matriks dan spl

M AT E M AT I K A E K O N O M I
MATRIKS DAN SPL
TONI BAKHTIAR
I N S T I T U T P E RTA N I A N B O G O R
2012
Kesetimbangan Dua Pasar
2
Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
teh (barang substitusi)
Permintaan mobil bergantung pada harganya dan harga bensin (barang
komplementer)
Demikian juga dengan penawarannya.
Model dua komoditas:
Q1D = a1 + b11 P1 + b12 P2
Q2D = a2 + b21 P1 + b22 P2
Q1S = α1 + β11 P1 + β12 P2
Q2S = α 2 + β 21 P1 + β 22 P2
Kesetimbangan Dua Pasar
3
Dalam kondisi kesetimbangan: D = S
(b11 − β11 ) P1 + (b12 − β12 ) P2 = α1 − a1
(b21 − β 21 ) P1 + (b22 − β 22 ) P2 = α 2 − a2 .
Berapakah harga dan kuantitas kesetimbangan?
P1∗ , Q1∗ , P2∗ , Q2∗ ?
Dalam notasi matriks:
 b11 − β11 b12 − β12   P1   α1 − a1 
=
.
b − β




b22 − β 22   P2  α 2 − a2 
 21
21
4
MATRIKS
Definisi Matriks
5
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk pesegi panjang atau
bujursangkar. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan
kolom yang membentuknya.
Notasi: huruf kapital A, B, C, ...
Contoh:
 a11 a12

a21 a22

A=
 ⋮
⋮

 am1 am2
⋯ a1n 

⋯ a2n 
⋱ ⋮ 

⋯ amn 
aij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j
m×n = ukuran atau ordo matriks A
Matriks yang hanya memiliki satu baris/kolom disebut vektor baris/kolom.
Beberapa Bentuk Matriks
6
Matriks segi (square matrix): Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya
kolom. Elemen a11, a22, …, ann disebut elemen diagonal utama matriks A.
Matriks segitiga atas (upper triangular matrix): Matriks segi yang semua elemen di
bawah diagonal utamanya nol.
1 2 3  1 0 3 
1 2  1 2  
 

0 3 , 0 0  , 0 4 5  , 0 0 5

 
 0 0 6  0 0 0

 

Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix): Matriks segi yang semua elemen
di atas diagonal utamanya nol.
1 0 0   0 0 0 
 −1 0   0 0  
 

 3 2  ,  3 −1 , 0 −4 0 , 0 8 0 

 
  5 0 1  9 0 0 

 

Matriks Nol (null matrix): Matriks yang semua elemennya nol.
Matriks identitas (identity matrix): Matriks yang semua elemen diagonal utamanya
bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol. Notasi: I.
1 0 0 
1 0 
I2 = 
, I 3 =  0 1 0 

0 1 
 0 0 1 
Operasi pada Matriks
7
Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan pada matriks terdefinisi jika matriks-matriks
yang terlibat memiliki ukuran sama:
 a 1   4 −c   a + 4 1 − c 
 −3 b  +  −1 x  =  −4 b + x  .

 
 

Operasi berikut tidak terdefinisi:
1 
 0 a   1 2 3  
 −2 5  −  a b c  ,  2  + [ 0 0 1]

 
 3
 
Operasi pada Matriks
8
Perkalian
Perkalian skalar
1 2   −5 −10 
 −3 2 a   −3k
, k
−5 
=
=



3 4   −15 −20 
 y 6 −c   yk
2k
6k
ak 
−ck 
Perkalian matriks AB terdefinisi jika banyaknya kolom A sama
dengan banyaknya baris B. Selain itu tidak terdefinisi.
 −1 2 1   a   −a + 2b + c 
1 2  5 6 7   21 24 7  
 b  =  7 a − 4c 
,
7
0
4
=
−
3 4  8 9 0   47 54 21 
  



 
 
 −2 −3 5   c   −2a − 3b + 5c 
Operasi pada Matriks
9
Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis output dan menggunakan 2 jenis input.
Kuantitas output yang diproduksi Q dan harganya P diberikan sbb:
15000 
Q =  27000  , P = [10 12 5] .
13000 
Banyaknya input yang digunakan Z dan harganya W diberikan sbb:
11000 
Z =
 , W = [ 20 8] .
30000


Keuntungan
π = PQ − WZ
15000 
11000 
= [10 12 5]  27000  − [ 20 8] 
30000 

13000 
= 79000.
Sifat-sifat Operasi pada Matriks
10
Hukum penjumlahan dan perkalian skalar
Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang berukuran
sama dan k1, k2 adalah skalar, maka
1. (A + B) + C = A + (B + C)
2. A + (-A) = O
3. A + B = B + A
4. k1 (A + B) = k1 A + k1 B
5. (k1 + k2) A = k1 A + k2 A
6. (k1 k2) A = k1 (k2 A)
7. 0 A = O
dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua
elemennya nol.
Sifat-sifat Operasi pada Matriks
11
Hukum perkalian matriks
Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya
sesuai sehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan
k adalah skalar, maka
1. Hukum Assosiatif
(AB) C = A ( BC)
2. Hukum distributif kiri
A (B + C) = AB + AC
3. Hukum distributif kanan
(B + C) A = BA + CA
Catatan: secara umum AB ≠ BA.
Transpos Matriks
12
Misalkan A=(aij) adalah matriks berukuran m×n. Putaran atau transpos dari
matriks A, ditulis AT, adalah matriks berukuran n×m yang didefinisikan sebagai
berikut:
 a11

a
AT =  21
 ⋮

 a m1
a12
⋯
a 22
⋯
⋮
⋱
am 2
⋯
T
a1n 
 a11


a2 n 
a
=  12
 ⋮
⋮ 


a mn 
 a1n
Sifat matriks transpos:
1. (A + B)T = AT + BT
2. (AT)T = A
3. (k A)T= k AT , untuk suatu skalar k
4. (AB)T = BT AT
a 21
⋯
a 22
⋯
⋮
⋱
a2 n
⋯
a m1 

am 2 
⋮ 

a mn 
Transpos Matriks
13
Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis output dan menggunakan 2 jenis input.
Kuantitas output yang diproduksi Q dan harganya P diberikan sbb:
15000 
10 
Q =  27000  , P = 12  .
13000 
 5 
Banyaknya input yang digunakan Z dan harganya W diberikan sbb:
11000 
 20 
Z =
,
W
=

 8 .
30000


 
Keuntungan
π = PT Q − W T Z
15000 
11000 
= [10 12 5]  27000  − [ 20 8] 
30000 

13000 
= 79000.
Operasi Baris Dasar (OBD)
14
Tukarkan baris ke-i dan ke-j. Notasi: Eij
Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k ≠ 0. Notasi: Ei(k)
Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j. Notasi: Eij(k)
Contoh: misalkan
1 2 
A=

3
y


Maka:
2 
3 y 
1
10 2 + 3 y 
E12 ( A) = E21 ( A) = 
, E2( −2) ( A) = 
, E12(3) ( A) = 



1
2
−
6
−
2
y
3
y






Determinan Matriks
15
Determinan: fungsi yang memetakan suatu matriks segi ke sebuah bilangan
real.
Notasi: det(A) atau |A|.
Matriks berukuran 1 × 1: A = (a), |A| = a.
Matriks berukuran 2 × 2:
a b 
A=
,

c d 
A = ad − bc.
Matriks berukuran 3 × 3:
 a11
A =  a21
 a31
a12
a22
a32
a13 
a23  , A = (a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a32 a21 ) − (a13 a22 a31 + a12 a21a33 + a11a32 a23 )
a33 
Metode Sarrus
16
• Named after Pierre Frederic Sarrus (1798 – 1861), matematikawan Prancis.
• Hanya berlaku untuk matriks berukuran 3 × 3.
(+)
(−)
A = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13a32 a21 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a32 a23
Metode Minor-Kofaktor
17
Dapat digunakan menghitung determinan matriks segi berukuran berapa pun.
Disebut juga metode penguraian Laplace (Laplace expansion).
Misalkan A= (aij)n×n dan Aij adalah anak matriks A yang diperoleh dengan
menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Didefinisikan minor elemen aij ,
notasi Mij adalah
Mij = |Aij|
dan kofaktor elemen aij , notasi cij , adalah
cij = (−1)i+j Mij .
Determinan matriks A ditentukan sbb:
n
1. det( A) = ∑ aij cij , untuk sebarang baris i
j =1
n
2. det( A) = ∑ aij cij , untuk sebarang kolom j.
i =1
Metode Minor-Kofaktor
18
Hitung determinan matriks berikut:
1 2 3 
A = 0 −3 2  .
1 5 −1
Pilih baris ke-1
Maka:
1 2 3 
A = 0 −3 2  .
1 5 −1
A = a11c11 + a12 c12 + a13c13
1+1
= 1 ⋅ (−1)
−3
2
5
−1
1+ 2
+ 2 ⋅ (−1)
0
1 −1
= 1 ⋅1 ⋅ (−7) + 2 ⋅ (−1) ⋅ (−2) + 3 ⋅1 ⋅ 3
= −7 + 4 + 9
= 6.
2
1+ 3
+ 3 ⋅ (−1)
0 −3
1
5
Metode Minor-Kofaktor
19
Pilih baris ke-2:
1 2 3 
A = 0 −3 2  .
1 5 −1
A = a21c21 + a22 c22 + a23c23
= 0 ⋅ (−1) 2+1
2 3
1 3
1 2
+ (−3) ⋅ (−1) 2+ 2
+ 2 ⋅ (−1) 2+3
5 −1
1 −1
1 5
= 0 + (−3) ⋅1 ⋅ (−4) + 2 ⋅ (−1) ⋅ 3
= 6.
Pilih kolom ke-1:
1 2 3 
A = 0 −3 2  .
1 5 −1
A = a11c11 + a21c21 + a31c31
= 1 ⋅ (−1)1+1
−3 2
2 3
2 3
+ 0 ⋅ (−1) 2+1
+ 1 ⋅ (−1)3+1
−3 2
5 −1
5 −1
= 1 ⋅1 ⋅ (−7) + 0 + 1 ⋅1 ⋅13
= 6.
Hint: Pilih baris/kolom yang banyak 0-nya.
Sifat-sifat Determinan
20
Sifat-sifat determinan
1. det(A) = det(AT).
2. Jika dua baris/kolom matriks A saling dipertukarkan sehingga didapat
matriks B, maka det(B) = −det(A).
Catatan: det(Eij(A)) = −det(A)
3. Jika suatu baris/kolom matriks A digandakan dengan suatu skalar k
sehingga didapat matriks B, maka det(B) = k det(A)
Catatan: det(Ei(k)(A)) = k det(A)
det(kA) = kn det(A), A matriks n×n.
4. Jika suatu baris/kolom matriks A ditambah dengan k kali baris/kolom
lainnya sehingga didapat matriks B, maka det(B) = det(A).
Catatan: det(Eij(k)(A)) = det(A)
Sifat-sifat Determinan
21
5. Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol, maka
det(A) = 0.
6. Jika ada baris/kolom matriks A yang merupakan kelipatan dari
baris/kolom yang lain, maka det(A) = 0.
7. Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah,
maka determinan matriks A adalah perkalian elemen-elemen diagonal
utamanya.
8. det(AB) = det(A).det(B)
Invers Matriks
22
Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan matriks taksingular
atau mempunyai invers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA
= In . Matriks B disebut invers matriks A.
Notasi: B = A−1 (dibaca: invers matriks A)
Untuk matriks berukuran 2 × 2:
a b 
A=
,

c d 
A− 1 =
1
A
 d −b 
1  d −b 
=
 −c a  ad − bc  −c a 




Jika |A| = 0 maka A matriks singular, sehingga tidak memiliki invers.
Sifat-sifat: Jika matriks A dan B adalah matriks-matriks taksingular, maka
a. (A −1) −1 = A
b. (AB) −1 = B −1 A −1
c. (AT) −1 = (A −1)T
Metode Matriks Adjoin
23
Misalkan A = (aij) adalah matriks segi berordo n. Jika |A| ≠ 0 dan
matriks C = (cij), dengan cij adalah kofaktor elemen aij, maka
invers matriks A adalah
1 T
−1
A = C .
A
CT disebut matriks adjoint dari matriks A, kadang ditulis adj(A).
Contoh: tentukan invers matriks berikut dengan metode matriks
adjoin
1 2 3 


A =  0 1 −1
1 2 1 


Metode Matriks Adjoin
24
Kofaktor:
c11 = (−1)1+1
c21 = (−1) 2+1
c31 = (−1)
3+1
1 −1
2
1
= 3, c12 = (−1)1+ 2
0 −1
1
1
= −1, c13 = (−1)1+3
0 1
1 2
= −1,
2 3
1 3
1 2
= 4, c22 = (−1)2+ 2
= −2, c23 = (−1)1+3
= 0,
2 1
1 1
1 2
2
3
1 −1
= −5, c32 = (−1)
3+ 2
1
3
0 −1
= 1, c33 = (−1)
3+ 3
Matriks kofaktor dan matriks adjoin:
 3 −1 −1
 3 4 −5
C =  4 −2 0  , C T =  −1 −2 1  .
 −5 1 1 
 −1 0 1 
1 2
0 1
=1
Metode Matriks Adjoin
25
Determinan: pilih baris ke-2
A = 0(4) + 1( −2) + (−1)0 = −2.
Invers:
 3 4 −5  − 32
1 T
1
−1
A = C = −  −1 −2 1  =  12
A
2
 −1 0 1   12
−2
1
0

− 12  .
− 12 
5
2
Metode Eliminasi Gauss
26
● Prosedur menentukan invers matriks A
1. Tuliskan matriks yang diperbesar (A|In).
2. Lakukan serangkaian operasi baris dasar (OBD) pada
matriks (A|In) sehingga bagian kiri matriks tersebut
berubah menjadi In , yaitu (In|P).
3. Tuliskan A−1 = P.
1 0 0 − 32
1 2 3 1 0 0 


( A | I ) = 0 1 −1 0 1 0  E ⋯ E 0 1 0 12
0 0 1 1
1 2 1 0 0 1 
2


−2 52 
1 − 12  = ( I | A−1 )
0 − 12 
27
Sistem Persamaan Linear
SPL
Bentuk SPL
28
Suatu persamaan dalam n variabel x1, x2, …, xn dikatakan linear bila dapat
dituliskan dalam bentuk
c1 x1 + c2 x2 + ⋯ + cn xn = k
di mana c1, c2, …, cn dan k adalah konstanta-konstanta real.
Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variabel
adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = b2
⋮
am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bn
di mana aij dan bi , i = 1, 2, .., n ; j = 1, 2,…, m adalah konstanta real,
sedangkan xi, i = 1, 2, .., n merupakan variabel.
SPL dalam Notasi Matriks
29
SPL dalam notasi matriks:
 a11 a12 ⋯ a1n 


a
a
⋯
a
2n 
AX = B :  21 22
 ⋮
⋮ ⋱ ⋮ 


a
a
⋯
a
m1
m2
mn 

A
 x1   b1 
   
 x2  =  b2 
⋮ ⋮
   
xn   bm 

X
B
SPL dalam notasi matriks diperbesar (augmented matrix):
 a11

a
( A | B) =  21
 ⋮

 am1
a12
a22
⋮
am 2
⋯ a1n b1 
⋯ a2 n b2 
⋱ ⋮ ⋮

⋯ amn bm 
Jika B = 0 (vektor nol) maka SPL disebut homogen, jika tidak, takhomogen.
Solusi SPL
30
Solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah
pasangan n bilangan (s1, s2, …, sn) yang memenuhi semua persamaan dalam
SPL tersebut. Solusi (s1, s2, …, sn) berkorespondensi secara berurutan dengan
(x1, x2, …, xn).
Solusi SPL: tunggal, banyak, tidak ada.
SPL yang memiliki solusi disebut konsisten, yang tidak tak-konsisten.
SPL homogen selalu konsisten karena X = 0 selalu menjadi solusi dan disebut
solusi trivial.
 x  2 
⇒  = 
x− y =3
 y   −1
x + y =1
x + y =1
x  a 
⇒  =
,a∈ℝ

2x + 2 y = 2
 y  1 − a 
x + y =1
tidak ada
⇒
x+ y =3
solusi
Metode Grafik
31
Hanya efektif untuk SPL 2-persamaan, 2-variabel.
SPL:
2 x + y = 10
−4 x + y = −8
y
10
Solusi:
y = 10 − 2 x
8
y = −8 + 4 x
6
solusi
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
x
Metode Substitusi
32
Hanya efektif untuk SPL 2-persamaan, 2-variabel.
SPL 3×3 masih memungkinkan
SPL:
Recommended
for SPL 2× 2
2 x + y = 10
−4 x + y = −8
Tulis persamaan 1 menjadi y = 10 − 2x. Kemudian substitusikan ke persamaan
2 sehingga menjadi
−4 x + y = −8
2 x + y = 10
⇔ − 4 x + (10 − 2 x) = −8
⇔ − 6 x = −18
⇔
x = 3,
y = 4 (solusi)
−____________
4 x + y = −8 _
6x
= 18 → x = 3
Metode Cramer
33
Named after Gabriel Cramer (1704 – 1752), matematikawan Swiss.
Asumsi: dalam SPL AX = B, |A| ≠ 0.
Solusi:
xi =
Ai
A
.
Ai adalah matriks A yang kolom ke-i-nya diganti oleh vektor B.
Bukti: lihat buku.
Solusi
Contoh:
10 1
2 10
2 x + y = 10  2 1  x  10 
−8 1 18
−4 −8 24
= 




x
=
=
=
3,
y
=
=
= 4.
−4 x + y = −8  −4 1  y   −8
2 1
2 1
6
−4 1
6
−4 1
Untuk SPL besar, menghitung determinan adalah pekerjaan sendiri.
Metode Matriks Invers
34
Asumsi: dalam SPL AX = B, |A| ≠ 0 (A taksingular atau A memiliki invers).
Solusi:
−1
X = A B.
Untuk SPL besar, mencari invers matriks adalah pekerjaan sendiri.
Contoh:
2 x + y = 10  2 1  x  10 
= 




−4 x + y = −8  −4 1  y   −8
Solusi
−1
 x   2 1 10   16
= 2
X = =



 y   −4 1  −8  3
− 16  10   3 
=  .

1 
4
3   −8 
Metode Eliminasi Gauss
35
Disebut juga Metode Penghapusan
Dapat mendeteksi apakah SPL konsisten ataukah tidak.
Dapat mendeteksi apakah SPL bersolusi tunggal ataukah banyak.
Contoh:
2 x + y = 10
−4 x + y = −8
OBD terhadap matriks diperbesar:
 2 1 10 
 2 1 10  E1(1/2) 1 12 5 
0 1 4  .
 −4 1 −8 E21(2)  0 3 12  E



 2(1/3) 

Dari baris kedua matriks terakhir diperoleh y = 4.
Dari baris pertama diperoleh x + 0.5y = 5, sehingga x = 3.
Metode Eliminasi Gauss
36
SPL:
2 x1 + x3 = 30
4 x2 + x3 = 40
x1 − x2 + 4 x3 = 15
OBD terhadap matriks diperbesar:
 2 0 1 30 
1 −1 4 15 
 0 4 1 40  ⋯ 0 1 1 10  .
4




40 
1 −1 4 15 
0 0 1 15 
Matriks terakhir disebut matriks eselon baris tereduksi (reduced row-echelon
matrix).
Dari baris ke-3 diperoleh x3 = 40/15.
Dari baris ke-2 diperoleh x2 + 0.25x3 = 10, sehingga x2 = 140/15.
Dari baris ke-1 diperoleh x1 + 0.5x3 = 15, sehingga x1 = 205/15.
Aplikasi Sehari-hari
37
PT AGB akan mengadakan pelatihan komputer bagi para
eksekutif. Untuk itu mereka memerlukan 7 buah komputer super
dengan perincian 2 buah komputer berbasis Windows dan 5
komputer berbasis Linux. Pengadaan komputer akan dilakukan
dengan membeli 3 komputer baru dan 4 sisanya cukup dengan
menyewa. Harga beli komputer berbasis Windows adalah Rp30
juta per unit dan harga sewanya Rp20 juta per unit. Harga beli
komputer berbasis Linux adalah Rp30 juta per unit dan harga
sewanya Rp10 juta per unit. PT AGB memiliki anggaran sebesar
Rp130 juta untuk keperluan ini. Berapa banyak komputer
Windows dan Linux yang harus dibeli dan disewa?
Aplikasi Sehari-hari
38
Aplikasi: Kesetimbangan Dua Pasar
39
Model:
 b11 − β11 b12 − β12   P1   α1 − a1 
=
.
b − β




b22 − β 22   P2  α 2 − a2 
21
 21
Solusi (dengan Metode Cramer):
α1 − a1
α −a
P1∗ = 2 2
b11 − β11
b21 − β 21
b11 − β11
P2∗ =
b21 − β 21
b11 − β11
b21 − β 21
b12 − β12
b22 − β 22
(α1 − a1 )(b22 − β 22 ) − (b12 − β12 )(α 2 − a2 )
=
,
b12 − β12 (b11 − β11 )(b22 − β 22 ) − (b12 − β12 )(b21 − β 21 )
b22 − β 22
α1 − a1
α 2 − a2
(b11 − β11 )(α 2 − a2 ) − (α1 − a1 )(b21 − β 21 )
=
.
b12 − β12 (b11 − β11 )(b22 − β 22 ) − (b12 − β12 )(b21 − β 21 )
b22 − β 22
Model Pendapatan Nasional
40
Model pendapatan nasional:
Y = C + I 0 + G0 ,
C = a + bY ,
dengan
Y :
C :
I0 :
G0 :
a :
b :
pendapatan nasional (endogen)
pengeluaran untuk konsumsi (endogen)
tingkat investasi (eksogen)
belanja pemerintah (eksogen)
autonomous consumption expenditure (a > 0)
marginal propensity to consume (0 < b < 1)
Tingkat kesetimbangan: Y* dan C*?
Model Pendapatan Nasional
41
SPL dapat ditulis sbb:
Y − C = I 0 + G0
−bY + C = a
Dalam notasi matriks:
 1 −1 Y   I 0 + G0 
 −b 1  C  =  a  .

  

Solusi:
I 0 + G0 + a
b( I 0 + G0 ) + a
∗
Y =
, C =
.
1− b
1− b
∗
Model IS-LM
42
IS: Investment-Saving, LM: Liquidity preference-Money supply.
Model IS-LM: model makroekonomi yang secara grafis menunjukkan
hubungan antara suku bunga dan output riil di pasar barang dan di pasar uang.
Persamaan di pasar barang:
Y =C + I +G
C = a + b(1 − t )Y
I = d − eR
Variabel endogen: Y, C, I, R (suku bunga)
Variabel eksogen: G0
Parameter: a, b, d, e, t
G = G0 .
Persamaan di pasar uang:
Money demand : M D = kY − lR
Money supply : M S = M 0
Kesetimbangan : M D = M S .
Variabel endogen: Y, R
Variabel eksogen: M0
Parameter: k, l
Model IS-LM
43
SPL:
Y − C − I = G0
b(1 − t )Y − C = − a
I + eR = d
kY − lR = M 0
−1 −1 0  Y   G0 
 1
b(1 − t ) −1 0 0  C   − a 

  =  
 0
0 I
e I   d 

   
k
0
0
−
l

  R  M 0 
Ukuran SPL dapat direduksi:
Y = C + I +G
⇔
(1 − b(1 − t ))Y + eR = a + d + G0
M 0 = kY − lR
⇔
kY − lR = M 0
1 − b(1 − t ) e  Y   a + d + G0 
=





M
k
l
R
−

  
0

Model Input-Output Leontief
44
Model IO memandang perekonomian sebagai sejumlah sektor industri yang
saling berinteraksi.
Output suatu industri digunakan sebagai input industri yang lain (intermediate
good) sekaligus konsumsi akhir (final demand).
Masalah: menentukan tingkat produksi yang memenuhi permintaan industri
dan konsumen.
Misalkan xi dan di (i = 1,2,...,n) adalah (nilai uang dari) tingkat produksi dan
tingkat permintaan industri ke-i. Definisikan:
 x1 
 d1 
x 
d 
2
X =   , xi ≥ 0, D =  2  , di ≥ 0.
⋮
⋮
 
 
x
 n
dn 
Model Input-Output Leontief
45
Misalkan aij (nilai uang dari) banyaknya barang industri ke-i yang diperlukan
oleh sektor industri ke-j untuk memproduksi 1 unit barang. Definisikan
 a11
a
A =  21
 ⋮

 an1
a12
a22
⋮
an 2
⋯ a1n 
⋯ a2 n 
.

⋱ ⋮

⋯ ann 
Total output industri ke-i yang diperlukan oleh seluruh industri:
∑
n
a x j = ai1 x1 + ai 2 x2 + ⋯ + ain xn .
j =1 ij
Total output seluruh industri:
 a11
a
AX =  21
 ⋮

 an1
a12
a22
⋮
an 2
⋯ a1n   x1 
⋯ a2 n   x2 
.
⋱ ⋮  ⋮ 
 
⋯ ann   xn 
Model Input-Output Leontief
46
Dengan mempertimbangkan final demand sektor konsumsi:
xi = ∑ j =1 aij x j + di .
n
Atau
X = AX + D ⇔ ( I − A) X = D ⇔
X = ( I − A) −1 D.
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional)
47
Definisi: misalkan A matriks berordo m×n. Pangkat atau rank matriks A, notasi
r(A), didefinisikan sebagai:
o ordo terbesar anak matriks A yang determinannya tidak nol.
o banyaknya baris/kolom A yang bebas linear.
o banyaknya baris taknol pada matriks eselon A.
Contoh:
0  1 14 0 
4 1
A =  2 6
2  ∼ 0 1 114  → r ( A) = 2.
 0 −11 −4  0 0 0 
 1 2  1 2 
B =  −2 −4  ∼ 0 0  → r ( B) = 1.
 −1 −2  0 0 
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional)
48
Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo m×n,
konsisten jika dan hanya jika r(A) = r(A|B). Jika SPL konsisten
dan
1. r(A) = n, maka SPL memiliki solusi tunggal.
2. r(A) < n, maka SPL memiliki takhingga banyak solusi.
Jika r(A) ≠ r(A|B) maka SPL tak-konsisten (tidak memiliki
solusi).
Contoh:
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional)
49
OBD terhadap matriks diperbesar:
Misalkan β = −2 maka
1 2 1 0 
r ( A) = 2
→ SPL tak-konsisten.
( A | B) ∼ 0 −2 4 2  →
r ( A | B) = 3
0 0 0 −4 
Misalkan β = 1 maka
1 2 1 0 
r ( A) = 3
SPL punya
( A | B) ∼ 0 1 4 2  →
→
solusi tunggal.
r ( A | B) = 3
0 0 −3 −1
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional)
50
Misalkan β = 2 maka
1 2 1 0 
r ( A) = 2 < 3
SPL punya
( A | B) ∼ 0 2 4 2  →
→
r ( A | B) = 2 < 3
banyak solusi.
0 0 0 0 