Graph Theory - Binus Repository

Learning Outcomes
• Mahasiswa dapat meyimpulkan arti dari
pewarnaan graph dan contoh tentang
penyelesaian sesuatu masalah dengan
menggunakan warnaan graph..
Bina Nusantara
Outline Materi:
•
•
•
•
•
Arti pewarnaan graph
Jenis pewarnaan graph
Pewarnaan titik, rusuk & daerah
Bilangan kromatik
Aplikasi pewarnaan graph..
Bina Nusantara
Graph Coloring Problem
• Graph coloring is an assignment of "colors", almost always taken
to be consecutive integers starting from 1 without loss of generality,
to certain objects in a graph. Such objects can be vertices, edges,
faces, or a mixture of the above.
• Application examples: scheduling, register allocation in a
microprocessor, frequency assignment in mobile radios, and pattern
matching
Bina Nusantara
Vertex Coloring Problem
•
•
•
Assignment of colors to the vertices of the graph such that proper coloring
takes place (no two adjacent vertices are assigned the same color)
Chromatic number: least number of colors needed to color the graph
A graph that can be assigned a (proper) k-coloring is k-colorable, and it is
k-chromatic if its chromatic number is exactly k.
Bina Nusantara
Vertex Coloring Problem
•
•
•
•
The problem of finding a minimum coloring of a graph is NP-Hard
The corresponding decision problem (Is there a coloring which uses at most
k colors?) is NP-complete
The chromatic number for Cn = 3 (n is odd) or 2 (n is even), Kn = n, Km,n = 2
Cn: cycle with n vertices; Kn: fully connected graph with n vertices; Km,n:
complete bipartite graph
C4
Bina Nusantara
C5
K4
K2, 3
Vertex Covering Problem
•
•
•
The Four color theorem: the chromatic number of a planar graph is no
greater than 4
Example: G1 chromatic number = 3, G2 chromatic number = 4
(Most proofs rely on case by case analysis).
G1
Bina Nusantara
G2
Edge Coloring
• Pewarnaan rusuk yaitu : mewarnai rusuk-rusuk suatu
graph, sedemikian hingga rusuk-rusuk yang insiden
warna berlainan dan banyak warna minimum.
• Contoh :

2
3

Bina Nusantara

1

1
4

2
3
1
2

x (G) = 4
Edge Coloring Problem (2)
• Pewarnaan rusuk untuk graph
lengkap (Kn).
n, n ganjil
x ( K )  
n  1, n genap
x (K4) = 3
3
2
1
1
2
3
K
Bina Nusantara
4
Pewarnaan Daerah :
• Pewarnaan daerah dilakukan dengan terlebih dahulu membentuk
graph tersebut menjadi graph planar kemudian melakukan
pewarnaan untuk tiap daerah yang berbeda pada daerah yang
berdekatan. Jumlah warna diambil yang paling minimum.
• Contoh : Lakukan pewarnaan graph secara daerah untuk kasus
gambar graph sebelumnya.
Bina Nusantara
BILANGAN KROMATIK
• Bilangan kromatik dari G adalah jumlah warna minimum yang
diperlukan untuk mewarnai graph G, dilambangkan
dgn (G) {

adalah huruf Yunani chi }
• Berapa bilangan kromatik dari graph lengkap K6, K10 dan Kn ?
(Kn) = n

Bina Nusantara
ALGORITMA WELCH-POWELL
Algoritma Welch-Powell adalah sebuah cara efisien untuk mewarnai sebuah graph G
Algoritma Welch-Powell :
• Urutkan simpul-simpul G dalam derajat yang menurun. Urutan ini mungkin tidak
unik karena bbrp simpul mempunyai derajat sama
• Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama dan untuk mewarnai, dalam
urutan yang berurut setiap simpul dari daftar yang tidak berelasi dengan simpul
sebelumnya.
• Mulai lagi dengan dengan daftar paling tinggi dan ulangi proses pewarnaan
simpul yang tidak berwarna sebelumnya dengan menggunakan warna kedua.
• Terus ulangi dengan penambahan warna sampai semua simpul telah diwarnai
Bina Nusantara
Contoh
Graph H
V1
V2
Simpul
V1
V4
V5
V6
V2
V3
V7
Derajat
5
4
4
4
3
3
3
Warna
a
b
c
d
b
c
a
V4
V3
V5
Jadi χ(H) = 4
V6
Bina Nusantara
V7
Contoh
• Graph G
V1
Simpul
V1
V6
V2
V3
V4
V5
Derajat
4
4
3
3
3
3
Warna
a
a
b
b
c
c
V3
V2
V4
V6
Bina Nusantara
V5
Jadi χ(G) = 3
Contoh
• Graph H
V1
V2
Simpul
V1
V2
V3
V4
V5
V6
Derajat
3
3
3
3
3
3
Warna
a
b
b
a
a
b
V3
Jadi χ(H)= 2
V4
Bina Nusantara
V6
V5
Contoh
• Graph G
Simpul
V1
V5
V2
V6
V3
V4
Derajat
4
4
3
3
2
2
Warna
a
b
b
c
c
a
V1
V3
V2
V4
V5
Jadi χ(G) = 3
V6
Bina Nusantara
Contoh
• Graph H
A
H
G
B
F
C
D
Bina Nusantara
E
Simpul
H
A
D
F
B
C
E
G
Derajat
5
4
4
4
3
3
3
2
Warna
a
b
b
c
a
c
c
a
Jadi χ(H) = 3
Contoh
• Adakah graph dengan 1 warna????
Bina Nusantara
Informasi/ Penutup
• Untuk menambah materi yang telah ada, Anda dapat melihat materi
lain yang ada pada alam web berikut ini, dan klik
http://www.math.getech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html
Bina Nusantara
Bina Nusantara