VEKTOR

BESARAN dan SATUAN
(review)
Fisika:
Ilmu yang menjelaskan (mendeskripsikan) fenomena alam yang
menjadi objek pengamatan.
Bagaimana Cara Mendeskripsikan Objek ?
Coba deskripsikan
gajah ini !!
Besaran Non-Fisis
(Tak Terukur)
Deskripsi Kuantitatif
Besaran Fisis
 BESARAN
Tinggi : 2,5 meter
Massa : 4 Ton
Panjang : 5 meter
Emosinya Labil ;
Kulitnya Kasar
Warnanya Coklat;
Deskripsi Kualitatif
Tinggi: Lebih tinggi
daripada manusia
Tenaganya : Kuat
Panjang Meja?
Definisi: Jarak dari titik paling kiri ke titik paling kanan pada meja
Berapa? Cara Mengukur?
Dibandingkan dengan jengkal
(berapa kalinya)
Hasilnya:
Panjang Meja= 6 kali panjang jengkal
Kecepatan rata-rata?
Definisi : Jarak tempuh / waktu tempuh
Didefenisikan dari
besaran-besaran
lain
Ada besaran yang dapat didefenisikan hanya dengan
menggambarkan bagaimana cara mengukurnya.
Panjang Meja = 6 kali panjang jengkal
 Besaran Pokok
Ada besaran yang dapat didefinisikan dengan cara
menggambarkan bagaimana menghitungnya dari
besaran-besaran lain yang dapat diukur.
Definisi = Jarak tempuh / waktu tempuh
 Besaran Turunan
Nilai suatu besaran fisis dinyatakan dengan
Panjang (meja) = 2 jengkal
SATUAN
Satuan panjang yang lain: Spidol, Jengkal, Kaki, …
AKIBATNYA:
- Satuan menjadi terlalu banyak
- Banyak versi
- Tidak Bermanfaat
- Menimbulkan Kekacauan
SEHARUSNYA :
- Definisi Yang Sama
- Bermanfaat
- Diterima Semua Orang
KESEPAKATAN
- Perlu Ditetapkan STANDAR
- Tidak Semua Besaran Perlu Standar
- Hanya Besaran Pokok Saja Yang Perlu Dibuat Standarnya
Siapa yang menetapkan standar & Satuan?
- Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) - Internasional Buerau of Weight and Measures - Biro Berat dan Ukuruan Internasional di Sevres Perancis
Sistem satuan yang dugunakan ilmuwan diseluruh
dunia disebut “The Metric System”.
Pada tahun 1971 ditetapkan 7 Besaran Dasar yang
dikenal secara resmi sebagai “International System”
atau SI (Le Systéme Internasional d’Unites).
Besaran dan satuan yang digunakan dalam SI *
International System (SI)
Quantities
Sistem Internasional (SI)
Units
Symbol
Besaran
Satuan
mass
kilogram
kg
massa
kilogram (kg)
length
meter
m
panjang
meter (m)
time
second
s
waktu
detik / sekon (s)
Electric Current
ampere
A
Arus Listrik
Ampere (A)
Temperature
kelvn
K
Temperatur
Kelvin (K)
Amount of substance
mole
mol
Jumlah Zat
mol (mol)
Light Intensity
candela
Cd
Intensitas
Cahaya
Candela (cd)
* Berdasar Konferensi Umum mengenai Berat dan Ukuran ke-14 tahun 1971
Gaussian System (cgs)
Quantities
Units
Sistem Gaussian
Besaran
Satuan
mass
gram (g)
massa
gram
length
centimeter (cm)
panjang
sentimeter
time
second (s)
waktu
detik / sekon
British Engineering System
Quantities
Units
Sistem Inggris
Besaran
Satuan
mass
slug
massa
slug
length
foot (ft)
panjang
kaki
time
second (s)
waktu
detik
Konversi Satuan
Mengapa
diperlukan?
Ada beberapa sistem berbeda yang
dipakai di dunia
Misalnya: SI  British
mil <-------> km
Dimensi objek jauh lebih besar daripada dimensi alat ukur
(kurang praktis)
Misalnya: mengukur panjang jalan dengan satuan cm
cm ----> km
Dimensi
Besaran
Panjang
Massa
Dimensi
[L]
 Length
[M]
 Mass
Waktu
[T]
 Time
Apa dimensi dari kelajuan (v)?
Jarak
Kelajuan 
Waktu
L

v
T 
Analisis Dimensi
Apakah persamaan berikut benar secara dimensi?
1 2
x  vot  at
2
Persamaan menyatakan jarak (x) yang ditempuh oleh suatu mobil
dalam waktu (t) jika mobil mulai dari kecepatan awal vo dan
bergerak dengan percepatan tetap tetap a.
Analisis dimensi menggunakan fakta bahwa dimensi dapat
diperlakukan sebagai besaran aljabar,
 Besaran-besaran dapat dijumlahkan atau dikurangkan hanya jika
besaran-besaran tersebut mempunyai dimensi yang sama.
 Besaran-besaran pada kedua sisi persamaan harus memiliki
dimensi yang sama.
1
x  vo t 
at 2
2
L
L


 L 
T   2 T 2 
T 
T 
L
L


 L   T   2 T 2 
T 
T 
 L   L   L
Catatan:
Walaupun analisis
dimensi sangat berguna
tetapi mempunyai
batasan, yaitu tidak
dapat menjelaskan
konstanta numerik yang
ada dalam persamaan.
Persamaan yang benar
secara analisis dimensi
belum tentu benar
secara fisis.
Karena kedua sisi persamaan mempunyai dimensi yang sama
maka persaamaan ini benar secara dimensi
Konseptual
Besaran Pokok
: besaran yang ditetapkan
dengan suatu standar ukuran
Besaran Turunan
: Besaran yang dirumuskan
dari besaran-besaran pokok
Besaran
Fisika
Besaran Skalar
: hanya memiliki nilai
Matematis
Besaran Vektor
: memiliki nilai dan arah
BESARAN dan SATUAN
(SKALAR dan VEKTOR)
• Besaran-besaran seperti jarak, massa,
waktu dan volum, termasuk besaran
skalar, yakni besaran yang hanya memiliki
besar atau nilai saja tetapi tidak memiliki
arah.
• Sedangkan besaran seperti perpindahan,
kecepatan, percepatan dan gaya termasuk
besaran vektor, yaitu besaran yang
memiliki besar (atau nilai) dan juga
memiliki arah
17
• Jarak vs Perpindahan?
18
• Berapa massa badan anda?
45 kg?
50 kg?
60 kg?
80 kg?
55 kg ke timur?
• Berapa massa badan anda?
 SKALAR
19
• Didefinisikan sampai besar dan arahnya
ditentukan
Contoh :
pergerakan angin  menunjukkan laju dan arah
• Laju dan arah angin membentuk besaran
vektor yang disebut : KECEPATAN
• Vektor dapat disajikan secara geometris
sebagai ruas garis bertanda panah
20
•
•
•
•
•
Ekor panah disebut titik pangkal
Arah panah menentukan arah vektor
Panjang panah menentukan besar vektor
Ujung panah disebut titik ujung
Maka vektor V:
V = AB
VEKTOR EKUIVALEN
• Vektor-vektor yang panjang dan arahnya
sama
v=w=z
VEKTOR NOL
• Vektor yang panjangnya nol
• Dinyatakan dengan O
VEKTOR NEGATIF
• Adalah vektor yang besarnya sama tetapi
arahnya berlawanan
VEKTOR SATUAN
Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan.
Sebuah vektor satuan mempunyai nilai yang besarnya sama
dengan satu (1).
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesian dinyatakan
dengan i, j dan k yang saling tegaklurus.
Vektor A dapat ditulis:

A  Ax iˆ  Ay ˆj  Az kˆ
y
A
atau
A  Ax i  Ay j  Az k
j
k
z
i
x
dan

ˆA  A
A
VEKTOR SATUAN
Misalnya terdapat sebuah vektor F
Hubungan antara vektor komponen
dan komponenya masing-masing,
sebagai berikut :
Fx = Fxi
Fy = Fyj
dapat ditulis vektor F dalam
komponen-komponennya sebagai
berikut :
F = Fxi + Fyj
KOMPONEN SEBUAH VEKTOR
Vektor A dengan komponen2
vektor Ax dan Ay yang saling
tegaklurus.
Komponen skalarnya:
Ax=A cos q
Ay=A sin q
Ada 2 cara menyatakan vektor A
1. A=Ax + Ay
2. A  A2  A2
x
 Ay
q  tan 
 Ax
1
y



SOAL
Diketahui
:
Ditanya
Jawab
:
:
A
A = 3 satuan
B = 4 satuan
besar dan arah Vektor Resultan
2 2

R  A  B  2 AB cos 
R
R  32  4 2  2.3.4.(cos 90o )

R  5 Satuan
a?
B
3
 0,75
4
a  arc.tg 0,75
a  37 0
OPERASI VEKTOR
• PENJUMLAHAN VEKTOR
V+W
+
VEKTOR SATU DIMENSI

A

B
 
c = B+

A

A

C

B
   
D  AC  B
PENJUMLAHAN VEKTOR (TAIL-TO-HEAD)
R=A+B
Besar dan arah
vektor diukur
langsung.
PENJUMLAHAN VEKTOR
BERDASARKAN KOMPONENNYA
C=A+B
Cx = Ax + Bx
Cy = Ay + By
C
C x2  C y2
dan
q  tan (
1
Cy
Cx
)
PENJUMLAHAN VEKTOR
BERDASARKAN KOMPONENNYA
Diketahui:
A = Axi + Ayj
B = Bxi + Byj
C=A+B
C = (Axi + Ayj) + (Bxi + Byj)
C = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j
C = Cxi + Cyj
Bagaimana kalau diketahui:
A = Axi + Ayj + Azk
B = Bxi + Byj + Bzk
..?
R=A+B
R = (Axi + Ayj + Azk) + (Bxi + Byj + Bzk)
R = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k
R = Rxi + Ryj + Rzk
PENGURANGAN VEKTOR
• Jika v dan w adalah 2 vektor sebarang,
maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :
v – w = v + (-w)
-
PENGURANGAN VEKTOR
Pengurangan vektor berdasarkan operasi penjumlahan vektor.
PERKALIAN VEKTOR
Jika diketahui:
v adalah suatu vektor tak nol
k adalah suatu bilangan real (skalar),
maka hasil kali k.v =
didefinisikan sebagai vektor yang
panjangnya (k*panjang v) dan
yang arahnya sama dengan arah v
Perkalian dengan skalar
• Suatu vektor yg di kalikan dengan sebuah
besaran skalar |k|, dengan syarat nilai |k|
tidak boleh nol
• Contoh:
u
-u
2u
• Jika v = (v1,v2) maka kv = (kv1,kv2)
SIFAT OPERASI VEKTOR
• Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang
berdimensi 2 atau 3 dan k serta l adalah skalar,
maka hubungan berikut ini berlaku :
u+v=v+u
(u + v) + w = u + (v + w)
u+0=0+u=u
u + (-u) = 0
k (l.u) = (kl) .u
k .(u+v) = k.u + k.v
(k + l).u = k.u + l.u
1.u = u
Soal - soal
1. Diketahui u = (-3,2,1), v = (2,3,1) dan w = (6,4,5). Carilah
komponen-komponen dari :
a. 2u-3w
b. 2w+u
c. w+u+v
d. 4.(u+3w)
e. -2u+2(-u)
f. (2u+4v) – (u+3w)
g. 9u-2(u+4v)
2. Diketahui u,v,w adalah vektor-vektor pada latihan no 1.
Carilah komponen x yg memenuhi 2u+4w+7x = 2x + v
NORMA SUATU VEKTOR
• Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai Norma u dan
dinyatakan dengan ||u||
u  u1  u2
2
2
• Contoh:
Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di ruang
berdimensi 3 maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah
norma vektor
P1 P2  ( x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 )
maka
d
x2  x1 2   y2  y1 2  z2  z1 2
Norma Vektor
• Norma Vektor ???
• Panjang suatu vektor v
• Dinyatakan sebagai ||v||
• Untuk Vektor di R2,
2
2
• Jika u = (u1,u2) maka ||u|| = u1  u2
• Untuk Vektor di R3,
• Jika u = (u1,u2, u3)
maka ||u||  u1 2  u2 2  u3 2
HASIL KALI TITIK
• Jika u, dan v adalah vektor-vektor dalam ruang
berdimensi dan θ adalah sudut antara u dan v, maka
hasil kali titik u.v didefinisikan sebagai :
 u . v . cos q
u.v  
0

jika u  0 dan v  0
jika u  0 dan v  0
atau
u.v  u1v1  u2v2
MENCARI SUDUT ANTAR
VEKTOR
u.v
cos q 
u.v
Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara
kedua vektor tersebut, maka
• Θ lancip
jika dan hanya jika u.v > 0
• Θ tumpul
jika dan hanya jika u.v < 0
• Θ =π/2
jika dan hanya jika u.v = 0
PERKALIAN VEKTOR
B
• Perkalian Titik  skalar
A.B = A.B . cos q
A.B = AxBx + AyBy + AzBz
• Perkalian Silang  vektor
C=AxB
C = A.B. sin q
Cx = AyBz – AzBy
Cy = AzBx – AxBz
Cz = AxBy – AyBz
q
A
C
B
q
A
Soal - soal
1. Besar vektor A dan B berturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana
tampak pada gambar di bawah. Sudut yang terbentuk adalah 90o.
Hitunglah perkalian titik kedua vektor tersebut…
Jawaban:
Cara II.
I.
Cara
A.B
A
. B==AB
Ax cos
Bx +teta
AyBy + AzBz
A.B
90 (4) + 0
A
. B==(4)(5)
(5) (0)cos
+ (0)
A.B
A
. B==(4)
0 +(5)
0 +(0)
0
A.B = 0
A.B=0
Soal - soal
2. Besar vektor A dan B berturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana
tampak pada gambar di bawah. Hitunglah perkalian titik kedua
vektor tersebut, jika sudut yang terbentuk adalah 30o
Jawaban:
Beberapa hal dalam perkalian titik yang perlu diketahui :
1.
komutatif
 A.B = B.A
2. distributif
 A. (B + C) = A.B + A.C
3. Jika A dan B saling tegak lurus
 A.B = 0
4. Jika A dan vektor B searah
 A.B = AB cos 0o = AB
5. Dua vektor yang searah dan A = B
 A.A = A2 atau B.B = B2
6. Jika vektor A dan B berlawanan arah
 A.B = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
PERKALIAN VEKTOR
• Perkalian Silang  vektor
C=AxB
C = A.(B. sin q)
A x B = B x A ..?
PERKALIAN VEKTOR
A x B = B x A ..?
Arah Perkalian Silang A x B = B x A?
≠
Beberapa hal dalam perkalian silang yang perlu anda ketahui :
1. anti komutatif.
 AxB=–BxA
(Tanda negatif menunjukkan arah berlawanan)
2. Jika kedua vektor saling tegak lurus
 A x B = AB sin teta = AB sin 90o = AB
 B x A = BA sin teta = BA sin 90o = BA
(besar hasil perkalian silang)
3. Jika kedua vektor searah
 A x B = AB sin teta = AB sin 0o = 0
 B x A = BA sin teta = BA sin 0o = 0
Hasil perkalian silang antara dua vektor yang searah/ segaris =0