Kajian mengenai Konstruksi Aljabar Simetris Kiri Menggunakan

Kajian mengenai Konstruksi Aljabar Simetris Kiri Menggunakan Fungsi Linier
Sofwah Ahmad
Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424
[email protected]
Abstrak
Aljabar merupakan suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu operator bilinier, yaitu suatu operator yang linier pada
masing-masing argumennya. Suatu aljabar dikatakan sebagai aljabar simetris kiri jika asosiator dari sembarang ketiga
vektornya simetrik pada kedua argumen pertamanya. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai konstruksi aljabar simetris kiri
melalui fungsi linier. Pertama-tama akan dibahas mengenai konstruksi aljabar secara umum dimana pendefinisian operator
bilinier pada aljabar akan melibatkan fungsi-fungsi linier. Selanjutnya akan diberikan syarat bagi fungsi linier tersebut
sedemikian sehingga aljabar yang telah dikonstruksi merupakan suatu aljabar simetris kiri.
Kata Kunci
: aljabar, aljabar simetris kiri, fungsi linier, operator bilinier
1. PENDAHULUAN
masalah yang sering muncul ialah bagaimana cara
mengkonstruksi aljabar simetris kiri tertentu untuk
Secara umum aljabar dikenal sebagai suatu
kemudian
dipelajari
sifat-sifatnya.
Untuk
himpunan yang dilengkapi dengan operasi-operasi
mempermudah, aljabar simetris kiri akan dikonstruksi
yang didefinisikan pada himpunan tersebut dan sesuai
dengan menghilangkan struktur yang tidak linier.
dengan aturan-aturan tertentu (Webster's II New
Salah satu caranya ialah dengan melibatkan hanya
College Dictionary, 1999). Akan tetapi, ada juga yang
fungsi-fungsi linier pada pendefinisian operator
mendefinisikan aljabar sebagai suatu ruang vektor
bilinier pada aljabar. Dalam makalah ini akan
atas suatu lapangan yang dilengkapi dengan operator
dipelajari bagaimana cara mengkonstruksi aljabar
bilinier dan memenuhi sifat-sifat tertentu. Definisi
simetris kiri melalui fungsi linier.
aljabar inilah yang selanjutnya akan digunakan dalam
skripsi ini.
Karena aljabar adalah suatu ruang vektor dengan
2. METODE PENELITIAN
operasi bilinier, pembahasan aljabar tak luput dari
istilah-istilah yang digunakan saat mempelajari ruang
vektor contohnya seperti basis, transformasi linier,
subruang, dan direct sum. Salah satu contoh aljabar
Metode penelitian yang digunakan ialah studi
literatur mengenai aljabar linier, fungsional linier,
aljabar, Aljabar Lie dan aljabar simetris kiri.
yang cukup dikenal ialah aljabar simetris kiri. Aljabar
simetris kiri ialah aljabar yang asosiator dari
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
sembarang ketiga vektornya simetris pada kedua
argumen pertamanya. Secara umum aljabar simetris
Dalam makalah ini akan dibahas mengenai
kiri merupakan kelas dari aljabar yang nonasosiatif
konstruksi aljabar simetris kiri. Namun sebelum
yang muncul dari beberapa studi, salah satunya studi
membahas cara mengkonstruksi aljabar simetris kiri
mengenai Aljabar Lie. Seringkali pendefinisian
berikut akan diberikan definisi dari aljabar simetris
aljabar simetris kiri melibatkan struktur yang tidak
kiri. Sebagian besar definisi dan teorema yang
linier. Dikarenakan nonasosiatif dan bentuknya yang
digunakan dalam makalah ini mengacu pada Bai
secara umum tidak linier, mempelajari aljabar simetris
(2004).
kiri tidaklah mudah (Bai, 2004). Oleh karena itu,
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012
Definisi 3.1 Suatu aljabar A dikatakan aljabar simetris
∈ A, asosiator
kiri jika untuk sembarang
fungsi yang hanya bergantung pada
atau
bukan
merupakan fungsi yang hanya bergantung pada
dan
berakhir pada kontradiksi.
simetrik pada
, yaitu:
Andaikan untuk
,
bergantung pada
atau ekivalen dengan
(Bai, 2004).
masing-masing
dan . Perhatikan bahwa untuk
∈
sembarang
dan
berlaku
Karena
merupakan operator bilinier maka untuk
setiap
∈
∈ , berlaku
dan
sehingga
Misalkan
dan
Karena
merupakan suatu aljabar berdimensi
merupakan operator bilinier pada
merupakan operator bilinier pada
.
maka
.
Persamaan di atas hanya berlaku jika
untuk sembarang dua buah vektor di , produk kedua
vektor juga merupakan anggota dari
sehingga
produk kedua vektor tersebut dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut.
Perhatikan bahwa skalar-skalar pada kombinasi linier
tersebut merupakan anggota lapangan, sehingga
atau
atau
dengan
atau
. Hal ini kontradiksi
dan pemilihan
dan
yang
sembarang. Bukti untuk kasus lainnya similar
sehingga haruslah Maka
dan
hanya bergantung pada
hanya bergantung pada .
skalar-skalar tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil
Dari lema di atas terlihat bahwa untuk
peta dari fungsi yang bergantung pada kedua vektor
yang
bersangkutan.
sembarang
Ini
berarti
∈ , produk
bahwa
untuk
dapat dinyatakan
∈ , produk
sembarang
dapat dinyatakan
sebagai
(3.2)
sebagai
dimana
(3.1)
merupakan fungsi linier. Setelah
mendapatkan representasi dari produk sembarang dua
buah vektor pada aljabar
dimana
merupakan fungsi bilinier.
Karena
merupakan operasi bilinier dan
merupakan
fungsi
bilinier
melalui fungsi linier, maka
selanjutnya, melalui Teorema 3.2 berikut akan
didefinisikan
kriteria
mendefinisikan
fungsi
linier
yang
akan
sebagai aljabar simetris kiri.
mengakibatkan adanya evaluasi daerah definisi pada
dan
seperti yang akan dijelaskan pada lema di
Teorema 3.3 Misalkan A adalah ruang vektor
berdimensi
bawah ini
,
merupakan dua buah
fungsi linier. Untuk setiap
∈ , produk
Lema 3.2 Misalkan A merupakan aljabar dengan
operator bilinier . Misalkan pula untuk sembarang
∈ , produk
dengan
dan
dapat dinyatakan sebagai
. Maka
hanya bergantung pada
jika
atau
. Lebih jauh lagi, saat
atau
, Persamaan
Bukti. Pembuktian akan dilakukan dengan pemilihan
mendefinisikan suatu
aljabar yang asosiatif. (Bai, 2004).
Bukti. Perhatikan asosiator
hanya bergantung pada .
kasus-kasus yang mengandaikan
mendefinisikan aljabar simetris kiri jika dan hanya
terlebih dahulu
bukan merupakan
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012
dan
[
]
[
]
[
]
Karena
[
maka untuk setiap
berlaku
]
sehingga terbukti bahwa
atau
[
.
]
[
Berdasarkan teorema di atas, terlihat bahwa
]
atau
merupakan syarat cukup dan syarat
perlu bagi
untuk dapat didefinisikan sebagai suatu
aljabar simetris kiri. Selanjutnya, pada Akibat 3.5 dan
Akibat 3.6 berikut akan dibahas sifat aljabar simetris
.
kiri yang telah diperoleh berdasarkan Teorema 3.3 di
.
Jika
atau
dari . Namun sebelumnya tinjau Lema berikut:
maka
∈ , atau dengan kata lain terbukti
untuk setiap
bahwa
atas dan isomorfisma dari Aljabar Lie Subadjacent
merupakan aljabar simetris kiri.
Sekarang tinggal dibuktikan jika
kiri maka
atau
Misalkan
aljabar simetris
, untuk setiap
untuk
lapangan bilangan kompleks berdimensi
. Atau secara ekivalen
akan ditunjukan
Lema 3.4 Misalkan A merupakan ruang vektor atas
sembarang
∈ .
merupakan fungsional linier tak nol maka
terdapat {
} basis dari
sehingga
dan
berlaku
.
atau dengan kata lain berlaku
Bukti. Karena
,
maka untuk
berlaku
linier dan
(
Jika
maka persamaan
⨁
.
terbukti
benar. Sekarang akan dibuktikan untuk
berlaku
∈ .
untuk setiap
Teorema Perluasan Basis, selalu dapat ditemukan
sedemikian sehingga {
dengan
}
merupakan himpunan vektor-vektor yang saling bebas
linier, sehingga untuk sembarang
(
∈ ,
.
dan {
. Perhatikan
untuk
}
} basis dari
dan
.
Pilih {
} sebagai basis
baru dari
sehingga
(
)
dan
dan
∈ ,
Karena untuk sembarang
( )
dapat
untuk
disimpulkan bahwa
sehingga
bahwa
bahwa
} merupakan basis dari
merupakan basis dari
)
mengakibatkan
∈
{ } subruang dari
Misalkan {
vektor yang bebas linier, sehingga berdasarkan
∈
dapat dinyatakan sebagai
dengan
dan
)
maka tanpa mengurangi keumuman misalkan {
maka { } merupakan himpunan
Misalkan
, maka
. Berdasarkan rank plus nullity theorem
, sehingga
)
sedemikian
untuk
diperoleh
(
. Jika
. Jelas
sehingga dapat disimpulkan
.
.
Akibat
3.5
berdimensi
Misalkan
merupakan
, dengan definisi produk
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012
aljabar
isomorfik dengan Aljabar Lie 2-step solvable
∈
untuk setiap
dimana
merupakan
dua buah fungsi linier. Didefinisikan
dan
∈ .
untuk setiap
Jika
maka terdapat suatu basis
} di
sedemikian sehingga
⟩. (3.3)
} merupakan basis dari
Jika
maka terdapat suatu basis
{
} di
Bukti. Misalkan
adjacent dari
pemetaan
.
Jika
merupakan Aljabar Lie Sub-
akan dibuktikan bahwa terdapat suatu
linier
bijektif
[
sedemikian
∈
sehingga untuk setiap
sedemikian sehingga
]
berlaku
[
]
Kasus 1.
.
3.
Dimana {
]
(Bai, 2004)
{
2.
[
⟨
,
Maka berlaku
1.
berikut :
maka A adalah aljabar
Pilih
trivial, yaitu aljabar yang seluruh produknya
∑
bernilai nol.
dimana {
(Bai, 2004)
∈ . Berikut akan
Bukti. Ambil sembarang
dibuktikan ketiga poin di atas satu persatu
1.
Karena
linier dan
basis dari
sedemikian sehingga
untuk
} merupakan basis dari
sedemikian
sehingga
{
} merupakan basis dari
maka
bahwa
}
dengan
berdasarkan Lema 3..4 terdapat {
[
dan
linier dan
∑
basis dari
dan
∑
∑
∑
,
3.
Jika
∈
∑
[
,
]
[
∑
]
[∑
∑
]
[
∑
]
[∑
∑
]
]
[
∑
∑
]
∑
∑
asosiatif berdimensi
, dengan definisi produk
untuk setiap
∈
dimana
[
]
[
] sehingga
isomorfik dengan
Kasus 2.
Pilih
dua fungsi linier. Aljabar Lie Subadjacent dari A dengan
,
atau
]
∑
.
dapat disimpulkan bahwa
merupakan aljabar yang
]
∑
Terbukti bahwa [
Akibat 3.6 Misalkan
∑
∑
∑
aljabar trivial.
∑
∑
[∑
merupakan
∈
]
berlaku
sehingga dapat disimpulkan bahwa
. Perhatikan
]
∑
[
maka untuk sembarang
dan
∑
[∑
, sehingga
untuk
3.5
berlaku
∑
}
sedemikian sehingga
∑
,
[∑
, maka
berdasarkan Akibat 2.2.4 terdapat {
Akibat
]
, sehingga
Karena
berlaku
bijektif sehingga untuk sembarang
∑
2.
∑
∑
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012
∑
.
dimana {
} merupakan basis dari
sedemikian
sehingga
{
} merupakan basis dari
bahwa
Akibat
3.5
dan
. Perhatikan
∑
∑
,
Sedangkan bukti
untuk arah sebaliknya
dapat
langsung diperoleh dengan mudah.
∈
bijektif sehingga untuk sembarang
dengan
[
berlaku
Perhatikan bahwa aljabar simetris kiri hasil
konstruksi pada Teorema 3.3, merupakan aljabar
berlaku
]
simetris kiri yang asosiatif padahal aljabar simetris
[∑
∑
∑
∑
∑
]
kiri secara umum merupakan anggota dari kelas
∑
∑
aljabar yang nonasosiatif. Oleh karena itu, untuk
∑
memperoleh aljabar simetris kiri yang nonasosiatif,
konstruksi
perlu
diperluas.
suatu vektor tertentu tak nol
,
[
atas
Perluasan
sederhana yang dapat dilakukan ialah menambahkan
)
∑
di
∈
sehingga untuk setiap
]
pada Persamaan (3.2)
.
[
Dimana
]
[
[
Sebelum membahas syarat perlu dan syarat
]
]
merupakan fungsi bilinier tak
nol.
]
[
(3.4)
cukup agar aljabar
]
[
[
]
dengan definisi produk seperti
yang tertera pada Persamaan (3.4) merupakan aljabar
simetris kiri, terlebih dahulu akan dibahas beberapa
∑
lema yang dapat menjadi alat bantu untuk membahas
∑
∑
syarat perlu dan syarat cukup tersebut.
.
Terbukti bahwa
merupakan pemetaan
Lema 3.8 Misalkan
homomorfisma.
Karena telah terbukti bahwa terdapat isomorfisma
antara
dengan
dengan
.
maka
lapangan bilangan kompleks berdimensi
} merupakan basis dari
∈{
terdapat
adalah aljabar dengan
dan
merupakan fungsi bilinier. Jika
dikatakan isomorfis
dan {
Teorema 3.7 Misalkan
merupakan ruang vektor atas
(
)
}
sedemikian
maka
sehingga
.
operasi bilinier [ ] yang didefinisikan sebagai
Bukti. Pembuktian lema ini akan menggunakan
berikut
kontradiksi.
[
Maka
merupakan Aljabar Lie jika dan hanya jika
untuk setiap
∈
(
)
. Ambil sembarang
∑
berlaku
(Bai, 2004).
Bukti.
Misalkan
∑
dan
∑
∑
∑
∑
]
Aljabar
Lie,
maka
, untuk sembarang
} berlaku
∈
dengan
, maka
(
karena untuk sembarang
merupakan
berdasarkan sifat [
∈{
Andaikan untuk setiap
]
)
(
)
∈
berlaku
maka dapat disimpulkan bahwa
. Hal ini
kontradiksi dengan premis yang menyatakan
diperoleh
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012
sehingga
haruslah
∈{
terdapat
sedemikian sehingga (
)
}
,
, sehingga
.
dengan
Lema 3.9 Misalkan
berdimensi
.
merupakan ruang vektor
,
merupakan dua buah
fungsi linier dan
merupakan fungsi
Lema
3.10
Misalkan
merupakan
berdimensi
, dengan definisi produk
untuk setiap
∈
aljabar
bilinier yang simetris
1. Jika
untuk
atau
sedemikian
berlaku
maka
atau
dan terdapat
∈ ,
sehingga
untuk
∈
sembarang
atau
basis {
. Jika
merupakan aljabar simetris kiri
∈
} di
sedemikian sehingga
untuk
setiap
)
untuk
.
,
,
∈ ;
,
.
.
Bukti. Pembuktian akan dilakukan dengan
maka
berdasarkan Akibat 3.4 terdapat {
}
basis dari
,
sedemikian sehingga
untuk
∈
∈
untuk suatu
berlaku
berlaku
[
]
[
]
[
,
untuk
bukan merupakan aljabar
simetris kiri. Atau dengan kata lain akan ditunjukan
. Karena untuk
maka diperoleh
]
[
]
. Hal ini mengakibatkan untuk
sembarang
∈
dan
∈
∈
sedemikian sehingga Persamaan (3.5) atau (3.6) atau
(3.7) tidak berlaku maka
linier dan
berlaku
.
Perhatikan bahwa jika
dengan
2.
Karena
merupakan
fungsi linier tak nol maka
.
⨁
maka berdasarkan Akibat 3.4
terdapat {
} basis dari
sehingga
dan
untuk
. Karena untuk setiap
∈
sedemikian
berlaku
atau
Kasus 1.Misalkan
⨁
dengan
{ }.
merupakan dua buah
fungsi linier sedemikian sehingga
∈ . Perhatikan bahwa
dan
∈ . Misalkan {
}
untuk suatu
dan berdasarkan Lema 3.8 dapat diperoleh
)
dapat dinyatakan sebagai
{ } dan
untuk suatu
dan (
(3.6)
(3.7)
kontrapositif, yaitu jika terdapat suatu
Bukti.
Karena
(3.5)
atau
dan terdapat suatu
dan (
berlaku
berlaku
,
,
setiap
dengan
maka untuk setiap
untuk
merupakan
merupakan fungsi bilinier simetrik
,
maka
1.
dimana
dua buah fungsi linier dan
∈ .
setiap
2. Jika
∈
sembarang
untuk
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012
dengan { } merupakan basis
merupakan basis di
2.
dan { } merupakan basis bagi .
bagi
∈
Pilih
∑
dengan
, dengan
{
dan
,
,
,
,
sehingga
terdapat
dan
}
di
sedemikian
(
)
∑
dan
[
]
dimana
]
sedemikian
sehingga
,
∑
dan
]
dimana
5.
[
]
[
]
]
∈
.
6.
[
.
untuk setiap
dan
[
[
∈ .
dan
} di
[
]
.
∈ ,
dan terdapat
suatu basis {
[
sehingga
untuk setiap
4.
]
basis
,
3.
[
suatu
,
∈ , dan
untuk setiap
terdapat
∈ ,
{
} di
]
dan
suatu
basis
sedemikian sehingga
,
,
[
.
]
Jika koefisien dari
7.
dan
pada persamaan di atas sama
sedemikian
dengan nol maka persamaan diatas menjadi
[
Namun, jika koefisien dari
]
maka karena
,
∈ .
untuk setiap
,
dan c saling bebas linier persamaan di
8. (Bai, 2004)
Bukti. Pertama akan dibuktikan jika
Berdasarkan
Lema
3.10,
Lema 3.9 dan Persamaan (3.5) maka
atau
Bukti untuk kasus lainnya similar.
dan terdapat
sedemikian sehingga
berdimensi
diperoleh
Persamaan (3.5), (3.6), (3.7). Kemudian berdasarkan
]
.
Teorema 3.11 Misalkan
merupakan
aljabar simetris kiri maka salah satu dari 7 kondisi
dipenuhi.
atas menjadi
[
sehingga
.
pada persamaan di atas
sama dengan suatu konstanta tak nol, sebut saja
∈ ,
terdapat
merupakan aljabar
atau
∈ ,
, untuk setiap
∈ .
Kasus 1. Jika
, dengan definisi produk
Maka berdasarkan Persamaan (3.6), untuk setiap
untuk
setiap
∈
∈
dimana
diperoleh
merupakan dua buah fungsi linier dan
merupakan fungsi bilinier simetrik dengan
Maka
.
merupakan aljabar simetris kiri jika dan
hanya jika salah satu dari 7 kondisi berikut dipenuhi :
1.
untuk setiap
karena
tetap maka dapat dimisalkan
untuk setiap
∈
sehingga persamaan di atas
berubah menjadi
∈ .
Berdasarkan Lema 3.9 bagian 2 maka
atau terdapat suatu basis {
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012
atau
} di
sedemikian sehingga
, untuk setiap
,
∈ ;
. Perhatikan bahwa
,
Karena
atau ekuivalen dengan
maka kemungkinan yang ada
ialah
1.
.
Dengan
Jika
∈
maka untuk setiap
atau
berlaku
}
untuk
∈ ;
setiap
)
Pilih
Pada
,
kasus
ini
untuk setiap
)
(
)
Berdasarkan Lema 3.9 bagian 2 maka
atau terdapat suatu basis {
atau
Kasus 2. Jika
)
maka persamaan di atas menjadi
(
dengan
. (Kondisi 2 pada teorema dipenuhi).
(
Dengan memisalkan
∈
,
.
Pada kasus ini Persamaan (3.6) menjadi
(
sedemikian sehingga
∑
(Kondisi 4 pada teorema dipenuhi).
Kasus 3. Jika
dan terdapat suatu basis {
di
.
.
(Kondisi 1 pada teorema dipenuhi).
2.
∑
untuk
.
} di
sedemikian sehingga
Persamaan
(3.6)
menjadi
untuk setiap
∈ ;
,
Karena
maka
kemungkinan yang ada ialah
(
)
1.
(
)
Jika
untuk setiap
Dengan memisalkan
∈
.
, maka untuk setiap
berlaku (
∈
atau
maka persamaan di atas menjadi
(
)
(
)
Perhatikan bahwa berdasarkan asumsi
dan
dan Persamaan (3.7) diperoleh
.
Berdasarkan Lema 3.9 bagian 2 maka
atau terdapat suatu basis {
atau
sedemikian sehingga
untuk setiap
∈ ;
(Kondisi 5 pada teorema dipenuhi).
maka
2.
dan
{
.
Jika
, maka untuk setiap
(
atau
}
di
di
terdapat
suatu
sedemikian
basis
sehingga
untuk setiap
,
.
Pilih
(Kondisi 3 pada teorema dipenuhi).
dan
}
∈ ,
.
{
,
,
kemungkinan yang ada ialah
2.
∈ ,
maka
,
Karena
1.
Karena untuk setiap
} di
terdapat
suatu
sedemikian
basis
∑
dengan
Perhatikan bahwa
sehingga
untuk setiap
∈ ;
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012
∈ ;
atau
Misalkan
(Kondisi 7 pada teorema dipenuhi).
, sehingga
Pembuktian untuk arah sebaliknya dapat langsung
diperoleh dengan mensubstitusikan ketujuh kondisi
sedemikian sehingga
.
Secara umum aljabar simetris kiri tergolong
dalam kelas aljabar yang nonasosiatif. Namun akibat
Berdasarkan asumsi
dan
(3.7) diperoleh
dan Persamaan
berikut akan menunjukan bahwa terdapat kondisi
, sehingga dari persamaan di
dimana suatu aljabar simetris kiri akan asosiatif.
diperoleh
Selain itu akibat berikut juga akan memberikan
atas
kondisi dimana aljabar simetris kiri akan komutatif..
atau
.
Jika
maka
atau secara umum
untuk setiap
merupakan aljabar simetris
kiri yang didefinisikan pada Teorema 3.11. Maka
∈ .
pernyataan berikut ekivalen
(Kondisi 6 pada teorema dipenuhi).
Jika
Akibat 3.12 Misalkan
a.
∈
maka untuk setiap
merupakan
aljabar
simetris
kiri
yang
komutatif dan asosiatif.
b.
Aljabar Lie Subadjacent dari
abelian.
c.
Kondisi (1), (2), (7) dengan
pada
Teorema 3.11 dipenuhi.
Atau dengan kata lain
dengan pemisalan
. Hal ini kontradiksi
, sehingga kasus ini tidak
(Bai, 2004)
Bukti. Pola pembuktian pada akibat ini adalah
. Namun bukti untuk pola
mungkin terjadi.
,
Kasus 4. Jika
Berdasarkan Persamaan (3.5) dan Lema 3.9 bagian 1
untuk setiap
∈
terdapat
sehingga
dapat langsung diperoleh dengan
mudah. Sekarang tinjau bukti
.
∈ ,
sedemikian
. Berdasarkan Persamaan
∈
(3.7) maka untuk sembarang
berlaku
. Pembuktian
akan dilakukan secara kontrapositif yaitu, misalkan
kondisi (1) atau (2) atau (7) dengan
merupakan aljabar simetris kiri yang komutatif atau
merupakan aljabar simetris kiri dan
kasus (1) atau (2) atau (7) dengan
∈
berlaku
tidak
dipenuhi maka berdasarkan Teorema 3.11,
merupakan aljabar simetris kiri yang memenuhi
kondisi (3) atau (4) atau (5) atau (6) atau (7) dengan
.
Hal ini kontradiksi dengan asumsi
haruslah
untuk setiap
bukan
bukan merupakan aljabar simetris kiri yang asosiatif.
.
maka untuk sembarang
tidak
dipenuhi maka akan dibuktikan bahwa
Karena
Jika
,
sehingga
. Hal ini mengakibatkan untuk
∈
berlaku
Perhatikan bahwa jika
merupakan fungsi linier tak nol maka
dinyatakan sebagai
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012
⨁
dapat
atau
⨁
{ } dan
dengan
Akibat 3.14 Jika
{ }.
merupakan aljabar simetris kiri
yang memenuhi kondisi
Kasus 1. Misalkan kondisi (3) pada Teorema 3.8
untuk fungsi bilinier
dipenuhi, yaitu
terhadap
,
untuk
∈ . Ambil sembarang
setiap
∈
dengan
pada Teorema 3.11 maka
yang bersesuaian invariant
,
∈
berdasarkan Teorema Perluasan Basis terdapat
∈
yaitu untuk setiap
(
yang bebas linier dengan . Perhatikan bahwa
∈
sehingga
)
.
Akibat 3.15 Jika
merupakan aljabar simetris kiri
yang memenuhi kondisi
untuk fungsi bilinier
pada Teorema 3,11 maka
yang bersesuaian berlaku
.
Terbukti bahwa
bukan merupakan aljabar simetris
.
kiri yang komutatif.
Selanjutnya misalkan {
} merupakan basis
dengan { } merupakan basis bagi . Pilih
di
∈
dengan
∑
4. KESIMPULAN
dan
Dalam skripsi ini telah dipelajari bahwa untuk
, dengan
sehingga
[
mengkonstruksi aljabar simetris kiri, hal pertama yang
harus dilakukan ialah mengkonstruksi aljabar dengan
]
[
mendefinisikan operator bilinier pada ruang vektor.
Berdasarkan Lema 3.1, jika
]
aljabar dengan operator bilinier
[
]
[
merupakan suatu
sembarang
]
maka untuk
∈ , secara umum produk
dapat
dinyatakan sebagai
(3.2)
.
Terbukti bahwa
merupakan aljabar simetris kiri
dimana
merupakan fungsi linier tak nol.
Kemudian, Teorema 3.2 memberikan kriteria
yang nonasosiatif.
fungsi linier
Bukti untuk kasus lainnya similar.
dan
yang akan mendefinisikan
sebagai aljabar simetris kiri, yaitu
Pada Akibat 3.13 hingga 3.15 berikut akan
dibahas mengenai sifat- sifat khusus dari
sebagai
akibat dari aljabar simetris kiri yang diperoleh
berdasarkan hasil konstruksi pada Teorema 3.11.
atau
.
Namun pada Teorema 3.2 juga dijelaskan bahwa
aljabar simetris kiri yang didefinisikan melalui fungsi
linier
atau
merupakan aljabar simetris
kiri yang termasuk dalam kelas aljabar yang asosiatif,
merupakan aljabar simetris kiri
padahal aljabar simetris kiri secara umum merupakan
yang memenuhi kondisi (1), (2), (4), (6), (7) pada
anggota dari kelas aljabar yang nonasosiatif. Untuk
Teorema 3.11 maka untuk fungsi bilinier
itu, konstruksi di atas perlu diperluas.
Akibat 3.13 Jika
bersesuaian berlaku
yang
Perluasan sederhana yang dapat dilakukan untuk
memperoleh aljabar simetris kiri yang tergolong
(Bai, 2004).
dalam kelas aljabar yang nonasosiatif ialah dengan
memberikan definisi baru bagi operator bilinier
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012
,
yaitu dengan menambahkan suatu vektor tertentu tak
nol
pada Persamaan (3.2) sehingga untuk setiap
∈
berlaku
(3.4)
dengan
merupakan fungsi bilinier tak
nol. Kemudian, Teorema 3.8 memberikan kriteria
fungsi linier
dan
2.
3.
4.
5.
6.
Terima Kasih kepada Ibu Rahmi Rusin, S.Si, M.Sc.
Tech dan bapak Arie Wibowo, S.Si, M.Si yang telah
menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk
mengarahkan serta membimbing penulis hingga
akhirnya penelitian ini dapat terselesaikan
yang mendefinisikan
DAFTAR ACUAN
sebagai aljabar simetris kiri, yaitu
1.
UCAPAN TERIMA KASIH
∈ .
Webster's II New College Dictionary. (1999).
Houghton Mifflin Company.
dan
terdapat
suatu
basis
Bai, C. (2004). Left-Symmetric Algebras from Linear
Functions. Journal of Algebra 281, 651-665.
{
} di
sedemikian sehingga
Bai, C. (2011,Agustus 9). Lie Analogues of Loday
(
)
,
algebras and Successors of Operads.April
18,2012, 07:16 WIB.
Chern Institue of
∑
dimana
.
dan
Mathematics,
Nankai
University.
untuk setiap ∈ .
http://math.univlyon1.fr/~guiraud/or2011/trans
parents/ChengmingBai.pdf
dan terdapat
∈ ,
dan
Burde, D., & Dekimpe, K. (2006). Novikov Structures
} di
suatu basis {
sedemikian
on Solvable Lie Algebras. Journal of
Geometry and Physics, 1837-1855.
sehingga
Erdmann, K., & Wildon, M. J. (2006). Introduction to
Aljabar Lie. California : Springer.
,
Herstein, I.N (1999). Absract Algebra (3 ed.). John
∑
dimana
.
dan
Wiley & Sons, Inc.
untuk setiap ∈Jacob, B. (1990). Linear Algebra. W.H Freeman and
Company.
dan
.
Kreyszig, E. (1989). Introductory Functional Analysis
with Applications. John Wiley & Sons, Inc.
,
untuk setiap ∈ , dan
Roman, S. (2008). Advance Linear Algebra.
terdapat
∈ ,
dan suatu basis
California: Springer.
{
} di sedemikian sehingga
untuk setiap
,
,
.
7.
dan
sedemikian
terdapat
sehingga
untuk setiap
∈ ,
,
∈ .
Walaupun secara umum aljabar simetris kiri
hasil konstruksi pada Teorema 3.11 merupakan
aljabar
yang
nonasosiatif,
pada
Akibat
3.12
ditunjukkan bahwa terdapat kondisi dimana suatu
aljabar simetris kiri akan asosiatif, yaitu saat kondisi
(1), (2), atau (7) dengan
pada Teorema 3.11
dipenuhi. Selain asosiatif, jika kondisi (1), (2), atau
(7) dengan
pada Teorema 3.11 dipenuhi aljabar
simetris kiri hasil konstruksi juga merupakan aljabar
yang komutatif.
Kajian mengenai..., Sofwah Ahmad, FMIPA UI, 2012