VEKTOR FUNDAMENTAL

VEKTOR
DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS INDONESIA
Pengertian Dasar



Vektor merupakan kombinasi dari suatu besaran dan
suatu arah
Vektor dapat dinyatakan dalam panah-panah,
panjang panah menyatakan besarnya vektor dan
arah panah menunjukkan arah vektor
Ekor panah dinamakan titik awal dan ujung panah
Q
dinamakan titik terminal
S
R
P

Q
Jika titik awal suatu vektor v
adalah P dan titik terminalnya
adalah Q, maka dapat dituliskan
v
v = PQ
P


Vektor yang mempunyai panjang
dan arah yang sama disebut
vektor ekivalen (sama)
Vektor nol merupakan vektor
yang mempunyai besar 0
t
x
Penjumlahan Vektor
a+b+c
b+c
a+b
a
b
c
Pengurangan Vektor

Jika a dan b adalah sebarang 2 vektor, maka
pengurangan vektor a dari b didefinisikan
oleh : a – b = a + (-b)
a+b
a-b
a
-b
b
Skalar dikalikan Vektor
Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan riil tak
nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor
yang panjangnya k kali panjang v yang arahnya sama
seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v
jika k < 0
2v
-1v
v
0,5v
-1,5 v
Operasi Vektor di R2
y
( v1+w1 , v2+w2 )
(w1,w2)
w
v
+
w
v2
w2
v
v1
(v1,v2)
w1
x
Operasi Vektor di R2
CONTOH :
Jika v = (3,-2) dan w = (4,5) maka :
v + w = (3,-2) + (4,5) = ( 3+4 , -2+5 ) = (7,3)
v - w = (3,-2) - (4,5) = ( 3-4 , -2-5 ) = (-1,-7)
5v = 5 (3,-2) = (15,-10)
Operasi Vektor di R2

Kadangkala vektor titik awalnya tidak pada titik asal,
jika vektor P1P2 mempunyai titik awal P1 (x1,y1) dan
titik terminal P2 (x2,y2) maka

P1P2 = (x2-x1 , y2-y1)
y
P2 (x2,y2)
P1P2
P1 (x1,y1)
x
Panjang Vektor

Besar atau panjang sebuah vektor dinyatakan
dengan
a atau a

Panjang suatu vektor a (a1 , a2) diruang 2 adalah
a  a1  a 2
2
2
y
(a1,a2)
a
x
CONTOH APLIKASI VEKTOR R-2


Salah satu sistem yang menggunakan vektor
adalah perhitungan daya pada bidang Listrik
Terdapat tiga Komponen Daya Listrik



Daya Kompleks (S) -- VA
Daya Aktif (P) -- Watt
Daya Reaktif (Q) -- VAr
QL (VAr)
S = P + QL

P = (x,0)
Q = (0,y)
S = P + Q = (x,y)
P(Watt)
Qc(VAr)

Power Factor
Correction
QL(VAr)
S (VA) last
S new
 last
 last
P(Watt)
Qc(VAr)
Panjang Vektor di R-3
z
a  (0C ) 2  (CA) 2
2
a
A (a1,a2,a3)
0
D
a  (0 B ) 2  (0 D ) 2  (CA) 2
2
y
a  a1  a2  a3
2
2
x
C
2
a  a1  a2  a3
2
B
2
2
2

Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah titik
diruang 3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut
adalah :
P1P2  ( x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 )
d  P1P2  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
z
P2 (x2,y2,z2)
v
P1 (x1,y1,z1)
y
x
DOT PRODUCT
ORIENTASI RUANG
z



Vektor i panjangnya 1 unit
searah sumbu x
Vektor j panjangnya 1 unit
searah sumbu y
Vektor k panjangnya 1 unit
searah sumbu z
k
(0,0,1)
(0,1,0)
j
(1,0,0)
i
x
Triple i,j,k disebut vektor basis
Setiap vektor diruang 3 dapat diungkapkan dengan
i,j,k sehingga v =(v1,v2,v3) = v1i + v2j + v3k
y
Definisi

Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan
ruang-3 dan  adalah sudut diantara u dan v, maka
hasil kali titik (dot product) u.v didefinisikan :
u.v  u v cos 
jika u  0 dan v  0
u.v  0
jika u=0 dan v=0
u
u

v

v
Contoh
z
Jika u=(0,0,1) dan v=(0,2,2)
dan sudut antara u dan v
adalah 45o (lihat gambar)
maka u.v adalah :
(0,2,2)
v
(0,0,1)

u
y
u.v  u v cos
u.v 
x
 0  0  1 
2
2
2

 1 
0 2 2 
2
 2
2
2
2
Jika u, v dan w adalah vektor di ruang
dimensi 2 atau 3, dan k merupakan skalar,
maka:


i.i=1
i.j=0
j.j=1
j.k=0
k.k=1
k.i=0
z
k
(0,0,1)
(0,1,0)
j
(1,0,0)
i
x
y
VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH




Jika u=(ux,uy,uz) adalah vektor yang
panjangnya satu, maka u disebut vektor
satuan.
ux = u.i = 1 x 1 cos  = cos  dengan 
adalah sudut antara vektor u dan arah positif
sumbu x.
uy = cos 
uz = cos 
VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH

Vektor a mempunyai komponen ax,ay,az. Jika a
adalah vektor bukan nol maka :
a axi  a y j  az k

a
a
Adalah vektor satuan, dengan komponen-komponen
yang merupakan cosinus arah :
ax
cos  
a
cos  
ay
a
az
cos  
a
Sudut antar Vektor
2
PQ  u  v  2 u v cos 
2
2
z
P (u1,u2,u3)
PQ  v  u
2
2
2
1
u v cos  
(u  v  v u )
2
2
2
2
1
u.v 
(u  v  v u )
2
u.v  u1v1  u2 v2  u3v3
x
u.v
cos 
uv
u

Q (v1,v2,v3)
v
y
Contoh
Diketahui vektor u=(2,-1,1) dan v=(1,1,2) carilah
sudut diantara vektor u dan v.
z
(1,1,2)
u.v = u1v1+ u2v2+ u3v3
= (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2)
= 3
u  6 dan
v 6
u.v
3
3
cos  

  0,5
u v ( 6 )( 6 ) 6
  60o
v

y
(2,-1,1)
u
x
Resume sudut
Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol
dan  adalah sudut diantara kedua vektor
tersebut maka :



 lancip , jika dan hanya jika u.v > 0
 tumpul, jika dan hanya jika u.v < 0
 tegaklurus (/2), jika dan hanya jika u.v = 0
PROYEKSI ORTHOGONAL
w2
u
w1
a

w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada a
Dinyatakan dengan : proyau

w2 dinamakan komponen vektor u yang
orthogonal terhadap a
w2 = u – w1 = u - proyau
Formula Proyeksi
cos  
w2
u
ua
ua
w1  u cos   u
w1 
w1
ua ua

ua
a
ua a ua
 2 a
a a
a
a
w1  proy a u 
u.a
a
2
a
w2  u  proy a u  u 
(komponen u sepanjang a)
u.a
a
2
a (komponen u orthogonal a)




w1=ka
u= w1 + w2 = ka + w2
2
a
u.a = (ka+w2).a = k
+ w2.a
Karena w2 tegak lurus a maka w2.a = 0
k
u.a
a
2
Panjang Komponen Proyeksi
w1  proy a u 
w1  proy a u 
w1  proy a u 
u.a
a
2
a
u.a
a
2
a
w2
u.a
u
w1
a
u a cos
a
 u cos
a
Contoh


Carilah rumus untuk jarak D diantara titik
Po(xo,yo) dan garis ax + by + c = 0
Misal Q (x1,y1) adalah sebarang titik pada garis
dan n=(a,b) vektor dengan titik awal di Q
y
n=(a,b)
ax+by+c=0
QPo  ( xo  x1 , yo  y1 )
Q(x1,y1)
P(x0,y0)
QPo .n  a ( xo  x1 )  b( yo  y1 )
n  a b
2
D
x
2
a ( xo  x1 )  b( yo  y1 )
a2  b2
karena titik Q( x1 , y1 ) terletak pada garis tersebut maka
ax1  by1  c  0 sehingga
Substitusi :
D
axo  byo  c
a2  b2
c  ax1  by1
SOAL Vector




Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1)
carilah komponen vektor x yang memenuhi :
2u – v + x = 7x + w
Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah
skalar c1, c2 dan c3 sehingga :
c1u + c2v + c3w = (6,14,-2)
Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0)
Carilah semua skalar sehingga kv  3 dimana v =
(1,2,4)
SOAL Dot Product

Tentukanlah apakah u dan v membentuk
sudut lancip, tumpul atau ortogonal






u=(7,3,5)
u=(1,1,1)
u=(6,1,3)
u=(4,1,6)
v=(-8,4,2)
V=(-1,0,0)
v=(4,0,6)
v=(-3,0,2)
Carilah sudut diantara diagonal kubus dan
salah satu sisinya
carilah komponen vektor u yang ortogonal ke
a jika :


u=(-7,1,3) v=(5,0,1)
u=(0,0,1) v=(8,3,4)