bab i vektor gaya dan resultan sistem gaya

BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
BAB I
VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Pada bab ini, kita akan mempelajari pengaruh gaya-gaya yang bekerja pada
suatu partikel. Pemakaian kata “partikel” tidak berarti bahwa kita membatasi
pelajaran kita pada benda yang kecil. Yang dimaksud di sini adalah ukuran dan
bentuk benda yang ditinjau tidak banyak mempengaruhi penyelesaian masalah.
Gaya termasuk besaran vektor. Sehingga pada materi ini kita akan lebih sering
menggunakan istilah vektor sebagai pengganti besaran gaya. Karena gaya merupakan
besaran vektor, maka sebuah gaya akan ditentukan oleh besar dan arahnya.
Besarnya suatu gaya ditentukan oleh suatu satuan. Dalam SI, gaya
mempunyai satuan Newton(N), sedang sistem satuan Amerika menggunakan satuan
pound(lb). Arah gaya ditentukan dengan suatu tanda panah. Perjanjian tanda yang
lazim untuk menyatakan arah gaya dapat dilihat pada gambar 1.1.
Y(+)
X(+)
X(-)
Y(-)
Gambar 1.1. Perjanjian tanda arah gaya
A. GAYA PADA BIDANG DATAR
Dua buah vektor , seperti tampak pada gambar 1.2(a) dan (b), yang
mempunyai besar dan garis aksi yang sama tetapi arah berbeda, akan memberikan
efek yang berlawanan bila bereaksi pada sebuah benda.
1
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
30
30
(a)
(b)
Gambar 1.2. Vektor A dan bentuk negatifnya
Dua buah vektor P dan Q yang bekerja pada sebuah benda A (gambar 1.3(a)) dapat
digantikan dengan sebuah vektor tunggal R yang akan memberikan efek yang sama
pada benda tersebut (gambar 1.3(c)). Vektor ini disebut vektor resultan dari vektor P
dan Q.
P
P
R
R
Q
A
(a)
A
Q
(b)
A
(c)
Gambar 1.3. Resultan vektor
Dua buah vektor yang besar dan arahnya sama disebut kedua vektor itu sama,
tidak tergantung apakah keduanya mempunyai titik aksi yang sama atau berbeda
(gambar 1.4). Dua vektor yang besarnya sama, garis aksi sejajar tetapi berlawanan
arah disebut kedua tersebut berbeda (gambar 1.5).
2
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Gambar 1.4. Dua vektor yang sama
Gambar 1.5. Dua vektor yang berbeda
B. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN GAYA
Dua buah vektor gaya A dan B bekerja pada satu titik tangkap dan
membentuk sudut apit . Resultan atau jumlah kedua vektor tersebut dicari
menggunakan hukum jajaran genjang (gambar 1.6(a) dan (b)).
B

B
R

A
A
(a)
(b)
Gambar 1.6. Hukum Jajaran genjang
Besarnya resultan dapat dihitung menggunakan persamaan sebagai berikut :
R=
=
s
(1)
Dari hukum jajaran genjang, dapat diturunkan cara lain untuk menentukan
jumlah dua buah vektor gaya. Metode ini dikenal dengan hukum segitiga (gambar
1.7(a), (b), dan (c), gambar 1.8, dan gambar 1.9)
3
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
B
A
B
ATAU
A+B
A
(a)
A+B
B
A
(c)
(b)
Gambar 1.7. Hukum Segitiga
Gambar 1.8. Hukum Segitiga
Gambar 1.9. Hukum Segitiga
Pengurangan vektor gaya didefinisikan sebagai penjumlahan suatu vektor
yang sama dengan arah berlawanan. Gambar 1.10 memperlihatkan pengurangan dua
vektor A dan B.
B

-B

A
A-B
Gambar 1.10. Pengurangan vektor
4
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Besarnya A-B dihitung menggunakan persamaan berikut ini :
s
A-B =
(2)
Dimana  = 180 -  dan cos (180 - ) = - cos , sehingga persamaan 2 dapat diubah
menjadi :
s
A-B =
(3)
Rumus hukum segitiga yang sering digunakan dalam perhitungan adalah
sebagai berikut :
c


a
b
sin
sin
sin
b
a

Contoh 1.
Dua buah gaya P dan Q beraksi pada suatu paku
A. Tentukan resultannya.
5
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Penyelesaian :
R
Q = 60 N
P = 40 N
25
20
R= P
P
s
s
=
= 97.73 N
Contoh 2.
30
Sebuah tiang pancang ditarik dari tanah
dengan memakai dua tali seperti tampak
pada gambar.
a. tentukan besar gaya P sehingga gaya
resultan yang timbul pada tiang
mengarah vertikal.
b. Berapa besar resultan tersebut ?.
6
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Penyelesaian :
Karena resultan kedua gaya pada tiang
harus vertikal, maka gambar gaya di
samping dapat diubah seperti tampak
pada gambar berikut.
a. Dengan menggunakan persamaan hukum
segitiga diperoleh persamaan sebagai
berikut.
P
120

sin 25 sin 30
sehingga :
P = 120 x
b.
Contoh 3.
sin 25
= 101,43 N
sin 30
120
R

sin 30 sin 125
Tentukan dengan trigonometri besar dan arah
resultan duaR gaya
seperti
tampak pada gambar
= 196,6
N
di samping.
7
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Penyelesaian :
R=
45
25
200 2  300 2  2  200  300  cos 70
= 413,57 lb
300 lb
200 lb
R
45

a
R
300 lb
Untuk menghitung arah
digunakan hukum segitiga.
resultan
gaya
110
25
200 lb
200 413,57

sin a sin 110
diperoleh a = 27 
sehingga arah resultan gaya  = 45 + 27
= 72
8
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Contoh 4.
Sebuah mobil mogok ditarik dengan dua tali
seperti tampak pada gambar. Tegangan di
AB sebesar 400 lb dan sudut  sebesar 20.
Diketahui resultan dari dua gaya tersebut
bekerja di A diarahkan sepanjang sumbu
mobil. Tentukan dengan trigonometri (a)
tegangan pada tali AC, (b) besar resultan
kedua gaya yang beraksi di A.
Penyelesaian :
a. Gunakan hukum segitiga :
AC
400

sin 30 sin 20
AC = 584,76 lb
b. Gunakan hukum segitiga :
R
400

sin 130 sin 20
R = 895,9 lb
C. KOMPONEN TEGAK LURUS SUATU GAYA
Sebuah vektor gaya dapat diuraikan dalam sebuah bidang Cartesian dalam
komponen Fx sepanjang sumbu x dan Fy sepanjang sumbu y seperti tampak pada
gambar 1.11.
9
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Dimana :
Fx = Fcos 
(4)
Fy = Fsin 
(5)
Gambar 1.11. Uraian vektor
Begitu juga sebaliknya, jika diketahui dua komponen gaya Fx dan Fy yang saling
tegak lurus, maka dapat dihitung resultan kedua gaya dan arah resultan gaya tersebut
menggunakan persamaan berikut :
tan  
Fy
Fx
F  Fx 2  Fy 2
(6)
(7)
D. RESULTAN GAYA DENGAN MENAMBAH KOMPONEN X DAN Y
Tiga buah gaya F1, F2, dan F3 bekerja pada suatu bidang kartesian pada satu
titik tangkap seperti ditunjukkan pada gambar 1.12.
10
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Y
F2
F2y
F1
F1y
2
F2x
1
3
F3y
F1x
F3x
X
F3
Gambar 1.12. Resultan Beberapa Vektor
Untuk mencari resultan ketiga gaya tersebut, maka harus diuraikan masingmasing gaya terhadap sumbu x dan y sehingga terdapat komponen gaya-gaya :
F1x = F1cos 1
F1y = F1sin 1
F2x = F2cos 2
F2y = F2sin 2
F3x = F3cos 3
F3y = F3sin 3
Dari komponen-komponen gaya di atas, dapat dijumlahkan secara aljabar
terhadap sumbu x dan y, yaitu :
Fx = F1x - F2x + F3x
(8)
dan
Fy = F1y + F2y - F3y
(9)
sehingga resultan ketiga gaya dicari menggunakan persamaan :
11
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
R
F
x
2
  Fy 2
(10)
Contoh 5.
Tentukan komponen x dan y setiap gaya
pada gambar di samping.
Penyelesaian :
Y
45 lb
60 lb
X
Besar(lb)
Sumbu X(lb)
Sumbu Y(lb)
60
60cos 35 = 49,15
60sin 35 = 34,41
45
45cos 55 = 25,81
45sin 55 = 36,86
75
75cos 50 = 48,21
75sin 50 = 57,45
75 lb
12
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Contoh 6.
Silinder hidrolik GE menimbulkan
suatu gaya P diarahkan sepanjang
garis GE pada bagian DF.
Diketahui P harus mempunyai
komponen tegak lurus DF sebesar
600 N. Tentukan :
a. besar gaya P.
b.
komponennya
terhadap DF.
yang
sejajar
Penyelesaian :
P
F
600 N
a. Py = Psin 30
600 = 0,5P
E
30
P = 1200 N
D
b. Px = Pcos 30
= 1200 cos 30
56
= 1039,23 N
G
13
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Contoh 7.
Tegangan pada kabel penguat tiang
telepon sebesar 370 lb. Tentukan
komponen horizontal dan vertikal gaya
yang ditimbulkan pada penambat di C.
Penyelesaian :
R=
6 2  17,5 2  18,5 ft
Tx = - Tcos 
= - 370 x
6
= - 120 lb
18,5
= 120 lb (ke kiri)
Ty = Tsin 
= 370 x
17,5
= 350 lb
18,5
14
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
E. KESETIMBANGAN SUATU PARTIKEL
Bila resultan semua gaya yang bekerja pada suatu partikel adalah nol, maka
partikel tersebut dalam keadaan setimbang. Syarat untuk mencapai keadaan
setimbang secara matematis dapat ditulis sebagai berikut ini :
Fx = 0 dan Fy = 0
(11)
contoh 8.
Dua kabel diikatkan bersamasama di C dan diberi beban
seperti terlihat pada gambar.
Tentukan tegangan di AC dan
BC.
Penyelesaian :
Y
TAC
TACSIN 50
TBC
TBCSIN 30
50
30
TACCOS 50
X
TBCCOS 30
400
Fx = 0
TBC Cos 30 – TAC Cos 50 = 0
0,87 TBC = 0,64 TAC
15
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
TBC = 0,74 TAC
(a)
Fy = 0
TAC Sin 50 + TBC Sin 30 – 400 = 0
0,77 TAC + 0,5 TBC = 400
(b)
Substitusikan (a) ke dalam (b) :
0,77 TAC + 0,5 (0,74 TAC) = 400
1,14 TAC = 400
TAC = 350,88 lb
Masukkan TAC ke dalam (a) :
TBC = 0,74 x 350,88
= 259,65 lb
Contoh 9 :
Hitung tegangan tali T1, T2, dan T3 pada gambar berikut ini jika titik A setimbang. W
adalah berat benda.
30
60
A
W = 20 N
Penyelesaian :
Diagram gaya-gaya yang bekerja :
30
60
T2
T1
A
T3
W = 20 N
16
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
Tinjau benda W :
Benda ini berada pada keadaan setimbang sehingga :
T3 = W = 20 N
Tinjau titik A :
Karena titik ini setimbang, maka berlaku syarat kesetimbangan.
Y
T1sin 30
T1
T2sin 60
30
T2
X
60
T1cos 30
T2cos 60
T3
FX = 0
T2cos 60 - T1cos 30 = 0
T2
1
1
= T1
3
2
2
T2 = T1
3
(1)
FY = 0
T1sin 60 + T2sin 30 - T3 = 0
T1
1
1
= T3
3 +T2
2
2
(2)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), kita peroleh :
T1
1
1
= 20
3 + (T1 3 )
2
2
17
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
T1 3 = 20
T1 =
20
N
3
Subtitusikan nilai T1 ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai T2
T1 = 20 N
Contoh 10.
Suatu
kotak
yang
dapat
digerakkan
berikut
isinya
mempunyai 960 lb. Tentukan
panjang rantai terpendek ACB
yang dapat digunakan untuk
mengangkat beban kotak tersebut
bila tegangan pada rantai tidak
melebihi 730 lb.
Penyelesaian :
Karena berbentuk simetris, maka TAC = TBC
= T.
Fy = 0
2T sin  - 960 = 0
2 x 730 x sin  = 960
sin  = 0,658
 = 41,1
sehingga R =
13,75
= 18,33 in
cos 41,1
maka panjang rantai minimum
=2 x 18,33 = 36,67 in
18
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
LATIHAN
1.
Determine the magnitude of the
resultant force FR = F1 + F3 and
its
direction,
counterclockwise
measured
from
the
positive x-axis.
2.
Determine the magnitude of the
resultant force FR = F1 + F2 and
its
direction,
counterclockwise
measured
from
the
positive x-axis
3.
Resolve the force F1 into components acting
the u and v axes and determine the magnitudes
of the components
19
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
4.
The plate is subjected to the two forces at A
and B as shown. If  = 60, determine the
magnitude of the resultant of these forces and
its direction measured from the horizontal
5.
Determine the magnitudes of F1 and F2 so that
the particle P is in equilibrium
6.
Determine the magnitude and direction  of F
so that the particle is in equilibrium
20
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
7.
The device shown is used to straighten the
frames of wrecked autos. Determine the
tension of each segment of the chain, i.e.,
AB and BC if the force which hydraulic
cylinder DB exerts on point B is 3,50 kN, as
shown
8.
Determine the force in cables AB and
AC necessary to support the 12 kg
traffic light
9.
Coeds AB and AC can each sustain a
maximum tension of 800 lb. If the drum has a
weight of 900 lb, determine the smallest angle
 at which they can be attached to the drum
21
BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA
10.
The 500 lb crate is hoisted using the ropes
AB and AC. Each rope can withstand a
maximum tension 2500 lb before it breaks. If
AB always remains horizontal, determine the
smallest angle  to which the crate can be
hoisted
22