Mata Pelajaran Matematika

Nomor
Topik Bahasan
5.3
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Media Presentasi
Pembelajaran
Matematika Kelas XII
( Semester Genap )
Program Studi
Ilmu Alam
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Petunjuk Penggunaan
Media Presentasi Pembelajaran ini dibuat dengan menggunakan
salah satu aplikasi dari keluarga Microsoft Office yaitu Microsoft
Office PowerPoint 2003. Dalam pengoperasiannya dilengkapi
dengan tombol-tombol navigasi yang sangat simpel yang berada
di panel sebelah kiri (Menu) dan di bar bagian bawah; sehingga
memudahkan pemakai untuk menggunakannya, karena semua
kendali pengoperasian dilakukan melalui tombol-tombol navigasi
tersebut. Misalnya untuk melihat contoh soal lakukan klik pada
tombol Contoh Soal. Begitu juga dengan pilihan topik lainnya,
Anda hanya melakukan klik pada judul topik sesuai pilihan dalam
setiap tombol. Untuk menampilkan slide berikutnya klik pada
tombol Lanjut atau untuk kembali ke slide di depannya pilih tombol
Balik. Jika Anda telah menampilkan suatu topik maka warna huruf
dari topik dalam tombol di sebelah kiri akan berubah menjadi hitam
yang mengindikasikan bahwa topik tersebut sedang aktif. Dalam
uraian materi terdapat gambar-gambar animasi sebagai visualisasi
dari konsep yang disampaikan. Untuk melihat animasi tersebut klik
pada sembarang tempat dalam slide. Kata (kalimat) berwarna dan
bergaris bawah merupakan link silahkan klik pada kata atau
kalimat tersebut untuk melihat isinya.
Semoga media ini bermanfaat bagi mereka yang menggunakannya. Salam hangat!
Baca Detail Penggunaan CD & Troubleshooting
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Teo Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar minimal yang harus
dicapai setelah menyelesaikan topik ini adalah:
Standar Kompetensi
Ю Merancang dan menggunakan model matematika program
linear serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan
dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi
eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar
Ю Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam
pemecahan masalah;
Ю Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua
vektor dalam pemecahan masalah.
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Bagi Anda yang telah mempelajari Fisika pasti pernah mendengar kata
vektor. Vektor merupakan suatu besaran selain besaran skalar yang
sudah Anda kenal dalam Fisika. Perbedaan kedua besaran ini adalah:
Skalar : Besaran yang hanya mempunyai nilai (menunjukkan bilangan
real tertentu). Contoh: suhu, massa, dan sebagainya.
Vektor : Besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah. Biasanya
digunakan untuk menyelidiki gerak perpindahan, pergeseran,
kecepatan, percepatan dan sebagainya.
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Uraian Materi
Silahkan pilih Materi yang ingin disampaikan (dipelajari):
A.
Notasi Vektor
B.
Aljabar Vektor
C.
Vektor Basis
D.
Vektor Posisi
E.
Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)
Pendahuluan
F.
Perkalian Silang Vektor
Uraian
Materi
G.
Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R3)
H.
Contoh Soal
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
A. Notasi Vektor
Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang
dan arahnya tertentu.
gambar 1
B
u
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
A
Vektor sering dinotasikan dengan huruf latin kecil.
Misalnya: u, u, atau u. Ruas garis AB menunjukkan
sebuah vektor.
u = AB ; A = titik pangkal dan B = titik ujung
Arah anak panah = arah vektor
Panjang ruas garis = panjang/besar/nilai vektor
Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan
real.
• Untuk vektor di bidang
(R2)
x
y
: u = (x, y) atau u =
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
• Untuk vektor di ruang (R3) : u = (x, y, z) atau u =
x
y
z
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
B. Aljabar Vektor
Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami beberapa ketentuan
berikut.
• Dua vektor dikatakan sama
jika besar dan arahnya sama.
(Lihat gambar 2).
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
gambar 2
u
=
v
Dua vektor yang sama
• Suatu vektor v dikatakan invers
dari vektor u jika berlaku u + v = 0;
0 adalah vektor nol. Jadi dua
vektor saling invers jika besarnya
sama tetapi berlawanan arah.
(Lihat gambar 3).
gambar 3
u
v = -u
Dua vektor yang saling
invers (berlawanan)
Ю Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan
aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk memperoleh hasil
jumlah (resultante) dari vektor u dan v, perhatikan ilustrasi dalam
gambar 4 dan 5.
Media Presentasi Pembelajaran
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
gambar 5
gambar 4
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
u
u
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
v
v
Dengan aturan segitiga:
• Tempatkan titik pangkal
vektor v sehingga berimpit
dengan titik ujung vektor u;
• Vektor (u + v) diperoleh
dengan cara
menghubungkan titik pangkal
vektor u dengan titik ujung
vektor v.
Dengan aturan jajargenjang:
• Tempatkan titik pangkal vektor v
sehingga berimpit dengan titik
pangkal vektor u;
• Bentuklah jajargenjang dengan sisisisi yang sejajar dengan u dan v;
• Vektor (u + v) adalah diagonal
jajargenjang dengan titik pangkal
vektor u.
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Ю Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor u dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u
dengan invers vektor v. Perhatikan ilustrasi dalam gambar 6 dan 7.
gambar 6
v
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
u - v = u + (-v)
gambar 7
v - u = v + (-u)
-u
u
-v
-v
v
v
u
-u
u
Ю Hasil Kali Vektor dengan Skalar
Misalkan vektor u dan sebuah
bilangan real (skalar) m. Hasil kali
m dengan vektor u (mu) adalah
penggandaan vektor u sebanyak m
dan arah mu sama dengan arah
vektor u.
gambar 8
3u
2u
-2u
u
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
C. Vektor Basis
Vektor basis : Vektor dengan panjang 1 satuan panjang.
gambar 9
gambar 10
Vektor Basis dalam Bidang (R2)
Vektor Basis dalam Ruang (R3)
Z
Y
Menu
k(0,0,1)
Petunjuk
j(0,1)
Standar
Kompetensi
O
i(1,0)
X
i(1,0,0)
O
Y
j(0,1,0)
X
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Vektor i dan j merupakan vektor
basis dalam R2.
i : vektor satuan searah sumbu X+
j : vektor satuan searah sumbu Y+
Uji
Kompetensi
Vektor i, j, dan k merupakan vektor
basis dalam R3.
i : vektor satuan searah sumbu X+
j : vektor satuan searah sumbu Y+
k : vektor satuan searah sumbu Z+
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
D. Vektor Posisi
Vektor Posisi : Vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat.
Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari vektor satuan.
gambar 11
gambar 12
Vektor Posisi dalam Bidang (R2)
Menu
Petunjuk
Vektor Posisi dalam Ruang (R3)
Y
Z
R(x,y)
yj
zk
r
Standar
Kompetensi
r
O
X
xi
xi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
R(x,y,z)
Titik R(x,y) adalah vektor posisi
OR dalam R2 yaitu:
r = (x,y) = xi + yj
Panjang dari r : | r | 
x2  y2
r
Vektor satuan dari r : e = |r |
yj
O
Y
X
Titik R(x,y,z) adalah vektor posisi OR
dalam R3 yaitu:
r = (x,y,z) = xi + yj + zk
Panjang dari r :
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
| r |  x 2  y 2  z2
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
OU = u dan OV = v adalah vektorvektor posisi.
gambar 13
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Z
U(u1,u2, u3)
UV = UO + OV
= -u + v
u
Menu
=v–u
V(v1,v2, v3)
Petunjuk
O
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
X
v
=
Y
v 1 – u1
v 2 – u2
v 3 – u3
Jika dinyatakan dengan kombinasi
linear maka:
UV = v – u
= (v1 – u1)i + (v2 – u2)j + (v3 – u3)k
Jarak atau panjang vektor UV adalah:
| UV |  (v1  u1 )2  ( v2  u2 )  (v3  u3 )2
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Hasil kali titik (dot product) dua vektor adalah sebuah skalar.
Didefinisikan:
gambar 14
u.v = |u||v| Cos 
 = sudut antara u dan v
Menu
u

Petunjuk
Standar
Kompetensi
Jika : 0o    90o
maka u.v > 0
 = 90o
maka u.v = 0
90o    180o maka u.v < 0
v
gambar 15
Misalkan vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan
vektor v = (v1i + v2j + v3k). Perkalian titik
kedua vektor adalah:
u.v = (u1i + u2j + u3k).(v1i + v2j + v3k)
Z
Pendahuluan
k(0,0,1)
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
i(1,0,0)
X
O
Y
= u1v1 + u2v2 + u3v3
j(0,1,0)
atau secara geometris:
u.v = |u||v| Cos 
i.i = | i || i | Cos 0o = 1 analog, maka:
i.i = j.j = k.k = 1
i.j = | i || j | Cos 90o = 0 (i  j ) analog, maka i.j = j.k = k.i = 0
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
F. Perkalian Silang Vektor
Hasil kali silang (cross product) dua vektor adalah sebuah vektor.
gambar 16
uxv

Menu
Petunjuk
Didefinisikan:
u x v = |u||v| Sin 
 = sudut terkecil antara u dan v
Arah u x v ditentukan berdasarkan arah
putaran tangan kanan.

v
u
v
vxu
u
Standar
Kompetensi
gambar 17
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
i x i = |i||i| Sin 0o = 0 analog, maka:
ixi=jxj=kxk=0
Z
k(0,0,1)
i(1,0,0)
X
O
Y
j(0,1,0)
i x j = |i||j| Sin 90o = 1
(ij)
Berdasarkan definisi maka:
ixj=k
jxk=i
kxi=j
j x i = -k
k x j = -i i x k = -j
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Hasil dari perkalian silang dua vektor sama dengan menentukan nilai
determinan matriks ordo 3. Salah satu cara yang mudah dipakai adalah
cara Sarrus.
Vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan vektor v = (v1i + v2j + v3k).
i
Menu
j
u x v = u1 u2
v1 v 2
k
Pendahuluan
Uraian
Materi
j
k
i
j
u3  u1 u2
u3 u1 u2
v3
v 3 v1
Petunjuk
Standar
Kompetensi
i
v1 v 2
(–)
(–)
(–)
(+)
v2
(+)
(+)
u x v = ( u2v3i + u3v1j + u1v2k ) – ( u2v1k + u3v2i + u1v3j )
 u2v 3  u3 v 2 


u x v =  u3 v1  u1v 3 
 u v u v 
2 1
 1 2
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R3)
gambar 18

Z


O

Menu

u

Y
Petunjuk
Standar
Kompetensi
sudut antara vektor satuan j
dengan vektor u.
sudut antara vektor satuan k
dengan vektor u.
Jika u = u1i + u2j + u3k maka :
Cos  
u.i u1

ui
u
Cos  
u
u.k
 3
uk
u
X
gambar 19
Z
Pendahuluan
Uraian
Materi
b
Contoh Soal

O
Uji
Kompetensi
Referensi
sudut antara vektor satuan i
dengan vektor u.
B(b1,b2,b3)
Cos  
u. j
u
 2
u j
u
Vektor a = a1i + a2j + a3k dan
A(a1,a2,a3) vektor b = b1i + b2j + b3k maka

sudut antara kedua vektor:
a
Y
Cos  
Cos  
X
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
a.b
| a || b |
a1b1  a2b2  a3b3
a12  a22  a3 2 . b12  b22  b3 2
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Contoh Soal
1. Diketahui koordinat P(2, 3, 5) dan Q(1, 5, 2)
a) Nyatakan komponen dari PQ
b) Nyatakan PQ sebagai kombinasi linear vektor basis
b) Hitung panjang PQ
Penyelesaian:
Menu
a) PQ = PO + OQ = -p + q = q - p
Z
P(2,3,5)
Petunjuk
p
Standar
Kompetensi
O
Q(1,5,2)
q
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
 1  2    1
     
PQ   5    3    2 
 2  5   3
     
Y
b) Bila dinyatakan sebagai
kombinasi linear vektor basis,
maka:
X
PQ = – i + 2j – 3k
2
2
2
c) |PQ|  (1 2)  (5  3)  (2  5)
|PQ|  (1)2  22  (3)2
|PQ|  14
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Contoh Soal
2. Tentukan besar sudut antara vektor u = 3i – 2j + k dengan sumbusumbu koordinat.
Penyelesaian:
Menu
Petunjuk
Misalkan:
 sudut antara vektor u dengan sumbu X
 sudut antara vektor u dengan sumbu Y
 sudut antara vektor u dengan sumbu Z
Z

(3,-2,1)
Standar
Kompetensi
3

-2

Y
| u | 32  (2)2  12  14
X
Pendahuluan
Cos  
 3 14 
u1
3
3 14
  36,7o


   arc cos
 14 
|u|
14
14


Contoh Soal
Cos  
 2 14 
u2
2
2 14
  122,3o


   arc cos 

|u|
14
14 
14

Uji
Kompetensi
Cos  
 14 
u3
1
14
  74,5o


   arc cos
 14 
|u|
14
14


Uraian
Materi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Contoh Soal
3. Diketahui vektor a = (–1, 0, 2) dan b = (–3, 0, 1). Tentukan besar
sudut antara vektor a dan b.
Penyelesaian:
Z
b
Menu
Misalkan:

Petunjuk
Standar
Kompetensi
a
 adalah sudut antara vektor a dan b
Y
X
Pendahuluan
Cos  
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Cos  
Cos  
5
5. 10

5
5 2

a.b
| a || b |
 1(3)  0(0)  2(1)
(1)2  02  22 . (3)2  02  12
1

1
2   45o
2    arc cos
2
2

Jadi besar sudut antara vektor a dan b = 45o
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Contoh Soal
4. Ditentukan vektor a = –3i + 2j – 2k dan b = i – 4j + 3k. Hitunglah a x b.
Penyelesaian:
i
j
2
axb= 3
1 4
k
Pendahuluan
Uraian
Materi
j
2  3
3
1
(–)
Petunjuk
Standar
Kompetensi
i
2
k
i
j
2 3
2
4
(–)
3
(–)
1
4
(+)
(+)
(+)
a x b = ( 2(3)i + (-2)1j +(-3)(-4)k ) – ( 2(1)k + (-2)(-4)i + (-3)3j )
= ( 6i – 2j + 12k ) – ( 2k + 8i – 9j )
= (6 – 8)i + (– 2 + 9)j + (12 – 2)k
= – 2i + 7j + 10k
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Uji Kompetensi
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 )
b. ( 8, 5, 2 )
c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 )
e. ( -2, -9, 6 )
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Uji Kompetensi
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 )
b. ( 8, 5, 2 )
c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 )
e. ( -2, -9, 6 )
Jawaban Anda Belum Benar
Coba lagi?
Lihat jawaban?
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Uji Kompetensi
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 )
b. ( 8, 5, 2 )
c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 )
e. ( -2, -9, 6 )
Jawaban Anda Benar
Lihat jawaban?
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Uji Kompetensi
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 )
b. ( 8, 5, 2 )
c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 )
e. ( -2, -9, 6 )
Penyelesaian:
Menu
Petunjuk
Misalkan titik ujung vektor a adalah (a1, a2, a3)
Komponen suatu vektor = titik ujung – titik pangkal
Standar
Kompetensi
(3, -2, 4)
Pendahuluan
Komponen vektor a = titik ujung vektor a – titik pangkal vektor a
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
(a1, a2, a3)
 a1  3
 5 
 7    a  (2)
 2
  2


 a3  4









a1  3  5  a1  8
a2  2  7  a2  5
a3  4  2  a3  2
Jadi titik ujung vektor a adalah (8, 5, 2)
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Uji Kompetensi
2. Diketahui vektor u = – 2i + 4j – 6k. Tentukan besar sudut antara
vektor u dengan sumbu-sumbu koordinat.
Penyelesaian:
Misalkan:
 sudut antara vektor u dengan sumbu X
 sudut antara vektor u dengan sumbu Y
 sudut antara vektor u dengan sumbu Z
Z
Menu
O
Petunjuk
Standar
Kompetensi


Y

u
X
(-2, 4, -6)
Pendahuluan
| u | (2)2  42  (6)2  56  2 14
Uraian
Materi

u1
2
14
14 

Cos  


   arc cos 
 105,5o
 14 
|u|
14
2 14


Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
 14 
u2
4
14
  57,7o
Cos  


   arc cos
 7 
| u | 2 14
7


Cos  
 3 14 
u3
6
3 14
  143,3o


   arc cos 

|u|
14
14 
2 14

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Uji Kompetensi
3. Posisi sebuah pesawat pada waktu t jika disimulasikan dalam ruang
ditentukan oleh vektor (t, 2t, –t). Pada waktu t = 1 pesawat berada di
posisi A dan akan berada di posisi B setelah t = 2. Hitung jarak
tempuh pesawat dari posisi A ke B.
Penyelesaian:
Menu
Z
Posisi pesawat di A (t = 1) yaitu pada koordinat (1, 2, –1)
Posisi pesawat di B (t = 2) yaitu pada koordinat (2, 4, –2)
Petunjuk
Standar
Kompetensi
O
Y
A(1, 2, -1)
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
X
B(2, 4, -2)
Jarak A dan B: | AB | (2  1)2  (4  2)2  (2  (1))2  6
Jadi jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B adalah
6 satuan panjang.
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Uji Kompetensi
4. Ditentukan vektor a = (4, – 2, 1), b = (–2, 3, –2), dan c = (–1, 4, 3) .
Hitunglah a x (b + c).
Penyelesaian:
  2    1   3 
b + c =  3    4    7 
  2  3   1 
Petunjuk
Standar
Kompetensi
a x (b+c) =
i
j
k
4
2
1
3
7
1
(–)
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

i
j
k
i
j
4
2
1
4
2
3
7
1 3
7
(–)
(–)
(+)
(+)
(+)
a x (b+c) = ( (-2)1i + 1(-3)j + 4(7)k ) – ( (-2)(-3)k + 1(7)i + 4(1)j )
= ( – 2i – 3j + 28k ) – ( 6k + 7i + 4j )
= ( – 2 – 7)i + ( – 3 – 4)j + (28 – 6)k
= – 9i – 7j + 24k
= ( – 9, – 7, 24 )
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Referensi
Ю Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri
Analitis, Jilid 2, Erlangga, Jakarta, 1999.
Ю Suryadi D., H.S., Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang,
Ghalia Indonesia, Jakarta, 1999.
Ю Noormandiri B.K., Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 3A,
Erlangga, Jakarta, 2004.
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar
MATEMATIKA
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Biodata Tim
Nama
: Teopilus Malatuni, S.Pd.
NIP
: 132 225 903
Pekerjaan : Guru SMA Negeri 1 Kaimana,
Provinsi Irian Jaya Barat
Tugas
: Mengajar Mata Pelajaran Matematika,
Teknologi Informasi & Komunikasi
Alamat : Jalan Veteran, Kompleks SMAN 1 Kaimana 98654
Telp/Fax : Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21312; HP 081344039940
E-mail
: [email protected]
Nama
: Ani Juniati
NIP
: 
Pekerjaan : Staf Administrasi SMA Negeri 1 Kaimana,
Provinsi Irian Jaya Barat
Tugas
: Menangani dan mengoperasikan komputer pada
bagian Tata Usaha
Alamat : Jalan Pedesaan Kaimana
Telp/Fax : Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21740; HP 081344043041
E-mail
: [email protected]
Referensi
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni
Awal
Balik
Lanjut
Akhir
Keluar