Vektor - WordPress.com

BAB 6
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
DEFINISI VEKTOR
Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu.
Contoh Skalar : Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain-lain
Contoh Vektor : Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain-lain.

Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah.

Arah Panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya
vektor.

Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor.

Ujung panah disebut titik ujung vektor.

Vektor ditulis dalam huruf kecil tebal (a,k,w,u dan x) , sedangkkan Skalar ditulis
dengan huruf kecil miring (a,k,w,u dan x).

Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B,
maka ditulis dengan lambang
𝑢̅ = ⃗⃗⃗⃗⃗
AB , panjang vektor u dinyatakan dengan |u| dan panjang vektor AB dinyatakan
dengan |AB|
VEKTOR SECARA ILMU UKUR
 VEKTOR -
VEKTOR YANG PANJANG DAN ARAHNYA SAMA DISEBUT
EKUIVALEN, VEKTOR-VEKTOR YANG EKUIVALEN DIPANDANG SAMA
WALAUPUN MUNGKIN TERLETAK PADA POSISI YANG BERBEDA.
 JIKA V DAN W EKUIVALEN, KITA TULISKAN : V = W
B
A
Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
AB
Vektor – vektor yang EKUIVALEN
Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka jumlah v dan w adalah
vektor yang ditentukan sebagai berikut :

Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan
dengan titik ujung v.

Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v ke titik
ujung w.
W
V+W=W+V
V
V+W
 Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0.
 Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka
–v, negatif dari v,
didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi
arahnya terbalik.
V
•
-V
VEKTOR INI MEMPUNYAI SIFAT :
V + (-V) = 0
Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol
(skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya
k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan
berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita definisikan k v = 0 jika k = 0
atau v = 0
OPERASI PADA VEKTOR
 Penjumlahan Vektor
 Pengurangan Vektor
 Perkalian Skalar
VEKTOR DI DALAM RUANG BERDIMENSI
N
Vektor-vektor dalam sistem koordinat
 Vektor - Vektor dalam Ruang Berdimensi 2 (Bidang)
Koordinat v1 dan v2 dari titik ujung v disebut komponen v , dan kita v disebut komponen v ,
dan kita tuliskan :
y
v = (v1, v2)
(v1, v2)
v
x
 Vektor - Vektor dalam Ruang Berdimensi 3 (Bidang)
z
(v1,v2,v3)
v
y
x
Jika vektor P1P2 mempunyai titik pangkal P1(x1,y1,z1)
maka P1P2 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)
Dengan kata lain
P1P2 = OP2 - OP1
dan titik ujung P2 (x2,y2,z2),
Panjang & Jarak Vektor
 Panjang atau norma suatu vektor u dinyatakan dengan |u|.
Untuk Ruang berdimensi 2.
u = (u1,u2)
|u| = √u12 + u22
Untuk Ruang berdimensi 3.
u = (u1,u2,u3)
|u| = √u12 + u22 + u32
 Jarak suatu vektor dinyatakan dengan d .
Untuk Ruang berdimensi 2.
u = (u1,u1) dan v = (V2,V2)
jarak u dan v adalah d (u,v) = √(𝑉2 − 𝑢1)2 + (𝑉2 − 𝑢1)2
Untuk Ruang berdimensi 3.
u = (u1,u2,u3) dan V = (V1,V2,V3)
jarak u dan v adalah d (u,v) = √(𝑉1 − 𝑢1)2 + (𝑉2 − 𝑢2)2 + (𝑉3 − 𝑢3)2
6.1 OPERASI HASILKALI TITIK
DEFINISI :
Jika u dan v adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan θ
adalah sudut antara u dan v, maka hasilkali titik (dot product) u . v didefinisikan oleh :
u . v = ||u|| ||v|| cos θ ;
jika u ≠ 0 dan v ≠ 0
Menentukan Hasilkali Titik dari komponen-komponen :
Jika u=(1,-2,3), v =(-3,4,2) , dan w=(3,6,3) maka :
u . v = (1)(-3) + (-2)(4) + (3)(2) = -5
v . w = (-3)(3) + (4)(6) + (2)(3) = 21
u . w = (1)(3) + (-2)(6) + (3)(3) = 0
Sifat – sifat Hasilkali Titik :
u.v=v.u
u . (v + w) = u . v + u . w
k(u . v) = (ku) . v = u. (kv)
v . v > 0 jika v ≠ 0, dan v .v = 0 jika v = 0
6.2 PROYEKSI ORTOGONAL
VEKTOR ORTOGONAL
Vektor Ortogonal adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus.
Dua vektor tak nol adalah ORTOGONAL jika dan hanya jika hasilkali titiknya adalah nol.
Dua vektor u dan v ortogonal
(tegak lurus)
jika dan hanya jikaanya jika u . v = 0.
Dinotasikan dengan : u ⊥ v.
PROYEKSI ORTOGONAL
Pada sejumlah aplikasi kita perlu “menguraikan” suatu vektor u menjadi jumlah dari dua
vektor, dimana yang satu sejajar dengan suatu vektor tak nol a tertentu, Dan yang lainnya
tegak lurus terhadap a .
Jika u dan a ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik-titik awalnya berhimpitan di titik Q,
maka kita dapat menguraikan vektor u dengan cara : menarik garis dari ujung u yang
memotong tegak lurus a dan buatlah vektor w1 dari Q hingga ke kaki dari garis tegak lurus
tersebut. Kemudian hitunglah selisih dari w2 = u – w1
u
w2
w1
a
Vektor w1 sejajar dengan a, vektor w2 tegak lurus terhadap a, dan w1 + w2 = w1 + (u-w1) = u

Vektor w1 disebut sebagai proyeksi ortogonal u pada a (orthogonal projection of u
on a) atau kadang-kadang disebut komponen vektor u sepanjang a (vector
componentof u along a). Dinotasikan sebagai :
proja u

Vektor w2 disebut komponen vektor u yang orthogonal terhadap a (vector
component of u orthogonal to a). Karena w2 = u – w1, vektor ini dapat ditulis dengan
notasi sebagai :
w2 = u - proja u
TEOREMA :
Jika u dan a adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan
jika a ≠ 0, maka :
u.a
a (komponen vektor u sepanjang a)
proja u =
║a║2
u.a
u - proja u = u -
a (komponen vektor u yg orthogonal thdp a)
║a║2
6.3
OPERASI HASILKALI SILANG
DEFINISI
Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka
hasilkali silang (cross product) u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai :
(u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1 )
Atau dalam notasi determinan adalah sbb :
uxv =
u2
u3
u1
u3
v2
v3 ,
v1
v3
,
u1
u2
v1
v2
Sifat – Sifat Hasilkali Silang :
a) u x v = -(v x u)
b) u x (v+w) = (u x v) + (u x w)
c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w)
d) k(u x v) = (ku)x v = u x (kv)
e) u x 0 = 0 x u = 0
f) u x u = 0
6.4
LATIHAN
DAN
TUGAS