Now let us do some…

Counting
Combinatorics dan Counting

Kombinatorika
Ilmu yang mempelajari pengaturan
obyek
 Bagian penting dari Matematika Diskrit


Enumerasi
Penghitungan obyek dengan sifat
tertentu
 Bagian penting dari Kombinatorika

2
Beberapa Permasalahan dalam
Counting
“Password dalam suatu sistem komputer terdiri
dari 6, 7, atau 8 karakter. Setiap karakter adalah
digit bilangan desimal atau huruf dalam alfabet.
Setiap pasword harus memuat paling sedikit satu
digit bilangan desimal.
Ada berapa banyak password yang berbeda?”
“Berapa banyak cara yang mungkin dilakukan
dalam memilih 11 pemain dalam suatu tim sepak
bola yang memiliki 20 pemain?”
3
Selain itu, counting adalah dasar dalam
menghitung peluang dari kejadian-kejadian
diskrit.
(“Berapakah peluang untuk dapat memenangkan
suatu lotere?”)
Dasar-dasar Counting
 Aturan
perkalian
 Aturan penjumlahan
 Prinsip inklusi-eksklusi
 Diagram pohon
4
Aturan penjumlahan
Jika suatu pekerjaan dapat dilaksanakan dengan n1
cara dan pekerjaan kedua dengan n2 cara;
serta jika kedua tugas ini tidak dapat dilakukan
dalam waktu yang bersamaan, maka terdapat
n1 + n2 cara
untuk melakukan salah satu pekerjaan tersebut.
Contoh:
Departemen Matematika akan menghadiahkan
sebuah komputer kepada seorang mahasiswa atau
seorang dosen.
Ada berapa cara memberi hadiah, jika terdapat 532
mahasiswa dan 54 dosen?
Terdapat 532 + 54 = 586 cara.
5
Generalisasi aturan penjumlahan
Jika terdapat pekerjaan-pekerjaan T1, T2, …, Tm
yang dapat dilakukan dalam n1, n2, …, nm cara, dan
tidak ada dua di antara pekerjaan-pekerjaan
tersebut yang dapat dilakukan dalam waktu yang
bersamaan, maka
terdapat n1 + n2 + … + nm cara
untuk melakukan salah satu dari tugas-tugas
tersebut.
Contoh:
Seorang mahasiswa dapat memilih satu tugas
proyek Matematika Diskrit dari tiga buah daftar,
yang masing-masing berisikan 9, 21, dan 17
proyek. Ada berapa tugas proyek yang dapat dipilih?
6
Aturan perkalian
dan generalisasinya
Aturan perkalian
Misalkan suatu prosedur dapat dibagi menjadi dua
pekerjaan yang berurutan.
Jika terdapat n1 cara untuk melakukan tugas pertama
dan n2 cara untuk melakukan tugas kedua setelah
tugas pertama selesai dilakukan, maka terdapat
n1  n2 cara
untuk melakukan prosedur tersebut.
Generalisasi aturan perkalian
Jika suatu prosedur terdiri dari barisan tugas-tugas T1,
T2, …, Tm yang dapat dilakukan dalam n1, n2, …, nm
cara, secara berurutan,
maka terdapat n1  n2  …  nm cara
untuk melaksanakan prosedur tersebut.
7
Aturan perkalian
dan generalisasinya (2)
Contoh:
Berapa banyak plat nomor kendaraan yang berbeda
yang memuat tepat satu huruf, tiga digit bilangan
desimal, dan dua huruf?
Solusi:
Terdapat 26 kemungkinan untuk memilih huruf
pertama,
10 kemungkinan untuk menentukan digit pertama, 10
untuk digit kedua, dan 10 untuk digit ketiga,
kemudian 26 kemungkinan untuk memilih huruf kedua
dan 26 untuk huruf ketiga.
Jadi, terdapat 26  10  10  10  26  26 = 17576000
plat nomor kendaraan yang berbeda.
8
Contoh soal
1.
2.
3.
9
Ada berapa fungsi dari himpunan dengan
m anggota ke himpunan dengan n
anggota?
Ada berapa fungsi satu-satu dari
himpunan dengan m anggota ke
himpunan dengan n anggota?
Gunakan aturan perkalian untuk
menunjukkan bahwa banyaknya
subhimpunan yang berbeda dari suatu
himpunan hingga S adalah 2|S|.
Prinsip Dasar Counting
Aturan penjumlahan dan perkalian juga dapat
direpresentasikan dalam istilah himpunan.
Aturan penjumlahan
Misalkan A1, A2, …, Am himpunan yang saling lepas.
Maka banyaknya cara untuk memilih anggota dari
gabungan A1  A2  …  Am adalah jumlah dari
banyaknya anggota setiap himpunan.
|A1  A2  …  Am | = |A1| + |A2| + … + |Am|.
10
Aturan perkalian
Misalkan A1, A2, …, Am himpunan hingga. Maka
banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari
hasil kali Cartesian A1  A2  …  Am dilakukan
dengan memilih satu anggota dari A1, satu anggota
dari A2, …, dan satu anggota dari Am.
|A1  A2  …  Am | = |A1|  |A2|  …  |Am|.
Soal 1
Setiap pengguna suatu sistem komputer
memiliki sebuah password, yang terdiri dari
6 sampai 8 karakter, dengan setiap
karakter adalah huruf kapital atau digit
bilangan desimal. Jika setiap password
harus memuat minimal satu digit bilangan
desiamal, ada berapa banyak password
yang mungkin?
11
Soal 2
Menghitung Internet Address
Dalam Internet Protocol versi 4 (IPv4), suatu address
adalah string yang terdiri dari 32 bit. Dimulai dengan
network number (netid), dan diikuti oleh host number
(hostid).
Terdapat 3 bentuk address: kelas A, B, dan C dan 2
tambahan (kelas D dan E) dengan aturan:
Bit number
0
1 2 3 4
Kelas A
0
Kelas B
1
0
Kelas C
1
1 0
Kelas D
1
1 1 0
Kelas E
1
1 1 1 0
8
16
netid
24
31
hostid
netid
hostid
netid
hostid
Multicast address
Address
Ada berapa IPv4 address yang berbeda untuk komputer
di internet?
12
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Berapa banyak string biner dengan panjang 8 yang
dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00?
Pekerjaan 1: Konstruksi string biner dengan panjang 8
yang dimulai dengan 1.
Terdapat
dua cara
dua cara
.
.
.
dua cara
satu cara untuk memilih bit pertama (1),
untuk memilih bit kedua (0 or 1),
untuk memilih bit ketiga (0 or 1),
untuk memilih bit kedelapan (0 or 1).
Aturan perkalian: Pekerjaan 1 dapat dilakukan dengan
127 = 128 cara.
13
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Pekerjaan 2: Konstruksi string biner dengan panjang 8
yang berakhir dengan 00.
Terdapat dua cara untuk memilih bit pertama (0 or 1),
dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1),
.
.
.
dua cara untuk memilih bit keenam (0 or 1),
satu cara untuk memilih bit ketujuh (0), dan
satu cara untuk memilih bit kedelapan(0).
Aturan perkalian: Pekerjaan 2 dapat dilakukan
dalam 26.1.1 = 64 cara.
14
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Karena terdapat 128 cara untuk melakukan
Pekerjaan 1 dan 64 cara untuk melakukan
Pekerjaan 2, apakah ini berarti bahwa terdapat 192
string biner dengan yang dimulai dengan 1 atau
berakhir dengan 00?
Tidak, karena di sini Pekerjaan 1 dan Pekerjaan 2
dapat dilakukan pada waktu yang bersamaan.
Ketika kita melaksanakan Pekerjaan 1 dan
membuat string yang dimulai dengan 1, beberapa
dari string tersebut diakhiri dengan 00.
Jadi, kita kadangkala melakukan Pekerjaan 1 dan 2
pada saat yang bersamaan, sehingga aturan
penjumlahan tidak berlaku.
15
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Jika kita ingin menggunakan aturan penjumlahan,
dalam kasus ini, kita harus mengurangkan kasus-kasus
di mana Pekerjaan 1 dan 2 dilaksanakan pada saat yang
bersamaan.
Ada berapa kasus, yaitu, ada berapa banyak string yang
dimulai dengan 1 dan diakhiri dengan 00?
Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1),
dua cara untuk memilih bit kedua, …, bit keenam (0
atau 1), dan
satu cara untuk bit ketujuh dan kedelapan (0).
Aturan perkalian: Dalam 25 = 32 kasus, Pekerjaan 1
dan 2 dilaksanakan pada saat yang sama.
16
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Karena terdapat 128 cara untuk menyelesaikan
Pekerjaan 1 dan 64 cara untuk menyelesaikan
Pekerjaan 2, dan dalam 32 dari kasus-kasus
tersebut Pekerjaan 1 dan 2 diselesaikan pada saat
yang bersamaan, maka terdapat
128 + 64 – 32 = 160 cara
untuk melakukan salah satu di antara kedua
Tugas tersebut.
Dalam teori bilangan, ini berkorespondensi
dengan himpunan A1 dan A2 yang tidak saling
lepas. Maka:
|A1  A2| = |A1| + |A2| - |A1  A2|
Ini disebut prinsip inklusi-eksklusi.
17
Diagram Pohon
Ada berapa string biner dengan panjang empat
yang tidak memiliki dua 1 secara berurutan?
bit ke-1
bit ke-2
bit ke-3
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
Jadi, terdapat 8 string.
18
bit ke-4
0
1
0
0
1
0
1
0