (a × b) × c
a×b = b×a
a + (−a) = 0
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau
nol:
keduanya)
[sunting] Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa
pemrograman
[sunting] Dalam Pascal
Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam bahasa pemrograman
Pascal. Walaupun memiliki ukuran 2 byte (16 bit),karena integer adalah type data signed maka
hanya mampu di-assign nilai antara -215 hingga 215-1 yaitu -32768 sampai 32767. Ini disebabkan
karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama,
tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET dan Borland Delphi
memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648
hingga 2,147,483,647.


Borland Delphi : smallint
Visual Basic .NET : short
Bilangan cacah
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Belum Diperiksa
Langsung ke: navigasi, cari
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan
kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif