Hasil perkalian silang dua vektor

Hasil kali silang atau cross product antara dua buah vektor
menghasilkan
sebuah
vektor
yang
tegak
lurus
pada
kedua
vektor
tersebut dan hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang. Perkalian silang
dikenal
dengan
julukan
perkalian
vektor,
karena
hasil
perkalian
ini
menghasilkan besaran vektor.
Perkalian silang dari dua buah vector A dan B dituliskan sebagai A x B (
dibaca A silang B ). Perkalian silang A x B didefinisikan sebagai suatu vector
yang tegak lurus pada bidang di mana A dan B berada, dan besarnya sama
dengan hasil kali dari besar kedua vector dengan sinus sudut apitnya.
Jika C = A x B maka C = AB sin θ
Misalnya vektor A dan vektor B tampak seperti gambar di bawah.
Untuk mendefinisikan perkalian silang antara vektor A dan B (A x B), kita
gambarkan vektor A dan B seperti gambar di atas, dan digambarkan juga
komponen vektor B yang tegak lurus pada A (lihat gambar di bawah), yang
besarnya sama dengan B sin teta
Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan besar perkalian silang
vektor A dan B (A x B) sebagai hasil kali besar vektor A dengan komponen vektor
B yang tegak lurus pada vektor A.
Vektor satuan adalah vektor yang normnya atau panjangnya satu.
Vektor satuan yang searah dengan salib sumbu, dinyatakan dengan i , j ,k .
Untuk di bidang i = (1,0) dan j = (0,1), sedang untuk di ruang, i = (1,0,0) , j =
(0,1,0) dan k = (0,0,1).
Dari
notasi
vektor
satuan
yang
searah
dengan
salib
sumbu,
kita
dapat menyatakan sebuah vektor yang diketahui komponen-komponennya
menjadi suku-suku dalam vektor satuan tersebut.
Misal u = (u1,u2 ,u3) dan v = (v1,v2,v3).
Maka perkalian silang dari u dan v adalah
Beberapa hal penting dalam perkalian silang
1. Nilai 00 ≤ θ ≥ 1800, sedangkan nilai sin θ pasti positif, maka nilai C dalam
C = A x B sin θ selalu positif.
2. Perkalian silang bersifat anti komutatif
AxB=–BxA
3. Jika vector A dan B saling tegak lurus yaitu sudut apit θ=900 sedangkan
sin 900 = 1, maka
|A x B|= A B
4. Jika vector A dan B segaris kerja, dapat searah (θ = 00) atau berlawanan
arah (θ = 1800), sedangkan sin 00 = sin 1800 = 0 maka
AxB=0
Penerapan perkalian silang dalam fisika pada momen ()
didefinisikan sebagai perkalian silang antara vector posisi r dan vector gaya
F, (= r x F ), gaya lorentz pada muata yang bergerak ( F = q v x B)
Gambar disamping merupakan perkalian silang
antara vektor A dengan vektor B yang menghasilkan
vektor C. Di mana vektor C tegak lurus dengan bidang
yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan sudut apit α.
Maka,
C=A×B
|C| = AB sin α
Kita ketahui bahwa pada sifat operasi perkalian bilangan bulat akan
berlaku sifat komutatif yakni:
A×B=B×A
Sedangkan pada perkalian silang dua buah vektor tidak berlaku sifat
komutaif (A × B = B × A). Akan tetapi berlaku sifat antikomutatif yakni:
A×B=–B×A
Sekarang kembali lagi ke vektor satuan, untuk menentukan resultan
vektor satuan dan persamaan perkalian vektor satuan, kita dapat menggunakan
sifat-sifat dari perkalian silang sesama satuan.
Jika perkalian silang antara dua vektor satuan yang sama besar dan
searah akan bernilai nol, karena sudut yang dibentuk oleh vektor tersebut
besarnya 0°. Oleh karena itu,
i × i = (i)(i) sin 0°
i × i = 0 (sin 0° = 0)
begitu juga dengan:
j×j=0
k×k=0
Jika perkalian silang dua buah vektor satuan yang berbeda, akan
bernilai positif jika searah putaran jarum jam, dan akan bernilai negatif jika
arahnya berlawanan dengan arah puratan jarum jam, perhatikan gambar di
bawah ini.
Maka:
i×j=k
j×k=i
k×i=j
j × i = –k
k × j = –i
i × k = –j
Selain dengan cara di atas, ada cara lain yang lebih sederhana untuk
mengingat rumus perkalian silang dua buah vektor A dan B, yitu dengan
menggunakan metode determinan. Silahkan perhatikan gambar di bawah ini.
Berdasarkan gambar di atas maka diperoleh rumus perkalian silang
dua buah vektor A dan B yakni:
A × B = iAyBz + jAzBx + kAxBy – kAyBx – iAzBy – jAxBz
A × B = iAyBz – iAzBy + jAzBx – jAxBz + kAxBy – kAyBx
A × B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k
Vektor A = 10 N dan vektor B = 20 cm, satu titik tangkap dan saling mengapit
sudut 30° satu dengan lain. Tentukan hasil perkalian silang vektor A dan B.
Penyelesaian:
A × B = AB sin α
A × B = 10 N. 20 cm . sin 30°
A × B = 10 N. 20 cm . ½
A × B = 100 Nm
Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8
satuan,
B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. Tentukan
hasil dari A × B
Jawab :
A × B adalah perkalian silang (cross) vektor A dan vektor B
Untuk perkalian silang berlaku
A × B = A B sin θ
Sehingga
A×B
= A B sin 37°
=(8)(10)(0,6) = 48 satuan
R2/B5