PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
Definisi:
Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel
independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x.
Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam
persamaan tersebut.
Contoh:
= PD order satu
−
−
= PD order dua
−
= PD order tiga
Proses Pembentukan Persamaan Diferensial
Contoh:
−
A, B =konstanta sembarang
−
−
−
=
−
PD order 2)
Contoh:
Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi
Solusi:
−
−
−
−
dari persamaan diatas
1
−
−
=
−
−
−
−
= PD order 1
−
Contoh:
−
Bentuklah persamaan direfensial untuk
−
Solusi:
−
−
−
Substitusi
=
−
=
−
−
−
−
−
Catatan:
Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu
Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua
Penyelesaian Persamaan Diferensial
Penyelesaian Persamaan Diferensial
manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh
turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y.
2
Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung
Bila persamaan dalam bentuk y’=f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan
dengan integrasi sederhana
Catatan
selanjutnya
ditulis y ’
ditulis y “
Contoh:
−
−
−
−
Contoh:
−
−
=
−
−
Contoh: Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan
−
−
Masukkan nilai
−
−
=
−
−
−
=
=
−
−
−
Metode 2: Dengan pemisahan variabel
Bila persamaan yang diberikan berbentuk
−
variabel
di sisi kanan
menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.
Contoh:
−
=
−
3
−
−
Contoh:
−
−
−
=
−
Contoh:
=
−
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
Contoh:
=
−
−
−
−
Contoh:
−
=
=
−
−
4
−
Contoh:
−
=
−
−
PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI
−
−
Contoh:
Persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan sisi kanan dan sisi kiri dalam bentuk “factor
x” dan “factor y”. Dalam kasus ini kita menggunakan substitu −
si , dimana v
adalah fungsi dari x.
−
Bila
didefinisikan, maka
−
=
−
Sehingga
−
−
−
→
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
Catatan:
−
Substitusi
−
−
=
=
−
−
→
=
−
5
−
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
Catatan:
→
−
Substitusi
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
Karena
−
=
−
Contoh:
−
−
=
−
−
−
6
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
=
=
−
−
Keujudan dan Ketunggalan
Dibagian sebelumnya kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu terjadi dalam
banyak model. Tentu saja model itu berguna bila persamaan diferensial yang dihasilkan
dapat diselesaikan secara eksplisit, atau paling sedikit jika kita dapat menemukan teknik
yang beraneka ragam untuk menyelesaikan suatu PD, akan sangat bermanfaat
mengetahui apakah PD itu mempunyai penyelesaian atau tidak. Yaitu, apakah PD itu
ujud? Sebagai contoh PD,
− tidak mempunyai penyelesaikan real,
karena ruas kiri selalu positif,
Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah
−
Bila kita ketahui nilai
pada saat
, atau
−
Maka kita akan dapat mengetahui kedudukan/nilai y pada x berikutnya dan y akan
bergerak pada lintasan tunggal. Ini berarti, PD pada pers (1) mempunyai penyelesaian
yang memenuhi syarat (2), dan PD itu mempunyai hanya satu penyelesaian.
7
Syarat (2) disebut syarat awal; dan pers (1) dan syarat (2) disebut MASALAH NILAI AWAL
(MNA) atau Initial Value Problem.
PERSAMAAN LINEAR – Penggunaan Faktor Integrasi
−
Tinjau persamaan
Metode sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini.
= kalikan kedua sisi dengan
−
−
Merupakan turunan dari
−
=
−
−
−
Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk
persamaan linear orde pertama.
−
persamaan ini disebut
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan kedua sisi dengan sebuah factor integrasi
yang selalu berbentuk
kali.
. Hal ini akan mengubah sisi kiri menjadi turunan dari hasil
−
Dari contoh sebelumnya
−
P=5
= faktor integrasinya adalah
−
Contoh:
=
−
=
Factor integrasi
(P=-1; Q=x)
−
−
Jadi factor integrasi =
Kalikan kedua sisi dengan
=
−
−
=
.
−
8
Integral disisi kanan dapat diselesaikan dengan integrasi perbagian.
−
−
−
−
−
Tinjau
Faktor integral −
; dimana P&Q fungsi dari x
−
−
Turunan dari
= diintegralkan terhadap x
−
−
−
−
Definisi Dasar Logaritma
−
−
−
−
−
−
−
Contoh:
Solusi: bagi kedua sisi dengan x
−
−
−
=
−
−
Gunakan rumus
−
9
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Contoh:
Selesaikan persamaan diferensial tersebut
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
Contoh: Selesaikan PD berikut
−
Solusi: Bagi kedua sisi dengan
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
Contoh: selesaikan persamaan diferensial berikut
10
−
Solusi:
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
−
−
−
−
Contoh: carilah penyelesaian masalah nilai awal (MNA) atau Initial Value Problem
−
−
−
Solusi:
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
Contoh: selesaikan PD berikut:
−
Solusi: kita bagi kedua sisi
11
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
Contoh: selesaikan persamaan
untuk −
−
Solusi:
bagi kedua sisi
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
−
PERSAMAAN BERNOULLI
Persamaan Bernoulli:
−
P & Q fungsi dari x
Bagi kedua sisi dengan
12
jika diketahui
−
−
Masukkan −
=
−
Jika persamaan (1) dikalikan dengan
menjadi
−
−
;
dimana
adalah fungsi dari x. selanjutnya dapat
diselesaikan dengan menggunakan sebuah factor integrasi.
Contoh:
−
Selesaikan
Solusi: bagi kedua sisi dengan
Bila −
−
−
=
−
didapat
−
−
−
−
Maka persamaan (*) menjadi
−
=
−
−
=
−
−
→
→
−
−
=
−
=
−
−
−
=
−
−
→
−
−
−
Bila kita cek kembali untuk melihat apakah y menyelesaikan persamaan asal
13
−
=
→
−
−
−
−
−
−
−
−
= sesuai dengan soal
Contoh: selesaikan persamaan berikut
−
Solusi: = solusi dasar
−
Bagi kedua sisi dengan
−
menghasilkan
Bagi kedua sisi dengan
−
Misal −
−
=
−
−
Kalikan persamaan (*) dengan -3; maka
−
=
−
Selesaikan persamaan dengan metode
−
−
−
−
−
Karena −
=
−
−
−
−
maka
−
14
−
−
−
=
−
−
−
Contoh: selesaikan
Solusi: bagi kedua sisi dengan
−
−
merupakan bentuk dasar
Bagi kedua sisi dengan
−
−
−
−
−
Kalikan
=
dengan
−
=
Selesaikan dengan factor integral;
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
karena
−
−
=
−
−
−
−
−
15
Aplikasi PDB Order Satu
3.1 Masalah Dalam Mekanik
4x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda
waktu 4t maka kecepatan rata-rata didenisikan
x = xB ; xA :
vr = 4
4t tB ; tA
Misal
bergerak selama
Selanjutnya kecepatan sesaat adalah
4x
v = 4!
lim0 vr = 4lim
t!0 4t
v = dx
dt (m=dt):
v = dv
(m=dt2)
dt
Hukum 3.1.1 (Hukum Newton I) Hukum ini juga disebut hukum Kelembaman Newton yang berbunyi' setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam
atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya-gaya yang
bekerja pada benda itu'.
16
Hukum 3.1.2 (Hukum Newton II) Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya
yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus (sebanding) dengan besar
gaya itu, dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu. Secara matematis dapat ditulis sebagai a = F=m atau F = ma dimana F adalah
gaya dan m suatu massa.
Analog dengan hukum Newton II ini, gerak jatuh bebas suatu benda dengan
berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah
W = mg:
F dalam hal ini direpresentasikan dengan W dan a = g, sehingga bisa kita tulis
mg = W
ma
m dv
dt
dv
dx
m dx dt
dv
mv dx
= F
= F
= F
= F
adalah model dari PDB order satu.
Contoh 3.1.1 Benda dengan berat 8 newton dijatuhkan dari suatu ketinggian
tertentu, yang bearawal dari keadaan diam. Jika kecepatan benda jatuh itu v,
dan kecepatan gravitasi bumi adalah g = 10m=dt2, serta gaya gesek udara adalah
;2v. Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu.
17
Penyelesaian 3.1.1 Hukum newton mengatakan F = ma atau P F = ma.
Dalam hal ini f1 = W = 8 newton (gaya kebawah), dan F2 =gaya gesek udara
= ;2v (gaya keatas) sehingga
m dv
dt = F1 + F2
8 dv = 8 ; 2v
10 dt
1 dv = 10 dt
8 ; 2v
8
Karena benda berawal dari keadaan diam maka v(0) = 0, sehingga model PDB
sekarang adalah
1 dv = 10 dt
8 ; 2v
8
v(0) = 0
Integralkan kedua ruasnya didapat
; 21 ln(8 ; 2v) + c0
ln(8 ; 2v)
(8 ; 2v)
= 10
8 t + c1
= ; 5 t + c2
2
= e; 52 t+c2
2v =
v =
;Ce; t + 8
1 (8 ; Ce; t )
2
5
2
5
2
Dengan memasukkan nilai awal v(0) = 0 maka c = 4 sehingga ekspresi kecepatan
adalah
v(t) = 4 ; 2e; 25 t:
Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah v(t) kedalam v =
18
dx
dt
sehingga model PDB sekarang adalalah
dx = 4 ; 2e; 25 t
dt
x(0) = 0
Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu
adalah
x(t) = 4t ; 45 e 52 t + 45
3.2 Pertumbuhan dan Peluruhan
Jika Q menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t,
maka perubahan (bertambah=pertumbuhan atau berkurang=peluruhan) yang
disimbulkan dengan
dQ
dt
berbanding lurus dengan kuantitas Q, dengan kata lain
dQ = rQ pertumbuhan
dt
dQ = ;rQ peluruhan
dt
3.2.1 Pertumbuhan Populasi
Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t, k adalah konstanta proportionalitas
atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah
dy = ky
dt
y(t0 ) = y0
19
Selanjutnya bila k berubah-ubah maka dapat kita ganti dengan h(y) yang dapat
dipilih h(y) = r ; ay maka model pertumbuhan menjadi
dy
dt
= (r ; ay)y
dy = r(1 ; y )y dimana K = r
dt
K
a
y(t0) = y0
PDB ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan Logistik. Solusi
kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar
1.5
x
1
-3
-2
0.5
0
-1
2
1
-1
-0.5
y(x)
3
Asymptotic solution
2
2.5
3.1.
Gambar 3.1: Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi.
Contoh 3.2.1 Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut
dx = 1 x ; 1 x2
dt 100 (10)8
Bila tahun 1980 jumlah populasinya 100,000 maka
1. berapa besar populasi tahaun 2000
2. tahun berapa jumlah populasi akan menjadi 2 tahun 1980
3. berapa jumlah populasi terbesar untuk t > 1980
20
Penyelesaian 3.2.1 Bila tahun 1980 jumlah populasi 100,000 maka dapat dikatakan
x(1980) = 100 000 sehingga model PDB sekarang adalah
dx = 1 x ; 1 x2
dt
100 (10)8
x(t0) = x0
Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah
1
dx = dt
(10);2x ; (10);8x2
Integralkan kedua ruasnya
Z
1
dx
(10);2x(1 ; (10);6x)
Z
;6
100 1 + (10) ;6 dx
x 1 ; (10) x
;
100 ln x ; ln(1 ; (10);6x) + c0
x
ln
1 ; (10);6x
x
1 ; (10);6x
x
1 ; (10);6x
=
=
Z
dt
Z
dt
= t + c1
= t + c2
100
= e 100 +c2
t
= ce 100
t
ce 100
x =
1 + (10);6ce 100
t
t
Terapkan nilai awal x(1980) = 100 000 didapat c = 9(10)
e19 8 sehingga
6
:
6
x(t) = 1 + 9e10
19:8;t=100
(3.1)
Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut
1. jumlah populasi tahun 2000 artinya t = 2000. Substitusikan nilai t ini
kedalam persamaan 3.1 didapat x = 119 495. Dengan demikian jumlah
populasi tahun 2000 adalah 119,495 orang.
21
2. jumlah populasi 2 tahun 1980, berarti x = 200 000. Substitusikan nilai
x ini kedalam persamaan 3.1 didapat t = 2061. Dengan demikian jumlah
populasi akan dua kali lipat tahun 1980 dicapai pada tahun 2061.
3. Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas (t ! 1) berarti
106
x = tlim
!1 1 + 9e19:8;t=100
106
x = tlim
!1 1 + 9e19:8et=100
x = 106 = 1 000 000
Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak terbatas adalah satu juta orang.
3.2.2 Peluruhan Radioaktif
Contoh 3.2.2 Radioaktif isotop Thorium-234 meluruh pada tingkat yang sebanding dengan jumlah isotop. Jika 100 mg dari material meluruh menjadi 82.04 mg
dalam satu minggu, maka
1. tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu
2. tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari
jumlah semula.
Penyelesaian 3.2.2 Gunakan rumus peluruhan. Misal Q jumlah isotop Thorium234 maka dalam waktu t model peristiwa peluruhan itu adalah
dQ = ;rQ
dt
Q(0) = 100
22
Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh
Q(t) = 100e;rt
Kemudian terapkan sarat kedua, yakni dalam satu minggu (7 hari) isotop menjadi 82.04 mg artinya Q(7) = 82:04 mg akan didapat nilai r, sedemikian hingga
ekspresi jumlah terhadap waktu (hari) adalah
Q(t) = 100e;0:02828t:
Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaanpertanyaan diatas. (Teruskan sebagai latihan.)
3.3 Hukun Pendinginan Newton
Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan
sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya. Dengan
demikian bila Suhu benda itu adalah x dan suhu sekitarnya itu adalah xs maka
proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan
dx = k(x ; x ) k > 0
s
dt
dimana k adalah konstanta tingkat pendinginan.
Contoh 3.3.1 Suatu benda dengan suhu 80oC diletakkan diruangan yang bersuhu
50oC pada saat t = 0. Dalam waktu 5 menit suhu benda tersebut menjadi 70oC ,
maka
1. tentukan fungsi suhu pada saat tertentu
2. tentukan besarnya suhu benda pada 10 menit terakhir
23
3. kapan suhu menjadi 60o C
Penyelesaian 3.3.1 Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses
pendinginan dapat ditulis sebagai
dx = k(x ; 50)
dt
x(0) = 80 dan x(5) = 70
Solusi dari persamaan itu adalah
ln(x ; 50) + c0 = kt + c1
(x ; 50) = cekt
x = 50 + cekt
Masukkan nilai awal maka nilai c = 30 sehingga persamaan menjadi
x = 50 + 30ekt
Dan masukkan kondisi kedua didapat
; 1
ek = 23 5
sehingga ekspresi terakhir menjadi
; x(t) = 50 + 30 32 5
Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini.
t
3.4 Campuran
Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam
suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campuran lain dengan konsentrasi berbeda. Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada
24
saat tertentu, maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan dQ
dt . Kemudian
bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang
keluar, dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju
jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka
dQ = IN ; OUT
dt
v =r liter/min
k =s gram/liter
v =r liter/min
K= L liter
Q(0) = Q_0 gram
Gambar 3.2: Proses campuran dalam tangki.
Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka
IN = kv = sr gram=liter
Q v = Qr gram=liter
OUT = K
L
Contoh 3.4.1
Suatu tangki mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam.
Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1 gram/liter masuk
kedalam tangki dengan laju 4 liter/menit dan bercampur dengan sempurna, kemudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju 4 liter/menit.
1. Formulasikan masalah nilai awal tersebut
25
2. Tentukan jumlah garam Q setiap saat.
Penyelesaian 3.4.1 Formula campuran adalah
dQ = IN ; OUT:
dt
Diketahui s = 1 gram=liter r = 4 liter=menit L = 200 liter dan Q(0) = 100
didapat
IN = kv = s gram=liter r liter=menit = 4 gram=liter
Q v = Q gram=liter r liter=menit = 4Q gram=liter
OUT = K
K
200
Sehingga
1. Model PDBnya adalah
dQ = 4 ; 4Q = 4 ; Q
dt
200
50
Q(0) = 100
2. Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat
Q(t) = 200 ; 100e;t=50
26