handout Vektor - WordPress.com

Standar Kompetensi
2. Merancang dan menggunakan model matematika program linear serta
menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret,
matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam
pemecahan masalah.
A. VEKTOR DI RUANG DIMENSI DUA ( R2 )
Kompetensi Dasar
: 2.7. Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor
pemecahan masalah.
dalam
Indikator
o Menjelaskan ciri suatu vektor sebagai ruas garis berarah dan pasangan terurut bilangan
real,
o Menentukan jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor,
o Menggunakan rumus perbandingan vektor di bidang dan ruang,
o Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri.
Pengalaman Belajar
: 2.7.1. Melakukan kajian pustaka untuk menemukan ciri vektor.
2.7.2. Mengkomunikasikan algoritma operasi vektor.
2.7.3. Menggunakan algoritma untuk menyelesaikan soal.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut sifat-sifat dan operasi aljabar vektor
diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi
dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media
interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Kata vektor banyak digunakan dalam bidang Fisika, misalnya dalam mempelajari
kecepatan, percepatan, dan gaya. Setiap besaran vektor mempunyai besar ( panjang )
dan arah.
B
Ruas garis berarah AB , dengan A sebagai titik
pangkaldan B titik ujung, mempunyai besar yaitu
jarak AB dan arah dari A ke B.
A
Cara penulisan vector adalah dengan Huruf kecil yang dicetak tebal : a, b , u, v , dan
sebagainya atau huruf kecil yang diberi garis di atas atau di bawah huruf :
a atau a , u atau u .
Penyajian suatu vektor.
Suatu vektor dapat dinyatakan sebagai :
 a1 
1. Pasangan bilangan, misalnya u =   atau u = (a1,a2),
 a2 
dengan a1 = komponen mendatar dan a2 = komponen vertikal
2. Kombinasi vektor satuan, misalnya u = a1 i + a2 j dengan i = vektor satuan sejajar
sumbu X dan j = vektor satuan sejajar sumbu Y.
Y
A(a1,a2)
u
j
i
X
Panjang ( besar ) Vektor
 a1 
Jika u =   maka panjang vektor
 a2 
u  a1  a2
2
2
Kesamaan dua vector
Dua vektor dikatakan sama bila besar dan arahnya sama.
a
c
Misalnya jika u =   dan v    . Jika u = v maka u  v dan arah u = arah v ,
d 
b
sehingga a = c dan b = d
Masalah 1 .
Diketahui u = ( 4 , 2x + 3 ) dan v = ( 3y – 2 , 5 ). Jika u = v maka tentukan nilai x
dan y.
Penyelesaian :
u =v
= 3y - …  y = …
 x=…
2x+3 = …
 4
A.1. Operasi aljabar pada vektor
1. Penjumlahan Vektor
Secara geometri penjumlahan dua vector dapat dilakukan dengan cara :
a. Segitiga
b. Jajar genjang
c. Poligon
b
a
c
a + b +c
2. Pengurangan vector
a - b = a + ( - b ) , dimana - b lawan dari b
a -b
b
atau
b
a
a
-b
a -b
Masalah 2 :
Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti pada gambar. Jika AB, AD, AE mewakili vector-vektor
p , q dan r , nyatakan AG dengan p , q dan r
H
G
E
Penyelesaian :
AC = p + q
AG = AC + CG = p + q + r
F
r
D
C
q
p
A
B
Sifat-sifat penjumlahan vector.
1). Komutatif : a + b = b + a
2). Asosiatif : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3). Terdapat elemen identitas yakni 0 sehingga a + 0 = 0 + a = a
4). Untuk setiap a terdapat invers tambah ( vector lawan) yaitu - a sehingga
a + (- a ) = - a + a = 0
3. Perkalian vector dengan bilangan real ( skalar )
a
k a untuk k > 0
k a untuk k < 0
Masalah 3 :
Tentukan a + 2 b jika diketahui
a
Dengan gambar
a
Penyelesaian :
a + 2b
2b
b
Sifat-sifat perkalian vector dengan scalar
1). m a = a m
2). (m n) a = m ( n a )
3). (m + n) a = m a + n a
4). m( a + b ) = m a + m b
Permasalahan untuk didiskusikan siswa :
1. Diketahui vector a = (x2 – 1, 10) dan b = ( 3, 2y – 2 ). Jika a = b maka tentukan nilai x
dan y untuk x < 0.
2. Diketahui limas beraturan D.ABC dengan E titik berat segitiga ABC. Jika DA mewakili
a , DB mewakili b , dan DC mewakili c maka nyatakan vector berikut ini dalam a , b ,
dan c .
a. AG
D
A
b. DF
c. DE
C
E
B
3. Diketahui A(3,1,0), B(6,0,2), dan C(x,y,6). Jika A, B, C kolinear ( segaris ), tentukan
nilai x dan y.
B. VEKTOR DI RUANG DIMENSI TIGA ( R3 )
Vektor di R3 adalah sebuah vector yang diwakili oleh ruas garis berarah dalam ruang
dimensi tiga.
Z
O = titik pangkal ( tangkap )
A = titik ujung ( terminal )
O = titik pangkal ( tangkap )
OA = ruas garis berarah yang merupakan
A(x, y, z)
wakil dari vector a
z
a
y
Y
O
Panjang vector OA
x
X
OA 
x2  y 2  z 2
Vektor Basis di R3
Z
i = vector satuan pada sumbu X
j = vector satuan pada sumbu Y
k = vector satuan pada sumbu Z
k
j
i
X
Y
Jika A(x,y,z) sembarang titik di R3 dan a adalah vector posisi titik A, maka a dapat
dinyatakan dalam kombinasi vector satuan ( kombinasi linear ) dari vector i , j, dan k, yaitu
 x
 
a = xi + yj + zk atau dapat juga dinyatakan a = ( x, y, z ) atau a =  y 
z
 
Pembagian Ruas Garis
Perhatikan gambar berikut :
m
n
A
C
B
Titik C membagi ruas garis AB didalam menjadi 2 bagian sehingga AC : CB = m : n
Atau AC : AB = m : ( m + n )
m
n
A
B
C
Titik C terletak diluar garis AB, maka AC : CB = m : - n
a. Pembagian ruas garis dalam bentuk vector
m
A
n
P
a
p
O
B
a
AP : PB = m : n. Jika a , b , dan p berturut-turut merupakan vector posisi titik
A, B, dan P maka berlaku : p =
mb  n a
mn
b. Pembagian ruas garis dalam bentuk koordinat.
A( x1 , y1, z1 )
m
P(x, y, z)
a
n
p
B(x2, y2, z2 )
b
O
 x1 
 x2 
 
 
Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a =  y1  dan b =  y 2  ,
z 
z 
 1
 2
Titik P membagi ruas garis AB dengan AP : PB = m : n , maka vector pisisi titik P
  x1 
 x2  
 
1
mb  n a
1   
mb  n a =
adalah p =
=
m  y1 .   n  y 2  

mn
mn
m  n.
z 
  z1 . 
 2
 mx1  nx 2 

1 
=
 my1  ny 2  ,
m.  n. 

 mz1  nz1 

 x
 
karena p =  y  maka didapat
z
 

xP =
mx1  nx1
my1  ny 2
mz1  nz 2
, yP =
dan zP =
mn
mn
mn
Masalah 5 :
Diketahui titik A(2, -3, 0) dan B(7, 7, 15). Jika titik P membagi AB dengan AP : PB = 3 : 2
Maka tentukan : a. Vektor posisi titik P.
b. Koordinat titik P.
Penyelesaian :
 ...   ... 
   
3 ...   2 ... 
 ...   .5 
 ...   ... 
1
mb  n a
3b  2a
  =  ....   ... 
a. p =
=  
 p =
   
5   
mn
3 2
5
 ....  ... 
b. Koordinat titik P adalah ( 5, …, … )
Permasalahan untuk didiskusikan siswa.
1. Diketahui A(6,8,2), B(12,4,6), dan C(5,1,10). Hitung besar vektor yang diwakili oleh :
a. AB
b. BC
c. CA
2. Diketahui A(2,4,6), B(6,6,2), dan C(14,10,-6). Buktikan bahwa A, B, dan C segaris.
3. Titik P membagi garis hubung A(5,2,1) dan B(9,10,11) di dalam dengan perbandingan
1 : 3, dan titik Q membagi AB di luar dengan perbandingan –1 : 5 .
Tentukan ;
a. Vektor posisi titik P dan titik Q
b. Koordinat titik P dan Q
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Diketahui a = (1, 4) dan b = (2, 3) maka vector c  2a  3b adalah …
a. (3, 7)
b. (6,14)
c. (9,21)
d. (8,17)
e. (8,21)
2. Pada gambar di samping , Segiempat ABCD adalah sebuah
jajargenjang. AB = a dan AD = b. E adalah titik potong
kedua diagonalnya. Vektor BE = ...
b
a. ½(a + b)
b. – ½ (a + b)
c. ½(a – b)
d. ½(b – a)
e. a –½ b
A
D
C
E
a
B
4. Diketahui a = 2i + 3j dan b = 4i – j jika c = 3a – 2b maka besar c = ...
a. 3 5
b. 4 5
c. 5 5
d. 5 3
e. 5
4. Diketahui titik-titik A(1, 2, -1), B(-4, 6, 2) dan C(6, x, -4). Jika ketiga titik itu segaris
(kolinear) maka nilai x adalah ...
a. – 6
b. – 4
c. – 2
d. 2
e. 4
5. Diketahui A(1, 2, -8) dan B(3, 4, 0). Titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga
AP = - 3 PB. Jika p adalah vektor posisi titik P maka p = ....
a. 4i – 5j + 4k
b. 4i – 5j – 4k c. –i – 12k
d. –3i –j – 12k e. –i – 5j – 2k
C. PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
Kompetensi Dasar
: 2.8. Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua
vektor dalam pemecahan masalah.
Indikator
o Menentukan hasil kali skalar dua vektor di bidang dan ruang,
o Menentukan sudut antara dua vektor di bidang dan ruang,
o Menentukan vektor proyeksi dan dan panjang proyeksinya,
o Menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor
Pengalaman Belajar
: Mengkomunikasikan operasi perkalian skalar dua vektor.
Menggunakan sifat operasi perkalian skalar dua vektor dalam
pemecahan masalah
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut hasil kali skalar dua vektor, sudut proyeksi
vektor pada vektor lain diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok
diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber
referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
1. Perkalian skalar dua vektor ( Dot Product)
Definisi :
a

a . b = a b cos 
b
Masalah 1.
Diketahui
a = 6 , b = 4 dan sudut antara a dan b adalah 60o , maka tentukan a . b
Penyelesaian : a . b = a b cos

= …. . ….. . cos 60o
= ….
Teorema :
 a1 
 
Jika vektor a dan b dinyatakan dengan a   a2  dan b =
a 
 3
a . b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
 b1 
 
 b2  maka
b 
 3
Masalah 2.
Diketahui a = 2i + 3j + 5k dan b = - 4i - 2j + 6k maka tentukan a . b
Penyelesaian : a . b = 2 (-4) + 3(…) +… . … = ….
Masalah 3.
Diketahui P(3,-1,2), Q(0,5,-2), dan R(1,2,4). Hitung : PR . QR
Penyelesaian :
 1   ...   ...
     
PR = r  p =  2     1   ...  ....i  3 j  ...k
 4   ...   ...
     
 1   0   ...
     
QR = r  q =  2    ...   ...  .1  .... j  ...k
 4   ...  ...
     
Jadi
PR . QR = …(1) + 3 (…) + … (…) = …
2. Sudut antara dua vektor
Jika sudut antara a dan b adalah
 maka
cos
 =
a.b
a b
 merupakan sudut lancip
Jika a . b = 0 maka  merupakan sudut siku-siku ( a dan b saling tegak lurus)
Jika a . b < 0 maka  merupakan sudut tumpul
Jika a . b > 0 maka
Masalah 4.
Hitung besar sudut antara OA dan OB bila A(-1, 2, 0) dan B (0, 1, 2).
Penyelesaian:
  1
 ... 
 
 
A(-1, 2, 0) maka OA =  ...  , B (0, 1, 2) maka OB =  1 
 ... 
 ... 
 
 
Cos
 =
OA . OB

OA OB
...  ....  ...
(1)  ...  ... ...  1  ...
2
2

....
....
  =…
3. Sifat-sifat pekalian skalar dua vektor
Jika vektor a dan b membentuk sudut adalah
 ( 0o ≤  ≤ 180o ) maka berlaku :
2
a. a . a = a . .... . cos 0o = .... . …. = …..
Jadi a . a = ….
dua vektor yang saling berimpit
 = 90o ( a tegak lurus b ) atau a = o atau b = o
c. a . b = a . .... . cos  = .... . a . cos  = b . …
b. a . b = 0 jika dan hanya jika
Jadi a . b  … . …
d.
( sifat komutatif)
Perkalian skalar dua vector bersifat distributif.
a . (b + c ) = a . b + a . c
Bukti :
 a1 
 b1 
 c1 
 ...   c1   b1  c1 
 
 
 
    

Untuk a   a2  , b   b2  , dan c   c2  maka b  c   b2    ...    ......... 
a 
b 
c 
 ...   ...   ......... 
 3
 3
 3
    

 a1   b1  c1 
  

a . ( b + c ) =  a2  .  .........  = a1 ( b1 + c1) + ……………… + …………….
 a   ......... 
 3 

= a1 b1 + a1 c1 + …… + ….. + …… + ……
= a1 b1 + a2 b2 + …… + a1 c1 + …… + ……
= a . …. + a . ….. ( Terbukti )
e.
m ( a . b ) = (m a ) . b = a . (m b ) = ( a . b ) m , dengan m  R
Masalah 5 :
  2
 3 
3
 
 
 
Diketahui vector a   1  , b   2  , dan c    2 
 4 
 4 
  1
 
 
 
Carilah nilai dari : a). 2 a . b
b). a . ( b + c )c). ( a - b ) . c
Penyelesaian :
  2   3 
   
a). 2 a . b = 2 ( … . … ) = 2  ... . ... 
 ...   ...
  2   3   2 
     
b). a . ( b + c ) =  ...  .  ...   . ...  =
 ...   ...   ... 
     
= 2 ( - 6 - … - …. ) = ….
  2  5 
   
 ...  .  ...  = -2 . 5 + … . … + … . … = …
 ...   ... 
   
  2   3   ...   1   3 
         
c). ( a - b ) . c =  ...    ...  .  ...  =  ...  .  ...  = 1 . 3 + … . … + … . … = …
 ...   ...   ...   ...   ... 
Permasalahan untuk didiskusikan siswa.
1
  2
 
 
1. Diketahui vector a =  2  dan b =  3  . Hitung nilai dari :
 3
 4 
 
 
a. a . a , b . b , a . b
b. a . ( a . b )
c. b . ( b - a )
2. Jika p , q , dan r adalah vector-vektor yang membentuk segitiga vector dengan
p = 3 3 , sudut antara ( p , q ) = 300, sudut antara ( p , r ) = 900 seperti pada gambar.
Tentukan :
a. p . ( p + r )
q
r
b. p . ( p + q )
0
30
p
3. Diketahui p = 6 dan q = 8 dan sudut ( p , q ) = 1200 . Hitunglah
a. p . ( p + q )
b. q . ( p - q )
4. Diketahui titik-titik A , B, dan O ( pangkal koordinat). Hitung besar sudut AOB bila
a. A(1, -3, 2) dan B(2, 3, -1)
b. A(1, 2, 5) dan B(-2, 1, ½ 30 )
5. Tunjukkan bahwa segitiga ABC dengan A(5, -4, 2), B(4, -2, 3), dan C(7, 0, 2) adalah
Segitiga siku-siku.
6.
 2 
  3
 
 
Bila  adalah sudut antara a    4  dan b   2  , tentukan tan  .
 4 
 6 
 
 
D. PROYEKSI ORTHOGONAL SUATU VEKTOR PADA VEKTOR LAIN.
Perhatikan gambar berikut :
R
R

P
R

S
Q

P
Q
S
P
Misalkan PQ  a , PR  b , S adalah proyeksi titik R pada garis PQ,
Q
 adalah sudut
antara vector a dan b , dan u adalah vector satuan yang searah dengan a sehingga
u =
a
maka :
PS = PR cos
a
c
 = b .
a.b
ab
a .b
=
a .b
a
disebut proyeksi skalar orthogonal atau panjang proyeksi
vector b pada vector a
a
Panjang Proyeksi vektor b pada vector a


a.b  a a . b

Misalkan PS  v maka v = PS . u =
 a . a  2 a
a


Vektor
v
a.b
a
2
a
disebur proyeksi vektor orthogonal vector b pada vector a
Masalah 6 .
Diketahui vector a = 2 i + 3 j - 5 k dan b = 4 i - 2 j + 3 k
Tentukan :
a. proyeksi skalar orthogonal : (i) vector b pada vektor a
(ii) vector a pada vektor b
b. proyeksi vektor orthogonal :
(i) vector b pada vektor a
(ii) vector a pada vektor b
Penyelesaian :
2
 ... 
 
 
a = 2 i + 3 j - 5 k =  ...  dan b = 4 i - 2 j + 3 k =  ... 
 ... 
 ... 
 
 
a =
22  ...  .... = ...
b =
;
...  ...  .... = ...
 2   ... 
   
a . b = b . a =  ...  .  ...  = 8 - … - … = ….
 ...   ... 
   
a. (i) proyeksi skalar orthogonal vector b pada vektor a adalah
a.b

a
(ii)
 13
...

...
...
...
proyeksi skalar orthogonal vector a pada vektor b adalah
b.a

b
 13
...

...
...
...
b. (i) proyeksi skalar orthogonal vector b pada vektor a adalah
a.b
2
a
a
 13
(...i  ... j  ....k )
...
(ii) proyeksi skalar orthogonal vector a pada vektor b adalah
b.a
2
b
b
 13
(...i  ... j  ...k )
...
Permasalahan untuk didiskusikan siswa ;
1. Tentukan panjang vector proyeksi a pada b jika a = i + 2 j - k dan b = 2 i + 3 j + 4
k
2. Jika titik-titik A( 2, 1, 4 ), B ( -1, 2, -3 ), dan C( 3, -1, 2 ), tentukan proyeksi skalar dari :
a. AC pada AB
b. AB pada AC
3. Diketahui titik-titik P( 2,-3,0 ), Q( 3,-1.2 ), dan R( 4,-2,-1 ). Buktikan bahwa panjang
proyeksi PQ pada PR adalah
1
kali panjang PR .
3
4. Diketahui a = 4 i - 3 j + k , P( 2,3,-1 ), dan Q( -2,-4,3 ). Tentukan proyeksi proyeksi
vektor a pada QP
 x
 3
 
 
5. Diketahui a =  y  , b =  4  , dan sudut ( a , b ) lancip. Jika panjang vector proyeksi a
4
0
 
 
2
pada b adalah
dan panjang a adalah 2 6 , tentukan nilai x dan y.
5
A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !
1. Diketahui a = 3 , b = 10 dan sudut antara a dan b adalah 30o , maka nilai a . b =…
a. 30
b. 15 3
c. 10 3
d. 3 3
e.
3
3
2
2. Diketahui A(2, 3, 4) , B(-1, 4, 5) dan C(0, 1, 2). Bila AB wakil dari a dan BC wakil dari
b maka nilai : a . b =….
a. - 9
b. -7
c. -5
d. 7
e. 9
4. Diketahui u = ( 2 , 0) dan v = (1, 1). Besar sudut antara vector u dan v adalah …
a. 300
b. 370
c. 450
d. 600
e. 750
4. Besar sudut BAC pada segitiga ABC dengan A(3, -1, 4) , B(5, 0, 7) dan C(2, 2, 6) adalah
a.
1

6
b.
1

4
c.
1

3
5. Vektor a dan b membentuk sudut
dari a . ( a . b ) adalah …
a. 49
b. 89
d.
1

2
e.
2

3
 . Jika a = 6 , b = 15 dan cos  = 0,7 maka nilai
c. 99
d. 109
e. 115
6. Diketahui A(1, 2, 3) , B(3, -4, 0) dan C(5, 4, -1). Panjang proyeksi vector AB pada AC
adalah …
a. 2
b. 3
c.
4
3
d.
8
3
e.
16
3
 2 
 4 
 
 
8
5 . Nilai p =…
7. Diketahui panjang proyeksi vector a =   2  pada b =   2  adalah
5
 4 
 p 
 
 
1
a.
b. 5
c. 5
d. 5 3
e. 25
5
8. Diketahui a = 3 i + j - 5 k dan b = - i + 2 j - 2 k . Proyeksi orthogonal vector a pada
b adalah …
a. - i - 2 j - 2 k b. - i - 2 j + 2 k
c. - i + 2 j - 2 k
d. i + 2 j - 2 k
e. i + 2 j + 2 k
B. Jawablah dengan langkah yang tepat dan benar.
1. Diketahui A(2, 1, -3) dan B(1, p, 2). Vektor-vektor posisi kedua titik itu mengapit sudut
1200. Hitunglah nilai p.
 k  3
  1
 2 
 
2. Vektor a =  k  tegak lurus vector b =  2  . Tentukan nila k.
 k 
3


 
3. Diketahui a = (2, 1, 1) , vector b =( 1, 0, p), dan panjang proyeksi vector a pada b = 5
Tentukan :
a. nilai p
b. b. proyeksi vector orthogonal b pada a
c. c. proyeksi scalar b pada a
MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR
Menurut anda materi belajar tentang Vektor (lingkari angka diantara pernyataan
berikut):
Menyenangkan
1
2
3
4
5
Membosankan
Bermanfaat
1
2
3
4
5
Tidak Bermanfaat
Menarik
1
2
3
4
5
Tidak Menarik
Sangat perlu dipelajari
1
2
3
4
5
Tidak perlu dipelajari
Menantang
1
2
3
4
5
Tidak Menantang
Perlu disebar luaskan
1
2
3
4
5
Mempunyai korelasi
dengan masalah seharihari
1
2
3
4
5
Tidak Perlu disebar
luaskan
Tidak Mempunyai
korelasi dengan masalah
sehari-hari
Petunjuk Penilaian:
1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik
minat siswa.
2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak
menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi
pembelajaran, dll.