pengkajian fungsi gelombang radial dan rapat probabilitas atom

PENGKAJIAN FUNGSI GELOMBANG RADIAL DAN RAPAT
PROBABILITAS ATOM HIDROGEN SECARA NUMERIK
MENGGUNAKAN DELPHI 7.0
Disusun oleh :
SEPTIANA MANDA SARI
M 0205046
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi sebagian
persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains Fisika
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
Januari, 2010
LEMBAR PENGESAHAN
Skripsi ini dibimbing oleh :
Pembimbing I
Pembimbing II
Dra. Suparmi, M.A, Ph.D
Viska Inda Variani, M.Si
NIP. 19520915 197603 2 001
NIP. 19720617 199702 2 001
Dipertahankan di depan Tim Penguji Skripsi pada :
Hari
: Rabu
Tanggal
: 27 Januari 2010
Anggota Tim Penguji :
1. Drs. Syamsurizal
(.............................................)
NIP. 19561212 198803 1 001
2. Ahmad Marzuki, S.Si, Ph.D.
(.............................................)
NIP. 19680508 199702 1 001
Disahkan oleh
Jurusan Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret Surakarta
Ketua Jurusan Fisika
Drs. Harjana, M.Si, Ph.D
NIP. 19590725 198601 1 001
ii
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul “PENGKAJIAN
FUNGSI GELOMBANG RADIAL DAN RAPAT PROBABILITAS ATOM
HIDROGEN SECARA NUMERIK MENGGUNAKAN DELPHI 7.0” adalah
benar-benar hasil penelitian sendiri dan tidak terdapat karya yang pernah diajukan
untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu perguruan tinggi, dan sepanjang
pengetahuan saya juga tidak terdapat kerja atau pendapat yang pernah ditulis atau
diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan
disebutkan dalam daftar pustaka.
Surakarta, 10 Januari 2010
SEPTIANA MANDA SARI
iii
PENGKAJIAN FUNGSI GELOMBANG RADIAL DAN RAPAT
PROBABILITAS ATOM HIDROGEN SECARA NUMERIK
MENGGUNAKAN DELPHI 7.0
Jurusan Fisika Fakultas MIPA Universitas Sebelas Maret
ABSTRAK
Fungsi gelombang radial atom hidrogen dan rapat probabilitasnya telah dikaji
secara numerik dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0. Fungsi
gelombang radial atom hidrogen diselesaikan menggunakan metode polinomial
laguerre dan metode operator dengan bantuan Mapel 9.5 untuk menstransfer dari
satu potensial ke potensial lain. Dari grafik rapat probabilitas dapat digunakan
untuk menggambarkan kelakuan elektron atom hidrogen.
Kata kunci:gelombang radial atom hidrogen, metode operator, polinom laguerre
iv
STUDY TO RADIAL WAVEFUNCTION AND PROBABILITY
DENSITY OF THE HYDROGEN ATOM WITH NUMERIC
USING DELPHI 7.0
Physics Department MIPA Faculty Sebelas Maret University
ABSTRACT
The radial wavefunction and probability density of hydrogen atom has been
studied with numeric using Delphi 7.0 programming language. The radial
wavefunction of hydrogen atom were derived using laguerre polynomial and
operator method that helped by Mapel 9.5. From probability density graph can be
described the behavior electron of the hydrogen atom.
Keywords: radial wavefunction of hydrogen, operator method, laguerre
polynomial
v
KATA PENGANTAR
Puji Syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat,
karunia, dan ijin-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini
untuk memenuhi sebagian persyaratan guna mencapai gelar Sarjana Sains dari
Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Sebelas Maret Surakarta.
Dalam penyusunan laporan ini, penulis tidak lepas dari bimbingan,
pengarahan dan bantuan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis
menyampaikan ucapan terima kasih kepada :
1. Dra Suparmi MA, PhD, selaku Pembimbing I yang telah mendampingi selama
penelitian, memberi motivasi, bimbingan, nasehat dan saran dalam
penyusunan skripsi.
2. Viska Inda Variani M.Si selaku Pembimbing II yang telah memberikan
motivasi, melatih kesabaran dan saran dalam penyelesaian skripsi.
3. Drs Palgunadi M.Si yang telah memberikan saran dan bimbingan mengenai
pemrograman .
4. Temen angkatan 2005 (Erwantini, isni, siti, mega, sita, ana, afa, esti, esti) yang
telah membantu terselesainya skripsi ini dan selalu memberi dukungan .
5. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu
penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi hasil
yang lebih baik lagi. Penulis juga berharap semoga laporan ini dapat
bermanfaat dan memberi tambahan ilmu bagi pembaca.
Surakarta, 10 Januari 2010
Septiana Manda sari
vi
DAFTAR SIMBOL
me
= massa atom (kg)
mp
= massa proton (kg)
e
= muatan elektron
v
= frekuensi
l
= pajang gelombang
t
= waktu
V
= energi potensial
E
= energi
r
= jari-jari atom
p
= momentum
f (r )
= superpotensial
y
= fungsi gelombang
nr
= bilangan kuantum orbital
n
= bilangan kuantum utama
a0
=jari-jari bohr (5,292 x 10 -11 )
ω
= kecepatan sudut (rad/s)
l
= bilangan kuantum azimuth
h
= konstanta planck (6.626 x 10 -34 )
h
=
m
= massa tereduksi
H
= Hamiltonian
q
= sudut zenital
f
= sudut azimuth
h
= 1.054 x 10 -34
2p
Y (q , f ) = fungsi gelombang anguler
R(r)
= fungsi gelombang radial atom hidrogen
2
r 2 Rn,l = probabilitas fungsi gelombang atom hidrogen
vii
U (x)
= energi potensial
La
= polinomial legendre dengan suku ke- a
L ab
= polinomial laguerre dengan suku ke- a
H -+
= pasangan supersimetri Hamiltonian
A
= operator penurun
A+
= operator penaik
e0
= faktorisasi energi
V+ dan V- =pasangan potensial efektif
Qi , Q j
= operator muatan
d
= delta dirac
viii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL............................................................................... ............ i
LEMBAR PENGESAHAN .................................................................... ........... ii
HALAMAN PERNYATAAN ........................................................................... iii
ABSTRAK ......................................................................................................... iv
ABSTRACT........................................................................................................ v
KATA PENGANTAR ....................................................................................... vi
DAFTAR SIMBOL........................................................................................... vii
DAFTAR ISI...................................................................................................... ix
DAFTAR TABEL.............................................................................................. xi
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii
DAFTAR LAMPIRAN.................................................................................... xiii
BAB I. PENDAHULUAN.................................................................................. 1
I.1. Latar Belakang Masalah ................................................................... 1
I.2. Perumusan Masalah .......................................................................... 3
I.3. Tujuan Penelitian .............................................................................. 3
I.4. Batasan Penelitian............................................................................. 3
I.5. Manfaat Penelitian ............................................................................ 4
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA........................................................................ 5
II.1. Teori atom Bohr .............................................................................. 5
II.1.1. Gagasan Kunci Model atom Bohr…………………………….7
II.1.2. Postulat Dasar Model Atom Bohr……………………………7
II.1.3. Model Atom Bohr…………………………………………….8
II.1.4. Tingkatan energi elektron dalam atom hidrogen…………….9
II.2. Atom Hidrogen................................................................................14
II.3. Tinjauan fungsi gelombang atom hidrogen Secara Kuantum ..... 21
II.3.1. Solusi Schrödinger terhadap Masalah Atom Hidrogen………21
II.3.2. Penafsiran Solusi Persamaan Schrodinger…………………...25
II.4. Operator fungsi gelombang radial atom hydrogen..........................26
ix
BAB III. METODE PENELITIAN ................................................. ................ 35
III.1. Lokasi dan Waktu Penelitian ....................................................... 35
III.2. Alat dan Bahan Penelitian............................................................ 35
III.3.Perancangan Program ................................................................... 35
III.4. Prosedur Penelitian ...................................................................... 38
BAB IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN................................. 39
IV.1. Analisa perangkat lunak.............................................................. 39
IV.2. Analisa perhitungan gelombang atom hidrogen ......................... 40
IV.3. Probabilitas Fungsi Gelombang atom hydrogen ......................... 42
IV.4 Perbandingan keadaan lain untuk model kuantum dan Bohr. ...... 44
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN........................................................... 46
V.1. Kesimpulan ................................................................................... 46
V.2. Saran.............................................................................................. 46
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 47
LAMPIRAN - LAMPIRAN.............................................................................. 49
x
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1. Elemen polinomial Legendre
(Hossain and Reza, 2006). .............................................................. 18
Tabel 2.2. Elemen polinomial laguerre
(Griffith, 1994)................................................................................ 20
xi
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1. Tingkat-tingkat energi atom hidrogen
(www.chem-is-try.org)................................................................... 9
Gambar 2.2. Model Bohr untuk atom hydrogen
(www.chem-is-try.org)................................................................. 13
Gambar 2.3. Model elemen volume untuk atom hydrogen
(www.chem-is-try.org)................................................................. 17
Gambar 2.4. Gelombang radial atom hydrogen
(www.chem-is-try.org)................................................................. 19
Gambar 2.5. Probabilitas elektron atom hydrogen
(www.chem-is-try.org)................................................................. 19
Gambar 3.1. Diagram alir penyelesaian fungsi gelombang dan rapat probabilitas
elektron atom hidrogen..................................................................38
Gambar 4.1. Tampilan program........................................................................ 39
Gambar 4.2. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 1s
(www.chem-is-try.org)................................................................. 40
Gambar 4.3. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 1s ............................. 41
Gambar 4.4. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 2s
(www.chem-is-try.org)................................................................. 41
Gambar 4.5. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 1s .............................. 41
Gambar 4.6. Probabilitas atom hidrogen 2s
(www.chem-is-try.org)................................................................. 43
Gambar 4.7. Probabilitas atom hidrogen dalam keadaan 3s ............................. 43
Gambar 4.8. Probabilitas atom hidrogen dalam keadaan 3p ........................... 44
Gambar 4.9. Probabilitas atom hidrogen dalam keadaan 6p............................. 45
xii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1. Listing Program Dalam Delphi 7.0 .............................................. 49
Lampiran 2. Listing Program Dalam Maple 9.5(Fungsi Operator) ................. 58
Lampiran 3. Tampilan Output Program ........................................................... 59
xiii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang Masalah
Ada dua cabang utama dalam fisika klasik, yaitu mekanika klasik dan teori
medan elektromagnetik. Pada umumnya dalam fisika klasik yang dipelajari adalah
benda-benda makroskopik, sehingga apabila posisi dan momentum awal telah
diketahui maka keadaan akhirnya dapat ditentukan. Berawal dari teori yang
diusulkan oleh Louise de Broglie, Max Planck, dan prinsip ketidakpastian
Heisenbreg, mengisyaratkan perlunya konsep baru untuk mempelajari tentang
dunia mikroskopik, yaitu mekanika kuantum. Dalam mekanika kuantum kuantitas
yang perlu diselidiki adalah nilai ekspektasi yang memberikan informasi tentang
energi, posisi, dan momentumnya yang dapat ditentukan dari fungsi gelombang.
Konsep sentral dalam mekanika kuantum adalah persamaan Schrodinger
yang merupakan persamaan differensial orde dua yang identik dengan persamaan
energi total suatu sistem pada mekanika klasik, dimana variabel dalam mekanika
klasik menjadi operator dalam mekanika kuantum. Persamaan Schrodinger dapat
memberikan
informasi
momentumnya.
suatu
sistem
Informasi-informasi
tentang
diatas
akan
energi,
posisi,
diperoleh
bila
ataupun
dapat
menyelesaikan persamaan Schrodinger untuk menentukan tingkat-tingkat energi
dan fungsi gelombangnya. Walaupun demikian, telah dikembangkan beberapa
metode atau pendekatan yang digunakan untuk menentukan spektrum energi dan
fungsi gelombang dari persamaan Schrodinger antara lain : dengan penyelesaian
persamaan Schrodinger secara langsung, metode operator, dan pendekatan WKB.
Namun bukanlah suatu pekerjaan yang mudah untuk menyelesaikan persamaan
Schrodinger bagi sistem potensial yang komplek seperti atom Hidrogen. Model
atom terkini yang dikembangkan dalam waktu singkat menurut perumusan
mekanika kuantum merupakan sumbangan penting pada pengetahuan mengenai
alam semesta pada abad ini. Disamping pembaharuan pendekatan mengenai gejala
atomik dengan teori mekanika kuantum dapat dimengerti berbagai hal yang dekat
xiv
hubungannya seperti bagaimana atom berinteraksi membentuk molekul mantab,
asal tabel periodik unsur-unsur dan mengapa zat padat memiliki sifat karakteristik
listrik, magnetis, optis dan mekanis dan lain sebagainnya (Beiser, 1992).
Studi struktur atom hydrogen adalah langkah yang penting untuk
mempelajari lebih lanjut struktur atom kompleks dan molekul, bukan hanya
karena atom hydrogen merupakan struktur atom yang paling sederhana melainkan
juga sebagai basis dalam perlakuan terhadap struktur atom berelektron banyak
maupun molekul kompleks (Yusron,dkk. 2007 ).
Sejalan dengan kemajuan teknologi, persoalan-persoalan fisika sekarang
dapat disimulasikan dengan komputer. Dengan simulasi akan lebih mudah dan
cepat untuk memperoleh suatu rumusan serta penginterpretasikannya. Fungsi
gelombang radial atom Hidrogen dapat diselesaikan dengan menggunakan
beberapa cara yaitu persamaan orde II, fungsi pembangkit, polinomial Laguerre
dan operator. Pada tulisan ini akan dicari persamaan gelombang radial atom
hydrogen melalui polynomial laguerre dan operator. Bahasa pemrograman C
merupakan bahasa pemrograman tingkat menengah (Rosihan,2005).
Oleh karena itu perlu digunakan bahasa pemrograman baru sehingga mudah
untuk digunakan oleh user. Pascal adalah bahasa pemrograman tingkat tinggi dan
terstruktur. Pascal merupakan dasar pemrograman visual Delphi. Polinomial
laguerre dan fungsi operator akan dibuat dengan menggunakan software Delphi
dengan bantuan Maple 9.5.
I.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat dituliskan perumusan
masalah sebagai berikut:
xv
1. Bagaimanakah mendeskripsikan fungsi gelombang dan rapat probabilitas
radial atom hidrogen secara kuantum dalam bentuk grafik?
2. Bagaimanakah grafik yang diprogram dengan metode polinomial Laguerre
dan operator atom hidrogen?
I.3. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Membuat simulasi perhitungan fungsi gelombang dan rapat probabilitas radial
atom hidrogen secara kuantum untuk mendeskripsikannya dalam bentuk
grafik
2. Membandingkan grafik yang diprogram dengan metode polinomial Laguerre
dan operator atom hidrogen
3. Menganalisa grafik (rapat probabilitas) atom hidrogen.
I.4. Batasan Penelitian
Penyusunan program untuk penyelesaian secara numerik fungsi gelombang
dan rapat probabilitas radial atom hidrogen menggunakan polinomial Laguerre
dan metode operator dilakukan untuk n = 0 sampai n = 3. Program dapat
menampilkan hubungan antara fungsi gelombang radial atom hidrogen (R(r))
dengan jari – jari atom.
I.5. Manfaat Penelitian
Memberikan kemudahan dalam perhitungan fungsi gelombang radial atom
hidrogen dan mendiskripsikannya dalam bentuk grafik Dengan menggunakan
bahasa pemrograman Delphi 7.0 dan dibantu Maple 9.5. Selain itu, dapat
xvi
digunakan untuk mengkaji sifat partikel atom yang bermanfaat juga untuk
pengembangan bidang lain seperti material, zat padat dan mengapa zat padat
memiliki sifat karakteristik listrik, magnetik, optis dan mekanis.
xvii
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
II.1 TEORI ATOM BOHR
Pada tahun 1913 Neils Bohr pertama kali mengajukan teori kuantum untuk
atom hydrogen. Model ini merupakan transisi antara model mekanika klasik dan
mekanika gelombang. Karena pada prinsip fisika klasik tidak sesuai dengan
kemantapan hidrogen atom yang teramati, model atom Bohr memperbaiki
kelemahan model atom Rutherford. Model atom Rutherford tidak dapat
menjelaskan alasan mengapa elektron tidak dapat jatuh kedalam inti. Fisika klasik
menyatakan bahwa apabila terdapat suatu partikel bermuatan yang bergerak
menurut lintasan lengkung maka energinya akan hilang dalam bentuk radiasi.
Pernyataan fisika klasik ini menjadi persoalan bagi model atom yang
dikemukakan oleh Rutherford karena jika elektron bergerak mengelilingi inti,
maka elektron akan kehilangan energinya dan energi kinetik elektron akan terus
berkurang. Gaya tarik inti atom terhadap elektron akan menjadi lebih besar
daripada gaya sentrifugal lintasan elektron dan menyebabkan lintasan menjadi
spiral dan akhirnya elektron jatuh kedalam inti atom. Apabila elektron jatuh
kedalam inti atom, maka atom menjadi tak stabil. Hal ini bententangan dengan
pernyataan umum bahwa atom stabil.
Untuk menutupi kelemahan model atom Rutherford, Bohr mengeluarkan
empat postulat. Gagasan Bohr menyatakan bahwa elektron harus mengorbit di
sekeliling inti. Namun demikian, teori atom yang dikemukakan oleh Neils Bohr
juga memiliki banyak kelemahan. Model Bohr hanyalah bermanfaat untuk atomatom yang mengandung satu elektron tetapi tidak untuk atom yang berelektron
banyak.
Begitu juga menurut Max Planck radiasi elektromagnetik bersifat
diskontinyu atau dalam bentuk kuanta. Diskontinyuitas radiasi elektromagnetik
xviii
dikuatkan oleh efek fotolistrik yang dikembangkan oleh Albert Einstein.
Sedangkan kuantisasi/kuanta energi digunakan oleh Niels Bohr dalam momentum
sudut elektron untuk pengembangan teorinya tentang atom hidrogen.
Apabila berkas cahaya polikromatis seperti lampu listrik dan sinar
matahari dilewatkan melalui prisma maka akan diperoleh spektrum kontinyu yang
terdiri dari berbagai warna penyusunnya. Spektrum garis dihasilkan apabila
sumber cahaya polikromatik seperti lampu listrik dan sinar matahari diganti oleh
busur listrik berisi gas hidrogen maka akan dihasilkan spektrum yang tidak
kontinyu. Spektrum yang tidak kontinyu berupa sederetan garis berwarna yang
disebut spektrum garis tak kontinyu. Spektrum garis yang paling sederhana adalah
spektrum garis atom hidrogen. Balmer melakukan penelitian sehingga didapatkan
deret Balmer untuk atom hidrogen. Fisikawan Swiss Johann Jakob Balmer (18251898) memisahkan cahaya yang diemisikan oleh hidrogen bertekanan rendah. Ia
mengenali bahwa panjang gelombang λ deretan garis spektra ini dapat dengan
akurat diungkapkan dalam persamaan sederhana (1885). Fisikawan Swedia
Johannes Robert Rydberg (1854-1919) menemukan bahwa bilangan gelombang σ
garis spektra dapat diungkapkan dengan persamaan berikut (1889). Rydberg
membuat
rumus
yang
lebih
umum
sehingga
dapat
diterapkan
untuk
memperkirakan panjang gelombang beberapa garis pada spektrum emisi hidrogen.
Rydberg memberikan rumus:
s =
æ 1
1
1 ö
= RH ç 2 - 2 ÷
çn
÷
l
è i nf ø
(2.01)
RH merupakan konstanta yang disebut dengan konstanta Rydberg atau deret
Rydberg. Untuk nilai ni dan n f merupakan bilangan bulat (seluruh angka). n f
lebih besar daripada ni Dengan kata lain, jika ni katakanlah 2, maka n f dapat
berupa seluruh angka antara 3 dan tak hingga
II.1.1 Gagasan Kunci Model atom Bohr
xix
Dua gagasan kunci model atom Bohr adalah:
1. Elektron-elektron bergerak di dalam orbit-orbit dan memiliki momentum yang
terkuantisasi, dan dengan demikian energi yang terkuantisasi. Ini berarti tidak
setiap orbit, melainkan hanya beberapa orbit spesifik yang dimungkinkan ada
yang berada pada jarak yang spesifik dari inti.
2. Elektron-elektron tidak akan kehilangan energi secara perlahan-lahan
sebagaimana mereka bergerak di dalam orbit, melainkan akan tetap stabil di
dalam sebuah orbit yang tidak meluruh.
II.1.2 Postulat Dasar Model Atom Bohr
Ada empat postulat yang digunakan untuk menutupi kelemahan model atom
Rutherford, antara lain :
1. Atom Hidrogen terdiri dari sebuah elektron yang bergerak dalam suatu lintas
edar berbentuk lingkaran mengelilingi inti atom ; gerak elektron tersebut
dipengaruhi oleh gaya coulomb sesuai dengan kaidah mekanika klasik.
2. Lintas edar elektron dalam hydrogen yang mantap hanyalah memiliki harga
momentum angular L yang merupakan kelipatan dari tetapan Planck dibagi
dengan 2π.
(2.03)
dimana n = 1,2,3,… dan disebut sebagai bilangan kuantum utama, dan h
adalah konstanta Planck.
3. Dalam lintas edar yang mantap elektron yang mengelilingi inti atom tidak
memancarkan energi elektromagnetik, dalam hal ini energi totalnya E tidak
berubah.
4. Jika suatu atom melakukan transisi dari keadaan energi tinggi EU ke keadaan
energi lebih rendah EI, sebuah foton dengan energi hυ=EU-EI diemisikan. Jika
sebuah foton diserap, atom tersebut akan bertransisi ke keadaan energi rendah
ke keadaan energi tinggi.
xx
II.1.3 Model Atom Bohr
“Bohr menyatakan bahwa electron-elektron hanya menempati orbit-orbit
tertentu disekitar inti atom, yang masing-masing terkait sejumlah energi kelipatan
dari suatu nilai kuantum dasar”.(John , 2002)
Model Bohr dari atom hidrogen menggambarkan elektron-elektron bermuatan
negatif mengorbit pada kulit atom dalam lintasan tertentu mengelilingi inti atom
yang bermuatan positif. Ketika elektron meloncat dari satu orbit ke orbit lainnya
selalu
disertai
dengan
pemancaran
atau
penyerapan
sejumlah
energi
elektromagnetik hf.
Menurut Bohr :
” Ada aturan fisika kuantum yang hanya mengizinkan sejumlah tertentu
elektron dalam tiap orbit. Hanya ada ruang untuk dua elektron dalam orbit
terdekat dari inti. (John , 2005)”
Maksud dari pernyataan diatas yaitu fungsi gelombang elektron disebut
dengan orbital. Bila bilangan koantum utama n = 1, hanya ada satu nilai l , yakni
0. Dalam kasus ini hanya ada satu orbital untuk atom hidrogen, dan kumpulan
bilangan kuantum untuk orbital ini adalah (n = 1, l = 0). Bila n = 2, ada dua
nilai l , 0 dan 1, yang diizinkan.
Karena model Bohr adalah pengembangan dari model Rutherford, banyak
sumber mengkombinasikan kedua nama dalam penyebutannya menjadi model
Rutherford-Bohr. Kunci sukses model ini adalah dalam menjelaskan formula
Rydberg mengenai garis-garis emisi spektral atom hidrogen, walaupun formula
Rydberg sudah dikenal secara eksperimental, tetapi tidak pernah mendapatkan
landasan teoritis sebelum model Bohr diperkenalkan. Tidak hanya karena model
Bohr menjelaskan alasan untuk struktur formula Rydberg, ia juga memberikan
justifikasi hasil empirisnya dalam hal suku-suku konstanta fisika fundamental.
Model Bohr adalah sebuah model primitif mengenai atom hidrogen. Sebagai
sebuah teori, model Bohr dapat dianggap sebagai sebuah pendekatan orde pertama
dari atom hidrogen menggunakan mekanika kuantum yang lebih umum dan
xxi
akurat, dan dengan demikian dapat dianggap sebagai model yang telah usang.
Namun demikian, karena kesederhanaannya, dan hasil yang tepat untuk sebuah
sistem tertentu, model Bohr tetap diajarkan sebagai pengenalan pada mekanika
kuantum.
II.1.4 Tingkatan energi elektron dalam atom hidrogen
Sebelum membahas tingkatan energy atom hydrogen, maka dibawah ini akan
ditampilkan tingkat-tingkat energy untuk atom hydrogen terlebih dahulu.
Gambar 2.1. Tingkat-tingkat energi atom Hydrogen(www.chem-is-try.org)
Model Bohr hanya akurat untuk sistem satu elektron seperti atom hidrogen
atau helium yang terionisasi satu kali. Penurunan rumusan tingkat-tingkat energi
atom hidrogen menggunakan model Bohr.
Penurunan rumus didasarkan pada tiga asumsi sederhana:
1) Energi sebuah elektron dalam orbit adalah penjumlahan energi kinetik dan
energi potensialnya: E = E kinetik + E potensial
xxii
(2.04)
=
kq 2
1
me v 2 - e
2
r
(2.05)
dengan k = 1 / (4πε0), dan qe adalah muatan elektron.
2) Momentum sudut elektron hanya boleh memiliki harga diskret tertentu:
L = me vr = n
h
= nh
2p
(2.06)
dengan n = 1,2,3,… dan disebut bilangan kuantum utama, h adalah
konstanta Planck, dan
.
3) Elektron berada dalam orbit diatur oleh gaya coulomb. Ini berarti gaya
coulomb sama dengan gaya sentripetal:
kq e2 me v 2
=
r
r2
(2.07)
Dengan mengalikan ke-2 sisi persamaan (2.07) dengan r didapatkan:
kq e2
= me v 2
r
(2.08)
Suku di sisi kiri menyatakan energi potensial, sehingga persamaan untuk
energi menjadi:
kqe2
1
1
2
E = me v = - me v 2
2
r
2
(2.09)
Dengan menyelesaikan persamaan (2.05) untuk r, didapatkan harga jarijari yang diperkenankan:
r=
nh
me v
(2.10)
Dengan memasukkan persamaan (2.10) ke persamaan (2.08), maka
diperoleh:
xxiii
kq e2
me
= me v 2
nh
(2.11)
Dengan membagi kedua sisi persamaan (2.11) dengan mev didapatkan
kq e2
=v
nh
(2.12)
Dengan memasukkan harga v pada persamaan energi, dan kemudian
mensubstitusikan harga untuk k dan
, maka energi pada tingkatan orbit
yang berbeda dari atom hidrogen dapat ditentukan sebagai berikut:
- me q e4 1
En =
8h 2e 02 n 2
(2.13)
Dengan memasukkan harga semua konstanta, didapatkan,
En =
- 13,6
eV
n2
(2.14)
Dengan demikian, tingkat energi terendah untuk atom hidrogen (n = 1)
adalah -13.6 eV. Tingkat energi berikutnya (n = 2) adalah -3.4 eV. Tingkat energi
ketiga (n = 3) adalah -1.51 eV, dan seterusnya. Atau bisa dikatakan Jika elektron
tertarik ke inti dan dimiliki oleh orbit n, energi dipancarkan dan energi elektron
menjadi lebih rendah sebesar E n =
- 13,6
eV .
n2
Harga-harga energi ini adalah negatif, yang menyatakan bahwa elektron
berada dalam keadaan terikat dengan proton. Harga energi yang positif
berhubungan dengan atom yang berada dalam keadaan terionisasi yaitu ketika
elektron tidak lagi terikat, tetapi dalam keadaan tersebar. Seperti telah diketahui
bahwa menurut Max Planck radiasi elektromagnetik bersifat diskontinyu atau
xxiv
dalam bentuk kuanta. Max Planck menurunkan persamaan untuk pernyataan
tersebut sebagai berikut:
Pernyataan tersebut bertentangan dengan pandangan fisika klasik yang
mengemukakan bahwa energi bersifat kontinyu. Untuk mengatasi perbedaan
tersebut, Niels Bohr melakukan penelitian dan mencoba menjelaskan dengan
pendekatan pemecahan spektrum garis hidrogen. Bohr menggunakan pendekatan
Max Planck untuk menjelaskan spektrum garis hidrogen.
Apabila elektron berpindah dari tingkat energi rendah menuju tingkat
energi tinggi maka energi akan diserap untuk melakukan proses tersebut. Elektron
yang berpindah dari tingkat energi rendah menuju tingkat energi yang lebih tinggi
menyebabkan elektron tereksitasi. Akan tetapi keadaan elektron tereksitasi ini
tidak stabil sehingga elektron kembali dari tingkatan energi tinggi menuju tingkat
energi rendah yang disertai pelepasan energi dalam bentuk radiasi. Jari-jari orbit
diungkapkan dengan 12, 22, 32, 42, …n2. Untuk orbit tertentu dengan jari-jari
minimum a0 = 0,53 Å
a0 =
4pe 0h 2
me 2
(2.15)
Pada gambar 2,1 dibawah ini akan ditampilkan model atom Bohr pada saat
mengikat dan melepas energi.
xxv
Gambar 2.2.Model atom Bohr (www.chem-is-try.org)
Teori Bohr berhasil menjelaskan spektrum garis atom hidrogen dan ionion berelektron tunggal seperti 2He+ dan 3Li2+. Akan tetapi teori Bohr juga
masih menunjukkan kelemahan yaitu tidak mampu menjelaskan spektrum
garis atom berelektron banyak dan sifat spektrum garis dalam medan magnet
serta tidak dapat menjelaskan garis-garis halus spektrum garis atom hidrogen.
Dengan teori kuantum, Bohr juga menemukan rumus matematika yang
dapat dipergunakan untuk menghitung panjang gelombang dari semua garis
yang muncul dalam spektrum atom hidrogen. Nilai hasil perhitungan ternyata
sangat cocok dengan yang diperoleh dari percobaan langsung. Namun untuk
unsur yang lebih rumit dari hidrogen, teori Bohr ini ternyata tidak cocok
dalam meramalkan panjang gelombang garis spektrum. Meskipun demikian,
teori ini diakui sebagai langkah maju dalam menjelaskan fenomena-fenomena
fisika yang terjadi dalam tingkatan atomik. Teori kuantum dari Planck diakui
kebenarannya karena dapat dipakai untuk menjelaskan berbagai fenomena
fisika yang saat itu tidak bisa diterangkan dengan teori klasik.
II.2 Atom Hidrogen
Sebuah atom hydrogen terdiri dari sebuah proton, partikel yang bermuatan
listrik e+ dan sebuah electron, partikel yang bermuatan e- yang bermassa 1835
lebih ringan dari pada proton. Dalam mekanika kuantum , kuantitas yang
xxvi
diperlukan untuk menggambanrkan keadaan suatu partikel adalah fungsi
gelombang y dari benda itu. Waaupun y sendiri tidak mempunyai arti fisis
tertentu, namun y
merupakan langkah awal untuk menentukan besaran-
besaran fisis lain untuk partikel tersebut. Misalnya momentum, momentum
sudut , dan energi dari partikel. (Yossy dan Muhammad, 2005)
Muatan listrik dari inti dinyatakan oleh produk atau perkalian dari
bilangan atom Z dan muatan elementer e. Energi potensial coloumb untuk
atom hydrogen adalah U(r) = −Ze2 / 4πε0r dimana persamaan gelombang
Schrodingernya (Dahmen, 1989)
d 2 u é 2 2meZe 2 l(l + 1) ù
+ ê- k + 2
úu = 0
dr 2 ë
h 4pe 0 r
r2
û
Dan k =+
(2.16)
- 2 me E
h
operator Hamiltonian dari sistem ini dapat diekspresikan dengan persamaan
berikut.
Ù
H =-
h2
Ze 2
L2m
4pe 0 r
(2.17)
Di sini, µ adalah masa tereduksi yang diberikan oleh masa inti M dan masa
elektron m dengan menggunakan persamaan berikut.
m=
1
1/ M + 1/ m
(2.18)
Ketika nilai 1/M dalam penyebut pada persamaan ini diabaikan karena
mengingat bahwa M >> m, persamaan akan tereduksi menjadi µ = m dan sistem
akan menjadi model yang sederhana yaitu sebuah elektron bergerak mengelilingi
sebuah inti yang diam. Kesalahan yang disebabkan oleh pendekatan ini tidaklah
terlalu besar sehingga hal ini akan memberikan bahwa solusi persamaan
gelombang dari Hamiltonian yang berlaku sangat ketat untuk gerak relatif akan
dapat dipahami untuk merepresentasikan gerak elektron dalam atom
xxvii
Sebuah perbandingan dengan kasus pada sebuah atom hidrogen (Z = 1)
mengindikasikan bahwa faktor e2 dengan sederhana dapat digantikan oleh Ze2
dalam ekspresi untuk energi potensial. Karenanya tingkat-tingkat energi akan
diberikan oleh persamaan berikut.
En=
W ( z)
n2
W(z)=
(n=1,2,3,..)
mZ 2 e 4
2
8e 0 h 2
(2.19)
(2.20)
Di sini, n adalah bilangan kuantum utama yang menentukan tingkat-tingkat
energi. W(Z) adalah energi yang diperlukan untuk mengeluarkan satu elektron
dari atom hidrogenik. Kuantitas ini untuk Z = 1 berkaitan dengan energi ionisasi
dari atom hidrogen WH. Dengan menggunakan operator Hamiltonian, persamaan
gelombang dapat diekspresikan dalam bentuk koordinat polar sebagai berikut.
h2
2m 2
æ¶ 2 ¶
ç
ç ¶r r ¶r
è
(
)+ L
ö
÷÷Y = ( E - U )Y
ø
(2.21)
Sebagaimana telah dipelajari tentang momentum sudut, Legendrian Λ hanya
terdiri dari koordinat sudut (θ,φ) , dan ini memenuhi persamaan dengan fungsi
harmonik sudut Yl,m.
LYl ,m = -l (l + 1)Yl , m
(2.22)
Dengan memperhatikan persamaan diatas, dapat diambil fungsi gelombang dalam
bentuk sebagai berikut.
Y = R (r ).Yl ,m (q , f )
xxviii
(2.23)
Dari persamaan 2.22 dan 2.23, akan mendapatkan
é
ê
ë
h2
2m 2
æ¶ 2 ¶
ç
ç ¶r r ¶r
è
(
) - l(l + 1)
ö
ù
÷÷ R(r) + (U- E) R(r) ú Y l,m = 0
ø
û
(2.24)
Fungsi Ψ yang diperkenalkan pada persamaan (2.23) dapat menjadi solusi
dari persamaan gelombang untuk atom hidrogen. Dalam cara ini, fungsi
gelombang dari atom hidrogen diberikan dalam bentuk yang merupakan produk
dari bagian radial R(r) dan bagian sudut Yl,m (θ,φ) .
Bagian sudut Y(θ,φ)
menentukan kebergantungan sudut dari kemungkinan untuk menentukan sebuah
elektron. Di bawah ini akan ditunjukkan pula model elemen volume atom
hidrogen dalam sistem koordinat polar berbentuk bola
Gambar 2.3. Model koordinat polar untuk atom hidrogen (www.chem-is-try.org)
Persamaan untuk menentukan R(r) diberikan sebagai berikut.
-
h2
2m 2
æ¶ 2 ¶
ç
ç ¶r r ¶r
è
(
) - l(l + 1)
ö
÷÷ R(r)= (E- U)R(r)
ø
xxix
(2.24)
Fungsi-fungsi R(r) untuk bagian radial sangat tergantung dengan bilangan
kuantum utama (n) dan bilangan kuantum orbital ( l ) (M.Enciso,dkk. 2006).
Fungsi radial atom hydrogen diekspresikan dalam bentuk persamaan matematik
yang dikenal sebagai polinomial Laguarre, Lα dan sebuah fungsi dari r yang
diberikan di bawah ini sebagai ρ.
r=
2 Zr
na 0
(2.25)
a0 =
e 0h 2
pme 2
(2.26)
2
R (r ) (r) = 2 3 / 2
n a
(n - l - 1)!
(n + l )!
l
æ 2r ö
æ - r ö 2l +1 æ 2r ö
ç ÷ expç
÷ Ln-l -1 ç ÷
è na ø
è na ø
è na ø
(2.27)
L ab ( r ) =((2 a - 1 + b - r ) Lab -1 -( a - 1 + b ) Lab - 2 )/ a
(2.28)
L 0b ( r ) =1
(2.29)
L 1b ( r )= b + 1 - r
(2.30)
Keenam polynomial Legendre secara umum yang telahdhitung dan dijabarkan
seperti pada tabel 2.1 dibawah ini
Tabel 2.1. Fungsi polynomial Legendre (Hossein and Reza, 2006)
L 1 (r ) = r
L 2 (r ) =
1
(3r 2 - 1)
2
L 3 (r ) =
1
(5 r 3 - 3r )
2
1
L 4 ( r ) = (35 r 4 - 30 r 2 + 3)
8
1
L 5 ( r ) = (63r 5 - 70 r 3 + 15 r )
8
L 6 (r ) =
1
(231r 6 - 315 r 4 + 105 r 2 - 5)
16
atau dapat juga diperoleh dari Rodrigues formula:
xxx
L a ( r )= e r
da
( r a e -a ) ( a = 0,1,2,…)
a
dr
(2.31)
Di sini, Lαβ adalah polinomial Laguerre terasosiasi, a0 adalah konstanta
yang sama dengan radius Bohr, as ketika µ = m. Sebagaimana dapat dilihat,
kesalahan-kesalahan yang disebabkan oleh pendekatan µ = m adalah sangat kecil
yaitu kurang dari 0.1%. Sehingga, a0 dapat dikatakan sama dengan radius Bohr as.
Grafik dari fungsi R(r) untuk hidrogen ditunjukkan pada gambar 2.4.
Gambar 2.4. gelombang radial atom hydrogen (www.chem-is-try.org)
xxxi
Gambar 2.5 Probabilitas elektron atom hydrogen (A.C.Philips, 2003)
Contoh-contoh persamaan polynomial Laguerre yang telah dijabarkan dapat
dilihat pada tabel 2.2 dibawah ini
Tabel 2.2. Elemen polinomial laguerre (Griffith, 1994).
L 10 = -x+1
L 50 = 1
L 11 = -2 x + 4
L 32 = 60 x 2 - 600 x + 1200
L 30 = 1
L 15 = 6 - x
L 12 = 3 x 2 - 18 x + 8
L 13 = 24 - 36 x + 12 x 2 - x 3
L 13 = -24 x + 96
L 02 = 1
L 02 = x 2 - 4 x + 2
L 52 = 42 + 14 x + x 2
II.3 Tinjauan fungsi gelombang atom hidrogen Secara Kuantum
II.3.1. Solusi Schrödinger terhadap Masalah Atom Hidrogen
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang bersesuaian dengan variable
gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, y tidak seperti y
bukan berupa kuantitas kompleks karena itulah kita akan menganggapy dalam
arah x yang dinyatakan oleh
y = Ae ( - i / h )( Et - px )
(2.32)
Persamaan ini merupakan persamaa matematis gelombang ekivalen untuk partikel
yang bergerak bebas sedangkan kita lebih tertarik pada partikel yang dipengaruhi
berbagai pembantasan. Apa yang harus dilakukan sekarang adalah mendapatkan
persamaan differensial pokok untuk y kemudian kita memecahkan y untuk
situasi yang khusus. Persamaan ini yang disebut dengan persamaan Schrodinger
xxxii
yang dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung
kelemahan yang sama, persamaan ini tidak dapat diturunkan secara ketat dari
prinsip fisis yang ada karena persamaan ini menyatakan sesuatu yang baru.
Persamaan Schrödinger bebas waktu dinyatakan sebagai Ĥψ = Eψ
.Hamiltonian Ĥ yang ada pada sistem ini diperoleh dari fungsi Hamilton H yang
terdiri dari penjumlahan atas energi kinetik dan energi potensial. Dengan
demikian Hamiltonian Ĥ dapat diturunkan dengan mudah hanya dengan
mengganti momentum p dengan operator
= −ih∂ / ∂x dalam ekspresi terhadap
H. Penggantian ini harus dilakukan dua kali untuk p2 / 2m dan kita akan
mendapatkan Energi potensial ½kx2 dapat digunakan langsung karena tidak
mengan dung momentum p.
Dengan memasukkan Hamiltonian Ĥ ini ke dalam Ĥψ = Eψ, persamaan
Schrödinger bebas waktu untuk. Hamiltonian Ĥ yang berhubungan dengan energi.
Persamaan ini memberikan himpunan fungsi eigen φ dan nilai eigen E untuk
energi yang mungkin terjadi. Salah satu cara untuk memperoleh persamaan
Schrodinger yaitu
Dimulai dengan mendifferensiasi persamaan (2.32) dua kali terhadap x da
menghasilkan
¶ 2y - p
=
y
¶x 2 h 2
(2.33)
Dan sekali lagi terhadap t menghasilkan
¶ y - iE
=
y
h
¶x
(2.34)
xxxiii
Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah
jumlah dari energi kinetik
p2
dan energi potensial V , dengan V pada umumnya
2m
merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t :
E=
p2
+V
2m
(2.35)
Dengan menjadikan kedua suku persamaan (2.35) diatas dengan fungsi
gelombang y maka menghasilkan:
Ey =
p 2y
+V y
2m
(2.36)
Dari persamaan (2.33 )dan (2.34) kita lihat bahwa
Ey =
- h ¶y
i ¶t
(3.37)
Dan
p 2y = -h 2
¶ 2y
¶x 2
(2.38)
Dengan mensubtitsikan pernyataan E y dan p 2y dalam persamaan (2.36) maka
diperoleh persaaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi
ih
¶y - h 2 ¶ 2y
=
+ Vy
¶t
2m ¶x 2
(2.39)
Dimana V adalah energi potensial partikel . setiap pembantasan yang dapat
membatasi gerak partikel dapat mempengaruhi fungsi energi potensial V . Sekali
bentuk
V
dketahui, persamaan Schrodingernya daat dipecahkan untuk
mendapatkan fungsi gelombang partikel y sehingga kerapatan peluangnya y 2
xxxiv
dapat ditentukan. Disini persamaan Schrodinger diperleh mulai dari fungsi
gelombang partikel yang bergerk bebas (energi potensial konstan) ke kasus umum
dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap
ruag dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak
ada suatu cara yang membktika bahwa perluasan ini benar. Yang bisa kita lakukan
hanyalah mengambil postulat bahwa persamaa Schrodinger berlaku. Persamaan
Schrodinger tidak bisa diturunkan dari prinsip pertama tetapi persamaan itu
merupaka prinsip pertama. Persamaan Schrodinger ini dapat diterima karena
cocok dengan eksperimen.
Langkah-langkah baku Schrödinger:
·
-Hamiltonian klasik:
H =T +V
(2.40)
p2
e2
=
2m
r
·
- Hamiltonian kuantum:
2
h
Tˆ = - Ñ2
2m
(2.41)
h2 2 e2
ˆ
H=- Ñ 2m
r
·
- Persamaan diferensial Schrödinger bebas waktu:
·
·
(2.42)
·
(2.43)
xxxv
·
(2.44)
·
Solusi fungsi radial diperoleh berdasarkan kenyataan bahwa
persamaan diferensial Schrödinger untuk R ternyata merupakan persamaan
Laguerre. Tahap berikutnya adalah tahap normalisasi, untuk menentukan tetapan
yang ada di Depan fungsi gelombang tersebut. Walaupun y sendiri tidak
mempunyai tafsiran fisis kuadrat besaran y
2
(atau sama dengan yy * jika y
kompleks) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus
dengan peluang untuk mendapatkan benda itu ditempat itu pada saat itu.
Momentum, momentum sudut, da energi dari benda dapat diperoleh dari y .
persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan y untuk benda itu bila
kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal. Dalam kejadian itu, fungsi
gelombang y adalah kompleks, dengan bagian riil maupun imajiner, kerapatan
peluang y
2
Konjugate
diberikan oleh hasil kali yy * dari y dan konjugate kompleks y * .
kompleks
sebarang
fungsi
diperoleh
dengan
mengganti
i (= - 1) dengan -1 dimanapun konjugate kompleks tadi tampil dalam fungsi.
Setiap fungsi kompleks y dapat ditulis dalam bentuk fungsi gelombang
y = A + iB
·
(2.45)
Dengan A dan B adalah fungsi riil. Konjugate kompleks y * dari y
·
adalah
y * = A - iB
·
(2.46)
·
Dengan demikian, yy * = A 2 - i 2 B 2 = A 2 + B 2
·
Karena i 2 =-1. jadi yy * akan selalu berupa kuantitas riil positif. Karena
y
2
berbanding lurus dengan kerapatan peluang P untuk mendapatkan benda
xxxvi
yang diberikan (digambarkan) oleh y , integral y
2
keseluruh ruang harus
berhinga . benda harus didapatkan pada suatu tempat. Jika y
maka:
ò
¥
-¥
2
sama dengan P
2
y dV = 1
(2.47)
·
Ialah suatu penyataan matematis bahwa partikel itu ada disuatu tempat
untuk setiap saat. Fungsi gelombang pada persamaan (2.47) itulah yang dikatakan
ternormalisasi. Dan dibawah ini adalah fungsi normalisasi untuk persamaan
gelombang ato hidrogen.
·
¥
p
2p
0
0
0
ò ò ò
éë R ( r ) Q (q ) F (f ) ùû r 2 sin q × dr × dq × df = 1
2
(2.48)
·
Karena q dan f adalah fungsi ternormalisasi, peluang yang sebenarnya
P (r )dr untu mendapatkan elektron atom hidrogen pada suatu tempat antara r
2
dan r + dr dari inti ialah P (r )dr = r 2 R (r ) dr .
·
·
II.3.2. Penafsiran Solusi Persamaan Schrodinger
·
Kuadrat fungsi gelombang itu disuatu titik tertentu dalam ruang di sekitar
inti atom, menggambarkan kebolehjadian untuk menemukan elektron di titik
tersebut. per satuan volume ruang. Kuadrat fungsi gelombang ini sering disebut
sebagai rapat kebolehjadian. Daerah terbesar kemungkinannya untuk menemukan
elektron disebut “orbital”. Jika orbital divisualisasikan dengan garis tegas, bisa
ditafsirkan bahwa kebolehjadian untuk menemukan elektron di dalam garis tegas
tersebut adalah 95%, dan masih ada kemungkinan elektron berada di luarnya
dengan kebolehjadian sebesar 5%.
Penafsiran terhadap fungsi gelombang radial R(r) yaitu:
·
1. Kebolehjadian terhadap arah r tidak dapat diisolasi dari fungsi
gelombang yang lain, karena satuan dari r, teta, phi, berbeda. Pada kasus kotak
tiga dimensi, kebolehjadian di setiap arah, dapat diisolasi.
xxxvii
·
2. Jika fungsi gelombang tidak bergantung pada sudut, maka rapat
kebolehjadian
terhadap jarak dari inti (artinya fungsi rapat kebolehjadian
terhadap salah satu saja
dari koordinat,yaitu r bernilai 4p r 2 R 2 .
·
3. P ( r ) dr = 4p r 2 R 2 dr
·
dengan P(r) = rapat kebolehjadian (per satuan
panjang).
¥
p
2p
0
0
0
ò ò ò
·
... = ò
¥
0
ò
p
0
¥
R 2 ( r ) Q2 (q ) 2p r 2 sin q drdq = ò R 2 ( r ) 4p r 2 dr
0
(2.49)
·
(jika tak bergantung sudut)
·
II.4 Operator fungsi gelombang radial atom hydrogen
Dalam subab ini akan diselesaikan persamaan differensial schrodinger
dengan menggunakan pendekatan yang berbeda. Aplikasi dari metode ini sering
digunakan dalam teori medan kuantum. Persamaan schrodinger bagian kiri
(hamiltonian ) dapat difaktorkan menjadi 2 faktor yang masing masing adalah
persamaan diferensial orde 1 yang terdapat pada persamaan dan merupakan
operator. Jadi Operator
dengan orde dua merupakan operator Hamiltonian.
Sedangkan A dan A + operator yang merupakan persamaan differensial orde
satu. Dalam mekanika kuantum, operator berarti pengoperasi yaitu untuk
mengoperasikan dalam memperoleh fungsi gelombang. Sedangkan dalam fisika
klasik, merupakan unsur- unsurnya. Jadi Ĥ merupakan operator Hamiltonian
dengan persamaan differensial orde dua dan apabila Ĥ difaktorkan, maka akan
diperoleh A dan A + yang merupakan operator penurun dan operator penaik.
Apabila suatu fungsi diberi operator penaik, maka fungsi itu akan naik sebesar
satu bilangan. Contohnya pada persamaan berikut
y n +1
(-)
=A + y n
(- )
(2.50)
xxxviii
Sedangkan operator penurun, berfungsi sebagai penurun bilangan gelombang.
Dengan operator, dapat lebih banyak potensial yang diselesaikan. Energinya juga
dapat langsung ditentukan pada setiap tingkat-tingkatnya.
Dari persamaan Schrodinger
- h2 d 2
y n + V ( r )y n = Hy n = Ey n
2 m dr 2
(2.51)
Notasi standar untuk supersimetri Hamitonian yang berasal dari persamaan
Schrodinger original
H -+ =
-h d2
+ V-+ ( r )
2
2 m dr
(2.52)
V+ dan V- = Pasagan (superpartner) potensial efektif
H -+ = supersimetri Hamiltonian
Bila dideffinisikan dari operator-operator muatan (Kortelecky dan Campbell,
1985) dapat ditulis bentuk operator baru yaitu operator penurun A dan operator
penaik A +
h
A =
d
+ f (r )
2 m dr
(2.53)
A+ =
-h d
+ f (r )
2 m dr
(2.54)
Untuk selanjutnya Hamiltonian original dapat difaktorkan menjadi
H = A+ A + e 0
(2.55)
Dari persamaan tersebut dapat diperoleh hubungan antara potensial original
efektif ( Veff ) sbb:
æ
A A + = çç
è
-h d
+ f (r )
2 m dr
ö
÷÷
ø
æ
çç
è
h
d
+ f (r )
2 m dr
- h2 d 2
h
=
+ f 2 (r ) f ' (r ) + e 0
2
2 m dr
2m
V- didefinisikan sebagai berikut
xxxix
ö
÷÷
ø
(2.56)
(2.57)
V- = f 2 ( r ) -
h
2m
f ' (r ) + e 0
(2.58)
Sehingga diperoleh hubungan V = V- + e 0
H - = A + A dan H + = A A + dengan A dan A + didefinisikan sebagai berikut
- h2 d 2
- h2 d 2
H-=
+ V- ( r , a 0 ) dan H + =
+ V+ ( r , a 0 )
2 m dr 2
2 m dr 2
Nilai V+ ( r , a 0 ) = V- ( r , a1 ) + R(a1 ) , dan R(a1 ) adalah konstanta yang diperoleh
dengan menghubungkan V+ ( r , a 0 ) = V- ( r , a1 ) . Misal untuk a 0 = l , a1 = l + 1 ,
a 2 = l + 2 , dst.
persamaan Schrodinger untuk atom hydrogen yaitu
- h 2 d 2u
h 2 l(l + 1)
+
[
V
+
]u = E n
2 m dr 2
2m r 2
Dan V eff = V +
(2.59)
h 2 l(l + 1)
- e2
dimana
V
=
2m r 2
r
sehingga
- e 2 h 2 l(l + 1)
V eff =
+
r
2m r 2
(2.60)
definisi
H = H - +e 0
H = A+ A + e 0
Veff = V- + e 0 = f 2 ( r ) -
h
2m
f ' (r ) + e 0
(2.61)
Untuk menentukan superpotensial f ( r ), dimisalkan
f (r ) =
A
+B
r
f (r ) 2 =
(2.62)
A 2 2 AB
+
+ B2
r
r2
(2.63)
xl
-A
r2
f ' (r ) =
(2.64)
Dari persamaan (2.63) dan (2.64), maka diperoleh
- e 2 h 2 l(l + 1)
f (r ) f ' (r ) + e 0 =
+
r
2m r 2
2m
(2.65)
A 2 2 AB
h A
- e 2 h 2 l(l + 1)
2
+
+
B
+
+
e
=
+
0
2
r
r
2m r 2
r2
2m r
(2.66)
h
2
h
1
(A2 +
2
r
A )+
2m
2 AB
1 h 2 l ( l + 1)
e2
+ B2 + e0 = 2 (
)r
2m
r
r
(2.67)
Dengan menyamakan koefisiennya, maka
h
A2 +
2m
A =
h2
l(l + 1)
2m
(2.68)
Dengan cara melengkapkan kuadrat, diperoleh
2
æ
h ö
h2 æ h ö
çç A +
÷÷ = çç
÷÷
2 2 m ø 8m è 2 m ø
è
æ
h ö +
çç A +
÷÷ = 2 2m ø
è
A=
-h
2m
2
1ö
æ
çl + ÷
2ø
è
2
(2.69)
æ h öæ
1ö
çç
÷÷ç l + ÷
2ø
è 2m øè
(2.70)
(l + 1)
(2.71)
Untuk nilai B
2AB = - e 2
2
-h
2m
(2.72)
(l + 1) B = - e 2
(2.73)
2m
- 2h
(2.74)
2 e2
h (l + 1)
(2.74)
B = - e2
m
=
Untuk e 0
B2 + e0 = 0
(2.75)
xli
e0 = - B2
(2.76)
me 4
e0 = 2h 2 (l + 1) 2
(2.77)
Dari penyelesaian A, B, dan e 0 dapat diketahui nilai superpotensialnya yaitu
m
f (r ) =
2 e 2 - h (l + 1)
h (l + 1)
2 m .r
(2.78)
Deffinisi operator penaik dan operator penurun
Operator penurun A =
h
d
+ f (r )
2 m dr
Operator penaiknya A + =
(2.79)
-h d
+ f (r )
2 m dr
(2.80)
Untuk potensial yang shape invariant, tingkat-tingkat energy dan fungsi
gelombangdapat diperoleh dengan mengoperasikan operator penaik yang teredah
secara berurutan pada fungsi gelombang pada masing-masing potensial. Suatu
siatem supersimetri dikatakan mempunyai simetri yang baik bila operator
memasukka fungsi gelombang dasar Ay 0
(-)
= 0 ( Suparmi, 1992)
Dimana ( r = r )
(-)
y nr +1 ( r , a 0 ) = A + ( r , a0 ) y n
(- )
( r , a1 )
(2.81)
Dengan y n ¥U n = rRnl , sehingga
Rnl = R( nr + l +1) l =
Un
atau
r
yn
U
= n = R( nr + l +1) l
r
r
(- )
(2.82)
Sehingga nilai persamaan gelombangnya dapat dicari dengan memisalkan a 0 = l ,
a1 = l + 1
Ay 0
(-)
( r , a0 ) = 0
(2.83)
ù (-)
é h d
+ f ( r ) ú y 0 ( r , a0 ) = 0
ê
ë 2 m dr
û
(2.84)
xlii
m
é h d
2 e 2 - h (l + 1) ù y ( - ) ( r , a ) = 0
+
0
ú 0
ê
2 m .r û
ë 2m dr h (l + 1)
dy 0
(-)
( r , a0 )
( -)
y 0 ( r , a0 )
dy 0
(-)
dry 0
y0
( -)
=
( r , a0 )
(-)
( r , a0 )
(2.85)
æ
m e2 ö
2m ç h (l + 1)
2 ÷ dr
ç
÷
h ç 2m .r h (l + 1) ÷
è
ø
(2.86)
æ
m e2 ö
2m ç h (l + 1)
2 ÷
ç
÷
h ç 2m .r h (l + 1) ÷
è
ø
(2.87)
=
æ
mre 2 ö
÷
( r , a 0 ) = exp çç (l + 1) ln r - 2
h (l + 1) ÷ø
è
(2.88)
Atau
y0
( -)
( r , a 0 ) = Nn e
òr (
l +1 1
) dx
x l +1
= Nn e
n ln r -
= Nn r n e
Maka y 0
( -)
-
(2.89)
r
n
(2.90)
r
n
(2.91)
( r , a 0 ) = Nn r n-1 e
-
r
n
r
r=
a0
(R nl =
y
)
r
r
r
= Nn ( ) n-1 e na0 ,Nn= konstanta normalisasi
a0
(2.92)
Selanjutnya konstanta normalisasi diperoleh dari
¥
y
2
r
1= ò Rn ,l r 2 dr dengan menggunakan r = , Rn,l = n,l
a0
r
0
¥
1 = a0
3
ò
2
y n ,l dr
(2.93)
0
¥
3
1= a 0 N n
2
2n
òr e
-
2r
n
dr (untuk l = n-1)
0
=
(n 2 )1+ n (2n - 1)!
4n
(2.94)
xliii
2n
1
Jadi Nn =
(2.95)
n1+ n (2n - 1)!
3
2
(a0 )
1 1
e n = - 2 ( a 2 mc 2 )
n 2
Sehinga y n untuk n r = 0 adalah
y0
( -)
y0
( -)
(2.96)
é r
ù
( r , a 0 ) = Nn r ( l +1) exp- ê
ú
ë a0 (l + 1) û
(a0 )
é
ù
r
r ( l + 2) exp- ê
ú
(2n - 1)!
ë a0 (l + 2) û
2n
1
( r , a1 ) =
3
2
n
1+ n
(2.97)
(2.98)
Untuk harga h dan m dapat dieliminasi dengan mengganti nilai a 0 sehingga
diperoleh
1
Mn =
(2.99)
1
en + 2
l
Dimana e n = -
y n -1 =
1
, maka Mn =
n2
1
1
1
- 2
2
l
n
Untuk n r =1 ,
y1
(-)
y1
(-)
(
1
1
1
- 2
2
l
n
d
l 1
+ - )y n
r l
dr
( r , a0 ) = A + y 0
( -)
(2.100)
( r , a1 )
é r
ù ù
ùé
é
h d
( r , a 0 ) = ê+ f ( r ) ú ê r ( l + 2) exp- ê
ú ú
2 m dr
ë
ûë
ë a0 (l + 2) û û
(2.7101)
y1
(-)
m
é
h d
2 e2 ( r , a 0 ) = ê+
2m dr h (l + 1)
ë
é
ùù
h (l + 1) ù é l + 2
r
r
exp
ê
ê
ú ú (2.102)
ú
2 m .r û ë
ë a 0 ( l + 2) û û
xliv
y1
(-)
( r , a0 ) =
1
1
1
- 2
2
(l + 1)
n
(
d
l +1 1
+
)y 0 ( r , a1 )
r l +1
dr
(2.103)
Untuk nr = 2 ,
y2
y1
(-)
(-)
(-)
( r , a1 )
( -)
( r , a2 )
( r , a0 ) = A + y 1
( r , a1 ) = A + y 0
(2.104)
é
ù
ù
é
r
h d
= ê+ f ( r ) ú Nn r ( l +3) exp- ê
ú
2 m dr
ë
û
ë a0 (l + 3) û
y2
(-)
ùé é
ù
é
h d
h d
( r , a 0 ) = ê+ f ( r ) ú ê ê+ f ( r ) ú Nn r ( l +3) exp2 m dr
2 m dr
ë
ûë ë
û
é
ù ù
r
ê
ú ú
ë a0 (l + 3) û û
y2
(-)
(2.105)
(2.106)
m
é
h d
2 e2 ( r , a 0 ) = Nn ê+
2m dr h (l + 1)
ë
m
h (l + 1) ù é é
h d
2 e2 +
ú ê ê2 m .r û ë ë
2 m dr h ( l + 2 )
é
ù ù
r
ê
ú ú
ë a0 (l + 3) û û
= Nn
h ( l + 2) ù ( l + 3 )
expúr
2 m .r û
(2.107)
1
1
1
1
- 2
2
(l + 1)
n
1
1
- 2
2
(l + 2)
n
(
d
l +1
+
r
dr
é
ù ù
r
1 é
d
l+2 1
)ê (
+
) r ( l +3) exp- ê
ú ú
l + 1 ë dr
r l+2
ë a0 (l + 3) û û
(2.108)
a 0 jari-jari atom Bohr
nr = n - (l + 1) atau n = nr + l + 1 , n = bilangan kuantum utama
y n = A +y n -1
(2.109)
xlv
R( n +l +1) l =
yn
, r=r
r
xlvi
BAB III
METODE PENELITIAN
III.1. Lokasi dan Waktu Penelitian
Waktu penelitian selama 4 bulan dari bulan Februari sampai Mei 2009 dan
penelitian dilakukan di Laboratorium Komputasi Universitas Sebelas Maret.
III.2. Alat dan Bahan Penelitian
Dalam simulasi ini menggunakan komputer dengan spesifikasi sebagai
berikut:
1. Hardware
a. Processor Intel Pentium IV-450 MHz
memori 256 MB RAM
b. Monitor dengan resolusi 800 x 600 x 60
2. Software
a. opening System Windows XP
b.
Delphi 7.0
c.
Maple 9.5
III.3. Perancangan Program
Pada dasarnya penelitian ini merupakan penelitian teoritis mengenai fungsi
gelombang arah radial atom hidrogen dalam mekanika kuantum dan perhitungan
besaran gelombang yang ada. Fungsi gelombang arah radial atom hidrogen
merupakan obyek utama dalam penelitian ini. Asumsi yang digunakan adalah
suatu atom hidrogen mempunyai sebuah elektron yang berada disekitar inti dalam
suatu gelombang yang dipresentasikan dengan persamaan Schrodinger.
xlvii
Dengan menggunakan metode polinomial Laguerre dan operator, maka
fungsi gelombang arah radial atom hidrogen dapat diturunkan. Dari hasil
penurunan itu bisa dirumuskan probabilitas elektron atom hidrogen.
Penyalesaian secara analitik
gelombang arah radial atom hidrogen
tersebut menghasilkan perhitungan yang cukup rumit untuk metode polinomial
laguerre maupun operator pada kasus bilangan n- l yang semakin besar, sehingga
perlu dibantu dengan program untuk mempermudah perhitungannya.
Berdasarkan persamaan gelombang Schrodinger, disusun persamaan
polinomial laguerre dan operator sebagai susunan langkah-langkah yang akan
ditempuh oleh program komputer untuk mendapatkan hasil yang diinginkan.
Program komputer ditulis dalam bahasa pemograman Delphi 7.0 dengan bantuan
program Mapel untuk metode operator. Data penelitian didapatkan dengan
melakukan running terhadap program atom hidrogen yang sudah dibuat. Data
dipilih dengan memberikan input bilangan kuantum utama (n), bilangan kuantum
azimuth ( l ) , dan jari-jari atom bohr (a). Kemudian masing-masing diamati
pengaruhnya terhadap fungsi gelombang arah radial atom hidrogen dan
probabilitasnya. Data-data yang didapat dari hasil running program itu kemudian
disajikan dan dianalisa dalam bentuk grafik.
Program atom hidrogen akan menghitung besarnya gelombang dan
probabilitas arah radial atom hidrogen. Langkah pertama dilakukan dengan
memasukkan jari-jari atom bohr (a o ), bilangan kuantum utama (n), bilangan
kuantum azimuth ( l ) untuk menghitung besarnya gelombang dan probabilitas
elektron atom hidrogen. Program dilanjutkan dengan menghitung fungsi
gelombang dan probabilitasnya yang disajikan dalam bentuk tabel dengan cara
running. Kemudian dengan cara yang sama, data yang didapatkan akan
ditampilkan dalam bentuk grafik.
Metode perhitngan yang digunakan untuk menghitung fungsi gelombang
arah radial atom hidrogen adalah :
1. Metode polinomial Laguerre
Menghitung Rad(r) (fungsi gelombang radial atom hidrogen) dan Prob1
(probabilitasnya )
xlviii
R (r) =
2
2
n a0
3/ 2
l
æ 2r ö
æ - r ö 2l +1 æ 2r
çç
÷÷ expçç
÷÷ Ln -l -1 çç
è na 0 ø
è na 0 ø
è na 0
(n - l - 1)!
(n + l )!
æ 2
Prob1= r ç 2 3 / 2
çn a
0
è
(n - l - 1)! æ 2r
ç
(n + l )! çè na0
2
l
ö
÷÷
ø
ö
æ - r ö 2l +1 æ 2r
÷÷ expçç
÷÷ Ln -l -1 çç
ø
è na 0 ø
è na0
(3.1)
ö ö÷
÷÷
ø ÷ø
2
(3.2)
Keluaran R(r) dan prob1
2. Metode operator
Menghitung Rad2(r) (fungsi gelombang radial atom hidrogen) dan Prob2
(probabilitasnya)
y
=
n ,l
Rad2(r) =
1
(
1
1
- 2
2
(l + 1)
n
d
l +1 1
+
)y
r l +1
dr
n ,l +1
y n ,l
r
(3.3)
(3.4)
2 æ y n ,l
ö
÷÷
Prob2 = r çç
r
è
ø
2
(3.5)
Persamaan diferensial (3.3) diselesaikan dengan bantuan Mapel
a. Untuk n - l - 1 =1
y =(
d
l +1
1
+
)
dr
r
l +1
b. Untuk n- l - 1 = 2
y =( d + l + 1 - 1
dr
r
l +1
r ne -r / n
) (
d
l+ 2
1
+
)
dr
r
l+ 2
c. Untuk n- l -1 = 3
y= ( d + l + 1 - 1 ) ( d + l + 2 dr
r
l +1
(3.6)
dr
r
r ne -r / n
(3.7)
n -r / n
1
d
l+3
1
(3.8)
) (
+
) r e
l + 2 dr
r
l+3
Hasil yang diperoleh dari bantuan Mapel tersebut kemudian dimasukkan
kedalam persamaan (3.3) sebagai berikut:
xlix
a. Untuk n - l - 1 =1
y
n ,l
=
1
1
1
- 2
2
(l + 1)
n
y
(3.9)
b. Untuk n- l - 1 = 2
y
n ,l
=
1
1
1
1
- 2
2
(l + 1)
n
1
1
- 2
2
(l + 2)
n
c. Untuk n- l -1 = 3
1
y n ,l =
1
1
- 2
2
(l + 1)
n
y
(3.10)
1
1
1
1
- 2
2
(l + 2)
n
1
1
- 2
2
(l + 3)
n
y
Keluaran Rad2(r) dan prob2
III.4. Prosedur Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah
Kajian atom hidrogen
polinomial
Operator
Program
grafik fungsi gelombang
dan probabilitas
analisa
l
(3.11)
Gambar 3.1. Diagram alir penyelesaian fungsi gelombang dan rapat probabilitas
elektron atom hidrogen
BAB IV
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
IV.1. Analisa perangkat lunak
Perangkat lunak pada penelitian ini dikerjakan menggunakan bahasa
pemograman Delphi 7.0. Perangkat lunak ini merupakan alat bantu hitung yang
dapat membantu mempercepat kinerja perhitungan dengan hasil yang lebih cepat
dan akurat bila dibandingkan perhitunan secara manual. Perangkat lunak ini dapat
digunakan dengan mudah tanpa harus mengetahui dan mempelajari rumus
pehitungannya terlebih dahulu sehingga dapat digunakan oleh pihak-pihak yang
memanfaatkan bentuk radial gelombang untuk mengetahui sifat dan perilaku atom
hidrogen. Parameter yang dihitung meliputi besarnya gelombang dan rapat
probabilitas radial atom hidrogen. Dengan memasukkan nilai bilangan kuantum
utama (n), bilangan kuantum azimuth ( l ), dan jari-jari atom bohr (a 0 ) kedalam
form yang telah tersedia dalam perangkat lunak, maka dengan mudah dan cepat
dapat diperoleh data hasil yang diperlukan. Perangkat lunak ini secara keseluruhan
menggunakan istilah-istilah bahasa pemograman Pascal. Secara singkat dapat
dinyatakan bahwa Delphi merupakan perkembangan dan visualisasi dari Pascal.
Tampilan program aplikasi yang dibuat dalam penelitian ini dapat dilihat sebagai
berikut:
li
Gambar 4.1. tampilan program
Pada tampilan utama form1 tampak tiga buah combobox dan komponen
Tmenu pada bagian paling atas untuk menjalankan program. Didepan combobox
dan pada komponen-komponen lainnya, terdapat tulisan-tulisan yang berguna
untuk mempermudah penggunaan program aplikasi. Komponen combobox ini
berfungsi untuk memasukkan parameter-parameter yang diperlukan untuk
menghitung fungsi gelombang arah radial atom hidrogen. Kemudian dibawahnya
terdapat 2 komponen TStringGrid yang masing-masing fungsinya menampilkan
data-data fungsi gelombang yang diperoleh baik dengan metode polinomial
laguerer (deret) maupun operator. Program ini terdiri dari 3 buah komponen form.
Form pertama menampilkan tampilan utama program. Form kedua menampilkan
data-data probabilitas atom hidrogen dengan metode deret dan operator .
Sedangkan untuk form ketiga dan keempat, menampilkan grafik fungsi gelmbang
dan probabilitas atom hidrogen.
IV.2. Analisa perhitungan gelombang atom hidrogen
Hasil perhitungan yang diperoleh pada penelitian ini adalah fungsi
gelombang dan probabilitas arah radial atom hidrogen tersebut dapat digunakan
untuk mengetahui perilaku dan sifat atomik suatu partikel. Fungsi gelombang arah
radial atom hidrogen dalam pemrograman ini dicari dengan dua metode yaitu
lii
fungsi operator dan polinomial Laguerre. Pemahaman terhadap teori penting
untuk dapat memperoleh persamaan yang akan dikomputasikan. Dibawah ini
ditunjukkan Fungsi gelombang dalam keadaan 1s ( n = 1 dan l = 0) baik menurut
literatur maupun hasil dari perhitungan program.
Gambar 4.2. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 1s
(www.chem-is-try.org)
Gambar 4.3. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 1s
Gambar 4.4. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 2s
(www.chem-is-try.org)
liii
Gambar 4.5. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 2s
Fungsi gelombang untuk keadaan 1s dan 2s pada gambar 4.3 dan 4.5
menunjukkan bahwa hasil yang diperoleh dengan menggunakan deret dan fungsi
operator adalah sama seperti literatur pada gambar 4.2 dan 4.4 diatas. Walaupun
ada sedikit perbedaan, tetapi hal ini masih dianggap sama karena pada grafik hasil
simulasi, r (jari-jari atom) hanya untuk bilangan bulat saja sehingga grafik yang
ditampilkan terlihat agak runcing. Sedangkan untuk r untuk bilangan pecahan
tidak dapat dioperasikan dalam program ini. Berdasarkan data tersebut dapat
dilihat bahwa semakin banyak n maka koefisien dari r dalam eksponen akan
mengecil dan ini membuat nilai fungsi akan mendekati 0 lebih lambat. Bilangan
kuantum utama n memiliki arti yang sangat penting yang mengklasifikasikan
tingkat-tingkat energi. Dan juga mengkarakterisasi sifat dari probabilitas untuk
menemukan sebuah elektron. Hal ini akan memberikan keadaan bahwa elektronelektron dalam sebuah atom akan bergerak keluar pada pembentukan kulit
elektron yang disebut sebagai kulit K (n = 1), kulit L (n = 2), kulit M (n = 3), kulit
N (n = 4), kulit O (n = 5), kulit P (n = 6) dan seterusnya. Kecenderungan ini
berkaitan dengan radius orbital dalam model Bohr yang semakin membesar, dan
berkaitan dengan meningkatnya n.
IV.3. Probabilitas Fungsi Gelombang atom hydrogen
liv
Kebergantungannya pada r dari probabilitas untuk menemukan sebuah
elektron adalah sebanding dengan r2Rn,l2 ( kuadrat fungsi gelombang dan jari- jari
atom). Karena kuadrat dari nilai absolut dari persamaan gelombang sebanding
dengan kemungkinan untuk menemukan sebuah partikel maka bentuk dari Rn,l
akan menentukan perilaku sebuah elektron dalam atom sebagai fungsi terhadap
jarak r terhadap inti atom. Ini adalah sebuah hal yang sangat penting dalam
berbagai fenomena kimia dan dalam kaitannya dengan perilaku elektron dalam
atom-atom yang lain, bagian radial dari fungsi gelombang R (r) memiliki sifat
matematika yang diberikan sebagai berikut:
3.
Dikarenakan adanya sebuah fungsi eksponensial, maka nilai fungsional
akan mendekati nilai 0 secara asimtotik bersamaan dengan meningkatnya r
( bergerak ke arah luar dari niti atom, probabilitas untuk menemukan
sebuah elektron akan menghilang ).
4.
koefisien dari r dalam eksponen akan mengecil untuk bilangan kuantum
utama n yang besar dan ini membuat nilai fungsi akan mendekati nol lebih
lambat untuk n yang besar (probabilitas untuk menemukan sebuah
elektron akan berkembang pada daerah jauh dari inti jika berpinda dari
bilangan kuantum utama n=1, n=2, dan n=3 )
5.
terdapat n - l - 1 jarak ( bola ) dimana tidak ada elektron yang dapat
ditemukan dengan nilai fungsi jarak yang nol. ( dalam kasus n - l >1,
probabilitas untuk menemukan sebuah elektron menurun hingga daerah
terluar dan memiliki sifat berosilasi )
Probabilitas akan menyangkut peluang dimana syarat probabiltas ada beberapa
macam diantaranya bernilai tunggal, fungsi gelombangnya ternormalisasi. Dengan
meningkatnya nilai r ( bergerak ke arah luar dari inti atom ) probabilitas untuk
menemukan sebuah elektron akan menghilang. Pada daerah yang jauh dari inti
jika berpindah dari bilangan kuantum utama (untuk r besar), probabilitas untuk
menemukan sebuah elektron akan berkembang. Dibawah ini akan ditampilkan
grafik probabilitasnya untuk menemukan elektron pada atom hidrogen.
lv
a
b
Gambar 4.6 probabilitas elektron untuk atom hidrogen (A.C.Philips, 2003)
Gambar 4.7. Probabilitas elektron untuk atom hydrogen dalam keadaan 3s
Gambar 4.8. Probabilitas elektron untuk atom hydrogen dalam keadaan 3p
Grafik probabilitas elektron yang ditampilkan diatas dalam keadaan 3s maksudnya
adalah angka 3 untuk bilangan kuantum utamanya (n=3) dan s untuk bilangan
kuantum orbitalnya ( l =0) . Begitu pula pada keadaan 3p yang menunjukkan
bahwa atom berada pada bilanga kuantum ketiga (n=3) dan bilangan kuantm
orbital satu ( l =1).
Probabilitas fungsi gelombang untuk keadaan 3s pada gambar 4.7
menunjukkan bentuk yang sama antara fungsi operator dan polinomial laguerre
dengan literatur pada gambar 4.6a.begitu juga untuk rapat probabilitas fungsi
gelombang untuk keadaan 3p pada gambar 4.8 juga sudah menunjukkan bentuk
yang sama antara fungsi operator dan polinomial laguerre dengan literatur pada
gambar 4.6b . Pada gambar 4.7 menunjukkan bahwa probabilitas terbesar untuk
menemukan sebuah elektron berada pada jarak yang lebih besar ( jauh dari inti )
dibandingkan dengan gambar 4.8
lvi
Berdasarkan gambar dan hasil perhitungan program, maka dapat diketahui
bahwa peluang terbesar untuk menemukan elektron semakin lambat (jaraknya
semakin jauh dari inti) dan jumlah gelombang yang dihasilkan juga semakin
banyak untuk nilai n- l yang semakin besar.
IV.4 Perbandingan keadaan lain untuk model kuantum dan Bohr
Keadaan mekanika kuantum mempunyai kemiripan yang banyak dengan
model Bohr. Distribusi kerapatan peluang electron untuk keadaan 2p misalnya
dalam perhitungannya menunjukkan bahwa jarak berpeluang terbesar untuk
electron diukur dari inti ialah 4 r 0
tepat sama dengan jari - jari Bohr untuk
bilangan kuatum total yang sama. Jadi model Bohr meramalkan kedudukan
berpeluang terbesar dari electron dalam salah satu keadaan yang mungkin dalam
setiap tingkat energi. Dalam model Bohr, gerakan sebuah elektron yang tergabung
dalam suatu kulit elektron tertentu dibatasi pada orbit melingkar yang sederhana.
Dalam mekanika kuantum, gerakan elektron menjadi hal yang sangat kompleks
dikarenakan bentuk dari fungsi gelombang bergantung tidak hanya oleh n akan
tetapi juga pada l . l adalah juga bilangan kuantum yang menyatakan suatu
keadaan atom dan fungsi-fungsi gelombangnya.
bilangan kuantum orbital dan
Bilangan l disebut sebagai
berkaitan dengan arah dan membentuk fungsi
gelombang.
Gambar 4.9. Probabilitas atom hydrogen dalam keadaan 6p
lvii
Pada gambar
4.9. menunjukkan probabilitas dtemukanya elektron yang
mungkin terjadi pada keadaan 6p. Hal ini menunjukkan bahwa probabilitas pada
keadaan n - l yang semakin besar, akan dihasilkan pucak gelombang yang
semakin banyak pula. Secara fisis ini memiliki arti bahwa ketika puncak semakin
banyak maka akan memiliki korespondensi dengan panjang gelombang seperti
pada persamaan yang sering dikenal sebagai panjang gelombang de Broglie. Pada
persamaan tersebut panjang gelombang memiliki hubungan terbalik dengan
momentum. Panjang gelombang yang dihasilkan ketika puncak banyak adalah
semakin kecil dan momentum yang dihasilkan oleh partikel adalah besar. Partikel
atomik pada keadaan ini memiliki energi yang tinggi sehingga memungkinkan
partikel untuk bergerak dari suatu tingkat energi ke tingkat energi yang lain.
Berdasarkan prinsip atom bohr sudah dapat dijelaskan bahwa frekuensi
antara klasik dan kuantum adalah sama.
Hasil yang sama antara klasik dan
kuantum menunjukkan bahwa terdapat keterkaitan antara klasik dan kuantum
yang disebut prinsip korespondensi mekanika klasik dan kuantum.
lviii
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
V.1. Kesimpulan
1. Program sudah dapat menunjukkan grafik fungsi gelombang dan rapat
probabilitas atom hidrogen sesuai literatur .
2. Grafik fungsi gelombang dan rapat probabilitas atom hidrogen dengan metode
polinomial laguerre dan operator menunjukkan hasil yang sama.
3. Grafik fungsi gelombang dan rapat probabilitas dari atom hidrogen dengan
menggunakan fungsi operator dibuat sampai n = 3.
4. Peluang terbesar untuk menemukan elektron semakin lambat
(jaraknya
semakin jauh dari inti) dan jumlah gelombang yang dihasilkan juga semakin
banyak untuk nilai n- l yang semakin besar.
5. Program menunjukkan korespondensi antara model atom Bohr dan mekanika
kuantum di lihat dari probabilitas fungsi gelombang.
V.2 Saran
1. Penyelesaian dengan menggunakan fungsi operator untuk kondisi n » (pada
semua bilangan kuantum yang memungkinkan) perlu dicoba menggunakan
perangkat lunak yang lain seperti matlab,mapel dll. Dan mencari algoritma
pemrograman yang lebih sesuai.
2. Untuk selanjutnya program ini dapat dikembangkan untuk atom berelektron
banyak
lix
LAMPIRAN 1
LISTING PROGRAM DALAM DELPHI 7.0
unit U_hydrgen;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, Menus, Grids;
type
TForm1 = class(TForm)
ComboBox1: TComboBox;
ComboBox2: TComboBox;
ComboBox3: TComboBox;
Label1: TLabel;
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
MainMenu1: TMainMenu;
Program1: TMenuItem;
TutupProgram1: TMenuItem;
Perhitungan1: TMenuItem;
FungsiGelombang1: TMenuItem;
Probabilitas1: TMenuItem;
Grafik1: TMenuItem;
Fungsi1: TMenuItem;
Probabilitas2: TMenuItem;
StringGrid1: TStringGrid;
StringGrid2: TStringGrid;
Label4: TLabel;
Label5: TLabel;
procedure TutupProgram1Click(Sender: TObject);
procedure FungsiGelombang1Click(Sender: TObject);
procedure Probabilitas1Click(Sender: TObject);
procedure Fungsi1Click(Sender: TObject);
procedure Probabilitas2Click(Sender: TObject);
procedure FormCreate(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
lx
Form1: TForm1;
implementation
uses U_Probabilitas, U_GFG, U_GPROB;
{$R *.dfm}
var
aa,b,ce,d,en,c,z,fak
:real48;
e,f,sum,y,n,w,l,r,m,i,a,x,p,q,alph,ni: smallint;
pi,em,mas
:integer;
sub
:double;
Leg
:array[-50..50,-50..50]of real48;
Rad,prob1,rad2,prob2
:array[-50..50]of real48;
//rad = Fungsi Gelombang dicari dengan polinom Laguerre
//rad2 = Fungsi Gelombang dicari dengan operator atom hydrogen
//prob1 = Probabilitas Fungsi Gelombang dicari dengan polinom laguerre
//prob2 = Probabilitas Fungsi Gelombang dicari dengan operator atom hydrogen
procedure TForm1.TutupProgram1Click(Sender: TObject);
begin
application.Terminate;
end;
procedure TForm1.FungsiGelombang1Click(Sender: TObject);
begin
if combobox1.text=''then
begin
showmessage('maaf diisi dulu nilainya');
combobox1.setfocus();
exit;
end;
alph:=strtoint(combobox1.Text);
n:=strtoint(combobox2.Text);
l:=strtoint(combobox3.Text);
q:=2*l+1;
p:=n-l-1;
x:=n+l;
em:=2*n-1;
e:=1+n;
sub:=1;
for pi:=0 to em do
if pi=0 then
sub:=1
else
begin
sub:=sub*pi;
lxi
end;
if p<0 then
begin
showmessage('maaf nilai faktorial yang anda isikan tidak tepat');
combobox1.SetFocus();
exit;
end;
for i:=0 to p do
if i=0 then
sum:=1
else
begin
sum:=sum*i;
end;
if x<0 then
begin
showmessage('maaf nilai faktorial yang anda isikan tidak tepat');
combobox1.SetFocus();
exit;
end;
for a:=0 to x do
if a=0 then
y:=1
else
begin
y:=y*a;
end;
z:=sum/y;
fak:=2*sqrt(z)/(exp((3/2)*ln(alph))*sqr(n));
for r:= 0 to 75 do
for ni:=0 to p do
begin
if r=0 then
if l=0 then c:=1 else
c:=0
else
c:=exp(l*ln(2*r/(n*alph)));
if ni=0 then
begin
Leg[ni,q]:=1;
Rad[r]:=(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak);
stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r);
stringgrid1.Cells[n+l,r]:=floattostr(Rad[r]);
end
else
if ni=1 then
lxii
begin
Leg[ni,q]:=q+1-(2*r/n);
Rad[r]:=(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak);
stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r);
stringgrid1.Cells[n+l,r]:=floattostr(Rad[r]);
end
else
Begin
Leg[ni,q]:=((((2*ni)-1+q-(2*r/n))*Leg[ni-1,q])-((ni-1+q)*Leg[ni-2,q]))/ni;
Rad[r]:=(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak);
stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r);
stringgrid1.Cells[2*n,r]:=floattostr(Rad[r]);
end;
end;
for r:=0 to 20 do
begin
if r=0 then
if n-1=0 then ce:=1
else ce:=0
else
ce:=exp((n-1)*ln(r));
aa:= exp(n*ln(2));
b:= exp(e*ln(n));
d:=exp(-r/n);
eN:= aa/(b*sqrt(sub));
if n=2 then
if l=0 then
begin
rad2[r]:=(1/sqrt(0.75))*eN*((3*exp(-1/2*r))-(3/2*r*(exp(-1/2*r))));
stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r);
stringgrid2.Cells[2,r]:=floattostr(rad2[r]);
end
else
if l=1 then
begin
rad2[r]:= (eN*ce*d);
stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r);
stringgrid2.Cells[3,r]:=floattostr(rad2[r]);
end
else
else
if n=3 then
if l=1 then
begin
lxiii
rad2[r]:=(6/sqrt(5))*eN*((5*r*exp(-1/3*r))-(5/6*r*r*(exp(-1/3*r))));
stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r);
stringgrid2.Cells[3,r]:=floattostr(rad2[r]);
end
else
if l=0
then
begin
rad2[r]:= (9/sqrt(10))*eN* ((10*(exp(-1/3*r)))-((55/6)*r*exp(1/3*r))+((10/9)*r*r*exp(-1/3*r))+((5*exp(-1/3*r)-((5/6)*r*exp(-1/3*r)))));
stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r);
stringgrid2.Cells[6,r]:=floattostr(rad2[r]);
end
else
if l=2
then
begin
rad2[r]:= (eN*ce*d);
end
else
else
if n=1+l then
rad2[r]:= (eN*ce*d);
stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r);
stringgrid2.Cells[n+l,r]:=floattostr(rad2[r]);
end;
end;
procedure TForm1.Probabilitas1Click(Sender: TObject);
begin
Form2:=TForm2.Create(self);
Form2.Show;
if combobox1.text=''then
begin
showmessage('maaf diisi dulu nilainya');
combobox1.setfocus();
exit;
end;
alph:=strtoint(combobox1.Text);
n:=strtoint(combobox2.Text);
l:=strtoint(combobox3.Text);
q:=2*l+1;
p:=n-l-1;
x:=n+l;
em:=2*n-1;
e:=1+n;
sub:=1;
lxiv
for pi:=0 to em do
if pi=0 then
sub:=1
else
begin
sub:=sub*pi;
end;
if p<0 then
begin
showmessage('maaf nilai faktorial yang anda isikan tidak tepat');
combobox1.SetFocus();
exit;
end;
for i:=0 to p do
if i=0 then
sum:=1
else
begin
sum:=sum*i;
end;
if x<0 then
begin
showmessage('maaf nilai faktorial yang anda isikan tidak tepat');
combobox1.SetFocus();
exit;
end;
for a:=0 to x do
if a=0 then
y:=1
else
begin
y:=y*a;
end;
z:=sum/y;
fak:=2*sqrt(z)/(exp((3/2)*ln(alph))*sqr(n));
for r:= 0 to 75 do
for ni:=0 to p do
if r=0 then prob1[r]:=0
else
begin
c:=exp(l*ln(2*r/(n*alph)));
if ni=0 then
begin Leg[ni,q]:=1;
prob1[r]:=sqr(r*(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak));
form2.stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r);
form2.stringgrid1.Cells[n+l,r]:=floattostr(prob1[r]);
lxv
end
else
if ni=1 then
begin
Leg[ni,q]:=q+1-(2*r/n);
prob1[r]:=sqr(r*(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak));
form2.stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r);
form2.stringgrid1.Cells[n+l,r]:=floattostr(prob1[r]);
end
else
Begin
Leg[ni,q]:=((((2*ni)-1+q-(2*r/n))*Leg[ni-1,q])-((ni-1+q)*Leg[ni-2,q]))/ni;
prob1[r]:=sqr(r*(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak));
form2.stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r);
form2.stringgrid1.Cells[2*n,r]:=floattostr(prob1[r]);
end;
end;
for r:=0 to 75 do
if r=0 then prob2[r]:=0
else
begin
aa:= exp(n*ln(2));
b:= exp(e*ln(n));
ce:=exp(n*ln(r));
d:=exp(-r/n);
eN:= aa/(b*sqrt(sub));
if n=2 then
if l=0 then
begin
prob2[r]:=sqr(r*((1/r)*(1/sqrt(0.75))*eN*((3*r*exp(-1/2*r))-(3/2*r*r*(exp(1/2*r))))));
form2.stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r);
form2.stringgrid2.Cells[2,r]:=floattostr(prob2[r]);
end
else
if l=1 then
begin
prob2[r]:=sqr(r* (eN*ce*d*(1/r)));
end
else
else
if n=3 then
if l=1 then
begin
lxvi
prob2[r]:=sqr(r*((1/r)*(6/sqrt(5))*eN*((5*sqr(r)*exp(-1/3*r))-(5/6*r*r*r*(exp(1/3*r))))));
form2.stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r);
form2.stringgrid2.Cells[5,r]:=floattostr(prob2[r]);
end
else
if l=0
then
begin
prob2[r]:= sqr(r*((1/r)*(9/sqrt(10))*eN* ((10*r*(exp(-1/3*r)))-((55/6)*r*r*exp(1/3*r))+((10/9)*r*r*r*exp(-1/3*r))+((5*r*r*exp(-1/3*r)-((5/6)*r*r*r*exp(1/3*r)))/r))));
form2.stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r);
form2.stringgrid2.Cells[6,r]:=floattostr(prob2[r]);
end
else
if l=2
then
begin
prob2[r]:= sqr(r*(eN*ce*d*(1/r)));
form2.stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r);
form2.stringgrid2.Cells[4,r]:=floattostr(prob2[r]);
end
else
else
if n=1+l then
prob2[r]:=sqr (r*(eN*ce*d*(1/r)));
form2.stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r);
form2.stringgrid2.Cells[n+l,r]:=floattostr(prob2[r]);
end;
end;
procedure TForm1.Fungsi1Click(Sender: TObject);
begin
Form3:=Tform3.Create(self);
form3.Show;
for r:= 0 to 75 do
begin
form3.Series1.AddXY(r,rad[r],'',clblack);
form3.Series12.AddXY(r,rad2[r],'',clblack);
form3.Series13.AddXY(r,rad2[r],'',clblack);
form3.series14.AddXY(r,rad[r],'',clblack);
end;
end;
procedure TForm1.Probabilitas2Click(Sender: TObject);
begin
lxvii
Form4:=Tform4.Create(self);
form4.Show;
for r:= 0 to 75 do
begin
form4.series2.AddXY(r,prob1[r],'',clblack);
form4.Series3.AddXY(r,prob1[r],'',clblack);
form4.series4.AddXY(r,prob1[r],'',clblack);
form4.series5.AddXY(r,prob1[r],'',clblack);
form4.Series6.AddXY(r,prob1[r],'',clblack);
form4.series7.AddXY(r,prob1[r],'',clblack);
form4.Series8.AddXY(r,prob1[r],'',clblack);
form4.series9.AddXY(r,prob1[r],'',clblack);
form4.series10.AddXY(r,prob1[r],'',clblack);
form4.series11.AddXY(r,prob1[r],'',clblack);
form4.Series12.AddXY(r,prob2[r],'',clblack);
form4.series13.AddXY(r,prob2[r],'',clblack);
end;
end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
stringgrid1.Cells[0,0]:='(r,R[n.l])';
stringgrid1.Cells[1,0]:='R[1,0]';
stringgrid1.Cells[2,0]:='R[2,0]';
stringgrid1.Cells[3,0]:='R[2,1]';
stringgrid1.Cells[4,0]:='R[3,1]';
stringgrid1.Cells[5,0]:='R[3,2]';
stringgrid1.Cells[6,0]:='R[3,0]';
stringgrid1.Cells[7,0]:='R[4,3]';
stringgrid1.Cells[8,0]:='R[4,1]';
stringgrid1.Cells[9,0]:='R[4,2]';
stringgrid1.Cells[10,0]:='R[4,0]';
stringgrid1.Cells[11,0]:='R[10]';
stringgrid2.Cells[0,0]:='(r,R[n,l])';
stringgrid2.Cells[1,0]:='R[1,0]';
stringgrid2.Cells[2,0]:='R[2,0]';
stringgrid2.Cells[3,0]:='R[2,1]';
stringgrid2.Cells[4,0]:='R[3,1]';
stringgrid2.Cells[5,0]:='R[3,2]';
stringgrid2.Cells[6,0]:='R[3,0]';
stringgrid2.Cells[7,0]:='R[4,3]';
stringgrid2.Cells[8,0]:='R[4,1]';
stringgrid2.Cells[9,0]:='R[4,2]';
stringgrid2.Cells[10,0]:='R[4,0]';
stringgrid2.Cells[11,0]:='R[5,0]';
end;
end.
lxviii
DAFTAR PUSTAKA
Beiser, A., 1992, Konsep Fisika Modern Edisi Keempat, Erlangga, Jakarta.
Dahmen, 1989, Quantum Mechanics On The Personal Computer, Physics
Departement ,Siegen University.
Griffith, D. J., 1994: Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, New
Jersey.
Gribbin, John. 2003. Fisika Kuantum. Jakarta : Erlangga.
Hossein,P. and Reza, 2006. A Numerical Solution for Hydrogen Atoms Like.
Journal of information technology. Volume 5:951-954.
Koichi Ohno, 2009, Bentuk-bentuk orbital atomik, diakses 14 September 2009.
http://www.chem-is-try.org/situs kimia indonesia_.htm.
M. Enciso.A,J.Lopez.B,M.Sanchez.M, 2006. Radial Matrix elements for the
Hydrogen
Atom.
Electronic
journal
of
theoretical
Physics.Vol.3.no.13.117-120.
Phillips, 2003, Introduction To Quantum Mechanics, Departement of Physics and
Astronomy, University of Manchester.
Ratna,dkk, 2009, Elektron Dalam Atom, diakses 14 September 2009.
http://www.chem-is-try.org/situs kimia indonesia_.htm.
lxix
Suparmi, 1992, Semiclassical Quantization Rules In Supersymetric Quantum
Mechanics, College of Science and Mathematics, Departement of physics,
Newyork.
Yuana, Rosihan, Ari, 2005, Pemrograman C++, FMIPA UNS, Surakarta.
Yossy. K, dan M.Nur, 2005, Studi Pemodelan Dinamika Proton Dalam Ikatan
Hidrogen H20 Padatan Satu Dimensi. Jurnal Berkala Fisika. Volume.8,
no.3: 107-117.
Wibowo, Toni. E. M., 2003, Pendekatan SWKB Untuk Penyelesaian Nilai Eigen,
FMIPA UNS, Surakarta.
Yusron, dkk., 2007, Review Probabilitas Menemukan Elekton Dengan Fungsi
Gelombang Simetri dan Anti Simetri Pada Molekul H +2 . Jurnal Berkala
Fisika. Volume.10,No.1: 7-12.
lxx
lxxi