20.2 Hubungan Arus Listrik dan Medan Magnet

DAFTAR ISI
DAFTAR ISI..............................................................................1
BAB 20. KEMAGNETAN ..........................................................2
20.1 Magnet dan Medan Magnet ........................................2
20.2 Hubungan Arus Listrik dan Medan Magnet.................2
20.3 Gaya Magnet ..............................................................4
20.4 Hukum Ampere ...........................................................9
20.5 Efek Hall....................................................................13
20.6 Quis 20......................................................................14
1
BAB 20. KEMAGNETAN
20.1
Magnet dan Medan Magnet
Fenomena kemagnetan yang mula-mula diamati adalah bahwa magnet alam berupa batu-batu
(magnet) tertentu akan menarik potongan besi kecil. Magnet alami yang lain adalah bumi yang
pengaruhnya terhadap jarum kompas sudah dikenal sejak zaman dahulu (sekitar abad 11).
Pada tahun 1819, H.C. Oersted menemukan bahwa arus dapat menghasilkan efek magnet.
Selanjutnya pada tahun 1831, Michael Faraday dan Joseph Henry menunjukkan bahwa arus dapat
ditimbulkan dengan menggerakkan magnet.
Medan magnet didefinisikan sebagai ruang di sekitar sebuah magnet atau di sekitar muatan
yang bergerak. Jika menggunakan analogi untuk medan listrik, maka untuk sebuah kawat berarus
sebagai sumber khas medan magnet, dapat diterapkan secara skematis yang menyarankan bahwa
(a) arus menghasilkan medan magnet dan (b) medan magnet mengerahkan gaya pada arus
v
arus ⇔ medan ( B ) ⇔ arus
Medan magnet adalah medan vektor. Salah satu besaran untuk memerikan medan magnet
v
adalah induksi magnet B . Garis medan induksi disebut garis induksi. Hubungan antara induksi
magnet dengan garis induksi adalah arah garis singgung pada garis induksi menyatakan arah induksi
magnet dan banyaknya garis induksi per satuan luas (yang tegak lurus pada garis), adalah sebanding
dengan besarnya induksi magnet. Dari hubungan tersebut, induksi magnet disebut juga rapat fluks.
Satuan induksi magnet weber/m2 = Tesla (T) dimana
20.2
1 Wb/m2 = 1 T = 104 Gauss
Hubungan Arus Listrik dan Medan Magnet
Muatan listrik yang bergerak dalam medan magnet akan mendapat gaya yang disebut gaya
Lorentz. Untuk mengetahui hubungan gaya ini dengan medan magnet, perhatikan Gambar 15.1
berikut.
2
Gambar 15.1 Hubungan medan magnet dan gaya
v
Jika sebuah muatan q bergerak dengan kecepatan v dalam medan magnet dan membuat
v
sudut θ terhadap arah B maka muatan tersebut akan mendapat gaya magnet
v
v v
F = qv x B
(15.1)
Besarnya gaya magnet ini adalah
F = qvB sin θ
(15.2)
Persamaan (15.1) sesuai dengan kenyataan berikut : Gaya magnet hanya bekerja bila muatan
v
v
q bergerak terhadap medan magnet, Jika v searah atau berlawanan arah B maka gaya magnet
v
v
sama dengan nol, Gaya magnet maksimum jika v tegak lurus B .
Catatan :
v
v
Untuk mengingat arah gaya F dapat digunakan salah
satu
dari
dua
cara
berikut
,
Arah
F
searah
v
v
dengan pergerakan sekrup yang diputar dari v ke B dan Kaidah tangan kanan, yaitu jika tangan
v
v
v
kanan dikepalkan sehingga jari-jarinya mengikuti putaran dari v ke B maka arah F searah dengan
ibu jari.
Contoh 1
Sebuah medan magnet uniform yang mengarah secara horisontal dari selatan ke utara besarnya
adalah 1,5 T. Jika sebuah proton yang energinya 5 MeV bergerak dalam arah vertikal menuju ke
bawah melewati medan ini, berapakah gaya yang bekerja pada proton tersebut ? (Massa proton = 1,7
x 10-27 kg, muatan proton = 1,6 x 10-19 C)
Jawab
Energi kinetik proton
K =(5 x 106 eV)(1,6 x 10-19 J/eV) = 8 x 10-13 J
Dari hubungan K = ½mv2 didapat kecepatan proton
v=
2K
=
m
(2)(8 x 10 -13 )
= 3,1 x 10 7 m/s
(1,7 x 10 -27 kg)
Sehingga besarnya gaya yang bekerja pada proton
3
F = qvB sin θ
= (1,6 x 10-19)(3,1 x 107)(1,5)(sin 90)
= 7,4 x 10-12 N
v
v v
Dari hubungan F = qv x B didapatkan bahwa arah gayanya adalah ke timur.
Contoh 2
) )
v
Sebuah partikel bermuatan q = -2e masuk dengan kecepatan v = 10 8 (i + j ) m/s ke dalam medan
)
magnet B = i 0,5 T . Tentukan gaya yang bekerja pada muatan tersebut.
Jawab
v
) )
)
v v
F = qv x B = (2e) (10 8 (i + j )) x (i 0,5)
) ) ) )
= −e10 8 (i x i + i x j )
)
= −e10 8 (0 + (−k ))
)
= e10 8 k N
Jadi gaya yang bekerja adalah e108 N dengan arah sejajar sumbu z.
20.3
Gaya Magnet
Selain di ruang bebas, kawat yang dialiri arus berisi muatan yang bergerak. Sehingga bila
kawat berarus tersebut diletakkan dalam medan magnet akan mendapat gaya. Tinjau kawat berarus
yang diletakkan dalam medan magnet seperti pada Gambar 15. 2.. Jika muatan dq mengalir melalui
suatu penampang dalam waktu dt maka dalam kawat mengalir arus
i = dq/dt
(15.3)
Gaya yang bekerja
v
v v
dF = dq v x B
(15.4)
4
Gambar 15.2 Medn magnet pada kawat lurus
v
v
Dari persamaan (15.3) dan (15.4) serta dari hubungan v dt = dl didapat
v v
v
dF = i dl x B
(15.5)
v
v
v
Arah gaya searah perpindahan sekrup bila diputar dari idl ke B . Bila kawat lurus, B tetap
v
v
dan homogen, serta sudut antara dl dan B tetap, maka persamaan (5) dapat ditulis
v v
v
F =i l xB
F = i l B sin θ
(15.6)
(15.7)
Contoh 3
Suatu kawat panjang dialiri arus 2 A. Kawat terletak sejajar sumbu y dan arus mengalir ke searah
sumbu y negatif seperti tampak pada Gambar 3. Kawat
berada dalam medan magnet 3 T dan
v
membuat sudut 30° dengan y positif (misalkan arah B pada bidang yz). Bila medan magnet hanya
berpengaruh pada kawat sepanjang 20 cm, hitunglah gaya pada kawat.
Jawab
Karena kawat lurus dan medan magnet serba sama, maka besar gaya
F = i l B sin θ
= (2)(0,2)(3)(sin 150°) = 0,6 N
5
v
v
Arah gaya searah perpindahan sekrup jika diputar dari idl ke B , yaitu pada arah sumbu x positif.
v
)
atau
F = + i 0,6 N
Contoh 4
Sebuah kawat dibengkokkan seperti terlihat pada
v Gambar 4. Kawat tersebut mengangkut arus i dan
ditempatkan dalam medan magnet uniform B yang muncul keluar bidang gambar. Hitunglah gaya
yang bekerja pada kawat.
Jawab
Gaya pada setiap bagian yang lurus
F1 = F3 = ilB
dan menuju ke bawah seperti diperlihatkan pada gambar
Gaya dF pada segmen kawat yang melengkung sepanjang dl
dF = iB dl = iB (R dθ)
dan arahnya dalam arah radial menuju pusat busur O. Hanya komponen gaya vertikal saja yang
efektif, sedangkan komponen horisontal ditiadakan oleh gaya yang sama oleh segmen busur pada sisi
lain dari O. Jadi besar gaya total pada setengah lingkaran di sekitar O adalah
π
π
π
0
0
0
F2 = ∫ dF sin θ = ∫ (iBR dθ ) sin θ = iBR ∫ sin θ dθ = 2iBR
Karena ketiga gaya ini searah maka besar gaya resultan seluruh kawat
F = F1 + F2 + F3 = 2ilB + 2iBR = 2iB(l +R)
Perhatikan bahwa gaya ini sama dengan gaya yang bekerja pada sebuah kawat lurus yang
panjangnya 2l + 2R.
Selanjutnya kita akan meninjau sebuah loop kawat (lilitan kawat) yang berputar pada sumbu S
seperti ditunjukkan pada Gambar 5. (Gambar 5(b) menunjukkan tampak samping)
6
Gambar 15.3 Medan Magnet pada kumparan
v
Di sini sumbu S dianggap tegak lurus B . Gaya yang menimbulkan momen gaya untuk
v
v
v
v
memutar loop adalah Fab dan Fcd . Karena idl pada a-b dan c-d tegak lurus B maka
v
v
Fab = Fcd = i l1 B
(15.8)
τ = Fcd l 2 sin θ
(15.9)
Besar momen gaya adalah
Dari persamaan (15.7) dan (15.8) dengan A adalah luas loop didapat
τ = (i l1 B) l 2 sin θ = i A B sin θ
(15.10)
.Arah momen gaya adalah dari a ke b. Dengan menggunakan perkalian vektor persamaan
(15.10) dapat ditulis
v
v
v
τ = iA x B
(15.11)
v
dengan A adalah vektor luas loop yang arahnya normal sesuai dengan perpindahan sekrup
yang diputar menurut arah arus dalam loop. Persamaan (15.11) berlaku umum tidak peduli bentuk
v
loop. Besaran iA disebut momen dipol magnet dan ditulis
v
v
m = iA
(15.12)
Sehingga persamaan (15.11) dapat ditulis
v
v
v
τ =mxB
(15.13)
7
Persamaan (15.13) juga berlaku untuk sebatang magnet permanen seperti misalnya jarum
kompas di dalam medan magnet. Gambar 15.4 menunjukkan batang magnet yang digantung dengan
tali.
Gambar 15.4 Magnet digantungkan pada sebuah tali
v
v
Jika magnet dilepaskan, magnet akan berputar membuat m sejajar dengan B . Selanjutnya
v
kutub U akan melewati arah B membuat sudut θ negatif. Pada keadaan ini momen dipol akan
v
mengarah ke bawah, yang menyebabkan batang magnet akan diputar kembali ke arah B . Demikian
v
seterusnya sehingga terjadilah osilasi teredam di sekitar arah B .
Contoh 5
Suatu kumparan dipasang vertikal dengan tali tegang seperti tampak pada Gambar 6. Ukuran
kumparan adalah l1 = 10 cm dan l2 = 20 cm. Kumparan berada dalam medan magnet sebesar 0,05 T
dalam arah sumbu x positif. Kumparan yang terdiri dari 20 lilitan dialiriv arus sebesar 10 A. Hitung :
Momen dipol magnet, Momen gaya pada loop
v jika bidang loop sejajar B , Momen gaya pada loop jika
bidang loop membuat sudut 60° terhadap B .
Jawab
Bila ada N lilitan maka momen dipolnya m = N i A = (20)(10)(10 x 20 x 10-4) = 4 A m2
v
v
Jika bidang loop searah B maka normal bidang loop tegak lurus B sehingga θ = 90°. Besar momen
dipol τ = mB sin θ = (4)(0,05)(sin 90°) = 0,2 Nm
v
Jika bidang kumparan bersudut 60° terhadap B , maka sudut antara m dan B sama dengan 30°. Jadi
τ = mB sin θ = (4)(0,05)(sin 30°) = 0,1 Nm
Contoh 6
Sebuah magnet batang sepanjang 20 cm berada dalam medan magnet 0,5 T. Magnet batang
dipasang tegak lurus dengan arah medan magnet dan dapat berputar pada sumbu S yang tegak lurus
bidang gambar. Ini dilukiskan pada Gambar 7. Untuk mempertahankan magnet pada posisi ini, kutub
U harus diberi gaya F0 = 0,5 N. Hitunglah momen dipol magnet batang ini.
8
Jawab
Momen gaya oleh medan magnet τ = mB sin θ di mana θ = 90°
Momen gaya oleh F0 adalah τ0 =(F0)(l/2)
Agar seimbang maka kedua momen gaya ini harus sama, yaitu
τ = τ0
mB = (F0)(l/2)
m=
20.4
F0 l (0,5)(0,2)
= 0,1 A m2
=
2B
(2)(0,5)
Hukum Ampere
v
Dengan hukum Biot-Savart kita dapat menghitung B yang dihasilkan oleh arus listrik, tetapi
perhitungannya sering sulit dilakukan dan membutuhkan banyak tenaga. Untuk bentuk-bentuk tertentu
akan lebih mudah dengan menggunakan hukum Ampere, yaitu
v v
B
∫ dl = μ 0 i (15.14)
C
Hukum Ampere di atas berlaku umum tidak peduli bentuk kawat yang dialiri arus ataupun
bentuk lengkungan integrasi C. Baik hukum Biot-Savart maupun hukum Ampere diperoleh dari dua
eksperimen terpisah. Dalam teori listrik magnet, hukum Ampere yang bentuknya diubah dalam bentuk
diferensial, merupakan bagian dari persamaan Maxwell yang merupakan hukum dasar elektromagnet.
Kita akan menerapkan hukum Ampere di atas untuk beberapa bentuk simetri kawat berarus
yaitu (a) Sebuah kawat panjang, (b) Dua kawat sejajar, (c) Solenoida dan (d) Toroida.
(a) Sebuah kawat panjang
Misalkan untuk suatu lengkungan tertutup C yang mengelilingi suatu kawat lurus panjang
berarus i (Gambar 15.7).
9
Gambar 15.7 Medan magnet pada kawat panjang
v
Pertimbangan simetri menganjurkan bahwa arah B adalah menyinggung lingkaran berjari-jari
R yang berpusat pada kawat dan berputar menurut arah putar sekrup agar berpindah ke arah arus.
Ternyata garis induksi yang dihasilkan berbentuk lingkaran sepusat sehingga persamaan (16) menjadi
B (2πR) = μ0i
atau
B=
μ0i
2πR
(15.15)
yang sama dengan yang diperoleh dari perhitungan menggunakan hukum Biot-Savart.
v
v
Perhatikan di sini bahwa integral ∫ dl = ∫ dl = 2πR
C
lingkaran
adalah merupakan keliling lingkaran yang berjari-jari R.
(b) Dua kawat sejajar
Gambar 15.8 memperlihatkan dua kawat sejajar yang panjang dan terpisah sejauh d satu sama
lain. Kedua kawat mengangkut arus masing-masing ia dan ib.
Gambar 15.8 Medan pada kawat sejajar
v
Kawat a akan menghasilkan sebuah medan magnet Ba pada semua titik yang berada di
v
sekitarnya, termasuk di kawat b. Besarnya Ba di kawat b
10
Ba =
μ 0 ia
2πd
(15.16)
v
Kaidah tangan kanan memperlihatkan bahwa arah Ba pada kawat b adalah ke bawah seperti
terlihat pada gambar di atas. Kawat b yang dialiri arus ib, dengan demikian berada dalam medan
v
magnet luar Ba . Kawat b dengan panjang kawat l ini akan mendapat gaya magnet yang mengarah ke
kawat a yang besarnya
Fb = ib lBa =
μ 0 lib ia
2πd
(15.17)
Hal yang sama akan didapat jika ditinjau dari kawat b, yaitu didapatkan bahwa gaya yang
bekerja pada kawat a oleh kawat b besarnya sama tapi arahnya berlawanan. Jadi untuk kasus di atas
kedua kawat tersebut akan saling tarik menarik.
Contoh 9
Sebuah kawat panjang yang ditopang secara kuat mengangkut arus ia sebesar 100 A. Sejajar dengan
kawat tersebut, tepat di atasnya, terdapat kawat halus yang beratnya 0,073 N/m dan mengangkut
arus ib sebesar 20 A. Berapa jauhkah kawat b tersebut direntangkan di atas kawat a agar kawat b
tertopang dengan gaya tolak magnet.
Jawab
Untuk menyediakan gaya tolakan maka kedua arus haruslah menunjuk arah yang berlawanan. Untuk
kesetimbangan maka gaya magnet persatuan panjang harus menyamai berat persatuan panjang.
W F μ 0 ib i a
= =
l
l
2πd
d=
μ 0 ib i a
(4π x 10 -7 )(20)(100)
=
= 5,5 x 10 -3 m = 5,5 mm
2π (W / l )
2π (0,073)
Contoh 10
Dua buah kawat sejajar yang berjarak d satu sama lain mengangkut arus yang sama besarnya tapi
berlawanan arah. Carilah medan magnet pada titik di antara kedua kawat yang berjarak x dari salah
satu kawat.
Jawab
Perhatikan Gambar di bawah ini.
11
Misalkan arus yang mengalir pada kedua kawat masing-masing adalah ia dan ib. Maka
v
v
baik Ba yang ditimbulkan arus ia dan Bb yang ditimbulkan arus ib menunjuk ke arah yang sama di P,
sehingga
B = B a + Bb =
μ0i ⎛ 1
1 ⎞
⎜ +
⎟
2π ⎝ x d − x ⎠
(c) Solenoida
Solenoida adalah sebuah kawat panjang yang dililitkan berbentuk heliks (Gambar 14).
Gambar 14
Untuk sebuah solenoida yang mempunyai N lilitan dan panjang l yang dialiri arus i, didapatkan bahwa
induksi magnet di dalam solenoida adalah
B=
μ 0 Ni
(20)
l
Contoh 10
Sebuah solenoida mempunyai panjang 0,5 m dan diameter 3 cm. Solenoida tersebut mempunyai lima
lapisan lilitan yang masing-masing terdiri dari 850 lilitan dan mengangkut arus sebesar 5 A. Hitunglah
B di pusat solenoida dan fluks magnet untuk sebuah penampang solenoida pada pusatnya.
Jawab
Medan B di pusat solenoida
B=
μ 0 Ni
l
=
(4π x 10 -7 )(5 x 850)(5)
= 1,3 x 10 -2 T = 1,3 x 10 -2 Wb/m 2
0,5
12
v
Sampai keadaan di mana medan B konstan, maka fluks didapat dari
v v
Φ = ∫ B.dS = BA
C
dengan A adalah luas penampang efektif dari solenoida
Jadi fluks magnet di pusat solenoida
Φ = BA = (1,3 x 10-2)((1/4)(3,14)(3 x 10-2)2) = 9,2 x 10-6 Wb
(d) Toroida
Toroida adalah sebuah solenoida yang yang dibengkokkan dalam bentuk lingkaran (Gambar 15).
Gambar 15
Induksi magnet di dalam toroida yang mempunyai N lilitan dan dialiri arus i,
B=
20.5
μ 0 Ni
2πr
(21)
Efek Hall
Gaya yang diberikan oleh medan magnetik kepada kawat yang berarus dipindahkan ke kawat
oleh gaya yang mengikat elektron pada kawat di permukaannya. Pembawa muatan juga mengalami
gaya magnetik ketika kawat yang sedang menyalurkan arus berada dalam medan magnet luar,
pembawa muatan dipercepat ke arah salah satu sisi kawat. Hal ini menghasilkan pemisahan muatan
dalam kawat yang disebut dengan efek Hall.
13
Gambar Efek Hall
20.6
Quis 20
v
1. Sebuah elektron dengan kecepatan v = 2 x 10 6 iˆ + 3 x 10 6 ˆj m/s, memasuki medan magnet
v
B = 0,03 iˆ − 0,15 ˆj T. Hitung besar dan arah gaya magnet yang bekerja pada elektron tersebut !
2. Sebuah kawat penghantar yang mengangkut arus i dibuat seperti pada gambar di bawah.
Segmen yang melengkung adalah bagian dari lingkaran yang berjari-jari a dan b. Segmen yang
v
lurus berada sepanjang jari-jari Carilah medan magnet B di titik P.
i
θb
i
P
3. Sebuah solenoida yang terdiri dari 200 lilitan mempunyai panjang 25 cm dan diameter dalam 10
cm dan mengangkut arus sebesar 0,3 A. (μ0 = 4π x 10-7 T.m/A).
a. Berapa besar medan magnet B pada pusat solenoida ?
b. Berapa fluks magnetik ΦB untuk sebuah penampang solenoida pada pusatnya ?
14