bab ii aljabar boolean dan gerbang logika

Sistem Digital
BAB II
ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA
Alokasi Waktu : 8 x 45 menit
Tujuan Instruksional Khusus :
1.
2.
3.
4.
Mahasiswa dapat
Mahasiswa dapat
Mahasiswa dapat
Mahasiswa dapat
menjelaskan theorema dan sifat dasar dari aljabar Boolean.
menjelaskan fungsi Boolean.
menjelaskan gerbang logika digital.
menjelaskan keluarga logika digital IC.
2.1. PENDAHULUAN
Perangkat digital dan rangkaian digital beroperasi dalam sistem bilangan biner,
yaitu semua variabel-variabel rangkaian adalah 0 dan 1 (rendah atau tinggi).
Karakteristik dari perangkat digital ini membuatnya mungkin untuk menggunakan
aljabar boole sebagai alat matematika untuk menganalisa dan merancang rangkaian dan
sistem digital.
Operasi-operasi dasar dari logika boole adalah :
1. Penambahan logika, disebut juga penambahan OR atau operasi OR. Simbol umum
untuk operasi ini adalah tanda plus (+)
2. Perkalian logika, disebut juga perkalian AND atau operasi AND. Simbol umum
untuk operasi ini adalah tanda perkalian ( . ).
3. Pembalikan logika, disebut juga operasi NOT. Simbol umum untuk operasi ini
adalah strip atas ( ‘ ).
2.2. TEOREMA-TEOREMA BOOLEAN
Kelompok pertama teorema diberikan pada Gambar 2.1. Pada tiap teorema, X
adalah sebuah variabel logika yang dapat bernilai 0 atau 1. Masing-masing teorema
digambarkan pula diagram logika ekuivalennya, yang mana akan membantu untuk
mengecek kebenarannya. Teorema-teorema pada Gambar 2.1 adalah teorema variabel
tunggal (single variable thoerems) dengan hanya variabel X, jadi kita harus mengecek
untuk kondisi-kondisi X = 0 dan X = 1.
25
Sistem Digital
Gambar 2.1

Teorema-teorema variabel tunggal (single variable)
Teorema (1) menyatakan bahwa jika suatu variabel apa saja di-AND-kan dengan 0,
hasilnya pasti 0.
Ini mudah untuk diingat sebab operasi AND adalah seperti perkalian biasa, dimana
kita tahu bahwa apa saja yang dikalikan dengan 0 adalah 0. Kita juga tahu bahwa
output dari gerbang AND akan menjadi 0 jika ada input yang bernilai 0. Tanpa
memperdulikan level pada input yang lain.

Teorema (2) juga sama seperti pada perkalian biasa.
26
Sistem Digital

Teorema (3) dapat dibuktikan dengan mencoba masing-masing kondisi
Jika X = 0, maka 0 . 0 = 0
Jika X =1, maka 1 . 1 = 1
Jika X . X = X

Teorema (4) dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Bagaimanapun juga, teorema
(4) juga dapat berasalan bahwa pada suatu saat apakah X atau kebalikannya X pasti
menjadi level 0, jadi hasil perkalian AND-nya pasti selalu 0.

Teorema (5) adalah biasa, karena 0 jika ditambahkan dengan apa saja tidak
mempengaruhi nilainya, apakah itu pada penambahan biasa atau pada penambahan
OR.

Teorema (6) menyatakan bahwa jika suatu variabel apa saja di –OR-kan dengan 1,
hasilnya akan selalu 1. Mengecek teorema (6) untuk kedua nilai X :
0 + 1 = 1 dan 1 + 1 = 1
Dengan demikian kita dapat mengingat bahwa output dari OR gate akan menjadi 1
jika ada input yang bernilai 1, tanpa menghiraukan nilai input yang lain.

Teorema (7) dapat dibuktikan dengan pengecekan untuk kedua harga X : 0 + 0 = 0
dan 1 + 1 = 1

Teorema (8) dapat dibuktikan dengan cara yang sama atau kita dapat hanya
beralasan pada suatu saat apakah X atau X pasti menjadi level 1 jadi kita selalu
meng-OR-kan 0 dan 1 yang selalu menghasilkan 1.
Sebelum mengenalkan teorema-teorema selanjutnya, harus ditekankan bahwa dalam
menerapkan teorema-teorema (1)-(8) variabel X bisa mewakili suatu ekspresi yang
berisi lebih dari satu variabel. Sebagai contoh, jika kita mempunyai A B ( A B ), kita
dapat memakai teorema (4) dengan misalkan X = A B . Jadi kita dapat menyatakan
bahwa A B ( A B ) = 0. Ide yang sama dapat diterapkan untuk menggunakan teoremateorema tersebut di atas.
27
Sistem Digital
2.2.1.
TEOREMA VARIABEL GANDA (MULTIVARIABLE)
Teorema-teorema yang ditampilkan berikut ini melibatkan lebih dari satu variabel :
(9)
X+Y=Y+X
(10)
X.Y=Y.X
(11)
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z
(12)
X(YZ) = (XY) Z = XYZ
(13)
X(Y + Z) = XY + XZ
(14)
(X + Y)(X + Z) = X + (Y . Z)
(15)
X + XY = X
(16)
X+ X Y=X+Y
(17)
X . ( X + Y) = X . Y
Contoh 2.1
Hukum KOMULATIF
Hukum ASOSIATIF
Hukum DISTRIBUTIF
Hukum ABSORTIF
:
Sederhanakan ekspresi : Y = A B D + A B D
Penyelesaian :
Memfaktorkan variabel A B dengan menggunakan teorema (13) :
Y = A B (D + D )
Dengan menggunakan teorema (8), D + D = 1
Jadi,
Y =AB . 1
= AB
Contoh 2.2
[menggunakan teorema (2)]
:
Sederhanakan Z = ( A + B)(A + B)
Penyelesaian :
Ekspresi ini dapat diperluas sebagai berikut [teorema (13)]
Z= A .A+ A .B+B.A+B.B
Memanggil teorema (4) : A . A = 0, juga B . B = B [teorema (3)]
Z = 0 + A. B + B . A + B = AB + A B + B
Dengan mengeluarkan B [teorema (13)] :
Z = B ( A + A + 1)
Akhirnya dengan menggunakan teorema (6),
Z=B
28
Sistem Digital
Contoh 2.3
:
Sederhanakan X = A C D + A B C D
Penyelesaian : X = CD ( A + A B )
X = C D (A + B)
=ACD+BCD
2.2.2.
TEOREMA De Morgan
Dua teorema yang paling penting dari Aljabar Boolean disumbangkan oleh ahli
matematika bernama DeMorgan. Teorema DeMorgan sangat berguna dalam
penyederhanaan suatu ekspresi. Kedua teorema tersebut adalah :
X  Y  = X . Y
X .Y  = X + Y
(18)
(19)
Teorema DeMorgan itu dapat dinyatakan dengan kata-kata sebagai berikut :
Setiap pernyataan dalam logika adalah ekuivalen dengan pertentangannya (inversion)
dengan cara :

Penjumlahan logika (fungsi OR) ditukar menjadi perkalian logika (fungsi AND)
dan sebaliknya

Serta mengganti tiap-tiap variabel dengan pertentangannya (fungsi NOT)
Contoh 2.4

:

Sederhanakan AB  C dengan teorema DeMorgan
Penyelesaian :
AB  C 
 
= A  B  . C
= AB . C
Catatan : B adalah sama dengan B, jadi
( A + B) . C = A . C + B C
Hasil terakhir ini hanya berisi tanda-tanda inverter (pembalik) yang membalik variabel
tunggal.
29
Sistem Digital
Contoh 2.5
:
Sederhanakan ekspresi Z = ( A  C ).( B  D)
Penyelesaian :
Z = ( A  C )  ( B  D)
= ( A..C )  ( B.D)
Z = AC + B D
2.3. GERBANG LOGIKA DIGITAL
Fungsi Boolean lebih mudah diimplementasikan dengan menggunakan operasioperasi AND, OR, dan NOT. Kemungkinan merangkai gates dengan operasi-operasi
logika bertipe lain adalah tergantung dari kepentingannya.
Faktor-faktor yang harus dipertimbangkan jika merangkai tipe-tipe lain dari gerbang
logika adalah :
1. Kemudahan dan ekonomi memproduksi gate dengan komponen-komponen fisik.
2. Kemungkinan untuk memperluas gate lebih dari dua input.
3. Sifat-sifat dasar operator biner seperti komulatif dan asosiatif.
4. Kemampuan gate untuk mengimplementasikan hanya fungsi boolean atau dalam
hubungan dengan gates lain.
Simbol grafik dan tabel kebenaran dari delapan gerbang ditunjukkan pada Gambar 2.2.
Tiap gerbang mempunyai satu atau dua variabel input biner yang ditandai dengan X dan
Y dan satu variabel output biner yang ditandai dengan F.
Rangkaian AND, OR, dan Inverter (pembalik) telah didefinisikan pada Gambar 1.6.
Rangkaian inverter membalik logik dari variabel biner. Rangkaian inverter tersebut
menghasilkan fungsi NOT atau komplemen. Lingkaran kecil pada output dari simbol
grafik inverter menandai komplemen logika simbol segitiga adalah tanda dari rangkaian
buffer. Buffer menghasilkan fungsi transfer tetapi tidak menghasilkan suatu operasi
logika khusus sebab nilai biner pada outputnya adalah sama dengan nilai biner
inputnya. Rangkaian buffer hanya digunakan untuk penguatan daya dari sinyal dan
ekuivalen dengan dua inverter yang dihubungkan secara seri (berderet).
30
Sistem Digital
NAMA
SIMBOL GRAFIK
FUNGSI ALJABAR
TABEL
KEBENARAN
F=xy
AND
F=x+y
OR
x
0
0
1
1
x
0
0
1
1
x
0
1
Inverter (NOT)
F = x’
Buffer
F=x
x
0
1
NAND
F = (x y)’
X
0
0
1
1
x
0
0
1
1
x
0
0
1
1
x
0
0
1
1
F = (x + y)’
NOR
F = xy’ + x’y
Exclusive-OR
=x+y
(XOR)
F = xy + x’y’
Exclusive-NOR
(XNOR)
=x.y
=x + y
Gambar 2.2
y
0
1
0
1
y
0
1
0
1
F
0
0
0
1
F
0
1
1
1
F
1
0
F
0
1
y
0
1
0
1
y
0
1
0
1
y
0
1
0
1
y
0
1
0
1
F
1
1
1
0
F
1
0
0
0
F
0
1
1
0
F
1
0
0
1
Gerbang Logika Digital
Fungsi NAND adalah komplemen dari fungsi AND, seperti ditunjukkan oleh simbol
grafiknya yang terdiri dari simbol grafik AND diikuti oleh lingkaran kecil.
31
Sistem Digital
Fungsi NOR adalah komplemen dari fungsi OR dan menggunakan simbol grafik dari
OR diikuti oleh lingkaran kecil.
Gerbang NAND dan NOR banyak digunakan sebagai gerbang logika standar dan benarbenar jauh lebih populer dari pada gerbang AND dan OR. Hal ini disebabkan karena
gerbang NAND dan NOR dengan mudah dapat dibuat dengan rangkaian-rangkaian
transistor dan karena fungsi-fungsi Boolean dapat dengan mudah diimplementasikan
dengan gerbang NAND dan NOR tersebut.
Gerbang Exclusive-OR mempunyai sifat grafik sama seperti gerbang OR, tetapi ada
tambahan garis melengkung pada sisi input.
Gerbang Exclusive-NOR adalah komplemen dari Exclusive-OR yang ditambah
lingkaran kecil pada sisi outputnya.
2.4. KELUARGA LOGIKA DIGITAL IC
Gerbang IC digital diklasifikasikan tidak hanya berdasarkan operasi logikanya, tetapi
juga berdasarkan keluarga rangkaian logika tertentu. Masing-masing keluarga logika
mempunyai rangkaian elektronika dasar dimana rangkaian dan fungsi yang lebih
komplek di buat.
Rangkaian dasar pada tiap-tiap (family) adalah gerbang NAND dan NOR.
Komponen-komponen elektronika yang digunakan dalam pembuatan rangkaian dasar
biasanya dipakai untuk menamakan keluarga logika (Logic Family). Bermacam-macam
keluarga logika ICs digital telah diperkenalkan secara komersial. Keluarga-keluarga
logika yang telah terkenal adalah sebagai berikut :
TTL
: Transistor-transistor Logic
ECL
: Emiter-Coupled Logic
MOS : Metal-Oxide Semiconductor
CMOS : Complementary Metal-Oxide Semiconductor
I2L
: Integrated-injection Logic
TTL mempunyai banyak fungsi digital dan merupakan keluarga logika yang paling
populer sekarang ini.
ECL digunakan pada sistem-sistem yang memerlukan operasi kecepatan tinggi.
32
Sistem Digital
MOS dan I2L digunakan pada rangkaian-rangkaian yang memerlukan kepadatan
komponen tinggi, dan CMOS digunakan pada sistem-sistem yang membutuhkan
konsumsi daya rendah.
Oleh karena kepadatan yang tinggi dimana transistor-transistor dapat dibuat dalam
MOS dan I2L, dua keluarga ini kebanyakan digunakan untuk fungsi-fungsi LSI (Large
Scale Integration). Tiga keluarga yang lain : TTL, ECL, dan CMOS mempunyai
perangkat-perangkat LSI dan juga perangkat MSI (Medium Scale Integration) dan SSI
(Small Scale Integration).
Catatan : Komponen-komponen yang digunakan untuk membuat sistem-sistem digital
adalah tertutup dalam paket rangkaian terpadu (integrated circuit packages).
Rangkaian SSI berisi beberapa gate (gerbang) atau flip-flop dalam paket
tunggal (dalam satu paket IC). Perangkat MSI menyediakan fungsi-fungsi
digital tertentu, dan perangkat LSI menyediakan modul-modul komputer
lengkap.
Beberapa rangkaian SSI yang standar pada Gambar 2.4. Masing-masing IC tertutup
dalam sebuah paket (package) 14 atau 16 kaki. Kaki-kaki tersebut diberi nomor
disepanjang dua sisi dari package tersebut dan menentukan hubungan-hubungan yang
dapat dibuat.
Gates (gerbang-gerbang) yang digambar di dalam IC hanya untuk informasi saja dan
tidak dapat dilihat karena package IC yang nyata adalah seperti pada gambar 1.8.
IC TTL biasanya dibedakan oleh penandaan menurut angka seperti seri 5400 dan 7400.
Seri 5400 mempunyai batasan temperatur operasi yang lebar, cocok untuk penggunaan
militer. Dan seri 7400 mempunyai batasan temperatur yang lebih sempit, cocok untuk
pemakaian industri.
Penandaan menurut angka dari seri 7400 berarti bahwa package IC bernomor seperti
7400, 7401, 7402 dan sebagainya.
Gambar 2.4 (a) menunjukkan dua rangkaian SSI TTL. Seri 7404 menyediakan enam
(hek) inverter dalam satu package. 7400 menyediakan empat 2-input NAND gates.
Terminal-terminal yang ditandai Vcc dan GND adalah kaki-kaki sumber tegangan
(power supply) yang memerlukan tegangan 5 volt untuk operasi yang benar.
33
Sistem Digital
Tipe ECL yang paling umum adalah seri 10.000. Gambar 2.4 (b) menunjukkan dua
rangkaian ECL. Seri 10102 menyediakan empat 2-input NOR gates. Catatan bahwa
sebuah gate ECL bisa mempunyai dua output, satu untuk fungsi NOR dan lain untuk
fungsi OR (kaki 9 dari IC 10102).
IC 10107 menyediakan tiga exclusive-OR gates. Disini ada dua output dari masingmasing gate, output yang lain memberi fungsi exclusive-NOR.
Gate ECL mempunyai tiga terminal untuk power supply Vcc1 dan Vcc2 biasanya
dihubungkan ke Ground, dan VEE ke supply -5,2 Volt.
Rangkaian CMOS dari seri-seri 4000 ditunjukkan pada Gambar 2.4 (c). Hanya dua 4input NOR gate dapat dimuat dalam 4002 karena keterbatasan kaki. Type 4050
menyediakan enam gerbang menyediakan enam gerbang Buffer. Kedua IC mempunyai
dua terminal yang tidak digunakan ditandai NC (no connection). Terminal yang
ditandai VDD membutuhkan tegangan supply daya dari 3 sampai 15 volt dan Vss
biasanya dihubungkan ke ground.
34
Sistem Digital
Gambar 2.4
Berapa tipikal Integrated-Circuit Gates
35
Sistem Digital
Ringkasan
Teorema Variabel Tunggal :
(1)
X.0 =0
(2)
X.1 =X
(3)
X.X =X
(4)
X . X’ = 0
(5)
X+0 =X
(6)
X+1 =1
(7)
X+X =X
(8)
X + X’ = 1
Teorema Variabel Ganda :
(9)
X+Y=Y+X
Hukum KOMULATIF
(10) X . Y = Y . X
(11) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z
Hukum ASOSIATIF
(12) X(YZ) = (XY) Z = XYZ
(13) X(Y + Z) = XY + XZ
Hukum DISTRIBUTIF
(14) (X + Y)(X + Z) = X + (Y . Z)
(15) X + XY = X
(16) X + X Y = X + Y
Hukum ABSORTIF
(17) X . ( X + Y) = X . Y
Teorema DeMorgan sangat berguna dalam penyederhanaan suatu ekspresi. Kedua teorema
tersebut adalah :
(18)
(19)
X  Y  = X . Y
X .Y  = X + Y
36
Sistem Digital
Soal-Soal
1. Buktikan teorema di bawah ini :
a. (A + B) (A + C) = A + BC (hukum distributif)
b. A ( A +B) = A B (hukum absortif)
2. Sederhanakan pernyataan di bawah ini dengan menggunakan hukum-hukum dan teorema
logika :
a. F = (A B + B) ( A  B )
b. F = (A + B + C )(A + B C)
c. F = AB C + D + C (AB C + D)
d. F = (A + BC)(B + AC) + A B C
e. F = (A + B + C)(A + B )
3. Implementasikan hasil penyederhanaan pertanyaan (2) ke dalam rangkaian logika?
4. Sederhanakan dengan teorema DeMorgan :
a. F = B ( C  D ) + A B ( C  D )
b. F = AB  CD  AC  ACD
5. Jika suatu rangkaian digital mempunyai N variabel input logika maka akan ada 2N
kemungkinan kondisi yang berbeda. Jika sebuah tabel kebenaran dibuat berisi semua
kondisi-kondisi tersebut, ada suatu metode untuk mendaftar semua kondisi tersebut tanpa
kehilangan satu kondisipun.
Pelajari tabel kebenaran yang ditunjukkan pada Gambar P-1. Untuk empat variabel A, B,
C, dan D. Karena N = 4 maka ada 24 = 16 kondisi. Semua 16 kondisi tersebut dapat
didaftar mewakili 4-bit bilangan biner, dengan D menjadi LSB dan A menjadi MSB. Jika
kita sekarang menghitung dalam biner dari 0000 sampai 1111, kita akan mempunyai 16
kondisi keseluruhannya.
Tambahkan ke dalam tabel kebenaran output-output untuk masing-masing kondisi jika
masing-masing kondisi tersebut mewakili empat-imput NOR dan NAND gates?
37
Sistem Digital
A
B
C
D
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
NOR
NAND
Gambar P-1.
6. a. Sederhanakan rangkaian logika yang ditunjukkan pada Gambar P-2?
Gambar P-2.
b. Implementasikan hasil penyederhanaannya kedalam rangkaian logika?
38