Suryadi MT

STRUKTUR DISKRIT
K-2
LOGIKA
Program Studi Teknik Komputer
Departemen Teknik Elektro
Fakultas Teknik Universitas Indonesia
Suryadi MT
Struktur Diskrit
1
Pendahuluan
Studi tentang penalaran yang benar.
 Penggunaan Logika

Pada Matematika:

Untuk membuktikan teorema
Pada computer science:

Suryadi MT
Untuk membuktikan bahwa suatu program bekerja
sesuai dengan apa yang semestinya dikerjakan
Struktur Diskrit
2

Aminah memandang ali dengan riang. Ali
menghampiri aminah dan…. Memegang
tangannya yang lembut. Dengan langkah
perlahan mereka berdua berjalan menuju
danau. Apa yang erjadi di antara mereka ?
Suryadi MT
Struktur Diskrit
3
Pendahuluan

Logika merupakan dasar dari semua
penalaran (reasoning)  Penting untuk
bernalar matematis

Penalaran didasarkan pada hubungan
antara pernyataan (statements).
Suryadi MT
Struktur Diskrit
4
Pendahuluan




Logika: sistem yg didasarkan atas proposisi.
Proposisi: pernyataan atau kalimat deklaratif
yang bernilai benar atau salah, tapi tidak
kedua-duanya.
Bahwa nilai kebenaran dari suatu proposisi
adalah benar (T) atau salah (F).
Berkorespondensi dengan 1 dan 0 dalam dunia
digital.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
5
Permainan
“Gajah lebih besar daripada ayam.”
Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
Suryadi MT
Struktur Diskrit
BENAR
6
Permainan
“650 < 200”
Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
Suryadi MT
Struktur Diskrit
SALAH
7
Permainan
“x > 5”
Apakah ini sebuah pernyataan?
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
TIDAK
Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut
bergantung pada x, tapi nilainya belum
ditentukan.
Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai
fungsi proposisi atau kalimat terbuka.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
8
Permainan
“Sekarang bulan Februari dan 24 < 20.”
Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
Suryadi MT
Struktur Diskrit
SALAH
9
Permainan
“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”
Apakah ini sebuah pernyataan?
TIDAK
Ini adalah sebuah permintaan.
Apakah ini sebuah proposisi?
TIDAK
Hanya pernyataanlah yang bisa
menjadi proposisi.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
10
Permainan
“x < y jika dan hanya jika y > x.”
Apakah ini pernyataan ?
Apakah ini proposisi ?
… karena nilai kebenarannya
tidak bergantung harga
spesifik x maupun y.
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini ?
Suryadi MT
Struktur Diskrit
YA
YA
BENAR
11
Contoh 1 :
Semua pernyataan
proposisi:
di
bawah
ini
adalah
(a) 13 adalah bilangan ganjil
(b) Depok ibukota negara RI.
(c) 1 + 1 = 2
(d) 8  akar kuadrat dari 8 + 8
(e) Ada monyet di bulan
(f) Hari ini adalah hari Rabu
(g) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka
2n adalah bilangan genap
(h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan
riil
Suryadi MT
Struktur Diskrit
12
Contoh 2 :
Semua pernyataan di bawah ini bukan
proposisi
(a) Jam berapa kereta api Argo Gede tiba
di Bandung?
(b) Isilah gelas tersebut dengan air!
(c) x + 3 = 8
(d) x > 3
 Kesimpulan: Proposisi adalah kalimat
berita
Suryadi MT
Struktur Diskrit
13
Proposisi dilambangkan dengan huruf
kecil p, q, r, ….
Contoh:
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Depok ibukota Provinsi Jawa Barat.
r: 2+2=4
Suryadi MT
Struktur Diskrit
14
Mengkombinasikan Proposisi

Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Konjungsi (conjunction): p dan q
Notasi p  q,
2. Disjungsi (disjunction): p atau q
Notasi: p  q
3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p
Notasi: p

p dan q disebut proposisi atomik
Kombinasi p dengan q menghasilkan
proposisi majemuk (compound proposition)

Suryadi MT
Struktur Diskrit
15
Contoh 3. Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Siswa diliburkan dari sekolah
p  q : Hari ini hujan dan siswa diliburkan dari sekolah
p  q : Hari ini hujan atau siswa diliburkan dari sekolah
p : Tidak benar hari ini hujan
(atau: Hari ini tidak hujan)
Suryadi MT
Struktur Diskrit
16
Contoh 4:

Diketahui proposisi sebagai berikut :
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan

Nyatakan dalam bentuk simbolik dari :
Pemuda itu tinggi dan tampan.
b. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan.
c. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan.
d. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak
tampan.
e. Pemuda itu tinggi atau pendek dan tampan.
f.
Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
Suryadi MT
17
Struktur Diskrit
a.
Penyelesaiannya :
a.
b.
c.
d.
Pemuda itu tinggi dan tampan  p  q
Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan  p  q
Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan  p  q
Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak
tampan   (p  q)
e.
Pemuda itu tinggi atau pendek dan tampan  p  (p  q)
f.
Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun
tampan
  (p  q)
Suryadi MT
Struktur Diskrit
18
Operator Logika
Negasi (NOT)
 Konjungsi - Conjunction (AND)
 Disjungsi - Disjunction (OR)
 Eksklusif Or (XOR)
 Implikasi (JIKA – MAKA)
 Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA)

Tabel kebenaran dapat digunakan untuk menunjukkan
bagaimana operator-operator tsb menggabungkan
proposisi-proposisi.
19
Suryadi
MT
Negasi (NOT)
Operator Uner, Simbol: 
20
Suryadi
MT
p
p
true
false
false
true
Conjunction (AND)
Operator Biner, Simbol: 
21
Suryadi
MT
p
q
pq
true
true
true
true
false
false
false
true
false
false
false
false
Disjunction (OR)
Operator Biner, Simbol: 
22
Suryadi
MT
p
q
pq
true
true
true
true
false
true
false
true
true
false
false
false
Implikasi (JIKA - MAKA)
Implikasi p  q adalah proposisi yang bernilai
salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar
jika lainnya.
23
Suryadi
MT
p
q
pq
true
true
true
true
false
false
false
true
true
false
false
true
Contoh 5.
a.
Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah
dari ayah
b.
Jika suhu mencapai 80C, maka alarm akan
berbunyi
c.
Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda
dianggap mengundurkan diri
Suryadi MT
Struktur Diskrit
24
Implikasi p  q






Jika p, maka q
Jika p, q
p mengakibatkan q
p hanya jika q
p cukup untuk q
Syarat perlu untuk p
adalah q
25
Suryadi
MT






q jika p
q ketika p
q diakibatkan p
q setiap kali p
q perlu untuk p
Syarat cukup untuk q
adalah p
Hipotesis dan Konklusi

Pada proposisi bersyarat p  q,
p dikatakan hipotesis, antesenden,
premis, atau kondisi
q dikatakan consequent or konklusi
 “jika
p maka q" secara logika sama
dengan "p hanya jika q"
Suryadi MT
Struktur Diskrit
26
Kondisi Perlu dan Cukup
Sebuah kondisi perlu/necessary condition
dinyatakan oleh konklusi.
 Sebuah kondisi cukup/sufficient condition
dinyatakan oleh hipotesis.

Contoh:
“Jika Amir seorang dokter maka Mary seorang perawat"
Kondisi perlu: “Mary seorang perawat”
Kondisi cukup: “Amir seorang dokter”
Suryadi MT
Struktur Diskrit
27
Contoh 6. Proposisi berikut adalah implikasi dalam
berbagai bentuk:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.
Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.
Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air
laut naik.
Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa
Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Struktur
Diskrit.
Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan
api dari rokok.
Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah
dengan mengontrak pemain asing kenamaan.
Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.
28
Suryadi
MT
Contoh 7

Ubahlah proposisi ke-3 s/d ke-8 pada
Contoh 6 ke dalam bentuk proposisi “jika p
maka q”
Suryadi MT
Struktur Diskrit
29
Jawaban Contoh 7
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal,
maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.
Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Percikan api
dari rokok adalah syarat cukup untuk membuat pom bensin
meledak” atau “Jika api memercik dari rokok maka pom
bensin meledak”
Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Mengontrak
pemain asing kenamaan adalah syarat perlu untuk Indonesia
agar ikut Piala Dunia” atau “Jika Indonesia ikut Piala Dunia
maka Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan”.
Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
30
Penjelasan
Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori
Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus
matakuliah Matematika Diskrit.
Ingat: p  q dapat dibaca p hanya jika q
p : Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa
Formal
q : Ahmad sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.
Notasi standard: Jika p, maka q
Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori
Bahasa Formal maka ia sudah lulus matakuliah
Matematika Diskrit.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
31
Penjelasan
Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala
Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing
kenamaan.
Ingat: p  q dapat dibaca q syarat perlu untuk p
Susun sesuai format:
Mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat
perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia
q: Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan
p: Indonesia ikut Piala Dunia
Notasi standard: Jika p, maka q
Jika Indonesia ikut Piala Dunia, maka Indonesia
mengontrak pemain asing kenaman.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
32
Contoh 8. Misalkan
x : Anda berusia 17 tahun
y : Anda dapat memperoleh SIM
Nyatakan preposisi berikut ke dalam notasi implikasi:
(a) Hanya jika anda berusia 17 tahun maka anda
dapat memperoleh SIM.
(b) Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM
adalah anda berusia 17 tahun.
(c) Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM
adalah anda berusia 17 tahun.
(d) Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka
anda tidak berusia 17 tahun.
(e) Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana
anda belum berusia 17 tahun.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
33
Penyelesaian:
(a) Pernyataan yang ekivalen: “Anda dapat memperoleh
SIM hanya jika anda berusia 17 tahun”.
Ingat: p  q bisa dibaca “p hanya jika q”.
Notasi simbolik: y  x.
(b) Pernyataan yang ekivalen: “Anda berusia 17 tahun
adalah syarat cukup untuk dapat memperoleh SIM”.
Ingat: p  q bisa dibaca “p syarat cukup untuk q”.
Notasi simbolik: x  y.
(c) Pernyataan yang ekivalen: “Anda berusia 17 tahun
adalah syarat perlu untuk dapat memperoleh SIM”.
Ingat: p  q bisa dibaca “q syarat perlu untuk q”.
Notasi simbolik: y  x.
(d) ~y  ~x
(e) Ingat: p  q bisa dibaca “q bilamana p”.
Notasi simbolik: ~x  ~ y.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
34
Penjelasan (dengan contoh lain)
Dosen: “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau
lebih, maka anda akan mendapat nilai A
untuk kuliah ini”.
Apakah dosen anda mengatakan kebenaran
atau dia berbohong?
Tinjau empat kasus berikut ini:
Suryadi MT
Struktur Diskrit
35
Kasus 1:
Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis
benar) dan anda mendapat nilai A untuk
kuliah tersebut(konklusi benar).
 pernyataan dosen benar.
Kasus 2:
Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis
benar) tetapi anda tidak mendapat nilai A
(konklusi salah).
 dosen berbohong (pernyataannya salah).
Suryadi MT
Struktur Diskrit
36
Kasus 3:
Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda
mendapat nilai A (konklusi benar).
 dosen anda tidak dapat dikatakan salah (Mungkin ia
melihat kemampuan anda secara rata-rata bagus sehingga ia
tidak ragu memberi nilai A).
Kasus 4:
Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda
tidak mendapat nilai A (konklusi salah).
 dosen anda benar.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
37

Perhatikan bahwa dalam implikasi yang
dipentingkan nilai kebenaran premis dan
konsekuen, bukan hubungan sebab dan
akibat diantara keduanya.

Beberapa implikasi di bawah ini valid
meskipun secara bahasa tidak mempunyai
makna:
“Jika 1 + 1 = 2 maka Paris ibukota Perancis”
“Jika n bilangan bulat maka hari ini hujan”
Suryadi MT
Struktur Diskrit
38
Logical equivalence

Dua proposisi dikatakan logically equivalent
jika tebel kebenarannya identik.
p
q
~p  q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
9 : ~p  q logically equivalent
dengan p  q
 Contoh
Suryadi MT
Struktur Diskrit
39
Converse

Converse dari p  q adalah q  p
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
F
T
T
qp
T
T
F
T
Dua proposisi ini tidak logically equivalent
Suryadi MT
Struktur Diskrit
40
Kontrapositif

Kontrapositif dari proposisi p  q adalah
~q  ~p.
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
F
T
T
~q  ~p
T
F
T
T
Keduanya logically equivalent.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
41
Contoh 10.
Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto
jitu untuk menarik pembeli. Pedagang pertama
mengumbar moto “Barang bagus tidak murah”
sedangkan pedagang kedua mempunyai moto
“Barang murah tidak bagus”. Apakah kedua moto
pedagang tersebut menyatakan hal yang sama?
Suryadi MT
Struktur Diskrit
42
 Implikasi Dalam Bahasa Pemrograman
if c then S
c: ekspresi logika yang menyatakan syarat/kondisi
S: satu atau lebih pernyataan.
S dieksekusi jika c benar,
S tidak dieksekusi jika c salah.
 Struktur if-then pada bahasa pemrograman berbeda dengan implikasi if-then
yang digunakan dalam logika.
 Pernyataan if-then dalam bahasa pemrograman bukan proposisi karena tidak
ada korespondensi antara pernyataan tersebut dengan operator implikasi
().
 Interpreter atau compiler tidak melakukan penilaian kebenaran pernyataan
if-then secara logika. Interpreter hanya memeriksa kebenaran kondisi c, jika
c benar maka S dieksekusi, sebaliknya jika c salah maka S tidak dieksekusi.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
43
Contoh 11.
Misalkan di dalam sebuah program yang ditulis
dalam Bahasa Pascal terdapat pernyataan
berikut:
if x > y then y:=x+10;
Berapa nilai y setelah pelaksanaan eksekusi
if-then jika:
(i) x = 2, y = 1
(ii) x = 3, y = 5?
Penyelesaian: ??
Suryadi MT
Struktur Diskrit
44

Operator proposisi di dalam Google
Suryadi MT
Struktur Diskrit
45
Suryadi MT
Struktur Diskrit
46
Contoh 12. Bentuklah tabel kebenaran dari proposisi
majemuk (p  q)  (~q  r).
p
q
r
pq
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
F
F
F
Suryadi MT
~q ~q  r (p  q)  (~q  r)
F
F
T
T
F
F
T
T
Struktur Diskrit
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
47
Proposisi majemuk disebut tautologi
jika ia benar untuk semua kasus
 Contoh 13 : p  p v q

Suryadi MT
p
q
ppvq
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
T
Struktur Diskrit
48

Proposisi majemuk disebut kontradiksi
jika ia salah untuk semua kasus.
Contoh 14. (p  q)  ~(p  q) adalah sebuah kontradiksi
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
Suryadi MT
pq
F
T
T
F
~(p  q)
F
F
F
T
Struktur Diskrit
(p  q)  ~(p  q)
F
F
F
F
49
Hukum Logika
Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.
1. Hukum identitas:
 p  Fp
 p  T p
2. Hukum null/dominasi:
 p  F F
 p  T  T
3. Hukum negasi:
 p  ~p  T
 p  ~p  F
4. Hukum idempoten:
 p  p  p
 p  p  p
5. Hukum involusi (negasi
ganda):
 ~(~p)  p
6. Hukum penyerapan
(absorpsi):
 p  (p  q)  p
 p  (p  q)  p
Suryadi MT
Struktur Diskrit
50
7. Hukum komutatif:
 pqqp
 pqqp
8. Hukum asosiatif:
 p  (q  r)  (p  q)  r
 p  (q  r)  (p  q)  r
9. Hukum distributif:
10. Hukum De Morgan:
 ~(p  q)  ~p  ~q
 ~(p  q)  ~p  ~q


p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Suryadi MT
Struktur Diskrit
51
Varian Proposisi Bersyarat
qp
~p~q
~q~p
Konvers (kebalikan):
Invers
:
Kontraposisi
:
p
q
~p
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
Suryadi MT
Implikasi
~q pq
F
T
F
T
T
F
T
T
Konvers Invers
Kontraposisi
qp ~p~q ~q~p
T
T
F
T
Struktur Diskrit
T
T
F
T
T
F
T
T
52
Contoh 15. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi
dari:
“Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”
Penyelesaian:
Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai
mobil
Invers
: Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia
bukan orang kaya
Kontraposisi: Jika Amir bukan orang kaya, maka ia
tidak mempunyai mobil
Suryadi MT
Struktur Diskrit
53
Implikasi Berganda

Implication berganda “p jika dan hanya jika
q” dinyatakan dengan simbol p  q
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
(p  q) ^ (q 
p)
T
F
F
T
p  q logically equivalent dengan(p  q)^(q
 p)
Suryadi MT
54
Struktur Diskrit
Bikondisional (Bi-implikasi)
 Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”
 Notasi: p  q
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
 p  q  (p  q)  (q  p).
Suryadi MT
Struktur Diskrit
55
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
pq
T
F
F
T
pq
qp
(p  q)  (q  p)
T
F
T
T
T
T
F
T
T
F
F
T
 Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q”
dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
56
 Cara-cara menyatakan bikondisional p  q:
(a) p jika dan hanya jika q.
(b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.
(c) Jika p maka q, dan sebaliknya.
(d) p iff q
Suryadi MT
Struktur Diskrit
57
Contoh 16.
Proposisi majemuk berikut adalah biimplikasi:
(a) 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
(b) Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan
adalah kelembaban udara tinggi.
(c) Jika anda orang kaya maka anda mempunyai
banyak uang, dan sebaliknya.
(d) Bandung terletak di Jawa Barat iff Jawa Barat
adalah sebuah propinsi di Indonesia.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
58
Contoh 17
Diberikan pernyataan “Perlu memiliki password yang sah
agar anda bisa log on ke server”
(a) Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi
“jika p, maka q”.
(b) Tentukan ingkaran, konvers, invers, dan kontraposisi
dari pernyataan tsb.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
59
Penyelesaian 17:
Misalkan
p : Anda bisa log on ke server
q : Memiliki password yang sah
maka
(a) Jika anda bisa log on ke server maka anda memiliki password
yang sah
(b) Ingkaran: “Anda bisa log on ke server dan anda tidak memiliki
password yang sah”
Konvers: “Jika anda memiliki password yang sah maka anda
bisa log on ke server”
Invers: “Jika anda tidak bisa log on ke server maka anda tidak
memiliki password yang sah”
Kontraposisi: “Jika anda tidak memiliki password yang sah
maka anda tidak bisa log on ke server”
Suryadi MT
Struktur Diskrit
60

Bila dua proposisi majemuk yang
ekivalen di-bikondisionalkan, maka
hasilnya adalah tautologi.
Teorema:
 Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..)
dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen secara
logika, dilambangkan dengan P(p, q, …)
 Q(p, q, …), jika P  Q adalah
tautologi.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
61
Tabel kebenaran p dan p  q
p
T
T
F
F
q pq
T
T
F
F
T
T
F
T
Kasus 1: Amir dianggap berbohong, maka apa yang dikatakan
Amir itu keduanya salah ( p salah, q salah)
Kasus 2: Amir dianggap jujur, maka apa yang dikatakan Amir
itu keduanya benar (p benar, q benar).
Tabel menunjukkan bahwa mungkin bagi p dan p  q benar,
tetapi tidak mungkin keduanya salah. Ini berarti Amir
mengatakan yang sejujurnya, dan kita menyimpulkan bahwa
Amir memang benar melihat harimau di hutan.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
62
Disjungsi Eksklusif
Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam
salah satu dari dua cara:
1. Inclusive or
“atau” berarti “p atau q atau keduanya”
Contoh: “Tenaga IT yang dibutuhkan menguasai
Bahasa C++ atau Java”.
2. Exclusive or
“atau” berarti “p atau q tetapi bukan keduanya”.
Contoh: “Ia dihukum 5 tahun atau denda 10 juta”.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
63
Exclusive Or (XOR)
Operator Biner, Simbol: 
64
Suryadi
MT
p
q
pq
true
true
false
true
false
true
false
true
true
false
false
false
Contoh 18
Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan
p : Pelayanannya baik,
q : Tarif kamarnya murah, dan
r : Hotelnya berbintang tiga.
Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi simbolik
(menggunakan p, q, r):
(a) Tarif kamarnya murah, tapi pelayanannya buruk.
(b) Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik, namun tidak
keduanya.
(c) Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif kamarnya murah
dan pelayanannya buruk.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
65
Penyelesaian 18
p : Pelayanannya baik,
q : Tarif kamarnya murah,
r : Hotelnya berbintang tiga.
(a) Tarif kamarnya murah, tapi pelayanannya buruk.
qp
(b) Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik, namun tidak
keduanya.
q  p
(c) Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif kamarnya murah
dan pelayanannya buruk.
~ r  q ~ p 
Suryadi MT
Struktur Diskrit
66
Argumen
Argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai
p1
p2

pn
 q
yang dalam hal ini, p1, p2, …, pn disebut hipotesis (atau premis),
dan q disebut konklusi.
Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid).
Suryadi MT
Struktur Diskrit
67
Definisi. Sebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi
benar bilamana semua hipotesisnya benar; sebaliknya
argumen dikatakan palsu (fallacy atau invalid).
Jika argumen sahih, maka kadang-kadang kita mengatakan
bahwa secara logika konklusi mengikuti hipotesis atau
sama dengan memperlihatkan bahwa implikasi
(p1  p2    pn)  q
adalah benar (yaitu, sebuah tautologi). Argumen yang
palsu menunjukkan proses penalaran yang tidak benar.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
68
Contoh 19
Perlihatkan bahwa argumen berikut:
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka
tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di
laut. Karena itu tsunami datang.
adalah sahih.
Penyelesaian:
Misalkan:
p : Air laut surut setelah gempa di laut
q : Tsunami datang:
Argumen:
pq
p
 q
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesahihan
argumen ini.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
69
Cara 1: Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan p  q
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
pq
T
F
T
T
(baris 1)
(baris 2)
(baris 3)
(baris 4)
Argumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, maka
konklusinya benar. Kita periksa apabila hipotesis p dan p  q
benar, maka konklusi q juga benar sehingga argumen dikatakan
benar. Periksa tabel, p dan p  q benar secara bersama-sama pada
baris 1. Pada baris 1 ini q juga benar. Jadi, argumen di atas sahih.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
70
Proposisi dan Fungsi
Fungsi proposisi (kalimat terbuka) :
Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih.
Contoh : x - 3 > 5.
Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(x), dengan
P adalah predikat dan x adalah variabel.
Apakah nilai kebenaran dari P(2) ?
Salah
Apakah nilai kebenaran dari P(8) ?
Salah
Apakah nilai kebenaran dari P(9) ?
Benar
Suryadi MT
Matematika Diskrit Kuliah-1
71
Fungsi Proposisi
Perhatikan fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan:
x + y = z.
Disini, Q adalah predikat dan x, y, and z adalah
variabel.
Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ?
Benar
Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ?
Salah
Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ?
Benar
Suryadi MT
Matematika Diskrit Kuliah-1
72
Kuantifikasi Universal
Mis. P(x) suatu fungsi proposisi.
Kalimat yg dikuantifikasi secara universal :
Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x)
adalah benar.
Dengan kuantifier universal :
x P(x) “untuk semua x P(x)”
“untuk setiap x P(x)”
atau
(Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah
proposisi, bukan fungsi proposisi.)
Suryadi MT
Matematika Diskrit Kuliah-1
73
Kuantifikasi Universal
Contoh :
S(x): x adalah seorang mahasiswa IT.
G(x): x adalah seorang yang pandai.
Apakah arti dari x (S(x)  G(x)) ?
“Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah
seorang yang pandai”
atau
“Semua mahasiswa IT pandai.”
Suryadi MT
Matematika Diskrit Kuliah-1
74
Kuantifikasi Eksistensial
Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial:
Ada x di dalam semesta pembicaraan dengan P(x)
benar.
Dengan peng-kuantifikasi eksistensial :
x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).”
“Ada sedikitnya sebuah x sedemikian
hingga P(x).”
(Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan
sebuah proposisi, tapi bukan fungsi proposisi.)
Suryadi MT
Matematika Diskrit Kuliah-1
75
Kuantifikasi Eksistensial
Contoh :
P(x): x adalah seorang dosen IT.
G(x): x adalah seorang yang pandai.
Apakah arti x (P(x)  G(x)) ?
“Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen
IT dan x adalah seorang yang pandai.”
atau
“Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang
yang pandai.”
Suryadi MT
Matematika Diskrit Kuliah-1
76
Kuantifikasi
Contoh lain :
Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil.
Apakah arti dari x y (x + y = 320) ?
“Untuk setiap x ada y sehingga x + y = 320.”
Apakah pernyataan ini benar ?
Ya
Apakah ini benar untuk bilangan cacah?
Tidak
Suryadi MT
Matematika Diskrit Kuliah-1
77
Disproof dengan counter-example
Counter-example dari x P(x) adalah sebuah
objek c sehingga P(c) salah.
Pernyataan seperti x (P(x)  Q(x)) dapat didisproof secara sederhana dengan memberikan
counter-example-nya.
Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.”
Disproved dengan counterexample: Penguin.
Suryadi MT
Matematika Diskrit Kuliah-1
78
Generalisasi hukum De Morgan’s
(Negasi)

jika P(x) fungsi proposional, maka setiap
pasang proposisi dalam a) dan b) dibawah
mempunyai nilai kebenaran yang sama:
a). ~(x P(x)) dan x: ~P(x)
“tidak benar bahwa untuk setiap x, P(x)"
equivalen dengan
“Ada x untuk mana P(x) tidak benar“
Suryadi MT
Matematika Diskrit Kuliah-1
79
Generalisasi hukum De Morgan’s
(Negasi)

jika P(x) fungsi proposional, maka setiap
pasang proposisi dalam a) dan b) dibawah
mempunyai nilai kebenaran yang sama:
b) ~(x P(x)) dan x: ~P(x)
“Tidak benar bahwa ada x untuk mana P(x)
benar"
equivalen dengan
“Untuk semua x, P(x) tidak benar"
Suryadi MT
Matematika Diskrit Kuliah-1
80