LOGIKA MATEMATIKA INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 1 BAB I

LOGIKA MATEMATIKA
1.1.1
BAB I
PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN
1.1 DEFINISI HIMPUNAN
Pengertian
Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan
atau keberurutan objek-objek anggotanya tidak diperhatikan. Objek-objek itu disebut
elemen-elemen atau anggota-anggota himpunan
Anggota Himpunan
Himpunan memiliki objek yang disebut anggota atau elemen himpunan. Jika himpunan A
memiliki x sebagai anggotanya maka dapat dituliskan sebagai x ∈ A , dibaca ”x adalah
anggota himpunan A” atau “x adalah elemen dari himpunan A”. Jika objek y bukan elemen
atau anggota dari himpunan A maka dapat ditulis y ∉ A .
Himpunan Hingga dan Takhingga (Finite and Infinite Set)
Himpunan hingga (Finite set) merupakan himpunan yang berisi sejumlah hingga elemen
yang berbeda selain itu disebut sebagai himpunan tak hingga (Infinite set).
1.2 NOTASI
Notasi Himpunan
Himpunan dinyatakan dengan huruf besar : A, B, C, D, E, … . Sedangkan elemen-elemen
dalam suatu himpunan dinyatakan dengan huruf kecil : a, b, c, d, e, …
Contoh :
1. Himpunan A terdiri atas bilangan 2, 4, 6, 8, maka dapat dituliskan sebagai :
A = {2, 4, 6, 8}; elemen-elemen didaftarkan dengan dipisahkan tanda koma (‘,’) dan
dalam tanda kurung kurawal {}.
2. Himpunan B adalah himpunan bilangan genap positif, maka dapat dituliskan dengan :
B = {x | x genap > 0}
Cara Penulisan Himpunan
Cara penulisan himpunan terdiri atas 3 cara, yaitu :
1. Enumerasi
Dengan menyebutkan semua (satu per satu) elemen himpunan
Contoh:
B = {1,2,3,4,5}
D = {apel, mangga, jambu}
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 1
LOGIKA MATEMATIKA
2. Notasi khusus himpunan atau simbol standar
Dengan simbol-simbol standar yang biasa digunakan untuk mewakili suatu himpunan,
antara lain :
Contoh :
P = Himpunan bilangan integer positif = {1,2,3, …}
Q = Himpunan bilangan natural = {0,1,2, …}
Z = Himpunan bilangan rasional = {… , -2, -1, 0, 1, 2, …}
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Dengan menyebutkan sifat atau syarat keanggotaan dari himpunan.
Contoh :
B={x|x≤5,x∈A}
Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan himpunan :
• Bagian kiri tanda ‘|’ melambangkan elemen himpunan
• Tanda ‘|’ dibaca sebagai dimana atau sedemikian sehingga
• Bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
• Setiap tanda ‘,’ dibaca sebagai dan
4. Diagram Venn
Dengan menggambarkan keberadaan himpunan terhadap himpunan lain. Himpunan
Semesta (S) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lain
digambarkan sebagai lingkaran.
Contoh :
S = {1,2, … , 7, 8}
A = {1,2,3,5}
B = {2,5,6,8}
S
A
B
1
2
3
5
6
8
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 2
LOGIKA MATEMATIKA
Atau dengan area himpunan
S
A
1
Himpunan
A
B
A∩B
A∪B
B
2
3
Area
1,2
2,3
2
1, 2, 3
Definisi-Definisi
a. Himpunan semesta/universal
Simbol : S atau U
b. Himpunan bagian (Subset)
A merupakan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika setiap elemen A juga
merupakan elemen B.
Simbol : A ⊆ B
Contoh :
A = Bilangan Integer dan B = Bilangan Real
Maka A ⊆ B
Catatan :
∅ ⊆ A dan A ⊆ A
c. Himpunan Kosong (Null Set)
Himpunan kosong merupakan himpunan yang tidak memiliki elemen atau anggota.
Himpunan kosong selalu merupakan salah satu himpunan bagiannya.
Simbol : { } atau ∅
Contoh : F = { x | x < x }
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 3
LOGIKA MATEMATIKA
d. Himpunan Kuasa (Power Set)
Himpunan dari seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan
Contoh :
Himpunan bagian dari A = {1, 2} adalah ∅, {1}, {2}, {1, 2} maka Himpunan kuasa
dari A = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
e. Himpunan bagian yang sebenarnya ( Proper Subset )
A himpunan bagian yang sebenarnya dari B bila tiap elemen A adalah elemen B dan
B≠∅, tapi himpunan A tidak sama dengan B atau bila A ⊆ B dan A ≠ B
Contoh :
A = {1, 2, 3, 4}
B = {0, 1, 2, 3, 4}
Maka A merupakan proper subset dari B
f. Himpunan yang sama
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B juga merupakan elemen A.
Simbol : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A
Contoh :
A = {0, 1, 2, 3}
B = {0, 1, 2, 3}
Maka A = B
g. Himpunan yang ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari
kedua himupunan tersebut sama.
Simbol : A ∼ B
Contoh :
A = {0, 1, 2, 3, 4}
Æ|A|=5
B = {5, 6, 7, 8, 9}
Æ|B|=5
Maka A ~ B
h. Himpunan Saling Lepas ( Disjoint )
Dua himupunan A dan B dikatakan saling lepas jika tidak memiliki elemen yang sama.
Contoh :
A = { x | x < 8, x ∈ P }
B = { 10, 20, 30, … }
Maka A dan B adalah himpunan yang saling lepas.
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 4
LOGIKA MATEMATIKA
1.3 OPERASI-OPERASI DASAR HIMPUNAN
Union (Gabungan)
Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua elemen yang termasuk
dalam A atau B atau keduanya. Union teresebut dapat dinyatakan sebagai :
A ∪ B : dibaca A Union B
Contoh :
A = { a, b, c, d } dan B = {e, f, g }, maka A ∪ B = { a, b, c, d, e, f, g }
Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut :
A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }
Berlaku hukum : A ∪ B = B ∪ A
Subhimpunan :
A dan B keduanya selalu berupa subhimpunan dari A ∪ B, yaitu :
A ⊂ (A ∪ B) dan B ⊂ (A ∪ B)
Irisan (Perpotongan)
Irisan himpunan A dengan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang dimiliki
bersama oleh A dan B, yatu elemen-elemen yang termasuk di A dan juga termasuk di B.
Irisan dinyatakan dengan :
A ∩ B dibaca A “irisan” B
Contoh
A = { a, b, c, d }
dan B = { b, d, f, g } maka A ∩ B = { b, d }
Dapat dinyatakan dengan : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Setiap himpunan A dan himpunan B mengandung A ∩ B sebagai subhimpunan, yaitu :
(A ∩ B) ⊂ A dan (A ∩ B) ⊂ B
Jika himpunan A dan himpunan B tidak mempunyai elemen-elemen yang dimiliki bersama,
berarti A dan B terpisah, maka irisan dari keduanya adalah himpunan kosong :
A∩B=∅
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 5
LOGIKA MATEMATIKA
Selisih
Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk
A tetapi tidak termasuk B, dan dinyatakan dengan :
A – B dibaca “selisih A dan B’ atau ‘A kurang B’
Dapat dinyakan dengan : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }
Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, berarti : (A – B) ⊂ A
Komplemen
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen-elemen yang tidak termasuk A,
yaitu selisih dari himpunan semesta S dan A. Komplemen dapat didefinisikan secara
ringkas sebagai berikut :
A’ = { x | x ∈ S dan x ∉ A } atau A’ = { x | x ∉ A }
Union sebarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan semesta, yaitu :
A ∪ A’ = S
A ∩ A’ = ∅
Komplemen dari komplemen himpunan A adalah himpunan A sendiri : (A’)’ = A
Selisih dari A dan B sama dengan irisan A dan komplemen B;
A – B = A ∩ B’
Perbedaan Simetris ( Symmetric Difference )
Perbedaan simetris dari himpunan A dan B adalah sutau himpunan yang elemennya ada
pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.
Simbol : A ∆ B = A ⊕ B = ( A ∪ B ) – ( A ∩ B ) = ( A – B ) ∪ ( B – A )
Contoh :
A = { 2, 4, 6 } ; B = { 2, 3, 5 }
A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 }
1.4 ALJABAR HIMPUNAN
Aljabar himpunan mempunyai sifat yang analogi dengan aljabar aritmetika. Operasi pada
aljabar aritmetika adalah penambahan (+) dan perkalian (•).
Sifat-sifat operasi pada aljbar aritmetika :
Misal a, b, c, adalah sembarang bilangan
1. Tertutup ( Closure )
A1 : a + b adalah bilangan
M1 : a • b adalah bilangan
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 6
LOGIKA MATEMATIKA
2. Assosiatif
A2 : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
M2 : (a • b) • c = a • ( b • c )
3. Identitas
A3 : Ada sebuah bilangan unik yaitu nol (0) sedemikian sehingga untuk semua
bilangan berlaku bahwa a + 0 = 0 + a = a
M3 : Ada sebuah bilangan unik yaitu 1 sedemikian sehingga untuk semua bilangan
berlaku bahwa a • 1 = 1 • a = a
4. Invers
A4 : Untuk setiap bilangan a terdapat bilangan unik (-a) sedemikian sehingga berlaku a
+ (-a) = (-a) + a = 0
M4 : Untuk setiap bilangan a ≠ 0, terdapat bilangan unik ( a 1 ) sedemikian sehingga
berlaku a • a 1 = a 1 • a = 1
5. Komutatif
A5 : a + b = b + a
M6 : a • b = b • a
6. Distributif
A6 : a • ( b + c ) = ( a b ) + ( a c )
M6 : (a + b) • c = ( a c ) + ( b c )
Sifat-sifat tersebut berlaku pula pada aljabar himpunan dimana terdapat perubahan :
• Operator penjumlahan (+) diganti dengan operator perbedaan simetris ( ∆ )
• Operator perkalian (•) diganti dengan operator irisan (∩)
• Sifat M4 bilangan unik nol (0) diganti himpunan ∅, bilangan unik 1 diganti
himpunan semesta S
• A4 Bilangan unik (-a) diganti dengan A’, sedemikian sehingga berlaku :
A ∆ A’ = S
A∩A=∅
1.5 TRANSISI DARI HIMPUNAN KE LOGIKA
Pada dasarnya Aljabar Boolean memberikan perantaraan antara Aljabar himpunan dan
Logika sebagai berikut :
•
Operasi-operasi dasar dalam aljabar himpunan dengan 2 elemen yaitu ∅ dan A
A
A
∅
∅
A
∅
∅
∅
∅
∅
A
A
A
A
A
∅
α∪β
α∩β
Jika diinterpretasikan sebagai aljabar boolean maka kedua elemen pada aljabar himpunan
berkorespodensi dengan elemen pada aljabar Boolean yaitu 0 dan 1
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 7
LOGIKA MATEMATIKA
•
Operasi-operasi dasar dalam Aljabar Boolean dengan 2 elemen yaitu : 0 dan 1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
α+β
α•β
•
Operasi-operasi dasar dalam Logika (Kalkulus Proposisi) melibatkan elemen False dan
True
False
True
False
True
False False
True
False
False
True
True True
True
True
False
True
α∨β
α∧β
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 8
LOGIKA MATEMATIKA
1.6 SOAL LATIHAN
1. Tentukan Elemen dari Himpunan A = {x | x2 = 11x – 30 OR 4 – x > 0}, dimana U
adalah :
a. Himpunan Bilangan Riil
b. Himpunan Bilangan Bulat
c. Himpunan Bilangan Bulat positif
d. Himpunan Bilangan Bulat negatif
e. Himpunan Bilangan Bulat positif kurang dari 10
2. Tentukan Symmetric Difference dari pasangan himpunan berikut ini :
a. A = {2, 5, 8}
B = {1,2, 5, 10}
b. A = {1, 3, 5 }
B = {1, 2, 4, 7}
c. A = {a, *, $ }
B = {1, 2, 3}
d. A = ∅
B = {a, *, $ }
e. A = {1, 3, 5 }
B = {2, 4, 6}
3. Tunjukkan persamaan berikut ini dengan menggunakan Diagram Venn :
a. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
b. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
c. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
d. A ∩ (B ⊕ C) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C)
4. Diketahui :
A – B = {0, 3}
A ⊕ B = {0, 1, 3, 5, 6}
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 11}
Tentukan Elemen dari Himpunan A dan Himpunan B !
5. Diketahui :
A – B = {1, 5, 7, 8}
B – A = {2, 10}
A ∩ B = {3, 6, 9}
Tentukan Elemen dari Himpunan A dan Himpunan B !
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 9
LOGIKA MATEMATIKA
BAB II
ALJABAR BOOLEAN
2.1 DEFINISI
Aljabar Boolean adalah sistem aljabar yang berisi Himpunan Semesta (set S) dengan dua
operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) yang didefinisikan pada set itu sehingga
memenuhi ketentuan berikut ini :
• Aturan A1 sampai dengan A5, M1 sampai M3, M5, D1, dan D2
• Setiap elemen adalah “idempotent”, yaitu Jika a ∈ S, maka a.a = a
• setiap elemen a, b, c dari S mempunyai sifat-sifat atau aksioma-aksioma berikut ini :
2
A1 a + b ∈ S
< closure >
M2 a.b ∈ S
< closure >
A2 a + (b + c) = (a + b) + c
< asosiatif >
M2 a . (b.c) = (a.b).c
< asosiatif >
A3 Jika 0 ∈ S maka untuk setiap a ∈ S,
< identitias >
adalah a + 0 = 0 + a = a
M3 Jika 1 ∈ S maka untuk setiap a ∈ S,
< identitas >
Adalah a . 1 = 1 . a = a
A5 a + b = b + a
< komutatif >
M5 a.b = b.a
< komutatif >
D1 a.(b+c) = a.b + a.c
< distributif >
D2 (a + b) . c = a.c + b.c
< distributif >
D3 a + (b.c) = (a + b) . (a + c)
< distributif >
D4 (a.b) + c = (a + c) . ( b + c)
< distributif >
C1 Untuk setiap a ∈ S, dan a’ ∈ S, maka a + a’ =
< komplemen >
1 dan a . a’ = 0
2.2 PRINSIP DUALITAS
Teorema 2.1
Untuk setiap elemen a, berlaku : a + a = a dan
Bukti
a + a = (a+a) (1)
identitas
= (a+a) (a+a’)
komplemen
= a + (a.a’)
distributif
=a+0
komplemen
=a
identitas
a.a=a
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 10
LOGIKA MATEMATIKA
a.a
= a.a + 0
= a.a + a.a’
= a. (a.a’)
= a.1
=a
identitas
komplemen
distributif
komplemen
identitas
Teorema 2.2
Untuk setiap elemen a, berlaku : a + 1 = 1
Bukti
a + 1 = a + (a+a’)
= (a+a) + a’
= a+a’
=1
a.0
= a.(a.a’)
= (a.a).a’
= a.a’
= 0
dan
a.0=0
komplemen
asosiatif
teorema 1a
komplemen
komplemen
asosiatif
idempoten
komplemen
Teorema 2.3 (Hukum Penyerapan)
Untuk setiap elemen a dan b, berlaku : a + a.b = a dan
Bukti
a+ab = a.1 + a.b
= a . (1+b)
=a+1
=a
Identitas
distributif
teorema 2a
identitas
a. (a+b)= a.a + a.b
= a+ab
= a.1 + ab
= a. (1+b)
= a.1
=a
distributif
idempoten
identitas
distributif
teorema 2a
identitas
a.(a+b) = 1
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 11
LOGIKA MATEMATIKA
Teorema 2.4 (Hukum de Morgan)
Untuk setiap elemen a dan b, berlaku : (a.b)’ = a’ + b’ dan (a+b)’ = a’b’
Bukti
(a.b)’ = a’ + b’
Diketahui
: (ab) (ab)’
=0
Diperlihatkan : (ab) (a’+b’) = 0
(ab) (a’+b’) = aba’ + abb’
= 0.b + a.0
=0+0
=0
(a + b)’
distributif
komplemen
teorema 2b
identitas
= a’b’
Diketahui
: (ab) + (ab)’ = 1
Diperlihatkan : ab + a’ + b’ = 1
ab + (a’ + b’) = ( a + a’ + b’) (b + a’ + b’)
Teorema 2.5
0’ = 1 dan 1’ = 0
Teorema 2.6
Jika suatu Aljabar Boolean berisi paling sedikit dua elemen yang berbeda,
maka 0 ≠ 1
Definisi
x dan y adalah elemen-elemen dari aljabar Boolean. Dinyatakan bahwa:
x lebih kecil daripada y (x<= y) jika dan hanya jika x + y = y
Teorema 2.7
< = adalah suatu bagian dari urutan
Bukti
Dari Teorema 2.1 : x + x = x, sehingga x < = x
Jika x < = y, maka x + y = y
Jika y < = x, maka x = y = y + x = x
Sehingga jika x < = y dan y < = x, maka x = y
Dapat disimpulkan :
x < = y dan y < = z, maka x + y = y dan y + z = z
x + z = x + (y + z) = (x + y) + z = y + z = z
Sehingga x < = z
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 12
LOGIKA MATEMATIKA
Teorema 2.8
Jika x, y, dan x adalah elemen-elemen dari aljabar Boolean, maka < = mempunyai sifatsifat berikut ini :
Jika x < = y dan x < = z, maka x < = yz
Jika x < = y, maka x < = y + z untuk elemen z
Jika x < = y, maka xz < = y untuk elemen z
x < = y jika dan hanya jika y’ < = x’
Bukti
x + y = y dan x + z = z, sehingga x + yz = (x + y)(x + z) = yz
Jika x + y = y, maka x + (y+z) = (x+y)+z = y + z
Dengan hukum penyerapan, xz + x = x atau xz < = x
x < = y maka x + y = y dan y’ = (x+y)’
Sehingga y’ + x’ = (x+y)’ + x’ = ((x+y)x)’ dengan hukum penyerapan
Konversi (x’)’ = x
2.3 FUNGSI BOOLEAN
Misalkan x1, x2, x3, … , xn merupakan variabel-variabel aljabar Boolean. Fungsi Boolean
dengan n variable adalah fungsi yang dapat dibentuk dari aturan-aturan berikut :
1. Fungsi Konstan
f(x1, x2, x3, … , xn) = a
2. Fungsi Proyeksi
f(x1, x2, x3, … , xn) = xi I = 1, 2, 3, … , n
3. Fungsi Komplemen
g(x1, x2, x3, … , xn) = (f(x1, x2, x3, … , xn))’
4. Fungsi Gabungan
h(x1, x2, x3, … , xn) = f(x1, x2, x3, … , xn) + g(x1, x2, x3, … , xn)
h(x1, x2, x3, … , xn) = f(x1, x2, x3, … , xn) . g(x1, x2, x3, … , xn)
Catatan
Fungsi identitas : fungsi proyeksi satu variabel, dimana f(x) = x
Teorema 3.1
Jika f adalah fungsi Boolean dengan satu variabel, maka untuk semua nilai x, adalah
f(x) = f(1) x + f(0)x’
Untuk kemungkinan bentuk f :
Kemungkinan 1 :
f adalah fungsi konstan, f(x) = a
f(1)x + f(0)x’ = ax + ax’ = a(x+x’) = a1 = a = f(x)
Kemungkinan 2 :
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 13
LOGIKA MATEMATIKA
f adalah fungsi identitas
f(1)x + f(0)x’ = 1x + 0x’ = x + 0 = x = f(x)
Kemungkinan 3 :
g(x) = (f(x))’
g(x) = (f(x))’ = (f(1)x + f(0)x’)’
= (f(1)x)’ + (f(0)x’)’
= ((f(1))’ + x’) ((f(0))’ + x)
= (f(1))’ (f(0))’ + (f(1))’ x + (f(0))’ x’ + xx’
= (f(1))’ (f(0))’ (1) + (f(1))’ x + (f(0))’ x’
= (f(1))’ (f(0))’ (x + x’) + (f(1))’ x + (f(0))’ x’
= (f(1))’ (f(0))’ x + (f(1))’ x + (f(1))’ (f(0))’ x’ + (f(0))’ x’
= (f(1))’ x + (f(0))’ x’
(Hukum Penyerapan)
= g(1)x + g(0)x’
Kemungkinan 4 :
h(x) = f(x) + g(x)
h(x) = f(x) + g(x)
Kemungkinan 5 :
k(x) = f(x) g(x)
k(x) = f(x) g(x)
= f(1)x + f(0)x’ + g(1)x + g(0) x’
= (f(1) + g(1)) x + (f(0) + g(0)) x’
= h(1) x + h(0) x’
= (f(1) x + f(0)x’) (g(1)x +g(0)x’)
= f(1)g(1)xx + f(1)g(0)xx’ + f(0)g(1)x’x + f(0)g(0)x’x’
= f(1) g(1) x + f(0)g(0) x’
= k(1)x + k(0)x’
Bentuk diatas adalah bentuk standar fungsi Boolean satu variabel. Dengan cara yang sama,
jika f adalah fungsi Boolean dengan dua variabel, maka untuk nilai x dan y bentuk
standarnya adalah sebagai berikut :
f(x,y) = f(1,1) xy + f(1,0) xy’ + f(0,1) x’y + f(0,0) x’y’
2.4 BENTUK FUNGSI BOOLEAN
Suatu fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam bentuk yang berbeda tetapi memiliki arti
yang sama.
Contoh :
f1(x,y) = x’ . y’
f2(x,y) = (x + y)’
f1 dan f1 merupakan bentuk fungsi boolean yang sama, yaitu dengan menggunakan Hukum
De Morgan.
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 14
LOGIKA MATEMATIKA
Nilai Fungsi
Fungsi Boolean dinyatakan nilainya pada setiap variabel yaitu pada setiap kombinasi (0,1).
Contoh : Fungsi Boolean
f(x,y) = x’y + xy’ + y’
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x’y
0
1
0
0
xy’
0
0
1
0
y’
1
0
1
0
f(x,y)
1
1
1
0
Cara Representasi
Terdapat dua cara merepresentasikan fungsi Boolean yakni dengan cara : aljabar dan table
kebenaran. Untuk dapat memahami penggunaannya, perhatikanlah contoh di bawah ini :
Contoh : Fungsi f(x,y,z) = xyz’
1. Aljabar
Representasi secara aljabar adalah f(x,y,z) = xyz’
2. Dengan menggunakan Tabel Kebenaran
Dengan menggunakan Tabel Kebenaran, sbb :
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
xyz’
0
0
0
0
0
0
1
0
Jumlah elemen dalam tabel kebenaran adalah jumlah kombinasi dari nilai variabelvariabelnya, yaitu sejumlah 2n, dimana n adalah banyaknya variabel biner.
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 15
LOGIKA MATEMATIKA
Konversi dari Tabel Kebenaran
x
0
0
0
0
1
1
1
1
1).
f1(x,y,z)
f1’(x,y,z)
2).
y
z
f(x,y,z)
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
= x’y’z + xy’z’ + xyz
= m1 + m4 + m7
= x’y’z’ + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’
Å SOP
= (x+y+z) (x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’) (x’+y’+z) Å POS
= (f1’(x,y,z))’
= M0 M2 M3 M5 M6
f2(x,y,z)
∴F = m1 + m 4 + m7 = M0 . M2 . M3 . M5 . M6
x
0
0
0
0
1
1
1
1
f1(x,y,z)
f1’(x,y,z)
f2(x,y,z)
y
z
f(x,y,z)
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
= x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + x’yz + xy’z’ + xyz’
= m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m6
= xy’z + xyz
= (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z’)
= (f1’(x,y,z))’
= M5 . M7
∴F = m0 + m 1 + m2 + m3 + m4 + m6 = M5 . M7
Bentuk (1) dan (2) merupakan fungsi/bentuk standar, yaitu fungsi yang literalnya ditulis
lengkap pada tiap suku.
• Bentuk pertama (1) disebut SOP (Sum Of Product) / Minterm
• Bentuk kedua (2) disebut POS (Product Of Sum) / Maxterm
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 16
LOGIKA MATEMATIKA
Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS disebut fungsi/bentuk
Kanonik.
2.5 BENTUK STANDAR/KANONIK FUNGSI BOOLEAN
Jika f adalah fungsi boolean satu variabel maka untuk semua nilai x berlaku :
f(x) = f(1) . x + f(0) . x’
Jika f adalah fungsi boolean dua variabel maka untuk semua nilai x berlaku :
f(x,y) = f(0,0) . x’y’ + f(0,1) . x’y + f(1,0) . xy’ + f(1,1) . xy
Bentuk Standar dan Bentuk Kanonik
2 variabel :
Minterm
Term
Nilai
x’y’
m0
x’y
m1
xy’
m2
xy
m3
x
y
0
0
1
1
0
1
0
1
x
y
z
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Maxterm
Term
nilai
x+y
M0
x + y’
M1
x’ + y
M2
x’ + y’
M3
3 variabel
Minterm
Term
Nilai
x’y’z’
m0
x’yz
m1
x’yz’
m2
x’yz
m3
xy’z’
m4
xy’z
m5
xyz’
m6
xyz
m7
Maxterm
Term
Nilai
x+y+z
M0
x + y + z’
M1
x + y’ + z
M2
x + y ‘+ z’
M3
x’ + y + z
M4
x’ + y + z’
M5
x’ + y’ + z
M6
x’ + y’ + z’
M7
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 17
LOGIKA MATEMATIKA
2.6 KONVERSI KE BENTUK STANDAR DAN KANONIK
1. Cari bentuk standar dari f(x,y) = x’
Jawab :
f(x,y)
= x’ . 1
identitas
= x’ . (y+y’)
komplemen
= x’y + x’y’
distributif
= ∑m(0, 1)
∴Bentuk Standar : f(x,y) = x’y + x’y’
∴Bentuk Kanonik : f(x,y) = ∑m(0, 1)
Å bentuk SOP
dengan mj’ = Mj
f’(x,y)
=x.1
= x .(y+y’)
= xy + xy’
identitas
komplemen
distributif
(f’(x,y))’= (x’+y’)(x’+y)
= ΠM(2, 3)
∴Bentuk Standar : f(x,y) = (x’+y’)(x’+y)
∴Bentuk Kanonik : f(x,y) = ΠM(2, 3)
Å bentuk POS
2. Cari bentuk standar dari f(x,y,z) = y’ + xy + x’yz’
Jawab :
f(x,y,z)
= y’ + xy + x’yz’
Å lengkapi literal pada tiap suku
= y’(x+x’)(z+z’) + xy(z+z’) + x’yz’
= (xy’ + x’y’)(z+z’) + xyz + xyz’ + x’yz’
f(x,y,z)
= xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’
= m5 + m4 + m1+ m0 + m7 + m6 + m2
Æ SOP
∴Bentuk Standar : f(x,y,z) = xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’
∴Bentuk Kanonik : f(x,y) = ∑m(0, 1, 2, 4, 5, 6, 7)
atau
Æ POS
∴Bentuk Standar : f(x,y,z) = x + y’ + z’
∴Bentuk Kanonik : f(x,y) = ΠM(3)
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 18
LOGIKA MATEMATIKA
3. Cari bentuk Kanonik dari : f(x,y) = x’y + xy’
Jawab :
Tabel Nilainya
x
y
0
0
1
1
0
1
0
1
Minterm
Nilai
m0
m1
m2
m3
Term
x’y’
x’y
xy’
xy
Value
0
1
1
0
Maxterm
Nilai
M0
M1
M2
M3
Term
x+y
x + y’
x’ + y
x’ + y’
Dari tabel :
Nilai 1 : Minterm (SOP) : f(x,y) = m1 + m2
Nilai 0 : Maxterm (POS) : f(x,y) = M0 . M3
= ∑m(1, 2)
= ΠM(0, 3)
Cara Konversi :
f’(x,y)
= x’y’ + xy
Å dari tabel
= m0 + m3
dual-nya
(f’(x,y))’ = (x+y)(x’+y’)
f(x,y)
= (x+y) (x’+y’) = M0 . M3
Value
0
1
1
0
Å dari tabel
4. Cari Bentuk Kanonik dari : f(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
Jawab :
Tabel Nilainya
x
y
z
Minterm
Maxterm
f(x,y,z)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x’y’z’
x’yz
x’yz’
x’yz
xy’z’
xy’z
xyz’
xyz
x+y+z
x + y + z’
x + y’ + z
x + y ‘+ z’
x’ + y + z
x’ + y + z’
x’ + y’ + z
x’ + y’ + z’
0
1
0
0
1
0
0
1
Jadi f(x,y,z)
= m1 + m4 + m7
= M0 . M2 . M3 . M5. M6
= ∑m(1, 4, 7)
= ΠM(0, 2, 3, 5, 6)
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 19
LOGIKA MATEMATIKA
Cara konversi :
Dari tabel kebenaran diperoleh :
f’(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’
dual :
(f’(x,y,z))’ = (x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’)(x’+y’+z)
f(x,y,z) = (x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’)(x’+y’+z)
Å dari tabel
2.7 KONVERSI KE BENTUK SOP
1. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = x + y’z dalam SOP
Jawab :
Lengkapi literal untuk setiap suku agar sama
f(x,y,z)
= x . (y+y’).(z+z’) + (x+x’) . y’z
= (xy+xy’)(z+z’) + xy’z + x’y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + x’y’z
= m7 + m6 + m5 + m4 + m1
= ∑m(1, 4, 5, 6, 7)
2. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = x’y’z + xz + yz dalam SOP
Jawab :
Lengkapi literal untuk setiap suku agar sama
f(x,y,z)
= x’y’z + xz + yz
= x’y’z + x. (y+y’) . z + (x+x’) . yz
= x’y’z + xyz + xy’z + xyz + x’yz
= m1 + m3 + m5 + m7
= ∑m(1, 3, 5, 7)
3. Nyatakan Fungsi Boolean f(w,x,y,z) = wxy + yz + xy dalam SOP
Jawab ;
Lengkapi literal untuk setiap suku agar sama
f(w,x,y,z) = wxy + yz + xy
= wxy . (z+z’) + (w+w’)(x+x’) . yz + (w+w’) . xy . (z+z’)
= wxyz + wxyz’ + (wx+wx’+w’x+w’x’)yz + (wxy+w’xy)(z+z’)
= wxyz + wxyz’ + wxyz + wx’yz + w’xyz + w’x’yz + wxyz +
wxyz’ + w’xyz + w’xyz’
= w’x’yz + w’xyz’ + w’xyz + wx’yz + wxyz’ + wxyz
= ∑m(3, 6, 7, 10, 14, 15)
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 20
LOGIKA MATEMATIKA
2.8 KONVERSI KE BENTUK POS
1. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = x y+ x’z dalam POS
Jawab :
a) Bentuk fungsi ke POS
f(x,y,z) = xy + x’z
= (xy + x’)(xy + z)
distributif
= (x + x’)(y + x’)(x + z)(y + z)
distributif
= (x’ + y)(x + z)(y + z)
komplemen, identitas
b) Lengkapi literal untuk setiap suku agar sama
Suku-1 Æ x’ + y
= x’ + y + z z’
= (x’ + y + z)(x’ + y + z’)
Suku-2 Æ x + z
= x + z + yy’’
= (x + y + z)(x + y’ + z)
Suku-3 Æ y + z
= xx’ + y + z
= (x + y + z)(x’ + y + z)
c) Semua suku dengan literal lengkap :
f(x,y,z) = (xy + x’)(xy + z)
= (x + x’)(y + x’)(x + z)(y + z)
= (x’ + y)(x + z)(y + z)
= (x’+y+z)(x’+y+z’)(x+y+z)(x+y’+z)(x+y+z)(x’+y+z)
= (x+y+z)(x+y’+z)(x’+y+z)(x’+y+z’)
= M0 . M2 . M4 . M5
= ΠM(0, 2, 4, 5)
2. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = (x+z)(y’+z’) dalam POS
Jawab :
Fungsi Boolean asumsi sudah dalam bentuk POS
f(x,y,z)
= (x+z)(y’+z’)
Å lengkapi literal pada tiap suku
= (x+yy’+z)(xx’+y’+z’)
Identitas, Komplemen
= (x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y’+z’)
distributif
= M0 . M2 . M3 . M7
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 21
LOGIKA MATEMATIKA
2.9 PENYEDERHANAAN FUNGSI BOOLEAN
Fungsi Boolean dapat diimplementasikan menjadi sebuah rangkaian logika. Dimana
rangkaian logika terdiri atas gerbang-gerbang logika, contoh gerbang AND (Perkalian),
gerbang OR (Penjumlahan) dan gerbang INVERTER (Komplemen).
Salah satu tujuan dari menyederhanakan Fungsi Boolean adalah untuk meminimasi
penggunaan gerbang-gerbang logika pada saat implementasi sehingga membentuk sebuah
rangkaian logika. Penyederhanaan Fungsi Boolean menghasilkan bentuk Fungsi yang
berbeda (lebih sederhana) tetapi menghasilkan nilai fungsi yang sama.
Asumsi yang dipakai dalam penyederhanaan :
1. Bentuk fungsi Boolean paling sederhana adalah SOP
2. Operasi yang digunakan adalah operasi penjumlahan (+), perkalian (.) dan
komplemen (‘)
Terdapat tiga cara dalam penyederhanaan fungsi Boolean :
1. Cara Aljabar
• Bersifat trial and error tidak ada pegangan
• Dalam menyederhanakannya menggunakan aksioma-aksioma dan teoremateorema yang ada pada aljabar Boolean.
2. Peta Karnaugh
• Mengacu pada Diagram Venn
• Menggunakan bentuk-bentuk peta karnaugh
a). K’Map 2 variabel
x
y
0
1
0
x’y’
xy’
1
x’y
xy
x
y
0
1
0
m0
m2
1
m1
m3
b) K’Map 3 variabel
x
yz 00
0 x’y’z’
1 xy’z’
01
x’y’z
xy’z
11
x’yz
xyz
10
x’yz’
xyz’
x
yz
0
1
00
m0
m4
01
M1
M5
11
m3
m7
10
m2
m6
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 22
LOGIKA MATEMATIKA
c) K’Map 4 variabel
wx
yz
00
01
11
10
00
01
11
10 wx
w’x’y’z’ w’x’y’z w’x’yz w’x’yz’
w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’
Wxy’z’ wxy’z
wxyz
wxyz’
wx’y’z’ wx’y’z wx’yz wx’yz’
yz
00
01
11
10
00
m0
m4
m12
m8
01
m1
m5
m13
m9
11
m3
m7
m15
m11
10
m2
m6
m14
m10
3. Metode Quine-McCluskey
• Penyederhanaan didasarkan pada hukum distribusi
• Eliminasi Prime Implicant Redundan
Tahapannya :
1. Nyatakan variabel komplemen dengan ‘0’, sebaliknya ‘1’
2. Kelompokkan suku-suku berdasarkan jumlah ‘1’
3. Kombinasikan suku-suku tersebut dengan kelompok lain yang jumlah ‘1’ –nya
berbeda satu Æ diperoleh bentuk prime yang lebih sederhana
Selanjutnya :
1. Mencari prime-implicant, term yang menjadi calon yang terdapat dalam fungsi
sederhana
2. Memilih prime-implicant yang mempunyai jumlah literal paling sedikit
2.9.1
CARA ALJABAR
1. Sederhanakanlah fungsi Boolean f(x,y) = x’y + xy’ + xy
Jawab :
f(x,y)
= x’y + xy’ + xy
= x’y + x . (y’+y)
Distributif
= x’y + x . 1
Komplemen
= x’y + x
Identitas
= (x’+x)(x+y)
Distributif
= 1 . (x+y)
Komplemen
=x+y
Identitas
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 23
LOGIKA MATEMATIKA
2. Sederhanakanlah fungsi Boolean dibawah ini :
f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xyz’
Jawab :
f(x,y,z)
= x’y’z’ + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xyz’
= x’.(y’z’+y’z+yz+yz’) + x . (y’z’+yz’)
= x’.((y’(z+z’) + y(z+z’)) + x . ((y’+y)z’)
= x’.(y’ .1 + y.1) + x(1 . z’)
= x’.(y’+y) + xz’
= x’ .1 + xz’
= x’ + xz’
= (x’+x)(x’+z’)
= 1. (x’+z’)
= x’ + z’
Distributif
Distributif
Komplemen
Identitas
Komplemen
Identitas
Distributif
Komplemen
Identitas
3. Sederhanakanlah fungsi Boolean : f(x,y,z) = xy + xy’z + y(x’+z) + y’z’
Jawab :
f(x,y,z)
= xy + xy’z + y(x’+z) + y’z’
= x(y+y’z) + y(x’+z) + y’z’
Distributif
= x((y+y’)(y+z)) + x’y + yz + y’z’ Distributif
= x( 1 . (y+z)) + x’y + yz + y’z’
Komplemen
= x . (y+z) + x’y + yz + y’z’
Identitas
= xy + xz + x’y + yz + y’z’
Distributif
= y(x+x’) + xz + yz + y’z’
Distributif
= y . 1 + xz + yz + y’z’
Komplemen
= y + xz + yz + y’z’
Identitas
= (y+y’)(y+z’) + xz + yz
Distributif
= 1.(y+z’) + xz + yz
Komplemen
= y + yz + xz + z’
Identitas
= y (1 + z) + (x+z’)(z+z’)
Distibutif
= y . 1 + (x+z’)(z+z’)
Teorema 2
= y + (x+z’)(z+z’)
Identitas
= y + (x + z’) . 1
Komplemen
= x + y + z’
Identitas
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 24
LOGIKA MATEMATIKA
2.9.2
PETA KARNAUGH
1. Sederhanakanlah persamaan f(x,y) = x’y + xy’ + xy = m1 + m2 + m3
Jawab :
Sesuai dengan bentuk minterm, maka 3 kotak dalam K’Map 2 dimensi, diisi dengan 1 :
x
y
0
0
1
1
1
1
1
Selanjutnya pengelompokkan semua 1 yang ada dengan membuat kumpulan kotak atau
persegi panjang dentgan jumlah bujursangkar kecil 2n. Buatlah kelompok yang sebesarbesarnya.
y
x
0
0
1
A
1
1
B
1
1
Cara menentukan bentuk sederhana dari hasil pengelompokkan adalah :
• Carilah variabel mana saja yang memiliki nilai yang sama dalam kelompok
tersebut, sebagai contoh kelompok A. Pada kelompok A, variabel yang memiliki
nilai yang sama adalah variabel y dengan harga 1. Pada kelompok B, variabel
yang memiliki nilai yang sama adalah variabel x dengan harga 1
• Selanjutnya menentukan bentuk hasil pengelompokkan diatas. Pada contoh
diatas hasil kelompok A adalah y dan hasil kelompok B adalah x. Hasil bentuk
sederhana dari contoh diatas A + B = y + x
2. Sederhanakanlah persamaan :
f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xyz’
Jawab :
yz 00
x
0
1
1
1
01
11
1
1
10
1
1
∴f(x,y,z) = z’ + x’
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 25
LOGIKA MATEMATIKA
3. Sederhanakanlah fungsi Boolean berikut :
f(w,x,y,z) = ∑m(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)
Jawab :
wx
2.9.3
yz
00
00
1
01
1
11
1
10
1
01
11
1
1
10
1
1
1
1
1
1
1
∴ f(w,x,y,z) = x’ + z’ + wy’
METODE QUINE – McCLUSKEY
Metode Quine – McCluskey digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean dengan 4
atau lebih variabel.
Contoh :
Sederhanakanlah fungsi Boolean dibawah ini :
F = ∑m(0, 1, 2, 8, 10, 11, 14, 15)
Jawab :
Langkah-langkah penyelesaiannya :
1. Kelompokkan representasi biner untuk tiap minterm menurut jumlah digit ‘1’ :
Desimal
0
1
2
8
10
11
14
15
Biner
0000
0001
0010
1000
1010
1011
1110
1111
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 26
LOGIKA MATEMATIKA
Dari tabel konversi tersebut dapat dilihat bahwa jumlah digit adalah :
Jumlah Digit 1
0
1
2
3
4
Desimal
0
1, 2, 8
10
11, 14
15
0
1
2
8
10
11
14
15
w
0
0
0
1
1
1
1
1
x
0
0
0
0
0
0
1
1
Y
0
0
1
0
1
1
1
1
z
0
1
0
0
0
1
0
1
√
√
√
√
√
√
√
√
2. Minterm dari satu bagian dengan bagian lainnya jika mempunyai nilai bit yang sama
dalam semua posisi kecuali satu posisi yang berbeda diganti dengan tanda ‘-‘.
Misal bagian I
Bagian II
: 0000
: 0001
000-
Sehingga dari tabel diatas menjadi :
0
1
2
8
10
11
14
15
w
0
0
0
1
1
1
1
1
x
0
0
0
0
0
0
1
1
y
0
0
1
0
1
1
1
1
z
0
1
0
0
0
1
0
1
√
√
√
√
√
√
√
√
0, 1
0, 2
0, 8
2, 10
8, 10
10, 11
10, 14
11, 15
14, 15
w
0
0
1
1
1
1
1
x
0
0
0
0
0
0
1
y
0
0
1
1
1
1
1
z
0
0
0
0
0
1
-
√
√
√
√
√
√
√
√
Tanda √ , berarti minterm tersebut dipilih untuk tahap selanjutnya.
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 27
LOGIKA MATEMATIKA
3. Kelompokkan hasil minterm tahap 2) seperti tahap 1) kemudian lakukan seperti pada
tahap 2)
0, 1
0, 2
0, 8
2, 10
8, 10
10, 11
10, 14
11, 15
14, 15
A
x
0
0
0
0
0
0
1
w
0
0
1
1
1
1
1
B
y
0
0
1
1
1
1
1
z
0
0
0
0
0
1
-
√
√
√
√
√
√
√
√
0, 2, 8, 10
0, 8, 2, 10
10, 11, 14, 15
10, 14, 11, 15
w
x
y
z
1
1
0
0
-
1
1
0
0
-
4. Memilih Prime-Implicant
Dari tabel diatas terlihat hasil dari tahap penentuan prime implicant. Pada kolom B
(sudah tidak dapat saling dihilangkan), terlihat pada bagian pertama mencakup desimal
0, 2, 8, 10, dan pada bagian kedua mencakup desimal 10, 11, 14, 15. Hal ini berarti dari
fungsi Boolean F = ∑m(0, 1, 2, 8, 10, 11, 14, 15); desimal yang belum ada pada kolom
B adalah desimal ‘1’. Tetapi pada kolom A telah didapat desimal 0, 1, sehingga semua
desimal pada fungsi Boolean telah tercakup semua.
Hal ini berarti calon prime-implicant adalah
- 0, 1
(0 0 0 -)
ditandai dengan A
- 0, 2, 8, 10
( - 0 - 0)
ditandai dengan B
- 10, 11, 14, 15
(1 – 1 -)
ditandai dengan C
A
B
C
0
⊗
x
1
⊗
√
√
2
8
10
11
14
15
⊗
⊗
√
√
⊗
x
√
⊗
√
⊗
√
⊗
√
Jadi bentuk sederhana dari fungsi Boolean F = ∑m(0, 1, 2, 8, 10, 11, 14, 15) adalah :
F
=A+B+C
= w’x’y’ + x’z’ + wy
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 28
LOGIKA MATEMATIKA
2. Sederhanakanlah fungsi Boolean F = ∑m(0, 1, 3, 4, 5, 7)
Jawab :
0
1
4
3
5
7
x
0
0
1
0
1
1
y
0
0
0
1
0
1
z
0
1
0
1
1
1
√
√
√
√
√
√
0, 1
0, 4
1, 3
1, 5
4, 5
3, 7
5, 7
0
⊗
A
B
x
0
0
1
1
1
⊗
X
√
√
y
0
0
0
0
1
3
z
0
1
1
1
1
√
√
√
√
√
√
√
0, 1, 4, 5
0, 4, 1, 5
1, 3, 5, 7
1, 5, 3, 7
4
⊗
⊗
√
x
-
5
X
⊗
√
√
y
0
0
-
z
1
1
z
0
H
A
B
7
⊗
√
F = ∑m(0, 1, 3, 4, 5, 7)
=A+B
= y’ + z
3. Sederhanakanlah fungsi Boolean F = ∑m(0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13)
Jawab :
0
2
4
8
5
6
10
11
13
0, 2
0, 4
0, 8
4, 5
4, 6
5, 13
10, 11
w
0
0
0
1
0
0
1
1
1
x
0
0
1
0
1
1
0
0
1
w
0
0
0
0
1
y
0
1
0
0
0
1
1
1
0
x
0
0
1
1
1
0
z
0
0
0
0
1
0
0
1
1
y
0
0
0
0
1
0, 2
0, 4
0, 8
4, 5
4, 6
5, 13
10, 11
A
w
0
0
0
0
1
x
0
0
1
1
1
0
y
0
0
0
0
1
z
0
0
0
0
1
-
√
√
√
√
√
B
z
0
0
0
0
1
-
0, 2, 4, 6
w
0
x
-
y
-
C
D
E
F
G
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 29
LOGIKA MATEMATIKA
0
A
B
C
D
E
F
G
H
2
4
5
6
X
8
10
11
13
X
X
X
X
⊗
X
⊗
√
⊗
√
⊗
√
X
⊗
√
⊗
⊗
√
√
⊗
⊗
√
√
√
F = ∑m(0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13)
=D+F+G+H
= x’y’z’ + xy’z + wx’y + w’z’
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 30
LOGIKA MATEMATIKA
2.10
SOAL LATIHAN
1. Sederhanakanlah Fungsi Boolean dibawah ini dengan menggunakan Cara Aljabar :
a. xy + xy’z + y(x’ +z) + y’z’
b. wx + xy + yz + zw + w’x’yz’ + w’x’y’z
c. wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wx’yz + w’x’yz + w’x’yz’ + w’x’y’z’ + w’xyz’ +
w’xy’z’ + w’xy’z
d. A’B’CE’ + A’B’C’D’ + B’D’E’ + B’CD’ + CDE’ + BDE’
2. Sederhanakanlah Fungsi Boolean dibawah ini dengan menggunakan Peta Kaurnaugh :
a. F = BDE + B’C’D + CDE + A’B’CE + A’B’C + B’C’D’E’
b. wx + xy + yz + zw + w’x’yz’ + w’x’y’z
c. wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wx’yz + w’x’yz + w’x’yz’ + w’x’y’z’ + w’xyz’ +
w’xy’z’ + w’xy’z
3. Sederhanakanlah fungsi Boolean dibawah ini dengan menggunakan metode QuineMcCluskey
a. F(A,B,C,D,E) = Σ(0, 1, 4, 5, 16, 17, 21, 25, 29)
b. F(A,B,C,D,E,F,G) = Σ(20,28,52,60)
c. F(A,B,C,D,E,F,G) = Σ(20,28,38, 39, 52, 60, 102, 103, 127)
d. F(A,B,C,D,E,F,G) = Σ(6, 9, 13, 18, 19, 25, 27, 29, 41, 45, 57, 61)
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 31
LOGIKA MATEMATIKA
BAB III
KALKULUS PROPOSISI
3.1 KONSEP DAN NOTASI DASAR
Kalkulus proposisi merupakan metode untuk kalkulasi yang menggunakan
proposisi/kalimat. Dalam kalkulus proposisi yang ditinjau adalah nilai kalimat deklaratif
(true/false), metode penggabungan kalimat dan penarikan kesimpulan (kalimat)
berdasarkan kalimat tersebut. Kebenaran kalimat dapat ditentukan dari struktur kalimat itu
sendiri, tanpa melihat apakah unsur-unsur pokoknya benar atau salah atau sesuai dengan
kenyataan di alam.
Contoh :
Jika kita tidak mengetahui apakah ada kehidupan di planet jupiter, maka kalimat berikut ini:
Ada monyet di planet Jupiter
Atau
Tidak ada monyet di planet Jupiter
Adalah BENAR.
Kedua kalimat tersebut dapat dinotasikan dengan : P or (not P)
Definisi 3.1 : Proposisi
Kalimat proposisi logik dibentuk oleh simbol berikut yang disebut proposisi :
- Simbol kebenaran : True dan False
- Simbol proposisional: P, Q, R, S, P1, Q1, R1, S1, ….
Definisi 3.2 : Kalimat
Kalimat proposisi dibentuk dari konektivitas proposisional :
Not, and, or, if-then, if-and-only-if, if-then-else
Kalimat-kalimat dibentuk menurut aturan-aturan berikut ini :
• Setiap proposisi adalah kalimat
• Jika F adalah kalimat, maka negasi (not F) adalah kalimat
• Jika F dan G adalah kalimat, maka konjungsi : (F and G) adalah kalimat
• Jika F dan G adalah kalimat, maka disjungsi : (F or G) adalah kalimat
• Jika F dan G adalah kalimat, maka implikasi : (If F then G) adalah kalimat
F disebut sebagai anticendent dan G sebagai consequent
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 32
LOGIKA MATEMATIKA
•
Jika F dan G adalah kalimat, maka ekivalensi : (F if and only if G) adalah kalimat.
F disebut sebagai left-hand-side dan G sebagai rigth-hand-side dari ekivalensi jika F, G,
dan H adalah kalimat, maka kondisional: if F then G else H adalah kalimat.
F disebut sebagai if-clausa, G sebagai then-clausa, dan H adalah sebagai else-clausa
Contoh :
Diketahui ekspresi : E : ((not (P or Q) if only if ((not P) and (not Q))) adalah kalimat.
Karena :
1. P adalah kalimat, Q adalah kalimat
2. (P or Q), (not P), (not Q) adalah kalimat
3. (not (P or Q) and ((notP) and (notQ)) adalah kalimat
4. ((not (P or Q)) if and only if ((not P) and (not Q))) adalah kalimat
3.2 ARTI KALIMAT
Suatu kalimat (P or (not Q)) dapat diketahui kebenarannya, jika diketahui nilai kebenaran
dari simbol proposisi P dan Q.
3.2.1 Interpretasi
Definisi 3.3 :
Suatu interpretasi I adalah suatu tanda untuk nilai kebenaran, true atau false, untuk setiap
kumpulan simbol proposisi. Untuk setiap kalimat F, interpretasi I disebut dengan
interpretasi untuk F jika I bernilai true atau false untuk setiap simbol proposisi F.
Contoh :
Diketahui kalimat F :
P or (not Q)
Satu interpretasi I1 bernilai false untuk P dan true untuk Q, yaitu :
I1
: P adalah false
Q adalah true
Interpretasi lain I2 untuk kalimat F adalah false untuk P dan false untuk Q, yaitu :
I2
: P adalah false
Q adalah false
Sehingga kita dapat mengatakan bahwa, P adalah false dan Q adalah true untuk I1, dan P
adalah false dan Q adalah false untuk I2
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 33
LOGIKA MATEMATIKA
3.2.2 Aturan-aturan semantik
Definisi 3.4
Jika E berupa kalimat dan I adalah intepretasi dari E, maka nilai kebenaran dari E (dan
semua subkalimatnya) dengan interpretasi I ditentukan dengan melakukan pengulangan
aturan-aturan semantik berikut ini :
• Aturan Proposisi
Nilai kebenaran dari setiap simbol proposisi : P, Q, R, … dalam E adalah sama dengan
nilai kebenaran yang diberikan untuk I
• Aturan true
Kalimat true adalah true untuk I
• Aturan false
Kalimat false adalah false untuk I
• Aturan not
Negasi kalimat : not F adalah true jika F adalah false dan false jika F adalah true
• Aturan and
Konjungsi F and G adalah true jika F dan G keduanya benar, dan false jika sebaliknya
(yaitu jika F false atau G false)
• Aturan or
Disjunngsi F or G adalah true jika F true atau jika G true, dan false jika keduanya false
• Aturan if-then
Implikasi if F then G adalah true jika F false atau jika G true dan false jika F true dan
G false
• Aturan if-and-only-if
Ekivalensi F if and only if G adalah true jika nilai kebenaran F adalah sama dengan nilai
kebenaran G, sebaliknya false jika memiliki nilai kebenaran keduanya berbeda.
• Aturan if-then-else
Nilai kebenaran kondisional if F then G else H adalah nilai kebenaran G jika F true dan
nilai kebenaran H jika F false.
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 34
LOGIKA MATEMATIKA
Contoh :
Misalkan sebuah kalimat :
A : if (x and (not y)) then ((not x) or z)
Dan interpretasi I untuk A adalah :
I:
xÆT
yÆF
zÆF
Dengan menggunakan aturan semantik di atas, maka kalimat A dapat ditentukan nilai
kebenarannya, sebagai berikut :
- karena y Æ F, maka berdasarkan aturan not, (not y) Æ T
- karena x Æ T dan (not y) Æ T, maka berdasarkan aturan and, (x and (not y)) Æ T
- karena x Æ T, maka berdasarkan aturan Not, (not x) Æ F
- karena (not x) Æ f dan z Æ F, maka berdasarkan aturan or, ((not x) or z) Æ F
- karena (x and (not y)) Æ T dan ((not x) or z) Æ F, maka berdasarkan aturan if-then, if
(x and (not y)) then ((not x) or z) Æ F
3.3 SIFAT-SIFAT KALIMAT
1. VALID
Kalimat A valid jika bernilai true berdasarkan semua interpretasi untuk A (disebut juga
Tautologi)
2. STATISFIABLE
Kalimat A statisfiable jika bernilai true berdasarkan beberapa interpretasi untuk A
3. CONTRADICTORY (UNSTATISFIABLE)
Kalimat A contradictory jika bernilai False berdasarkan semua interpretasi untuk A
4. IMPLIES
Kalimat A implies kalimat B, jika untuk sebarang interpretasi I untuk A dan B, jika A
bernilai true berdasarkan I maka B juga bernilai true berdasarkan I
5. EQUIVALENT
Kalimat A dan B ekivalen jika, untuk setiap interpretasi untuk A dan B, A mempunyai
nilai kebenaran yang sama dengan B
6. CONSISTENT
Sekumpulan kalimat A1, A2, … konsisten jika ada interpretasi untuk A1, A2, …
sehingga Ai (I = 1, 2, 3, …) bernilai true
Contoh :
- Kalimat w or (not w) adalah kalimat valid
- Kalimat x and (not x) adalah kalimat contadictory
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 35
LOGIKA MATEMATIKA
3.4 PENENTUAN NILAI KEBENARAN
Penentuan nilai kebenaran suatu kalimat dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu :
1. Tabel Kebenaran
2. Tabel Jarang (sparse)
3. Pohon Semantik
Contoh :
1. if (p and q) then (p or (not r)
Menggunakan Tabel Kebenaran
p q r p and q not r
F F F
F
T
F F T
F
F
F T F
F
T
F T T
F
F
T F F
F
T
T F T
F
F
T T F
T
T
T T T
T
F
p or not r
T
F
T
F
T
T
T
T
If (p and q) then (p or not r
T
T
T
T
T
T
T
T
Menggunakan Tabel Jarang
p
T
F
Q
-
r
-
If-then
p and q
F
T
T
p or not r
T
-
1
p
T
p
2
F
3
T
T
Menggunakan Pohon Semantik
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 36
LOGIKA MATEMATIKA
2. if (if x then y) then (if (not x) then (not y))
Dengan menggunakan Pohon Semantik
x memiliki dua kemungkinan nilai yaitu T atau F, maka dibentuk
1
x
T
x
2
F
3
Jika x Å T, maka nilai A pasti T sehingga pohon menjadi :
1
x
x
T
F
3
2
T
Jika x Å F, maka nilai A bergantung pada y, sehingga pohon menjadi :
1
x
x
T
2
3
T
y
F
F
T
5
4
Jika y Å T, maka nilai kebenaran A adalah F,
Jika y Å F, maka nilai kebenaran A adalah T; sehingga phon semantik menjadi :
1
x
T
2
x
F
3
T
y
T
y
4
F
5
F
T
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 37
LOGIKA MATEMATIKA
PEMBUKTIAN DENGAN ASUMSI SALAH
Untuk membuktikan validitas sebuah kalimat diperlukan pembuktian nilai True, untuk
semua interpretasi yang mungkin pada kalimat tersebut. Akan lebih mudah untuk
membuktikan bahwa jika ada 1 interpretasi yang mengakibatkan nilai kalimat tersebut
False maka kalimat tersebut tidak valid.
Contoh :
1. A : if ((not x) or (not y)) then (not (x and y))
Misalkan A bernilai False berdasarkan suatu interpretasi, sehingga :
if ((not x) or (not y)) then (not (x and y)) Å False
Akan dicoba untuk menurunkan kondisi-kondisi sehingga akan terlihat apakah asusmsi
awal yang diambil dapat terjadi/tidak
A akan bernilai F jika anticendent Æ T dan consequent Æ F
if ((not x) or (not y)) then (not (x and y))
F
T
F
Dari anticendent belum dapat ditarik kesimpulan, sehingga lihatlah ke consequentnya.
Consequent bernilai F jika (x and y) Æ T, berarti x Æ T dan y Æ T, sehingga :
if ((not x) or (not y)) then (not (x and y)) Å False
F
T T
T
F T T T
F (?)
Terlihat pada anticendent bahwa terjadi kontradiksi, berarti kondisi A Æ F tidak pernah
terjadi. Sehingga kesimpulannya A valid
2. B : (if x then y) if and only if ((not x) or y)
Ada 2 kasus yang membuat kalimat B bernilai False
Kasus I :
(if x then y) iff ((not x) or y)
T
F
F
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 38
LOGIKA MATEMATIKA
Sisi kiri belum dapat ditarik kesimpulan, lihatlah sisi kanan :
((not x) or y) akan bernilai F jika x Æ T dan y Æ F, sehingga :
(if x then y) iff ((not x) or y)
T T
F F
T FF
F (?)
Terjadi kontradiksi pada bagian sisi kiri.
Kasus II :
(if x then y) iff ((not x) or y)
F
F
T
Lihat pada bagian anticendent,
(if x then y) akan bernilai F jika x Æ T dan y Æ F, sehingga :
(if x then y) iff ((not x) or y)
F T
F F
T TF
F (?)
Terjadi kontradiksi pada bagian sisi kanan.
Karena 1 kasus yang menyebabkan B bernilai False tidak mungkin terjadi, maka dapat
ditarik kesimpulan : B valid
3.6 EKIVALENSI LOGIK DAN KONSEKUENSI LOGIK
Definisi Ekivalensi Logik :
Dua buah kalimat A dan B merupakan ekivalensi logik jika dan hanya jika memiliki nilai
yang sama pada semua interpretasi yang diberikan.
Teorema
A Ekivalensi B, jika dan hanya jika ( A iff B) merupakan Tautologi
Definisi Konsekuensi Logik
B adalah konsekuensi logik dari A jika untuk setiap pemberian nilai kebenaran ke variabel
pada A dan pada B sedemikian sehingga jika A mempunyai nilai TRUE maka B juga
mempunyai nilai TRUE
Teorema
B Konsekuensi Logis dari A, jika dan hanya jika (if A then B) merupakan Tautologi
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 39
LOGIKA MATEMATIKA
Catatan :
Jika pernyataan lebih dari 1, misal A1, A2, A3 maka bentuk konsekuensi logiknya menjadi :
IF (A1 AND A2 AND A3) THEN B
Contoh Kasus :
Periksa apakah B merupakan kesimpulan dari 6 argumen dibawah ini ?
A1 : if P then (Q and R and S)
A2 : if T then (if U then (if not Y then not S))
A3 : if Q then T
A4 : if R then (if X then U)
A5 : if Y then not X
A6 : X
---------------------------------------------------------------B : not P
Jawaban harus dibuktikan bahwa kalimat :
IF (A1 and A2 and A3 and A4 and A5 and A6) THEN B adalah VALID
3.7 KONJUNGSI DAN DISJUNGSI JAMAK
Misal diberikan kalimat yang mengandung operator konjungsi atau konjungsi lebih dari
satu, sebagai berikut :
A : p and q and r
B : p or q or r
Maka urutan perngerjaan operasi pada kalimat tersebut dilakukan dari kiri ke kanan sesuai
aturan sebagai berikut :
1. Konjungsi Jamak
A1 and A2 and A3 and A4 and … and An
Memiliki arti :
((… ((A1 and A2) and A3) and A4) and … ) and An)
2. Disjungsi Jamak
A1 or A2 or A3 or A4 or … or An
Memiliki arti :
((… ((A1 or A2) orA3) or A4) or … ) and An)
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 40
LOGIKA MATEMATIKA
Kalimat-kalimat berikut adalah ekivalen karena adanya hukum asosiasi :
A : ((w and x) and y) and z
B : w and (x and (y and z))
C : w and ((x and y) and z)
Aturan semantik untuk hubungan jamak :
1. Konjungsi jamak
A1 and A2 and A3 and … and An bernilai True jika tiap conjuct A1, A2, A3, A4, … An
adalah True
2. Disjungsi Jamak
A1 or A2 or A3 or … or An adalah bernilai True jika setidaknya salah satu dari A1, A2,
A3, A4, … An adalah true
3.8 SUBSTITUSI
Substitusi adalah operasi pengantian subkalimat dari suatu kalimat dengan subkalimat yang
lain.
Ada dua jenis substitusi
1. Substitusi Total
Penggantian seluruh kemunculan suatu subkalimat
2. Substitusi Parsial
Penggantian nol, satu, atau lebih kemunculan suatu subkalimat.
Definisi : (Substitusi Total)
Jika A, B, C adalah kalimat, maka
A w{B Å C}
Adalah kalimat yang dihasilkan dengan mengganti seluruh kemunculan B di A dengan C.
Contoh :
1. [ x and (y or x) ] w { x Å (if w then z) }
menghasilkan :
(if w then z) and (y or (if w then z))
2. [ if x then (y and z) ] w { (y and z) Å w }
menghasilkan :
if x then w
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 41
LOGIKA MATEMATIKA
Catatan :
• Substitusi dikerjakan dalam 1 langkah
[x and y] w { x Å (x and z)} menghasilkan (x and z) and y
•
Substitusi tidak memiliki efek jika subkalimat yang akan diganti tidak muncul dalam
kalimat,
[x and y] w { z Å w } menghasilkan menghasilkan x and y
•
Substitusi untuk konjungsi dan disjungsi jamak :
[x and y and z] w{(x and y) Å w}
Sebenarnya [(x and y) and z]w{(x and y) Å w} menghasilkan w and z
Definisi : (Substitusi Parsial)
Jika A, B, C, adalah kalimat maka
A {B Å C}
Akan menghasilkan salah satu kalimat dengan mengganti nol, sebagian, atau seluruh
kemunculan subkalimat b di A dengan subkalimat C
Contoh :
[ x and x ]
{x Å y}
akan menghasilkan salah satu dari kalimat-kalimat berikut :
1. x or a
{mengganti nol kemunculan x }
2. y or x
{mengganti kemunculan x pertama}
3. x or y
{mengganti kemunculan x kedua}
4. y or y
{mengganti seluruh kemunculan dari x}
Substitusi parsial bersifat invertible, yaitu salah satu kalimat yang mungkin dihasilkan
adalah kalimat semula.
(A
{BÅC})
{C Å B}
hasilnya adalah A
Contoh :
[ (x or y) {x Å y}]
{y Å x}
salah satu kalimat yang mungkin adalah : x or y
[(x or y) w {x Åy}] w {y Å x }
hasil yang diperoleh tepat 1 kalimat yaitu : x or x
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 42
LOGIKA MATEMATIKA
3.9 SUBSTITUSI JAMAK
Definisi : Misal A, B1, B2, …, dan C1, C2, …, Cn adalah kalimat dengan B1, B2, …, Bn
saling berlainan.
a. Substitusi Total
Substitusi total dituliskan sebagai :
A w [
B1 Å C1
B2 Å C2
…
Bn Å Cn ]
Adalah kalimat yang diperoleh dengan menggantikan secara simultan (serempak) setiap
kemunculan Bi di Ai dengan Ci
b. Substitusi Partial
Substitusi partial dituliskan sebagai :
A
[ B1 Å C1
B2 Å C2
…
Bn Å Cn ]
Adalah salah satu kalimat yang diperoleh dengan menggantikan nol, satu, atau lebih
kemunculan Bi di Ai dengan Ci
Contoh :
1. Substitusi jamak dilakukan serentak dalam 1 langkah
x w[xÅy
yÅx]
menghasilkan kalimat : y
Bedakan dengan substitusi bertahap sebagai berikut :
x w {x Åy} w {y Åz}
2. [ if x
then if y or x
then y or z ]
menghasilkan kalimat : z
xÅz
(y or z ) Å not z
menghasilkan :
if x
then [if (y or x) then y or z ]
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 43
LOGIKA MATEMATIKA
3. [ if x
then if (y or x)
then (y or z) ]
xÅz
(y or z) Å not z
menghasilkan salah satu dari 8 kalimat.
3.10 PERLUASAN INTERPRETASI
Definisi : (Interpretasi yang diperluas)
Jika I adalah suatu interpretasi, x adalah simbol proposisi dan τ adalah nilai kebenaran
(true/false) maka perluasan interpretasi :
[xÅI]oI
adalah interpretasi yang memberikan nilai τ pada x dan memberikan nilai kebenaran yang
sesuai dengan interpretasi I untuk semua simbol proposisi selain x.
Contoh :
IA
: xÅT
YÅF
Jika IB = [y Å T] o IA
maka IB interpretasi dengan x Å T, y Å T
Untuk suatu interpretasi I dengan simbol proposisi x1, x2, … , xn dan nilai kebenaran τ1, τ2,
… , τn maka
[x1 ] Å τ1] o [x2 Å τ1] o … o [xn Å τn] o I
berarti
([x1 ] Å τ1] o ([x2 Å τ1] o (… o ([xn Å τn] o I)))
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 44
LOGIKA MATEMATIKA
3.11 METODE DEDUKSI
-
Salah satu metode yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan berdasarkan
pernyataan atau premis-premis yang diketahui.
Metode deduksi ini menggunakan aturan-aturan penalaran, ekivalensi logik dan
tautologi
Untuk mempermudah operasi penurunan digunakan operator-operator lama sbb:
Operasi
NEGASI
KONJUNGSI
DISJUNGSI
IMPLIKASI
EKIVALENSI
KONDISIONAL
Simbol Baru
NOT
AND
OR
IF-THEN
IF-AND-ONLY-IF
IF-THEN-ELSE
Simbol
Lama
~
∧
∨
⊃
≡
Tidak Ada
- Metode Deduksi hanya dapat menunjukkan bahwa kesimpulan dari suatu penalaran valid;
yaitu Jika kesimpulan yang diperoleh dapat dicapai/dibuktikan dengan aturan yang ada
- Jika tidak dapat menarik suatu kesimpulan dengan metode deduksi, maka tidak berarti
penalaran tersebut tidak valid. Ketidakvalidan suatu penalaran harus tetap dibuktikan
secara eksplisit dengan Tabel Kebenaran atau Analisis Asumsi Salah (Falsification)
ATURAN PENALARAN DASAR
1. KONJUNGSI
Jika diketahui proposisi p dan q TRUE maka dapat disimpulkan bahwa penalaran
berbentuk konjungsi (p ∧ q) juga akan bernilai TRUE
p
q
Atau dapat ditulis
(p ∧ q ) ⊃ (p ∧ q)
p∧q
2. SIMPLIFIKASI
Jika penalaran berbentuk konjungsi (p ∧ q) bernilai TRUE maka dapat disimpulkan
bahwa proposisi unsur pembentuknya, yaitu p dan q TRUE
p∧q
p
dan
p∧q
q
Atau dapat ditulis
(p ∧ q ) ⊃ p
(p ∧ q ) ⊃ q
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 45
LOGIKA MATEMATIKA
3. ADDITION DISJUNGSI
Jika diketahui suatu proposisi p bernilai TRUE maka dapat disimpulkan bahwa proposisi
disjungsi dengan proposisi lain juga bernilai TRUE
P
p∨q
atau
q
p∨q
4. SILOGISME DISJUNGTIVE
Jika diketahui : p ∨ q bernilai TRUE dan salah satu proposisi pembentuknya FALSE
maka dapat ditarik kesimpulan proposisi yang lain TRUE
p∨q
~p
q
dan
p∨q
~q
P
5. MODUS PONEN
Jika kondisional p ⊃ q TRUE; dimana antisendennya TRUE maka dapat disimpulkan
bahwa konsekuen harus TRUE
p⊃q
p
q
6. MODUS TOLLENS
Jika kondisional p ⊃ q TRUE; dimana konsekuennya FALSE maka dapat disimpulkan
bahwa antisenden harus FALSE
p⊃q
~q
~p
7. SILOGISME HIPOTETIK
Jika diketahui 2 buah kondisional yang berkesinambungan maka dapat disimpulkan suatu
kalimat kondisional yang baru.
p⊃q
q⊃r
p⊃r
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 46
LOGIKA MATEMATIKA
TABEL ATURAN EKIVALENSI LOGIK
NO
1.
2.
ATURAN
Negasi Ganda
Assosiatif
3.
Komutatif
4.
Identitas
5.
Distributif
6.
Hukum De Morgan
7.
Hukum Penyerapan
8.
9.
10.
Implikasi
Kontrapositif
Eksportasi
BENTUK
p ≡ ~ (~p)
p ∧ ( q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ ( q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
p∧q≡q∧p
p∨q≡q∨p
p∧p≡p
p∨p≡p
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧
r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨
r)
~ (p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
~ (p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
p ⊃ q ≡ ~(p ∧ ~q) ≡ ~p ∨ q
p ⊃ q ≡ ~ q ⊃ ~p
(p ∧ q) ⊃ r ≡ p ⊃ (q ⊃ r)
Catatan :
Metode Deduksi mengandung kesulitan karena tidak ada suatu pegangan yang pasti untk
menurunkan kesimpulan, yaitu apakah harus menggunakan suatu aturan penalaran tertentu
(misal : Simplifikasi, Modus Ponen, dll) atau menggunakan aturan ekivalensi atau aturan
lainnya.
Contoh :
1. Diketahui :
Jika ibu datang dari pasar, maka ani senang sekali
Ibu datang dari pasar dan membawa kue bolu
Jadi : Ani senang sekali
Kesimpulan tersebut Valid atau tidak Valid ?
Jawab :
Ubah penalaran tersebut menjadi kalimat proposisi
Premis:
Jika ibu datang dari pasar, maka ani senang sekali : p ⊃ q
Ibu datang dari pasar dan membawa kue bolu : p ∧ r
Kesimpulan:
Ani senang sekali : q
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 47
LOGIKA MATEMATIKA
Telusuri dengan menggunakan tabel :
Premis
Alasan
1. p ⊃ q
2. p ∧ r
3. P
2, simplifikasi
4 q
1,3 Modus Ponen
Keterangan
Disimpulkan dari baris 2 dengan simplifikasi
Disimpulkan dari baris 1 dan 3 dengan Modus
Ponen
2. Diketahui :
Ani masuk sekolah atau ani tidak masuk sekolah
Jika ani tidak masuk sekolah maka sekolah pasti libur
Sekolah Tidak Libur
Apa Kesimpulan dari penalaran tersebut ?
Jawab :
Gunakan metode deduksi !
Premis:
Ani masuk sekolah atau ani tidak masuk sekolah : p ∨ ~ p
Jika ani tidak masuk sekolah maka sekolah pasti libur : ~ p ⊃ q
Sekolah Tidak Libur : ~ q
Telusuri dengan menggunakan tabel :
Premis
Alasan
1. p ∨ ~ p
2. ~ p ⊃ q
3. ~ q
4 ~ (~ p)
2, 3 Modus Tollens
5
p
4,Negasi ganda
Keterangan
Disimpulkan dari baris 2 dan 3 dengan modus
ponen
Kesimpulan
Jadi kesimpulannya adalah : Ani Masuk Sekolah.
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 48
LOGIKA MATEMATIKA
3.12 SOAL LATIHAN
1. Tentukan sifat kalimat dibawah ini dengan menggunakan Tabel Jarang (Sparse Table) :
A : if (p and not q) then (p if and only if q)
2. Buatlah pohon semantik dari kalimat berikut dan simpulkan tentang sifat dari kalimat
tersebut
B : (if x then not y) if and only if (not (x and z))
3. Diketahui pernyataan :
A : Sore hari ini mendung dan lebih dingin dari kemarin.
B : Saya akan pergi berenang jika cuaca cerah.
C : Jika saya tidak berenang maka saya akan pergi belanja.
D : Jika saya pergi belanja maka saya akan berada dirumah
tepat pada saat matahari terbenam
E : Saya berada di rumah tepat pada saat matahari terbenam
a). Buatlah struktuk kalimat abstrak untuk pernyataan
tersebut dalam bentuk :
Jika A dan B dan C dan D Maka E
b). Selidiki validitas kalimat/proposisi diatas dengan
menggunakan Pohon Semantik
4.
A:
IF
IF x THEN y
AND
IF x THEN w
AND (x or z)
THEN ( y OR w )
Tentukan :
a. Sifat dari Proposisi dibawah ini dengan menggunakan Pohon Semantik
b. Selidiki Validitasnya dengan menggunakan Metode Asumsi Salah
5. B :
IF x
THEN
( y AND z)
IFF
IF x THEN y
OR
IF x THEN z
Tentukan :
a. Sifat dari Proposisi dibawah ini dengan menggunakan Pohon Semantik
b. Selidiki Validitasnya dengan menggunakan Metode Asumsi Salah
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 49
LOGIKA MATEMATIKA
6. Jika penawaran emas dibiarkan konstan dan permintaan semas bertambah maka harga
emas naik. Jika permintaan emas bertambah yang menyebabkan harga emas naik, maka
ada keuntungan bagi spekulator. Penawaran emas dibiarkan konstan. Oleh karena itu
ada keuntungan bagi spekulator. Analisis apakah penalaran tersebut valid dengan
menggunakan metode asumsi salah
7.
C:
p AND q
OR
IF r THEN ( p AND q AND r )
Substitusikan dengan interpretasi berikut ini :
a. C
b. C
{ (p AND q) Å P }
pÅs
( p AND q) Å p
c. C
d. C
{ (p AND q) Å P }
pÅs
( p AND q) Å p
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 50
LOGIKA MATEMATIKA
BAB IV
KALKULUS PREDIKAT
4.1 DEFINISI
Kalimat pada kalkulus proposisi tidak dapat menjelaskan konsep objek dan relasi
antar objek.
Contoh :
Batuan di Mars berwarna putih
Atau
Batuan di Mars tidak berwarna putih
Dengan aturan kalkulus proposisi, pernyataan tersebut dapat dibuat menjadi skema kalimat
(p or not p)
dan selanjutnya dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Jika ada pernyataan lain :
Ada batuan di Mars berwarna putih
Atau
Semua batuan di Mars berwarna putih
Maka pernyataan tersebut tidak dapat dibentuk menjadi skema kalimat kalkulus proposisi.
Hal ini disebabkan karena pernyataan tersebut mengandung kuantisasi dari objek.
Oleh karena itu dibutuhkan bahasa baru yang mengenal adanya konsep objek dan relasi
antar objek, yaitu menggunakan Kalkulus Predikat.
Dengan kalkulus predikat maka pernyataan tersebut diubah menjadi :
(for some x) (p(x) and q(x))
or
(for all x)(if p(x) then q(x))
dimana :
p(x) = x adalah batuan di Mars
q(x) = x adalah batuan berwarna putih
“for some x” disebut kuantifier (simbol : ∃x)
“for all x” disebut kuantifier (simbol : ∀x)
Pada dasarnya Kalkulus Predikat merupakan perluasan dari Kalkulus Proposisi dimana
Kalkulus Predikat mengatasi kelemahan pada kalkulus proposisi dengan menambahkan
representasi :
- Objek yang memiliki sifat tertentu
- Relasi antar objek
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 51
LOGIKA MATEMATIKA
Definisi : Simbol
Kalimat dalam kalkulus predikat dibuat dari simbol-simbol berikut :
a. Simbol Kebenaran : true dan false
b. Simbol Konstanta : a, b, c, a1, b1, …
c. Simbol variabel : x, y, z, x1, x2, …
d. Simbol fungsi : f, g, h, g1, f1, h1, …
Setiap simbol fungsi mempunyai arity yang menyatakan banyaknya parameter/
argumen yang harus dipenuhi.
e. Simbol Predikat (menyatakan relasi) : p, q, r, s, p1, q1, r1, …
Setiap simbol predikat juga memiliki arity
Catatan :
Objek didalam kalkulus predikat dinyatakan sebagai konstanta atau variabel.
Definisi : Term
Term adalah sebuah ekspresi yang menyatakan objek.
Term dibangun berdasarkan aturan-aturan sebagai berikut :
- Semua konstanta adalah term
- Semua variabel adalah term
- Jika t1, t2, …, tn adalah (n ≥ 1) dan f adalah fungsi dengan arity = n, maka fungsi
f(t1,t2, …, tn) adalah term
- Jika A adalah kalimat, sedang s dan t adalah term, maka kondisional if A then s else t
adalah term
Contoh :
1. f(a,x)
adalah term
(a dan x adalah term, f adalah simbol fungsi dan semua fungsi adalah term)
2. g(x, f(a,x))
adalah term
Definisi : Proposisi
Proposisi digunakan untuk merepresentasikan relasi antar objek
Proposisi dibangun berdasarkan aturan sebagai berikut :
- Simbol kebenaran adalah proposisi
- Jika t1, t2, …, tn adalah term dan p adalah simbol predikat dengan n – ary maka
p (t1,t2, …, tn) adalah proposisi
Contoh :
p (a, x, f (a,x)) adalah proposisi, karena a, x, f (a,x) adalah term, dan p adalah simbol
predikat 3-ary
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 52
LOGIKA MATEMATIKA
Definisi : Kalimat
Kalimat dalam kalkulus predikat dibangun dengan aturan :
1. Setiap proposisi adalah kalimat
2. Jika A, B, C adalah kalimat maka :
• Negasi (not A) adalah kalimat
• Konjungsi A dengan B: (A and B) adalah kalimat
• Disjungsi A dengan B : (A or B) adalah kalimat
• Implikasi (If A then B) adalah kalimat
• Ekivalensi A dan B (A if and only if B) adalah kalimat
• Kondisional if A then Belse C adalah kalimat.
3. Jika A adalah kalimat dan x adalah variabel maka :
(For all x) A adalah kalimat
(For some x) A adalah kalimat
Catatan : kemunculan A dikatakan berada dalam lingkup kuantifier
Contoh :
1. if (for all x) p(a, b, x) then g (y) else f(a, y) adalah term
2. if (for all x) p(a, b, x) then (for some y) q(y) else not p(a, b, c) adalah kalimat
Definisi Ekspresi
Suatu ekspresi dalam kalkulus predikat dapat berupa kalimat atau term
Contoh :
- x
merupakan ekspresi
- f(x,y)
merupakan ekspresi
- (for some x) p(x) merupakan ekspresi
Definisi : Subterm, Subkalimat, SubEkspresi
- Subterm dari term t atau dari kalimat A adalah setiap term antara yang digunakan untuk
membangun t atau A
- Subkalimat adalah setiap kalimat antara yang digunakan untuk membangun term atau
kalimat yang lebih luas
- Subekspresi adalah subterm atau subkalimat yang terdapat pada sebuah ekspresi
Contoh :
Sebutkan semua subterm dan subkalimat yang terdapat pada ekspresi berikut :
E : if (for all x) q (x, f(a) then f (a) else b
Subterm
: a, x, f(a), b, if (for all x) q (x, f(a) then f (a) else b
Subkalimat : q(x, f(a), (for all x) q(x,f(a))
Semuanya merupakan subekspresi dari E
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 53
LOGIKA MATEMATIKA
4.2 REPRESENTASI KALIMAT
Contoh representasi bahasa alami ke dalam Kalkulus Predikat
• Ada Apel berwarna merah
(FOR SOME x) ( Apel(x) AND Merah(x))
• Semua apel berwarna merah
(FOR ALL x) ( IF Apel(x) THEN Merah(x))
• Setiap orang mencintai seseorang
(FOR ALL x) (FOR SOME y) LOVES(x,y
• Ani dicintai banyak orang
(FOR ALL x) LOVES(x, Ani)
• Semua Apel berwarna merah terasa manis
(FOR ALL x) IF (A(x) AND R(x)) THEN M(x)
(FOR ALL x) IF (A(x) THEN (IF R(x) THEN M(x)))
• Tidak semua apel berwarna hijau terasa manis
NOT ((FOR ALL x) (IF (A(x) AND R(x)) THEN M(x)))
(FOR SOME x) (A(x) AND R(x) AND NOT M(x))
4.3 VARIABEL BEBAS ATAU TERIKAT
Suatu variabel dikatakan terikat dalam sebuah ekspresi jika sedikitnya ada satu kemunculan
x terikat pada ekspresi tersebut
Sebaliknya dikatakan variabel bebas jika sedikitnya ada satu kemunculan bebas dalam
ekspresi tersebut.
Definisi : Kemunculan Bebas dan Terikat
Misalkan x adalah variabel dan A adalah ekspresi.
Kemunculan x adalah terikat jika x berada didalam lingkup suatu kuantifier dan x terikat
oleh kuantifier terdekat
Kemunculan x bebas jika tidak berada dalam lingkup suatu kuantifier
Contoh :
(FOR ALL x) [p(x,y) AND (FOR SOME y) q(y,z)]
Keterangan :
x pada p(x, y) adalah terikat
y pada p(x, y) adalah bebas
y pada q(y, z) adalah terikat
z pada q(y, z) adalah bebas
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 54
LOGIKA MATEMATIKA
Kemunculan variabel terikat dipengaruhi oleh kemunculan kuantifier yang paling dekat.
Contoh :
(FOR ALL x) [p(x) OR (FOR SOME x) (FOR ALL y) r(x, y)]
Keterangan :
variabel x pada p(x) dipengaruhi kuantifier FOR ALL x
variabel x pada r(x, y) dipengaruhi kuantifier FOR SOME x
Catatan :
Perbedaan antara variabel Bebas dan Variabel Terikat adalah :
Variabel Bebas : Nilainya diberikan oleh interpretasi
Variabel Terikat : Nilainya terbatas dari interpretasi yang diberikan
Definisi : Kalimat Tertutup
Sebuah kalimat dikatakan tertutup jika tidak mempunyai kemunculan bebas dari variabelvariabelnya
Contoh :
1. (FOR ALL x) (FOR SOME y) p(x, y)
2. (FOR ALL x) p(x, y)
adalah kalimat tertutup
adalah bukan merupakan kalimat tertutup
Definisi : Simbol Bebas
Simbol bebas dari ekspresi A adalah :
• variabel-variabel bebas
• semua konstanta
• semua simbol fungsi
• semua simbol predikat
• dari ekspresi A
4.4 INTERPRETASI
Definisi : Interpretasi
Misal D adalah sebarang himpunan tak kosong, maka sebuah interpretasi I dalam domain D
akan memberi nilai pada setiap simbol konstanta, variabel bebas, fungsi dan predikat yang
ada pada kalimat dengan aturan sebagai berikut :
- Untuk setiap konstanta a, yaitu elemen a1 ari D
- Untuk setiap variabel x, yaitu elemen x1 dari D
- Untuk setiap simbol fungsi f dengan arity = n , yaitu :
- Fungsi f1(d1, d2, …, dn) dimana argumen d1, d2, …, dn merupakan elemen dari D, dan
nilai fungsi f1(d1, d2, …, dn) merupakan anggota D
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 55
LOGIKA MATEMATIKA
-
Untuk setiap simbol predikat p dengan arity = n, yaitu relasi p1(d1, d2, …, dn) dimana
argumen d1, d2, …, dn merupakan elemen dari D dan nilai p1(d1, d2, …, dn) adalah
TRUE atau FALSE
Jadi untuk suatu ekspresi A, sebuah interpretasi I dikatakan interpretasi untuk A, jika I
memberikan nilai kepada setiap simbol bebas dari A.
4.5 ARTI KALIMAT
Arti kalimat ditentukan oleh interpretasi yang diberikan. Tetapi karena dalam kalkulus
predikat mengandung pengertian objek, maka interpretasi dalam kalimat predikat harus
juga mendefinisikan suatu domain yaitu himpunan objek yang memberi arti pada term.
Suatu interpretasi harus memberi nilai pada setiap simbol bebas pada kalimat tersebut.
Misalkan ada kalimat tertutup :
A : IF (FOR ALL x) (FOR SOME y) p(x, y) THEN p(a, f(a))
Interpretasi untuk kalimat A harus
• Mendefinisikan Domain
• Memberikan nilai untuk simbol bebas dalam hal ini :
o Konstanta a
o Simbol fungsi f
o Simbol p
Contoh :
1. Diberikan interpretasi I dengan Domain D adalah himpunan bilangan integer positif,
dimana :
a=0
p = relasi “lebih besar” yaitu : p(d1, d2) = (d1 > d2)
f = fungsi suksesor yaitu f(d) = d + 1
Maka berdasarkan interpretasi I, kalimat tersebut dapat diartikan sebagai :
IF untuk setiap integer x Ada integer y sedemikian sehingga x > y THEN 0 > 0 + 1
2. Misalkan interpretasi J dengan domain bilangan interger positif, yang akan memberi
nilai :
a=0
p = relasi “ketidaksamaan” yaitu : p(d1, d2) = (d1 ≠ d2)
f = fungsi predesesor yaitu f(d) = d - 1
Maka berdasarkan interpretasi J, kalimat tersebut dapat diartikan sebagai :
IF untuk setiap integer x Ada integer y sedemikian sehingga x ≠ y THEN 0 ≠ 0 – 1
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 56
LOGIKA MATEMATIKA
Contoh Soal :
Diberikan Ekspresi :
E = IF p(x, f(x)) THEN (FOR SOME y) p(a, y)
1. Misalkan I adalah interpretasi untuk E dengan Domain bilangan real; dimana
a = √2
x=Π
f = fungsi “dibagi 2” yaitu : f1(d1) = d1/2
p = relasi “lebih besar atau sama dengan” yaitu p(d1, d2) = (d1 ≥ d2)
2. Misalkan J adalah interpretasi untuk E dengan Domain semua orang; dimana
a = Soeharto
x = Soekarno
f = fungsi “Ibu dari” yaitu : f1(d1) = ibu dari d1
p = relasi “anak dari” yaitu p(d1, d2) = d1 adalah anak dari d2
Apakah arti ekspresi E berdasarkan interpretasi I dan interpretasi J ?
4.6 ATURAN SEMANTIK
Definisi : Aturan Semantik Dasar
Misal A adalah suatu ekspresi dan I adalah interpretasi untuk A yang meliputi domain tak
kosong D. Maka nilai dibawah I ditentukan berdasarkan aturan semantik sebagai berikut :
• Nilai suatu konstanta a adalah elemen domain D
• Nilai variabel x adalah elemen domain D
• Nilai aplikasi f1(t1, t2, …, tn) adalah elemen domain D dimana f1(t1, t2, …, tn) f adalah
fungsi yang diberikan kepada f dan t1, t2, …, tn adalah nilai term berdasarkan
interpretasi I
• Nilai Term kondisional if A then s else t adalah nilai term s jika A bernilai TRUE dan
sama dengan nilai term t jika A bernilai FALSE
• Nilai proposisi p1(t1, t2, …, tn) adalah nilai kebenaran TRUE atau FALSE dimana p
adalah relasi yang diberikan oleh interpretasi I dan nilai dari t1, t2, …, tn berdasarkan I.
• Aturan untuk penghubung logik (not, or, dsb) sama dengan aturan pada kalkulus
proposisi
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 57
LOGIKA MATEMATIKA
4.7 INTERPRETASI YANG DIPERLUAS
Misal I adalah suatu interpretasi yang mencakup domain D maka untuk sembarang variabel
x dan elemen d pada domain D, interpretasi yang diperluas : < x Å d > o I dari I adalah
interpretasi yang mencakup domain D dimana :
1. Variabel x diberik nilai elemen domain D
2. Setiap variabel y (selain x) diberi nilai sama dengan elemen domain y1 (yaitu nilai
berdasar interpretasi D. jika y tidak mempunyai nilai berdasar I maka y juga tidak
mempunyai nilai berdasar < x Å d > o I
3. Setiap konstanta a, simbol fungsi f, dan simbol predikat p diberi nilai sesuai dengan
nilai aslinya yaitu aI, fI, pI
Contoh :
1. I adalah interpretasi yang meliputi bilangan integer, dengan
x=1
y=2
Maka perluasan interpretasi terhadap I :
<xÅ3>oI
akan memberikan nilai :
x=3
y=2
2. I adalah interpretasi yang meliputi bilangan integer, dengan
f adalah simbol fungsi biner,
+ adalah fungsi penambahan integer
maka :
< f Å + > o I adalah interpretasi yang meliputi domain bilangan integer dengan f fungsi
penambahan +.
Sifat interpretasi yang diperluas
Jika I adalah interpretasi untuk kalimat berbentuk
(FOR ALL x) A atau (FOR SOME x) A,
maka < x Å d > o I adalah interpretasi yang berlaku untuk A juga
4.8 ATURAN SEMANTIK UNTUK KUANTIFIER
1. Aturan FOR ALL
Kalimat (FOR ALL x) A bernilai TRUE berdasarkan interpretasi I jika :
Untuk setiap elemen d dari domain D menyebabkan subkalimat A bernilai TRUE
berdasarkan interpretasi yang diperluas < x Å d> o I
Kalimat (FOR ALL x) A bernilai FALSE berdasarkan interpretasi I jika :
Ada elemen d dari domain D sedemikian sehingga subkalimat A bernilai FALSE
berdasarkan interpretasi yang diperluas < x Å d> o I
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 58
LOGIKA MATEMATIKA
2. Aturan FOR SOME
Kalimat (FOR SOME x) A bernilai FALSE berdasarkan interpretasi I jika :
Untuk setiap elemen d dari domain D menyebabkan subkalimat A bernilai FALSE
berdasarkan interpretasi yang diperluas < x Å d> o I
Kalimat (FOR SOME x) A bernilai TRUE berdasarkan interpretasi I jika :
Ada elemen d dari domain D sedemikian sehingga subkalimat A bernilai TRUE
berdasarkan interpretasi yang diperluas < x Å d> o I
Contoh
1. A : (FOR SOME x) p(x,y)
Diberikan interpretasi I yang meliputi himpunan bilangan integer positif
y=2
p : relasi “kurang dari”, yaitu p1(d1, d2) = d1 < d2
Berdasarkan aturan (FOR SOME x) maka
(FOR SOME x) p(x, y) bernilai TRUE jika ada elemen dari D sehingga nilai p(x, y)
TRUE berdasarkan interpretasi < x Å d > o I
Misal diambil d = 1 maka perluasan interpretasi menjadi < x Å 1 > o I sehingga
berdasarkan aturan proposisi diperoleh bahwa
p(1, 2) yaitu 1 < 2 adalah TRUE
2. B : IF (FOR ALL x) (FOR SOME y) p(x, y) THEN p(a, f(a))
Misal I adalah interpretasi untuk B yang meliputi domain bilangan real positif dimana:
a=1
f : fungsi “akar dari” yaitu f1(d) = √d
p : relasi “tidak sama dengan”, yaitu p1(d1, d2) = d1 ≠ d2
Misal diasumsikan bahwa A bernilai FALSE
Maka harus diperhatikan bahwa :
Antisenden : (FOR ALL x) (FOR SOME y) p(x, y) bernilai TRUE
Konsekuen : p(a, f(a)) bernilai FALSE
Untuk lebih mudahnya, dimulai dari Konsekuen karena bentuknya lebih sedehana.
Berdasakan aturan proposisi, maka nilai konsekuen p(a, f(a)) yaitu 1 ≠ √1 adalah
FALSE berdasarkan I
Antisenden : berdasarkan Aturan (FOR ALL x)
Untuk setiap elemen d1 dari D, subkalimat (for some y) p(x,y) bernilai TRUE
berdasarkan < x Å d > o I
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 59
LOGIKA MATEMATIKA
Berdasarkan Aturan (FOR SOME y)
Untuk setiap elemen d1 dari D, ada elemen d2 sedemikian sehingga p(x,y) bernilai
TRUE berdasarkan < y Å d2 > o < x Å d1 > o I
Misal ambil sembarang elemen domain dan d2 = d1 + 1
Maka berdasarkan aturan proposisi, nilai p(x,y) yaitu p(d1, d2)
Berarti p(d1, d1+1) menyatakan bahwa d1 ≠ d1 + 1 adalah TRUE
berdasarkan < y Å d2 > o < x Å d1 > o I
Jadi dapat disimpulkan bahwa kalimat B bernilai FALSE berdasarkan I
4.9 KECOCOKAN
Definisi
• Dua interpretasi dikatakan cocok jika keduanya memberni nilai yang sama untuk
simbol-simbolnya atau keduanya tidak memberi nilai untuk simbol-simbolnya
• Dua interpretasi I dan J cocok untuk ekspresi A jika nilai A berdasarkan I sama dengan
nilai A berdasarkan J atau I dan J bukan interpretasi untuk A
Contoh :
Misalkan I adalah interpretasi yang meliputi bilangan integer dengan :
aÆ0
bÆ2
x Æ -1
f Æ fungsi suksessor f1(d) = d + 1
dan interpretasi J yang meliputi integer dengan :
aÆ0
xÆ1
f Æ fungsi predesesor f1(d) = d – 1
•
•
•
•
•
•
I dan J cocok untuk konstanta a
I dan J cocok untuk simbol predikat p
I dan J tidak cocok untuk variabel x
I dan J cocok untuk ekspresi f(x)
I dan J cocok untuk ekspresi f(y)
I dan J tidak cocok untuk ekspresi f(b), karena I adalah interpretasi untuk f(b) tetapi
tidak untuk J
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 60
LOGIKA MATEMATIKA
VALIDITAS
Validitas di dalam kalkulus predikat didefinisikan hanya untuk kalimat tertutup, yaitu
kalimat yang tidak memiliki variabel bebas.
Definisi
Sebuah kalimat A dikatakan valid jika kalimat tersebut bernilai TRUE berdasarkan setiap
interpretasi untuk A
Pembuktian validitas kalimat dapat menggunakan :
Dengan membuktikan bahwa kalimat tertutup A adalah VALID
(biasanya lebih “enak” untuk kalimat-kalimat yang memiliki penghubung logik : IFF,
AND, NOT)
Dengan membuktikan bahwa kalimat tertutup A adalah TIDAK VALID dengan cara
mencari satu interpretasi tertentu yang menyebabkan kalimat tersebut bernilai FALSE.
(biasanya untuk kalimat-kalimat yang memiliki penghubung logik : IF-THEN, OR)
Contoh Cara 1
Misalkan ingin dibuktikan validitas kalimat A berikut :
1.
A : [ NOT (FOR ALL x) p(x) ] IFF [ (FOR SOME x) NOT p(x) ]
Berdasarkan aturan IFF, cukup diperlihatkan bahwa :
NOT (FOR ALL x) p(x) ] dan [ (FOR SOME x) NOT p(x) ] memiliki nilai kebenaran
yang sama berdasarkan setiap interpretasi, atau dengan kata lain subkalimat pertama
bernilai TRUE tepat bilai subkalimat kedua juga bernilai TRUE
Misalkan terdapat sebarang interpretasi I untuk A, maka
NOT (FOR ALL x) p(x) bernilai TRUE berdasarkan I
Tepat bila (berdasarkan aturan NOT)
(FOR ALL x) p(x) bernilai FALSE berdasarkan I
Tepat bila (berdasarkan (FOR ALL x))
Ada elemen d di dalam domain D
Sehingga p(x) bernilai FALSE berdasarkan < x Å d > o I
Tepat bila (berdasarkan aturan NOT)
Ada elemen d di dalam domain D
sehingga NOT p(x) bernilai TRUE berdasarkan < x Å d > o I
Tepat bila (berdasarkan aturan (FOR SOME x))
(FOR SOME x) NOT p(x) bernilai TRUE berdasarkan Interpretasi I
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 61
LOGIKA MATEMATIKA
2.
Misalkan ingin dibuktikan validitas kalimat B berikut : (cara 2)
B : IF (FOR SOME y) (FOR ALL x) q(x, y)
THEN (FOR ALL x) (FOR SOME y) q(x, y)
Asumsikan bahwa B tidak valid, sehingga bahwa untuk suatu interpretasi I untuk B
Jika Antisenden :
(FOR SOME y) (FOR ALL x) q(x, y) bernilai TRUE berdasarkan I
maka konsekuen
(FOR ALL x) (FOR SOME y) q(x, y) bernilai FALSE berdasarkan I
Karena Antisenden bernilai TRUE berdasarkan I,
maka (berdasarkan aturan FOR SOME x)
Ada elemen d1 di dalam domain D sehingga (FOR ALL x) q(x, y) bernilai TRUE
berdasarkan < y Å d > o I
Tepat bila (berdasarkan aturan FOR ALL x)
Ada elemen d di dalam domain D sedemikian sehingga untuk setiap elemen d2 di
dalam domain D sedemikian sehingga q(x, y) bernilai TRUE
berdasarkan < x Å d2 > o < y Å d1 > o I
…………………….. (1)
Karena konsekuen bernilai FALSE berdasarkan I,
Maka (berdasarkan aturan FOR ALL x)
Ada elemen e di dalam domain D sehingga (FOR SOME y) q(x, y) bernilai FALSE
berdasarkan < x Å e > o I
Tepat bila (berdasarkan aturan FOR SOME x)
Ada elemen e1 di dalam domain D sedemikian sehingga untuk semua elemen e2 di
dalam domain D sedemikian sehingga q(x, y) bernilai FALSE
berdasarkan <y Å e2 > o < x Å e1 > o I ……………………………(2)
Berdasarkan (1) dan (2) kita dapat mengambil nilai elemen d1 sama dengan e2 dan d2
sama dengan e1, sehingga dari (1) diperoleh :
q(x, y) bernilai TRUE berdasarkan < x Å e1 > o < y Å d1 > o I …………….. (3)
dandari (2) diperoleh
q(x, y) bernilai FALSE berdasarkan <y Å d1 > o < x Å e1 > o I ……………(2)
Karena variabel x dan y berbeda, maka interpretasi
< x Å e1 > o < y Å d1 > o I
dan
< y Å d1 > o < x Å e1 > o I
adalah identik, sehingga terlihat bahwa (3) dan (4) saling berkontradiksi.
Berari asumsi bahwa B tidak valid adalah tidak benar, sehingga B VALID
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 62
LOGIKA MATEMATIKA
4.11 SOAL LATIHAN
1. Diberikan ekspresi sebagai berikut :
E : if (FOR SOME x) (FOR ALL y) p(x,y)
Then q(a, f(a))
Else q(a,x)
a. Apakah E adalah Kalimat atau Term ?. Berikan alasannya !
b. Tuliskan semua SubTerm, SubKalimat, SubEkspresi !
2. Gantilah proposisi-proposisi di bawah ini dengan lambang masing-masing. Huruf yang
dicetak tebal/miring harus dijadikan lambang :
a.
b.
c.
d.
Tidak ada gading yang tidak retak
Ada Gajah yang jantan dan ada yang betina
Tidak semua pegawai negeri itu manusia korup
Hanya polisilah pihak yang berwenang mengadakan penyidikan, kalau ada orang
yang melanggar hukum
3. Misalkan I adalah interpretasi dengan domain bilangan integer lebih besar daripada 5 :
Dimana : a = 6
x = 10
b = 17
y = 15
c = 11
f adalah fungsi dua kali dimana fI(d) = 2 * d
G adalah relasi ‘lebih baik’ dimana GI(d1, d2) = d1 > d2
Tentukan nilai :
a. G(y, f(a)) berdasarkan I
b. G(a, f(x) berdasarkan I
c. G[if G(x,y) then f(a) else f(b), x] berdasarkan I
d. (FOR SOME y) [G(x,y) or G(f(x), y)]
e. (FOR ALL y) (FOR SOME x) G(x,y) berdasarkan I
4. Buktikan bahwa kalimat B berikut ini adalah VALID, dengan menggunakan sebarang
interpretasi :
B : not (FOR ALL x) G(x) IFF (FOR SOME x) not (G(x))
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 63
LOGIKA MATEMATIKA
DAFTAR PUSTAKA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Manna, Zohar. The Logical Basis For Computer Programming. Addison Wesley Publishing.
1985
Korfhage, Robert. Logic And Algotrihms. USA. 1966
Diktat Logika Matematika, Jurusan Teknik Informatika ITB
Hendrowati, Retno. Hariyanto, Bambang. Logika Matematika, Penerbit Informatika,
Bandung
Rossen, Kenneth, Discret Mathematics and it’s Application
…., Discret Mathematics
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM | 64