(Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT))

Hal 1 dari 12
Separable Differential Equations
(Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT))
Sebuah persamaan diferensial terpisahkan (PDT) adalah setiap persamaan diferensial yang dapat ditulis
dalam bentuk berikut..
(1)
Bentuk PDT di atas dapat dirubah menjadi PDT berikut dimana komponen variabel x dan
komponen variabel terikat y terpisahkakan dengan tanda =.
Memecahkan persamaan diferensial dipisahkan cukup mudah, yaitu dengan melakukan integrasi pada ruas
kanan dan kiri dari persamaan di atas sehingga menjadi seperti berikut:
(2)
Setelah diintegralkan akan diperoleh jawaban dari PDT tsb apakah solusi tersebut implisit atau eksplisit.
Perlu dicatat tidak semua solusi persamaan diferensial bisa dibut eksplisit.
Ingat bahwa suatu solusi persamaan diferensial disebut eksplisit jika dapat dituliskan dalam bentuk
, jika tidak maka solusi tersebut adalah solusi implisit.
Kita perlu meneliti tentang interval validitas bagi banyak solusi. Ingat bahwa interval validitas adalah
kisaran nilai (domain) variabel independen, x dalam kasus ini, di mana solusi tersebut valid (terdefinisikan).
Dengan kata lain, kita perlu untuk menghindari pembagian dengan nol, bilangan kompleks, logaritma dari
angka negatif atau nol, dll Sebagian besar solusi yang akan kita dapatkan dari persamaan diferensial
dipisahkan tidak akan berlaku untuk semua nilai x.
Contoh 1:
Cari solusi dari PDberikut dan tentukan interval validitas nya!
Solusi:
Solusi di atas adalah solusi umum yang masih implisit. Untuk merubah menjadi jawaban eksplisit
sangat mudah dimana yaitu dengan membuat solusi tsb dalam bentuk
diperoleh
, sehingga
Hal 2 dari 12
𝑦(𝑥) = −
1
+ 𝑐)
(3𝑥 2
Karena diketahui kondisi tambahan bahwa y(1)=1/25 maka dari solusi implisit di atas dapat
diaplikasikan sebagai berikut:
Dengan demikian diperoleh solusi spesifik yang eksplisit sebabagai berikut:
𝑦(𝑥) =
1
(28 − 3𝑥 2 )
Selanjutnya kita perlu meneliti interval validitasnya dari solusi PDT tsb. Pertama, tidak boleh ada
pembagian oleh nol; yaitu pada saat
, karena hal ini akan menyebakan pembagian dengan bilangan
NOL. Ini akan memberikan kita 3 kemungkinan interval validitas, yaitu:
Namun hanya satu dari 3 kemungkinan interval validitas yang memenuhi syarat karena berisi nilai
x=1
dari
kondidi
inisial
yaitu
y(1)=1/25.
Sehingga
interval
validitasnya
adalah
.
Jika solusi spesifik (khusus) tersebut diplotkan dalam bentuk kurva maka dapat diproleh sbb:
Contoh 2:
Hal 3 dari 12
Contoh 3:
Contoh 4:
Persamaan di atas ternyata bukan PDT!. Upayakan dapat dikonversi menjadi PDT dengan cara berikut:
Kembali ke contoh 4:
Hal 4 dari 12
Solusi di atas adalah solusi umum yang masih implisit. Perlu dicatat bahwa contoh 4 merupakan
kasus non-PDT yang bisa dikonversi menjadi PDT dg mengkonversi menjadi bentuk dy/dx =
F(y/x). Selanjutnya kapankah suatu non-PDT bisa dirubah menjadi dy/dx = F(y/x)?
Contoh 5:
Hal 5 dari 12
Hal 6 dari 12
Hal 7 dari 12
Hal 8 dari 12
Hal 9 dari 12
Hal 10 dari 12
Hal 11 dari 12
Persamaan Bernoulli
Hal 12 dari 12