INVERSI SEISMIK MODEL BASED DAN BANDLIMITED

BAB II
PERAMBATAN GELOMBANG SEISMIK
2.1 Teori Perambatan Gelombang Seismik
Metode seismik adalah sebuah metode yang memanfaatkan perambatan
gelombang elastik dengan bumi sebagai medium rambatnya. Perambatan ini
bergantung pada sifat elastik dari batuan. Untuk memahami proses perambatan
gelombang ini, berikut ini sedikit penjelasan mengenai konsep dasar elastisitas.
Ukuran dan bentuk dari benda padat dapat diubah dengan memberikan gaya
terhadap permukaan luar benda. Gaya yang berasal dari luar ini akan dilawan oleh
gaya internal yang menghambat perubahan pada ukuran dan bentuknya. Sebagai
hasilnya, benda tersebut cenderung untuk kembali kepada kondisi semula ketika gaya
luarnya dihilangkan. Sifat dari kemampuan untuk melawan perubahan pada bentuk
dan ukuran serta mengembalikan kondisi kepada bentuk dan ukuran semula ketika
gaya luar dihilangkan dinamakan elastik (Telford et.al,1990).
2.1.1 Gelombang elastik
Gelombang elastik adalah suatu gelombang yang merambat sebagai akibat
terjadinya deformasi elastik, salah satu jenis dari gelombang elastik adalah
gelombang seismik.
iv
Berdasarkan lokasi perambatannya, gelombang seismik terbagi menjadi dua,
yaitu gelombang badan (body wave) dan gelombang permukaan (surface wave).
Gelombang badan adalah gelombang yang merambat melewati interior bumi (Telford
et.al,1990), sedangkan gelombang permukaan adalah gelombang yang merambat
pada permukaan bumi.
2.1.1.1 Gelombang badan
Gelombang badan adalah gelombang yang energinya ditransfer melewati
interior bumi. Gelombang badan merupakan gelombang sinyal yang diprioritaskan
dalam eksplorasi seismik. Gelombang badan merambat dalam batuan bawah
permukaan bumi sebagai hasil dari sumber energi (pukulan, vibroseis, ledakan, dan
lain lain) yang terpantulkan saat gelombang menyentuh lapisan dengan kontras
impedansi yang berbeda. Berdasarkan sifat gerakan partikel mediumnya, gelombang
badan dibagi menjadi dua, yaitu gelombang P (pressure) dan gelombang S (shear).
Tipe pertama dikenal sebagai gelombang dilatasi, longitudinal, kompresional
atau gelombang P,indeks P juga diberikan berdasarkan fakta bahwa gelombang ini
biasanya tiba paling awal
(primary) pada perekaman seismik. Gelombang P
menggerakkan partikel tanah searah dengan arah perambatan gelombang.Jika
gelombang P merambat tanpa membangkitkan gelombang S, maka gelombang
tersebut disebut sebagai gelombang akustik. Jika gelombang P merambat dan
membangkitkan gelombang S, maka gelombang ini
elastik.
v
disebut sebagai gelombang
Gb.2.1 Arah perambatan dari gelombang P (Reynolds,1998)
Gelombang S (shear) disebut juga gelombang rotasi (curl) atau transversal,
yang berarti gerakan partikel berarah tegak lurus terhadap arah perambatan
gelombang. Gelombang S memiliki kecepatan yang lebih rendah dari gelombang P
sehingga biasanya disebut sebagai gelombang sekunder. Gelombang S menggerakkan
partikel tanah tegak lurus arah perambatan gelombang.
Gb.2.2 Arah perambatan dari gelombang S (Reynolds,1998)
vi
2.1.1.2 Gelombang permukaan
Untuk medium homogen isotropis tak hingga, hanya terdapat gelombang P
dan gelombang S. Namun, ketika mediumnya berhingga pada segala arah, terdapat
sebuah tipe gelombang lain yang dibangkitkan. Gelombang ini disebut juga
gelombang permukaan (Telford et.al,1990). Gelombang permukaan merupakan
gelombang dengan amplitude besar dan berfrekuensi rendah yang merambat pada
permukaan bebas (free surface). Kecepatan perambatannya berkisar antara 500 m/s
sampai 600 m/s. Berdasarkan sifat gerakan partikel mediumnya, gelombang
permukaan di bagi menjadi 2 yaitu gelombang Rayleigh dan gelombang Love.
Gelombang Rayleigh atau ground roll merupakan gelombang permukaan
yang gerakan partikelnya merupakan kombinasi dari gerak gelombang longitudinal
dan transversal. Amplitude dari gerak gelombang ini menurun secara eksponensial
terhadap kedalaman. Dalam perjalanan nya, partikel gelombang ini melewati suatu
lintasan elips, dengan sumbu mayor elips terletak pada sumbu vertikal (Telford
et.al,1990).
Gb.2.3 Ilustrasi gerakan partikel dari gelombang Rayleigh (Mussett and Khan,2000)
ii
Gelombang Love adalah gelombang permukaan yang merambat dalam bentuk
gelombang transversal. Gerakan partikelnya mirip dengan gelombang S, dan biasanya
disebut dengan gelombang SH. Kecepatan perambatannya bergantung pada panjang
gelombangnya dan bervariasi sepanjang permukaan.
Gb.2.4 Ilustrasi gerakan partikel dari gelombang Love (Mussett and Khan,2000)
2.2 Persamaan Rambat Gelombang Elastik
Gelombang yang berada dalam keadaan tidak teredam dapat dinyatakan
dengan persamaan sebagai berikut : ∇
∇2 ψ =
1 ∂2ψ
v2 ∂ t 2
(2.1)
dengan
r
∂ r ∂ r ∂
∇ = iˆ + j
+k
∂x
∂y
∂z
(2.2)
Persamaan rambat gelombang P dan S dapat diturunkan dari Hukum Hooke
(Lampiran A) yang menyatakan hubungan antara stress (gaya persatuan luas) dan
strain (perubahan dimensi) sebagai :
σ ii = λ Δ + 2 με ii
iii
(2.3)
σ ij = με ij ; i ≠ j
(2.4)
Dalam persamaan di atas i, j=x, y, z sedangkan λ dan μ dikenal sebagai konstanta
Lame. Konstanta μ didefinisikan sebagai kemampuan menahan strain geser, sehingga
μ seringkali disebut sebagai modulus geser. Δ adalah perubahan volume sebagai
akibat dari tekanan: Δ =
∂u ∂v ∂w
+
+
= ε xx + ε yy + ε zz
∂x ∂y ∂z
Persamaan (2.3) menyatakan hubungan antara stress (σii) dan strain (εii) pada
keadaan satu arah sedangkan persamaan (2.4) menyatakan hubungan stress dan strain
yang saling tegak lurus. Dalam Gambar 2.5 diperlihatkan hubungan antara stress dan
strain.
tekanan
strain searah
stress
strain tegak lurus
stress
Kondisi benda pada keadaan awal
Kondisi benda pada keadaan akhir
Gambar 2.5 Penggambaran stress dan strain yang ditimbulkan oleh tekanan.
iv
Dalam hukum Newton, gaya (F) pada suatu benda setara dengan massa benda
(M) dikalikan percepatannya (a): F = M.a. Sehubungan dengan pergeseran (u)
sebagai akibat dari tekanan sepanjang sumbu-x, hukum Newton tersebut diungkapkan
sebagai berikut (lihat Lampiran 2):
∂ 2u
∂Δ
ρ 2 = (λ + μ )
+ μ ∇ 2u
∂x
∂t
(2.5)
di mana ρ adalah massa jenis bahan. Sehubungan dengan tekanan dalam arah sumbuy dengan pergeseran v:
∂ 2v
∂Δ
ρ 2 = (λ + μ ) + μ ∇ 2 v
∂t
∂y
(2.6)
dan dalam arah sumbu-z dengan pergeseran w:
ρ
∂2w
∂Δ
= (λ + μ )
+ μ ∇2w
2
∂z
∂t
(2.7)
Jika persamaan (2.5) didiferensiasikan terhadap x, persamaan (2.6)
didiferensiasikan terhadap y dan persamaan (2.7) terhadap z lalu dijumlahkan, akan
didapat
ρ
∂ 2Δ
= (λ + 2μ )∇ 2 Δ
2
∂t
(2.8)
Persamaan (2.8) adalah persamaan untuk gelombang P karena beroperasi pada
arah sejajar (searah) dengan komponen gaya. Jika persamaan (2.8) dibandingkan
dengan persamaan gelombang umum (2.1), maka akan diperoleh perumusan
kecepatan rambat gelombang P, yaitu
v
vp
=
λ + 2μ
ρ
(2.9)
di mana λ adalah konstanta Lame dan ρ adalah massa jenis.
Selanjutnya untuk gelombang S pada sumbu x, nilai kecepatan diperoleh
dengan mengurangkan turunan dari persamaan (2.6) terhadap z dan turunan dari
persamaan (2.7) terhadap y, diperoleh:
∂2
ρ 2
∂t
⎛ ∂w ∂v ⎞
⎛ ∂w ∂v ⎞
⎜⎜
− ⎟⎟ = μ∇ 2 ⎜⎜
− ⎟⎟
⎝ ∂y ∂z ⎠
⎝ ∂y ∂z ⎠
sehingga
1 ∂ 2θ x
= ∇ 2θ x
2
2
β ∂t
,β2 =
μ
ρ
(2.10)
Persamaan (2.10) adalah persamaan untuk gelombang S, karena beroperasi
pada arah tegak lurus terhadap komponen gaya. Jika persamaan (2.10) dibandingkan
dengan persamaan umum gelombang (2.1), maka diperoleh perumusan kecepatan
gelombang S, yaitu
vs =
μ
ρ
(2.11)
di mana μ adalah modulus geser dan ρ adalah massa jenis. Berdasarkan persamaan
ini, gelombang S tidak dapat merambat pada medium cair maupun udara karena
cairan dan udara mempunyai modulus geser bernilai nol.
vi