Kalkulus2 Part2A

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
36
Irisan Kerucut
animation 1
animation 2
Satu garis
Titik
Elips
Lingkaran
Open Source
Not For Commercial Use
Irisan kerucut adalah kurva yang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut
dengan bidang datar. Kurva irisan ini dapat berupa satu titik, satu garis lurus, dua
garis lurus yang berpotongan, elips, lingkaran, parabola dan hiperbola.
Sepasang garis
Parabola
Hiperbola
Irisan kerucut yang berupa elips/lingkaran, parabola dan hyperbola disebut Conic.
Secara umum conic dapat diformulasikan sebagai berikut:
L
Perhatikan sebuah garis lurus dan sebuah titik F diluar
garis tersebut. Conic adalah ”kumpulan semua titik
P yang bersifat PF = k dengan k suatu konstanta.
PL
Kumpulan titik-titik ini berbentuk kurva di bidang.
P
F
• Elips : conic dengan 0 < k < 1
• Parabola : conic dengan k = 1
• Hiperbola : conic dengan k > 1
Penurunan rumus Conic dalam bentuk persamaan x dan y dapat dilihat pada bukubuku kalkulus.
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
37
Parabola
Pada gambar di atas, D = b2 − 4ac, disebut diskriminan.
b
D
Puncak parabola adalah (− 2a
, − 4a
).
Open Source
Not For Commercial Use
Bentuk umum : y = ax2 + bx + c dengan a, b, dan, c konstanta.
Berikut disajikan grafik dari parabola untuk berbagai nilai a, b, dan, c.
Catatan: Persamaan parabola dapat pula berbentuk x = ay 2 + by + c.
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
38
Elips/Lingkaran
Bentuk umum :
x2
a2
+
y2
b2
=1
Bila a = b, persamaan di atas disebut lingkaran.
x2
32
(x−2)2
32
+
y2
32
+
(y−1)2
32
=1
=1
x2
32
+
y2
22
(x−2)2
32
+
(y−1)2
22
=1
Open Source
Not For Commercial Use
Bila a 6= b, persamaan di atas disebut elips.
=1
Latihan:
1. Tuliskan persamaan x2 +y 2 −4x+10y+13 = 0 dalam bentuk baku dan gambarkan.
2. Tuliskan persamaan 4x2+y 2 −16x+2y+1 = 0 dalam bentuk baku dan gambarkan.
3. Tentukan persamaan lingkaran yang ujung garis tengahnya melalui titik (1, 3) dan
(7, 11).
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
39
Hiperbola
x2
a2
−
y2
b2
2
= 1 atau - xa2 +
y2
b2
=1
Hiperbola memiliki sepasang garis asimtot miring y =
x2
22
−
y2
32
b
a
dan y = − ab
2
2
=1
− x22 + y32 = 1
Bila hiperbola di atas kita rotasikan dengan sudut sebesar
gambar hiperbola seperti di bawah ini.
xy = k, k > 0
Open Source
Not For Commercial Use
Bentuk umum :
π
2
maka akan diperoleh
xy = k, k < 0
Tunjukkan bila hiperbola x2 − y 2 = 1 dirotasikan sebesar
persamaan berbentuk xy = k dan tentukan nilai k.
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
π
2
hasilnya adalah
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
40
Persamaan Parameter Kurva di Bidang
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan dua buah kurva berikut ini:
Kurva sebelah kiri dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi y = f (x), sedangkan
kurva sebelah kanan tidak dapat. Supaya setiap kurva di bidang dapat direpresentasikan dalam bentuk persamaan, maka diperkenalkan penyajian dalam bentuk parameter sebagai berikut:
Misalkan x = f (t) dan y = g(t) dua buah fungsi kontinu pada interval I = [a, b].
Pasangan (x, y) = (f (t), g(t)) disebut persamaan parameter kurva dibidang. Variabel
t disebut parameter.
Contoh:
x = t2 + 2t dan y = t − 3
variabel t dieliminasi sbb:
y = t − 3 ⇐⇒ t = y + 3,
x = t2 + 2t
x = (y + 3)2 + 2(y + 3)
x = y 2 + 8y + 15
−5 ≤ y ≤ 0
−2 ≤ t ≤ 3
?
Contoh:
Diberikan persamaan kurva (x, y) = (a cos t, b sin t)
0≤t≤π
Eliminasilah parameter t, lalu gambar grafik serta arahnya.
Diskusi:
• Apakah kurva dalam bentuk persamaan parameter selalu dapat dinyatakan sebagai fungsi y = f (x) ?
• Apakah sebuah fungsi selalu dapat ditulis dalam bentuk persamaan parameter?
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
41
Istilah2
Diberikan persamaan kurva x = f (t) dan y = g(t)
a≤t≤b
• Titik (x(a), y(a)) disebut titik awal.
• Titik (x(b), y(b)) disebut titik akhir.
• Bila titik awal dan titik akhir berimpit, kurva disebut tertutup.
Q
P
P
Q
Sederhana, tak tertutup Tak sederhana, tak tertutup
P=Q
Sederhana, tertutup
Open Source
Not For Commercial Use
• Bila untuk setiap t1 6= t2 dengan a < t1, t2 < b berlaku
(x(t1), y(t1)) 6= (x(t2), y(t2)), maka kurva disebut sederhana.
P=Q
Tak sederhana, tertutup
Sikloid
Perhatikan sebuah roda berjari-jari a yang menggelinding sepanjang sumbu-x (lihat
animation
gambar di bawah ini).
Mula-mula titik P berada di titik asal. Misalkan t menyatakan sudut antara segmen
CP dan kedudukan vertikal mula-mula, diukur sesuai putaran jarum jam (pada gambar
titik P sudah menggelinding sejauh t radian).
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
42
|ON| = panjang busur PN = at
x = |OM| = |ON| - |MN| = at − a sin t = a(t − sin t)
y = |MP| = |NR| = |NC| + |CR| = a − a cos t = a(1 − cos t)
Jadi persaman lintasan sikloid adalah
(x(t), y(t)) = (a(t − sin t), a(1 − cos t))
Sikloid mempunyai keistimewaan berikut: animation 1
• Bila sebuah partikel dilepaskan dari titik P1 (lihat
gambar di samping) dan bergerak ke bawah sepanjang
lengkungan tersebut sampai titik dasar L maka waktunya akan minimum bila lintasan tersebut berbentuk
sikloid.
Open Source
Not For Commercial Use
animation 2
• Untuk mencapai titik terendah L, waktu yang diperlukan sebuah partikel yang
awalnya di P1 dan di P2 adalah sama. Fenomena ini cocok untuk diterapkan
pada jam bandul (simpangannya dibuat berbentuk sikloid), mengapa ?
Turunan Fungsi berbentuk Parameter
Misalkan (x, y) = (f (t), g(t),
a≤t≤b
menyatakan persamaan
kurva di bidang. Bila f ′ (t) dan g ′ (t) ada maka
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
=
Latihan:
1. Tentukan
d2 y
dx2
dari x = 5 cos t dan y = 4 sin t,
2
2. Diberikan x = 2t − 1, y = t + 2, Hitung
R3
g ′ (t)
f ′ (t)
0 < t < 3.
xy 2 dx.
1
Petunjuk: nyatakan semua variabel dalam parameter t
3. Hitung luas daerah di atas sumbu-x dan di bawah lengkungan sikloid
(x(t), y(t)) = (t − sin t, 1 − cos t)
0 ≤ t ≤ 2π
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
43
Sistem Koordinat Ruang, R3
z
z
y
y
x
x
z
z
bidang yoz
bidang xoz
(2,3,2)
y
bidang xoy
x
Open Source
Not For Commercial Use
Oktan 1
x
z
y
z
(a,b,c)
(a - p ) 2 + (b - q) 2 + (c - r ) 2
y
y
(p,q,r)
x
(2,-1,-1)
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
x
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
44
Vektor
Vektor adalah sebuah besaran yang mempunyai nilai
dan arah. Secara geometri vektor biasanya digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di
samping) dan namanya menggunakan sebuah huruf
kecil dengan anak panah di atasnya (~u).
u
Ujung
Pangkal
Arah sebuah vektor ditentukan dari sudut yang
dibentuk oleh sumbu-x positif dengan arah vektor
tersebut.
Dua buah vektor dikatakan sama bila panjang/besar dan arahnya sama, sedangkan posisi
pangkalnya tidak perlu sama.
Penjumlahan dua buah vektor
Open Source
Not For Commercial Use
Ilustrasi
Perhatikan sebuah benda yang bergerak sepanjang sumbu-x dengan laju 10 m/detik
dan benda kedua bergerak sepanjang lingkaran dengan laju yang sama.
Apakah kedua benda tersebut mempunyai kecepatan yang sama?
Apakah kecepatan kedua benda tersebut mempunyai percepatan ?
Ilustrasi ini memberikan gambaran bahwa kecepatan merupakan sebuah vektor.
Cara 1:
Pangkal vektor ~v digeser ke ujung dari vek−−−→
tor ~u. Vektor u + v adalah vektor yang
pangkalnya sama dengan pangkal vektor ~u
dan ujungnya berada pada ujung vektor ~v.
(lihat gambar sebelah kiri).
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
45
Cara 2:
Pangkal vektor ~v di geser ke pangkal vektor
~u, kemudian dibuat jajaran genjang sesuai
dengan ujung-ujung vektor ~v dan ~u. Vektor
−−−→
u + v adalah diagonal jajaran genjang
yang berpangkal di pangkal vektor ~u (lihat
gambar sebelah kanan).
Perkalian sebuah vektor dengan skalar/bilangan
Latihan:
C
B
A
1.
v
m
v
u
450
Bila AB = 32 AC,
Open Source
Not For Commercial Use
Sifat komutatif: ~u + ~v = ~v + ~u
Nyatakan vektor m
~ dalam ~u dan ~v
v
v
600
v
T1
v
T2
2.
Sebuah benda digantung seperti pada
gambar.
Tentukan besarnya gaya tegangan tali
T1 dan T2
200 N
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
46
Representasi Vektor secara Aljabar di R2 (Bidang) dan di R3 (Ruang)
Sebuah vektor dapat kita representasikan pada koordinat kartesius sebagai berikut:
v
u =< u1 , u2 >
y
z
v
u =< u1 , u2 , u3 >
P = (7, 5, −2)
Q = (11, −2, −8)
−→
P Q = h11−7, −2−5, −8+2i
−→
P Q = h4, −7, −6i
y
x
u1
x
Open Source
Not For Commercial Use
u2
Sebuah vektor di bidang yang berpangkal di pusat koordinat dan ujungnya pada titik
(u1, u2) kita notasikan sebagai hu1 , u2i. Notasi ”kurung lancip” digunakan untuk
membedakan dengan pengertian titik. Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang.
~u + ~v = hu1 + v1, u2 + v2i
Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang.
Bila ~a = ha1 , a2 , a3i dan ~b = hb1 , b2, b3i,
y
u2+v2
v
u2
v2
u
Misalkan ~u = hu1 , u2i dan ~v = hv1, v2i.
Untuk memperoleh rumus penjumlahan ~u + ~v ,
perhatikanlah gambar di samping kanan. Dari
ilustrasi geometri tersebut diperoleh rumus:
~a + ~b = ha1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 i
Misalkan c ∈ R, maka berlaku c~u = hcu1 , cu2i
v
+
u
v
u1
v1
x
u1+v1
Sifat2 :
Misalkan ~u, ~v, w
~ tiga buah vektor dan a, b ∈ R, maka berlaku:
1. ~u + ~v = ~v + ~u
(komutatif)
2. (~u + ~v ) + w
~ = ~v + (~u + w)
~
(asosiatif)
3. ~u + ~0 = ~u dengan ~0 = h0, 0i
4. ~u + (−~u) = ~0
5. a(b~u) = (ab)~u = ~u(ab)
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
47
6. a(~u + ~v ) = a~u + a~v
7. (a + b)~u = a~u + b~u
z
y
k$
$j
x
8. 1 ~u = ~u
$i
y
$j
$i
x
Open Source
Not For Commercial Use
| $i | = | $j | = | k$ | = 1
Vektor Basis
Perhatikan : ~u = hu1 , u2i = u1h1, 0i + u2h0, 1i.
Vektor2 bi = h1, 0i dan b
j = h0, 1i disebut vektor2 basis di bidang.
Dengan demikian, kita dapat menuliskan ~u = hu1, u2i sebagai ~u = u1 bi + u2 b
j.
Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang. Vektor basisnya adalah: bi = h1, 0, 0i,
b
j = h0, 1, 0i, dan b
k = h0, 0, 1i. Jadi ~u = hu1 , u2, u3i = u1 bi + u2 b
j + u3 b
k
y
Panjang vektor:
u2
Panjang sebuah vektor ~u = hu1 , u2i, ditulis ||~u|| =
p
u21 + u22.
Contoh: Diberikan ~u = h4, 3i, tentukan ||~u|| dan ||−2~u||
Hasil kali titik/dalam:
Misalkan ~u = hu1 , u2i, dan ~v = hv1 , v2i dua buah vektor.
Hasil kali titik/dalam dari ~u dan ~v adalah ~u · ~v = u1v1 + u2v2
Perhatikan bahwa hasilnya merupakan sebuah skalar.
Sifat2 Hasil Kali Titik:
Misalkan ~u, ~v, w
~ tiga buah vektor dan c ∈ R, maka:
r
| u |= u12 + u22
u1
x
1. ~u · ~v = ~v · ~u (komutatif)
2. ~u · (~v + w)
~ = ~u · ~v + ~u · w
~ distributif
3. c(~u · ~v ) = (c~u) · ~v = ~u · (c~v )
4. ~0 · ~u = 0.
5. ~u · ~u = ||~u||2
6. ~u · ~v = ||~u|| ||~v || cos(θ), θ sudut antara ~u dan ~v .
Akibat: ~u ⊥ ~v ⇐⇒ ~u · ~v = 0
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
48
Vektor Proyeksi
v
u
Perhatikan gambar di samping. Vektor ~u diproyeksikan
pada ~v dan hasilnya adalah vektor w.
~
Bagaimana menentukan vektor w?
~
v
v
v
w
~u·~v
~
||~u|| ||v||
w
~ = ||w||
~ × vektor satuan dari vektor ~v .
v
w
~ = ||~u|| ||~u~u||·~||~
v ||
~v
||~v ||
=
~u·~v
||~v || ||~v ||
~v =
Latihan:
1. Tentukan b supaya h8, 6i dan h3, bi saling tegak lurus.
2.
Bila A = (4, 3), B = (1, −1) dan C = (6, −4), gunakan konsep vektor untuk menentukan sudut ABC.
3. Cari vektor proyeksi ~u = h−1, 5i pada ~v = h3, 3i
4. Cari vektor proyeksi ~u = h4, 5, 3i pada ~v = h2, 2, −6i
Persamaan Bidang di Ruang
z
~u·~v
||~v ||2
~v
Open Source
Not For Commercial Use
q
||w||
~ = ||~u|| cos θ = ||~u||
Perhatikan bidang v (warna pink).
Titik P = (x0, y0 , z0) terletak pada bidang v.
v
v
n
Vektor ~n = hA, B, Ci tegak lurus terhadap v.
Akan ditentukan persamaan bidang v.
P
y
Q
Ambil sebarang titik Q = (x, y, z) pada bidang v.
−→
Jelas vektor P Q = hx − x0, y − y0 , z − z0 i ⊥ ~n.
hx − x0, y − y0, z − z0 i · hA, B, Ci = 0
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.
x
Latihan:
1. Misalkan P = (1, 2, 3) dan Q = (4, 4, −2). Tentukan persamaan bidang yang
−→
melalui titik P dan tegak lurus terhadap vektor P Q.
2. Tentukan sudut antara bidang 3x − 4y + 7z = 5 dan bidang 2x + 4y + 3z = 8.
3. Buktikan jarak dari titik (x0, y0, z0 ) ke bidang Ax + By + Cz = D adalah
|Ax0 +By0 +Cz0 −D|
√
.
A2 +B 2 +C 2
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
49
Persamaan Garis di Ruang
z
Diberikan titik P = (x0, y0, z0 ) dan vektor ~v = ha, b, ci
Akan ditentukan persamaan garis yang melalui titik P
dan sejajar dengan vektor ~u.
hx − x0, y − y0 , z − z0 i = t ha, b, ci.
Q
P
y
x
Open Source
Not For Commercial Use
Misalkan Q = (x, y, z) sebuah titik sebarang pada
garis tersebut.
−→
Vektor ~v sejajar dengan vektor P Q, sehingga
−→
P Q = t ~v , dengan t ∈ R.
v
v
Dengan demikian diperoleh persamaan parameter untuk garis, yaitu:

 x = x0 + t a
y = y0 + t b
disebut sebagai Persamaan Parameter dari garis.

z = z0 + t c
Bila parameter t dieliminasi diperoleh persamaan sebagai berikut:
x−x0
a
=
y−y0
b
=
z−z0
c
disebut Persamaan Simetrik dari garis di atas.
Latihan:
1. Cari persamaan simetrik dari garis yang melalui titik (2, 5, −1) dan sejajar vektor
< 4, −3, 2 >.
2. Cari persaman garis yang merupakan perpotongan antara bidang2
2x − y − 5z = −14 dan 4x + 5y + 4z = 28.
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
50
Hasil Kali Silang (Cross Product)
Hasil kali silang hanya didefinisikan pada vektor di
dan ~v = hv1 , v2, v3i dua buah vektor. Hasil kali
sebagai:
î ĵ k̂ î ĵ k̂ î
~u × ~v = u1 u2 u3 = u1 u2 u3 + u1
v1 v2 v3 v1 v2 v3 v1
ruang. Misalkan ~u = hu1 , u2, u3i
silang dari ~u dan ~v didefinisikan
ĵ k̂ î ĵ k̂ u2 u3 + u1 u2 u3 v2 v3 v1 v2 v3 Sifat2 Hasil Kali Silang:
Misalkan ~u, ~v tiga buah vektor maka:
1. (~u × ~v ) ⊥ ~u dan (~u × ~v ) ⊥ ~v , akibatnya
~u · (~u × ~v ) = 0 dan ~v · (~u × ~v ) = 0
2. ~u, ~v , dan (~v × ~v ) membentuk ”right handed triple”
Open Source
Not For Commercial Use
~u × ~v = (u2 v3 − u3 v2)î − (u1 v3 − u3 v1)ĵ + (u1 v2 − u2 v1 )k̂
3. ||~u × ~v || = ||~u|| ||~v || sin θ, dengan θ sudut antara ~u dan ~v .
Latihan:
1. Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik (1, −2, 3), (4, 1, −2), dan (−2, −3, 0).
2. Periksa, apakah hasil kali silang bersifat komutatif, yaitu ~u × ~v = ~v × ~u.
3. Tunjukkan, secara geometri, ||~u × ~v || adalah luas jajaran genjang seperti pada
gambar di sebelah kiri bawah.
4. Tunjukkan, secara geometri, |w
~ · (~u × ~v )| adalah volume ”parallelepiped” seperti
pada gambar di sebelah kanan bawah.
v
w
v
u
a
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
v
v
v
u
v
v
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
51
Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva
P
)
r(t
y
x
Perhatikan sebuah titik P yang bergerak di ruang dengan lintasan seperti pada gambar di samping kiri.
Posisi titik P pada saat t dinyatakan oleh vektor
yang berpangkal di titik asal dan ujungnya di titik
P. Posisinya tersebut dapat ditulis sebagai ~r(t) =
hf (t), g(t), h(t)i. Vektor ~r merupakan fungsi dengan variabel real t dan nilainya adalah sebuah vektor.
Fungsi demikian disebut fungsi bernilai vektor.
Bentuk umum fungsi berbentuk vektor dengan variabel real:
j = hf (t), g(t)i
F~ (t) = f (t) bi + g(t) b
dengan t ∈ R
atau
F~ (t) = f (t) bi + g(t) b
j + h(t) b
k = hf (t), g(t), h(t)i
Open Source
Not For Commercial Use
z
dengan t ∈ R
Untuk selanjutnya hanya akan dibicarakan fungsi bernilai vektor di ruang. Untuk
fungsi bernilai vektor di bidang aturannya sama saja, hanya komponennya dua buah.
Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor
Pengertian konsep limit untuk fungsi bernilai vektor ”sama” dengan konsep limit di
fungsi real biasa. Untuk perhitungannya berlaku sifat berikut:
Misalkan F~ (t) = hf (t), g(t), h(t)i, maka lim F~ (t) = hlim f (t), lim g(t), lim h(t)i
t→c
t→c
t→c
t→c
Turunan dan Integral fungsi bernilai vektor juga mewarisi sifat-sifat di fungsi real sbb:
Misalkan F~ (t) = hf (t), g(t)i, maka
a. F~ ′ (t) = hf ′ (t), g ′(t)i
R
R
R
b. F~ (t) dt = h f (t) dt , g(t) dti
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
52
Sifat2 Operasi Aljabar Fungsi Bernilai Vektor:
~
Misalkan F~ (t), G(t)
fungsi bernilai vektor, h(t) fungsi real dan c ∈ R, maka:
~
~ ′ (t)
1. Dt [F~ (t) + G(t)]
= F~ ′ (t) + G
2. Dt [c F~ (t)] = c F~ ′ (t)
~ (t)] = h(t) F~ ′ (t) + h′ (t)F~ (t)
3. Dt [h(t) F
Open Source
Not For Commercial Use
~
~ + F~ (t) G
~ ′ (t)
4. Dt [F~ (t) G(t)]
= F~ ′ (t) G(t)
5. Dt [F~ (h(t))] = F~ ′ (h(t)) h′(t)
j.
Contoh: Diberikan F~ (t) = (t2 + t) bi + et b
a. Tentukan F~ ′ (t) dan F~ ′′ (t) dan sudut antara F~ ′ (0) dan F~ ′′(0).
R1
3~
b. Tentukan Dt [t F (t)] dan F~ (t) dt
0
Perhatikan sebuah titik P yang bergerak di bidang/ruang dengan posisi setiap saat
~r(t). Dari hukum Fisika, kecepatan ~v dan percepatannya ~a adalah:
~v (t) = ~r′ (t), dan ~a(t) = ~r′′ (t)
Latihan:
+h
r(t
h→0
demikian arah ~v sama dengan arah garis singgung terhadap ~r(t).
)
r(t+h) - r(t)
Arah dari vektor kecepatan ~v dapat dikaji dari definr(t)
. Dengan
isi turunan r′ , yaitu ~v (t) = lim ~r(t+h)−~
h
r(t)
1. Sebuah titik P bergerak sepanjang lingkatran berjari-jari r dengan laju ω rad/detik.
Bila kedudukan awalnya di (1, 0), tentukan kecepatan dan percepatannya pada
saat t = 0, 5 dan gambarkan.
2. Sebuah titik P bergerak dengan posisi setiap saat (x, y) = (3 cos t, 2 sin t).
a. Gambarkan grafik lintasan P dan arahnya.
b. Tentukan kecepatan, laju dan percepatannya.
c. Tentukan saat kapan lajunya maksimum dan berapa nilainya.
d. Tunjukkan vektor percepatannya selalu menuju titik asal.
2
3
3. Diberikan sebuah kurva di ruang dengan persamaan ~r(t) =< t, t2 , t3 >. Carilah
persamaan garis singgungnya pada saat t = 2.
URL:materikuliah.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010