Skalar dan Vektor - Binus Repository

Matakuliah
Tahun
Versi
: K0252/Fisika Dasar I
: 2007
: 0/2
Materi yang akan dibahas meliputi :
1.Vektor 2. Kinematika partikel 3. Dinamika
4. Usaha 5. Impuls Momentum 6. Rotasi
7. Elastisitas 8. Suhu dan Kalor 9. Teori Gas
Kinetik dan Perpidahan kalor 10. Getaran
1
Matakuliah
Tahun
Versi
: K0252/Fisika Dasar
: 2007
: 0/2
Pertemuan Pertama (01)
Vektor
2
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan dapat :
Mengindentifikasikan vektor : Skalar dan vektor ; -skalar
, - vektor, perjumlahan/pengurangan vektor (Grafis) ; perjumlahan vektor , - pengu rangan vektor , sistem salib
sumbu Kartesian dan komponen vektor ; - komponen
vektor dalam ruang , operasi vektor (Analisis) ; - perjum
lahan/pengurangan vektor ; - perkalian vektor ; - dot
product , - cross product → C1 (TIK - 1)
3
Outline Materi
• Materi 1
Skalar dan vektor
- Skalar
- Vektor
• Materi 2
Perjumlahan/pengurangan vektor (Grafis)
- Perjumlahan vektor
- Pengurangan vektor
• Materi 3
Sistem salib sumbu Kartesian dan komponen vektor
- Komponen vektor dalam ruang
• Materi 4
Operasi vektor (Analisis)
- Perjumlahan/pengurangan vektor
- Perkalian vektor
- Dot Product
- Cross Product
4
ISI
.
.
.
.
.
.
.
Pertemuan ini membahas mengenai : besaran
skalar dan vektor . Operasi vektor meliputi vektor
satuan , penguraian vektor atas komponen-kom
ponennya , perjumlahan/pengurangan , perkalian
titik ( dot product ) dan perkalian silang ( cross product ) . Vektor merupakan salah satu alat
matematik yang dipergunakan dalam menyelesaikan soal-soal fisika .
5
1. Skalar dan Vektor
Berdasarkan sifatnya , besaran fisika dapat dibagi
dalam dua kelompok , yaitu :: skalar dan:vektor
1.1. Skalar
Besaran fisika yang hanya mempunyai
besar ( nilai ) saja .
Contoh : massa(kg)[M] , waktu (dt)[T] , volum
(m3 ) [L3 ] , energi(J)[M L2 T-2 ]
1.2 Vektor
...............Besaran fisika yang mempunyai besar (
………….nilai ) dan arah .
Contoh : gaya(N)[MLT-2 ] , kecepatan(m/dt)
.. …
[LT-1 ] , percepatan[LT-2 ]
6
..
. ● Notasi Vektor :
A huruf tebal atau dicetak tebal miring A
Sepanjang kuliah fisika , notasi vektor akan
selalu dinyatakan dalam huruf tebal miring
● Lambang vektor :
A = 3 aA
A
aA
A = 3 = harga mutlak vektor A
aA = vector satuan searah A
7
● Sifat Vektor
Dapat digeser ke mana saja , asal besar
dan arahnya tetap
2. Perjumlahan/Pengurangan vektor :
• Secara grafis
Perjumlahan
A
A
+
B
=C
+A
B
B
C = A + B = B + A → komutatif
8
Pengurangan
A
-B + A
B
B
+
-A
A - B ≠ B - A → Pengurangan bersifat
nonkomutatif
Kesimpulan : Setiap vektor minimal
dapat diuraikan atas dua komponen
● Vektor Satuan ( Unit Vektor )
Besarnya vektor satuan adalah satusatuan panjang
9
aR
Arahnya sesuai dengan yang dikehen
daki
Dalam sistem salib sumbu Kartesian vektor
satuan biasanya dinyatakan sebagai :
aX atau I , aY atau j dan az atau k.
Z
k
j
Y
i
X
10
● Sistem salib sumbu Kartesian dan
komponen vektor
Z+
RZ
k
i
R< x , y , z >
j
RY
Y+
RX
X+
R< x , y , z > menyatakan koordinat vektor R
i ┴ j ┴ k dan IiI = IjI = IkI = 1
i = vektor satuan arah sumbu X+
j = vektor satuan arah sumbu Y+
k = vektor satuan arah sumbu Z+
11
• Komponen - komponen vektor R
Arah sumbu X , RX = x i
Arah sumbu Y , RY = y j
Arah sumbu Z , RZ = z k
R = RX + RY + RZ = x i + y j + z k
R = √(x2 + y2 + z2)
Dalam hal bidang ( 2 dimensi ) maka :
R
RX = i RX → IRXI = RX = R cos θ
RY = j RY → IRYI = RY = R sin θ
RY
j
θ
i
RX
IRI = R =
Vektor R : R = i RX + j RY
R X  RY
2
2
dan
tg  =
RY
RX
12
● Koordinat-koordinat vektor posisi dinyatakan dalam R , α , β dan γ :
Z
R
γ
α
β
Y
X
R = RX i + RY j + RZ k
; cos α = RX/R ;
cos β = RY/R ; cos γ = RZ /R →
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
R = √(x2 + y2 + z2)
13
http://www.walter-fendt.de/ph11e/resultant.htm
14
● Operasi vektor(Analitis)
- Perjumlahan/Pengurangan :
A = i AX + j AY
; B = i BX + j BY
A ± B = (i AX ± j AY) + (i BX ± j BY)
= (AX ± BX) i + (AY ± BY) j
Perjumlahan bersifat komutatif sedangkan
pengurangan anti komutatif
- Perkalian skalar (dot product)
A ● B = IAI IBI cos θAB
A
θ
A cos θ
……….(01)
B
15
Contoh pemakaiannya pada : usaha , tenaga
potensial dan lain-lain .
Pengertian fisis dari dot product adalah
USAHA atau WORK : yaitu perkalikan
Proyeksi vector A pada vector B dengan
vector B .
Kalau A dan B diurai atas komponen - kompo
nennya,maka:
A ● B = (AX I + AY j + AZk) ● (BX I + BY j+ BZ k)
= (AXi ● BXi) + (AXi ● BYj) + (AXi ● BZ k)
(AYj ● BXi ) + (AYj ● BYj) + ......dst
Menurut (01)
i ● i = j ● j = 1 dan i ● j = j ● i = 0 atau
untuk ( i ● j )i = j = 1
dan ( i ● j )i ≠ j = 0 →
16
A ● B = AX BX + AY BY + AZ BZ ……………(02)
Contoh 1 : A = 5i + 6j – 4k ,B = -2i + 3j – k
A . B = 5(-2) + 6(3) + (-4)(-1) = 12
Contoh 2 : Mencari vector satuan pada arah
vektornya
A = 2i + 4j – k
Harga mutlak vector A :
A • A = |A|2 = A2 → |A| = A = √( A • A )
|A| = A = √ (22 + 42 + (-1)2 ) = √21
Vektor satuan pada arah vector A :
A = |A| aA = A aA → aA = A/ |A| = A/ A
→ aA = (2i + 4j – k)/ √21 atau
aA = (2/√21 i + 4/√21 j –1/√2
17
- Perkalian silang (Cross Product)
AXB
A
θ

B
A X B = AB sin ΘAB (vektor) ….............….(03)
Hasil perkalian ini adalah sebuah vektor yang
melalui secara tegak lurus pangkal vektor A
dan B serta meninggalkan layar .
Pendefinisian perkalian silang A X B , sangat
bermanfaat dalam fisika ; contoh penggunaannya adalah momengaya , momentum sudut ,
gaya yang bekerja pada muatan yang bergerak
, aliran tenaga dalam medan elaktromagnetik
18
dan lain-lain .
A X B = (AX I + AY j + AZ k) X ( BX i + BY j +
BZ k)
Dengan mempergunakan determinan
diperoleh :
i j k
A X B = AX AY AZ
BX BY BZ
A X B = (AY BZ - AZ BY) i + (AZ BX – AX BZ) j
+ (AX BY - AY BX ) k .
.……(04)
Contoh 3 : A = 5i + 6j – 4k ,
B = 2i + 3j – k
A X B = (6(-1) – (-4)3)i + ((-4)2 – (-1)5)j
+ (5(3) – 6(2)k
= 6i – 3j + 3k
19
.
Contoh 4 Bila F = - 45 i +70 j + 25 k dan
G =4i -3j +2k,
Carilah
a). F X G
b). i X ( j X F )
c). Vekktor satuan yang tegak
lurus pada vector F dan G
Jawaban : a). 215 i + 190 j - 145 k
b). -45 j
c). ± (0.699 i + 0.591 j - 0.451 k)
Contoh 5 :
Dua buah vector A dan B memiliki komponen
sebagai berikut : AX = 3.2 , AY = 1.6 dan
BX = 0.5 , BY = 4.5
(a). Tentukan sudut antara vector A dan B 20
(b). Tentukanlah komponen vector C yang tegak
lurus vector A, terletak dalam bidang X-Y
dan besarnya 5 satuan
.Jawaban :
2
2
:a).Vektor A = 3.2 i + 1.6 j → A = 32
.  16
.  358
..
vektor B = 0.5 i + 4.5 j → B =
05
. 2  4.52  4.53
A • B = A B cos θAB → 3.2 x 0.5 + 1.6 x 4,5
= 3.58 x 4.53 cos θAB ;
cos θAB =
(3.2 x15
. )  (1.6 x 4.5)
 0.543
3.58 x 4.53
arcos 0.543 = 570
→ θAB =
b). Vektor C tegak lurus vektor A , dan
komponen-komponennya terletak pada
bidang XY , maka :
21
Rangkuman :
1. Skalar merupakan besaran fisika yang hanya memi. liki nilai saja . Contoh : Volum bejana = 10 m3
. 2. Vektor satuan adalah besaran fisika yang memiliki
. harga (nilai) satu satuan dan arah yang dapat ber . arah sembarang .
. 3. Vektor merupakan besaran fisika yang mempunyai
. harga (nilai) dan arah .
. 4. Perkalian titik (dot product) adalah perkalian dua
. buah vektor yang menghasilkan besaran skalar .
. Besaran skalar ini biasanya diartikan sebagai energi
. 5. Perkalian silang (cross product) adalah perkalian
. antara dua vektor yang menghasilkan vektor
22
<< CLOSING>>
Setelah mengikuti dengan baik mata kuliah ini ,
mahasiswa diharapkan sudah mampu menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan
vektor .
23
24