Perubahan biaya sel kosong

Matakuliah
Tahun
Versi
: K0442 – Metode Kuantitatif
: 2005
:1/0
Pertemuan 11
Metode Transportasi
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• Menunjukkan metode transportasi untuk
memecahkan masalah-masalah yang
dihadapi
2
Outline Materi
• Pendahuluan
• Metode Stepping Stone
• Metode MODI
3
Pendahuluan
Karakteristik Model Transportasi :
 Suatu barang dipindahkan (transported)
dari sejumlah sumber ke tempat tujuan
dengan biaya seminimum mungkin
 Atas barang tersebut tiap sumber dapat
memasok suatu jumlah yang tetap dan tiap
tempat
tujuan
mempunyai
jumlah
permintaan yang tetap.
4
Contoh
Gandum dipanen di Midwest (daerah pertanian
Amerika bagian Tengah Barat) dan disimpan
dalam cerobong butir gandum di tiga kota –
Kansas City, Omaha, dan Des Moines. Ketiga
cerobong butir gandum ini memasok tiga
penggilingan tepung yang berlokasi di Chicago.
St. Louis, dan Cincinnati. Butir-butir gandum
tersebut dikirim ke penggilingan dengan
menggunakan gerbong kereta api, yang tiap
gerbongnya memuat satu ton gandum. Setiap
bulannya, tiap cerobong butir gandum dapat
memasok penggilingan sejumlah ton gandum
berikut ini.
5
Cerobong Butir Gandum
Jumlah yang ditawarkan
1. Kansas City
2. Omaha
3. Des Moines
150
175
275
600 ton
6
Jumlah ton gandum yang diminta per
bulan dari tiap penggilingan adalah
sebagai berikut :
Penggilingan
Jumlah yang diminta
A. Chicago
200
B. St. Louis
100
C. Cincinnati
300
600 ton
7
Biaya Pengisiriman ($):
8
Permasalahannya :
Untuk menentukan berapa banyak ton
gandum yang harus dikirim dari tiap
cerobong
butir
gandum
ke
tiap
penggilingan setiap bulannya agar total
biaya transportasi minimum
9
Tabel Transportasi
10
Metode Stepping Stone
Solusi Awal di peroleh dari Metoda Biaya
Cell Minimum
11
LANGKAH-LANGKAH
STEPPING STONE :
1. Tentukan lintasan stepping-stone dan perubahan
biaya untuk tiap sel yang kosong dalam Tabel.
2. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel kosong
yang menghasilkan penurunan biaya terbesar.
3. Ulangi langkah 1 dan 2 semua sel kosong
memiliki
perubahan
biaya
positif
yang
mengidentifikasikan tercapainya solusi optimal.
12
LANGKAH PERTAMA :
Mengevaluasi
sel-sel
kosong
untuk
mengetahui apakah dengan menggunakan
sel-sel tersebut dapat menurunkan total
biaya.
Jika ditemukan rute seperti itu, maka kita
akan mengalokasikan sebanyak mungkin
pada sel tersebut.
13
Alokasi Satu Ton Ke Sel 1A
14
+6
1A
-8
1B
+5
3B
-4
3A
=
-1
15
Alokasi Satu Ton Ke Sel 2A
16
2A
+7
2C 1C 1B
-11 +10 -8
3B
+5
3A
-4 = -1
17
Alokasi Satu Ton Ke Sel 2B
18
2B 2C
+11 -11
1C 1B
+10 -8
=
+2
19
Alokasi Satu Ton Ke Sel 3C
20
3C
+12
1C
-10
1B
+8
3B
-5
=
+5
21
LANGKAH 2 :



Memasukkan angka angka ke dalam sel
sesuai dengan kekurangan / kelebihan yang
memungkinkan
Dari tahap sebelumnya, diketahui bahwa
pengisian sel 1A menghasilnya pengurangan
biaya paling besar, sehingga sel tsb yang
akan kita kembangkan menjadi tabel solusi
optimal
DIDAPATKAN :
22
Lintasan Stepping Stone untuk Sel 1A
23
Pengulangan Kedua Stepping Stone
untuk Sel 1A = SOLUSI OPTIMAL
24
Didapatkan solusi :
x1A = 25
x3A = 175
x1C = 125
x3B = 100
x2C = 175
Sehingga dengan substitusi ke fungsi tujuan
didapatkan Z = $ 4,525
Apakah masih bisa didapatkan biaya yang lebih
murah ???
Lakukan cek terhadap sel – sel
kosong Cari Rute Hitung Biaya
25
Lintasan Stepping Stone utk Sel 2A
26
Lintasan Stepping Stone utk Sel 1B
27
Lintasan Stepping Stone utk Sel 2B
28
Ternyata setelah dilakukan perhitungan nilai
biaya, semua sel kosong mempunyai nilai biaya
≥ 0 Iterasi berhenti Z sudah minimum.
Akan tetapi, untuk sel A2, nilai biaya = 0
punya solusi lebih dari satu, dimana
Z = $ 4,525 dengan komposisi solusi :
x2A = 25
x3A = 175
x2C = 150
x3B = 100
x1C = 150
29
Solusi Optimal Alternatif
30
METODE DISTRIBUSI YANG
DIMODIFIKASI (MODI)
Langkah-langkah :
1. Tentukan solusi awal menggunakan satu dari ketiga
metode yang tersedia.
2. Hitung nilai-nilai u1 dan v1 untuk tiap baris dan kolom
dengan menerapkan formula u1 + v1 = cij pada setiap sel
yang telah memiliki alokasi.
3. Hitung perubahan biaya, kij, untuk setiap sel kosong
menggunakan formula cij – uI – vj = kij.
4. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel kosong yang
menghasilkan penurunan biaya bersih terbesar (kij yang
paling negatif). Alokasikan sesuai dengan lintasan
stepping-stone untuk sel yang terpilih.
5. Ulangi langkah 2 sampai 4 sampai semua nilai kij positif
atau nol.
31
Solusi Awal Biaya Sel Minimum
32
Langkah berikutnya : Menghitung nilai sel
• Atas dasar rumus : u1
+ vj = cij dimana cij
adalah biaya transportasi barang untuk sel ij
• Sehingga dari tabel awal didapatkan formula
(untuk sel yang ada nilainya/angka) sbb :
x1B : u2 + vB = 8
x1C : u1 + vC = 10
x2C : u2 + vC = 11
x3A : u3 + vA = 4
x3B : u3 + vB = 5
33
Persamaan tersebut dapat diselesaikan
dengan memisalkan u1 = 0, sehingga didapat
x1B : u1 + vB = 8
0 + vB = 8
vB = 8
x1C : u1 + vC = 10
0 + vC = 10
vC = 10
x2C : u2 + vC = 11
u2 + 10 = 11
u2 = 1
x3B : u3 + vB = 5
u3 + 8 = 5
u3 = -3
x3A : u3 + vA = 4
-3 + vA = 4
vA = 7
34
Solusi Awal Untuk Semua Nilai Ui
dan Vj
35
Langkah berikutnya : Menghitung perubahan
biaya utk tiap rute yang tidak digunakan
Formula : cij – uI – vj = kij dimana kij = penurunan
dan kenaikan biaya yang timbul karena
pengalokasian sel
Dari tabel sebelumnya didapatkan :
x1A : k1A = c1A – u1 – vA = 6 – 0 – 7 = - 1
x2A : k2A = c2A – u2 – vA = 7 – 1 – 7 = - 1
x2B : k2B = c2B – u2 – vB = 11 – 1 – 8 = +2
x3C : k3C = c3C – u3 – vC = 12 – (-3) – 10 = +5
36
x1A : k1A = c1A – u1 – vA = 6 – 0 – 7 = - 1
x2A : k2A = c2A – u2 – vA = 7 – 1 – 7 = - 1
x2B : k2B = c2B – u2 – vB = 11 – 1 – 8 = +2
x3C : k3C = c3C – u3 – vC = 12 – (-3) – 10 =
+5
Dari hasil tersebut ternyata nilainya = nilai
biaya di stepping stone. Maka langkah
berikutnya pasti = langkah stepping stone
sehingga didapatkan tabel berikut :
37
Pengulangan Kedua Untuk Metode
MODI
38
Nilai u dan v dihitung sebagai berikut :
x1A : u1 + vA = 6
x3A : u3 + vA = 4
0 + vA = 6
u
+
6
=
4
3
vA = 6
u3 = -2
x1C : u1 + vc = 10
x3B : u3 + vB = 5
0 + vC = 10
2 + vB = 5
vC = 10
vB = 7
x2C : u2 + vC = 11
u2 + 10 = 11
u2 = 1
39
Didapat Tabel
40
Perubahan biaya sel kosong :
x1B : k1B = c1B – u1 – vB = 8 – 0 – 7
= +1 x2A
: k2A = c2A – u2 – vA = 7 – 1 – 6
= 0 x2B :
k2B = c2B – u2 – vB = 11 – 1 – 7
= +3 x3C : k3C
= c3C – u3 – vC = 12 – (-2) – 10 = +4
Karena tidak ada nilai yang negatif , maka solusi
yang ditunjukkan oleh tabel sebelumnya adalah
sudah optimal
Namun karena nilai sel A2 = 0, maka didapatkan
solusi optimal majemuk.
41
Tabel Solusi Optimal Majemuk
42