4.2. Operasi Fuzzy Set

Course Content Template
Matematika Diskrit
Type:ACADEMIC COURSE
Code: K0144
Product Development Center, Bina Nusantara
DC-PDC-4
Ver. 1.0 27/01/03 10:01
Table of Content
Table of Content ............................................................................................................................................................. 1
Course Content ............................................................................................................................................................... 2
Teori Fuzzy. ............................................................................................................................................................... 2
4.1. Crisp Set dan Fuzzy Set................................................................................................................................... 2
4.2. Operasi Fuzzy Set ............................................................................................................................................ 6
4.3. Fuzzy Logic dan Operasi Fuzzy Logic........................................................................................................... 8
Activity ........................................................................................................................................................................... 12
Quiz/Exam/Self-Assess ........................................................................................................................................ 12
Assignments .......................................................................................................................................................... 12
Course Content
1
Part
Teori Fuzzy.
SASARAN : Setelah mempelajari modul ini mahasiswa diharapkan memahami teori fuzzy dan
penerapannya pada masalah-masalah non matematika.
POKOK BAHASAN : Untuk mencapai sasaran tersebut maka modul ini disusun dengan pokok
bahasan Crisp Set dan Fuzzy Set, Operasi Fuzzy Set, Fuzzy Logic dan Operasi Fuzzy Logic.
4.1. Crisp Set dan Fuzzy Set.
Konsep tentang Fuzzy Set diperkenalkan oleh Prof. Lotfi Astor Zadeh pada tahun 1962. Teori Fuzzy
Set merupakan pengembangan dari teori Set (biasa) atau Crisp Set. Tingkat keanggotaan elemen
pada fuzzy set berada pada interval [0,1], tetapi tingkat keanggotaan pada crisp set berada pada
himpunan {0,1}.
Teori fuzzy set telah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, terutama Computer service dan
Computer Engineering, seperti penggunaan fuzzy logic, fuzzy controller, dsb. Jepang telah banyak
memanfaatkan konsep ini untuk penerapan diproduct-product industrinya.
Dalam kuliah ini dibahas konsep-konsep dasarnya saja yang berfungsi sebagai pengantar untuk
mempelajarinya lebih lanjut.
CRISP SET DAN FUZZY SET: Perbedaan kedua himpunan ini adalah pada keanggotaan suatu
obyek. pada crisp set suatu obyek hanya mempunyai dua kemungkinan keanggotaan yaitu anggota
himpunan atau bukan anggota himpunan. Sehingga bila kita definisikan suatu tingkat keanggotaan
pada crisp set maka tingkat ekanggotaan suatu obyek yang menjadi elemen himpunan adalah 1 dan
tingkat keanggotaan suatu obyek yang bukan elemen himpunan adalah 0. Bila tingkat keanggotaan
himpunan (crisp set) A dinyatakan oleh fungsi  A dengan domain universal set U dan range {0,1}
maka fungsi
A
dapat dinyatakan sebagai berikut:
1 , bila x  A
0 , bila x  A
 A ( x) : U  {0,1} , dengan  A ( x)  
Jadi bila U = himpunan bilangan bulat dan A = himpunan bilangan genap maka fungsi keanggotaan
himpunan A adalah :
1 , bila x  A 1 , bila x genap
= 
0 , bila x  A 0 , bila x ganjil
 A ( x)  
Dengan cara pendekatan seperti cirisp set diatas fuzzy set adalah suatu himpunan yang tingkat
keanggotaannya tidak hanya 0 dan 1 tetapi bisa seluruh bilangan riil yang berada pada interval [0,1].
Bila universal set adalah himpunan bilangan riil dan fuzzy set A mempunyai fungsi keanggotaan :
 A ( x) 
x2
1  10 x 2
Maka bilangan 1 elemen fuzzy set A dengan tingkat keanggotaan
elemen fuzzy set A, sebab
 A (1)
 A (0) = 0.
=
1
, bilangan 0 bukan
11
FUNGSI KEANGGOTAAN FUZZY SET : Fungsi keanggotaan fuzzy set adalah suatu fungsi dengan
domain universal set dan range interval [0,1], fungsi ini bisa kontinu bisa pula diskrit, bila fungsi
kenaggotaan fuzzy set diskrit himpunannya juga akan diskrit. Contoh fungsi keanggotaan fuzzy set
kontinu sudah diberikan diatas, yaitu :
 A ( x) 
x2
1  10 x 2
Contoh fungsi keanggotaan fuzzy set diskrit dapat diberikan sebagai berikut: Misalkan universal set
adalah himpunan usia yaitu U = {5, 10, 20, 30, 50, 60, 70, 80} dan ada 4 fuzzy set yaitu Bayi, Dewasa,
Muda dan Tua dengan tingkat keanggotaan dinyatakan oleh tabel berikut:
 Bayi (x)
 Dewasa (x)
 Muda (x)
 Tua (x)
5
0
0
1
0
10
0
0
1
0
20
0
0,8
0,8
0,1
30
0
1
0,5
0,2
40
0
1
0,2
0,4
50
0
1
0,1
0,6
60
0
1
0
0,8
70
0
1
0
1
80
0
1
0
1
(usia)
x
Dari tabel terlihat bahwa usia 60 masuk dalam anggota fuzzy set Tua dengan tingkat
keanggotaan 0,8 dan juga masuk dalam fuzzy set Dewasa dengan tingkat keanggotaan 1, tetapi
bukan anggota fuzzy set Bayi dan fuzzy set Muda.
NOTASI FUZZY SET : Untuk menuliskan fuzzy set berbeda dengan cisp set, sebab anggota dari
fuzzy set mempunyai tingkat keanggotaan yang berbeda. Untuk Fuzzy set diskrit dan fuzzy set
kontinu penulisannya dilakukan dengan notasi berikut:
A   A x1  / x1   A x2  / x2 ......   A xn  / xn
A=
  x / x
n
i 1
A
j
j
NOTASI UNTUK FUZZY SET DISKRIT
A
  x  / x
A
U
U = himpunan semesta (Universal set)
NOTASI FUZZY SET KONTINU
CONTOH FUZZY SET:
1) Dari tabel fuzzy set usia kita bisa tuliskan fuzzy set Bayi, Dewasa, Muda dan Tua
sebagai contoh fuzzy set diskrit, yaitu :
1.
Bayi = { }
2.
Dewasa = {0,8/20+1/30+1/40+1/50+1/60+1/70+1/80}
3.
Muda = {1/5+1/10+0,8/20+0,5/30+0,2/40+0,1/50}
4.
Tua = {0,1/20+0,2/30+0,4/40+0,6/50+0,8/60+1/70+1/80}
2) Untuk fuzzy set kontinu kita ambil contoh sebelumnya yaitu:
A=
x2
 1  10 x 2 / x
U
PENJELASAN CONTOH :
1) Sudah jelas.
2)
x2
Fuzzy set A dengan fungsi keanggotaan kontinu
dituliskan
1  10 x 2
x2
/ x.
dengan notasi A    A  x  / x sehingga kita peroleh A = 
2
1

10
x
U
U
 A ( x) 
SUPPORT DARI FUZZY SET : Support dari Fuzzy Set A pada universal set X adalah set yang terdiri
dari elemen-elemen X yang memiliki derajat keanggotaan tidak sama dengan 0, support fuzzy set A
disefinisikan sebagai berikut : Supp. A  x  |  A  x  0 .


CONTOH : Dari tabel fuzzy set usia maka kita peroleh support dari fuzzy set Bayi, Dewasa, Muda dan
Tua adalah sebagai berikut:
1) supp Tua={20,30,40,50,60,70,80}
2) supp Muda={5,10,20,30,40,50}
3) supp Dewasa={20,30,40,50,60,70,80}
4) supp Bayi = { }
PENJELASAN CONTOH : Dari fuzzy set Bayi, Muda, Dewasa dan Tua dipilih elemen-elemen fuzzy
tersebut yang memiliki tingkat keanggotaan tidak sama dengan nol sehingga diperoleh hasil tersebut.
Support dari suatu fuzzy set ini merupakan himpunan biasa (crisp set) sehingga notasinya seperti
himpunan pada umumnya.
SCALAR CARDINALITY : Scalar Cardinality dari fuzzy set A dalam universal set X adalah jumlah
derajat keanggotaan semua unsur X dalam A, notasi :
| A |
  x 
x X
A
CONTOH :
Pada tabel terdahulu, yaitu fuzzy set usia maka kita dapatkan |Bayi| = 0
1.
|Dewasa| = 0+0+0,8+1+1+1+1+1+1 = 6,8
2.
|Muda| = 1+1+0,8+0,5+0,2+0,1+0+0+0 = 3,6
3.
|Tua| = 4,1
5) Misalkan fuzzy set A pada universal set U = N = himpunan bilangan asli, dengan
n
1
 A (n)    maka scalar cardinality dari fuzzy set A, A = 1.
 2
PENJELASAN CONTOH:
1) Sudah jelas.
n
2) Karena untuk setiap n bilangan asli, 0 <  A ( n)

A
n
3
1 1 1
1
=   A (n)     =        
2  2  2
n 1  2 
nN
Ini merupakan deret geometri dengan suku pertama, a =
takhingga =
2
1
   < 1, maka supp A = N, dan
 2
a
. Sehingga kita dapatkan
1 r
1
1
, dan rasio, r =
, jadi jumlah deret
2
2
A
=
1
2
1
1
2
=1
4.2. Operasi Fuzzy Set
KESAMAAN DAN HIMPUNAN BAGIAN : Kesamaan dari dua himpunan fuzzy ditentukan oleh
kesamaan dari fungsi keanggotaannya. Misalnya fuzzy set A dan fuzzy set B pada universal set X
memiliki fungsi keanggotaan  A (x) dan  B (x) , maka fuzzy set B sama dengan fuzzy set A (ditulis
A = B) jika dan hanya jika
 A x    B x  untuk setiap x  X
Fuzzy set A (himpunan bagian) subset dari fuzzy set B (ditulis A  B) jika dan hanya jika
 A x    B x  untuk setiap x  X
KOMPLEMEN FUZZY SET : Bila fuzzy set A pada universal set X mempunyai fungsi keanggotaan
 A (x) maka komplemen dari fuzzy set A adalah fuzzy set AC dengan fungsi keanggotaan untuk
setiap x elemen X.
 A x   1   A x 
C
IRISAN DUA FUZZY SET : Intersection atau irisan dari Fuzzy Set A dan B adalah fuzzy set AB
dengan fungsi keanggotaan
 AB x   min A x ,  B x . untuk setiap x  X
Derajat keanggotaan setiap unsur fuzzy set AB adalah derajat keanggotaannya pada fuzzy set A
atau B yang memiliki nilai lebih kecil.
GABUNGAN DUA FUZZY SET : Union dari fuzzy set A dan B adalh fuzzy set A  B, dengan fungsi
keanggotaan :
 AB x   max . A x ,  B x  untuk setiap x  X
Derajat keanggotaan setiap unsur fuzzy set AB adalah derajat keanggotaannya pada fuzzy set A
atau B yang memiliki nilai lebih besar.
CONTOH :
Misalkan fuzzy set pada universal set usia seperti contoh yang lalu yaitu :
Elemen-elemen
Universal set U
Fungsi
keanggotaan
fuzzy set Bayi
(usia)
Fungsi keanggotaan
fuzzy set Dewasa
 Dewasa (x)
Fungsi
keanggotaan fuzzy
set Muda
Fungsi
keanggotaan
fuzzy set Tua
 Muda (x)
 Tua (x)
x
 Bayi (x)
5
0
0
1
0
10
0
0
1
0
20
0
0.8
0.8
0.1
30
0
1
0.5
0.2
40
0
1
0.2
0.4
50
0
1
0.1
0.6
60
0
1
0
0.8
70
0
1
0
1
80
0
1
0
1
Maka fuzzy set :
1)
Muda Tua  {1/5+1/10+0,8/20+0,5/30+0,4/40+0,6/50+0,8/60+1/70+1/80}
2)
Dewasa Tua  {0,1/20+0,2/30+0,2/40+0,1/50}
3) ( Tua )C = {1/5+1/10+0,9/20+0,8/30+0,6/40+0,4/50+0,2/60}
PENJELASAN CONTOH :
1) Untuk fuzzy set
Muda  Tua maka
 MudaTua (x) = Max Muda ( x),  Tua ( x) sehingga
 MudaTua (5) = Max Muda (5),  Tua (5) = Max{1,0}  1.
Jadi untuk nilai x yang lain diperoleh sbb:
Muda Tua  {1/5+1/10+0,8/20+0,5/30+0,4/40+0,6/50+0,8/60+1/70+1/80}
2) Untuk fuzzy set
Dewasa  Tua maka
 DewasaTua (x) = Min{ Dewasa ( x),  Tua ( x)} , sehingga
Dewasa  Tua (50) = Min{ Dewasa (50),  Tua (50)} = Min{0.1,0.6} = 0.1.
Jadi untuk nilai x yang lain diperoleh sbb:
Dewasa Tua  {0,1/20+0,2/30+0,2/40+0,1/50}.
3) Untuk fuzzy set ( Tua )C maka
 (Tua ) ( x) = 1   Tua ( x) , sehingga
C
 (Tua) (40) = 1   Tua (40) = 1 - 0.4 = 0.6
C
Jadi untuk nilai x yang lain diperoleh sbb:
( Tua )C = {1/5+1/10+0,9/20+0,8/30+0,6/40+0,4/50+0,2/60}
4.3. Fuzzy Logic dan Operasi Fuzzy Logic
Seperti halnya himpunan biasa dan himpunan fuzzy, maka teori logika fuzzy pun dapat dikembangkan
serupa dengan teori himpunan fuzzy. Jika pada logika biasa nilai kebenaran suatu
proposisi/pernyataan hanya ada dua macam yaitu 1 = benar dan 0 = salah maka dalam fuzzy logic
nilai kebenaran bias diperluas dengan bilangan diantara 0 dan 1.
FUZZY LOGIC : Salah satu contoh fuzzy logic adalah dengan menambahkan nilai kebenaran ½
disamping nilai kebenaran 0 dan 1. Jika 1 = benar, 0 = salah maka ½ dapat diartikan sebagai ‘tidak
pasti’ atau mengandung kebenaran 50% dan kesalahan 50%.
LUKASIEWICZ FUZZY LOGIC : Lukasiewicz mengembangkan suatu bentuk logika fuzzy untuk
operator logika komplemen, dan, atau, implikasi dan biimplikasi untuk fuzzy logic dengan tiga nilai
kebenaran 1, ½ dan 0.
OPERASI FUZZY LOGIC : Sesuai dengan pengembangan Lukasiewicz maka operasi-operasi logika
fuzzy didefinisikan sebagai berikut:
a  1 a
a  b  min a , b 
a  b  max a , b 
a  b = min 1, 1 + b - a 
a  b  1 b  a
TABEL KEBENARAN FUZZY LOGIC : Dari operasi Lukasiewicz fuzzy logic tersebut maka diperoleh
table kebenaran untuk operasi dan, atau, implikasi dan biimplikasi diperoleh sebagai berikut:




1
0
0
1
1
1
2
1
0
1
2
1
1
2
0
1
1
0
1
1
0
1
2
0
1
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
1
2
1
1
2
1
2
1
1
0
1
1
1
1
a
b
a
0
0
0
LOGICAL EQUIVALENCE DUA PROPOSISI FUZZY : Dua proposisi pada fuzzy logic adalah logical
equivalence bila keduanya memiliki table kebenaran yang sama. Bila dua proposisi p dan q logical
equivalence maka ditulis p  q atau p = q.
CONTOH :
Proposisi-proposisi berikut adalah logical equivalence
1)
ab  ab
2)
a  b  ( a  b)  b
3)
a  b  (a  b)  (b  a)
PENJELASAN CONTOH :
1) Dengan tabel kebenaran kita dapat menunjukkan
a  b  a  b , sebagai berikut :

a b
a
b
a
b
0
0
1
1
1
0
0
0
1
2
1
1
2
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
2
0
1
2
1
1
0
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
0
1
2
1
2
1
2
1
0
0
1
1
0
0
1
1
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
0
0
0
1
1
a
ab
b
Perhatikan bahwa kolom 6 dan 7 memiliki table kebenaran yang sama sehingga dapat
disimpulkan a  b  a  b .
2) Dengan table kebenaran kita dapat menunjukkan
a  b  (a  b)  b , sebagai
berikut :
b
a b
(a b)b
0
1
0
1
2
1
2
1
1
2
0
1
1
1
1
1
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
a
b
0
0
0
a
Jadi dari table terlihat bahwa kolom 3 dan kolom 5 mempunyai table kebenaran yang sama.
3) Dgn tabel kebenaran kita dapat menunjukkan
a  b  (a  b)  (b  a)
a
b
ab
a b
ba
( a  b )(b  a)
0
0
1
1
1
1
0
1
2
1
2
1
1
2
1
2
0
1
0
1
0
0
1
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
0
0
0
1
0
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
Jadi dari table terlihat bahwa kolom 3 dan 6 mempunyai table kebenaran yang sama.
PENGUJIAN ARGUMEN FUZZY LOGIC :
Untuk menguji argumen dari fuzzy logic maka dipakai table kebenaran sesuai dengan fuzzy logic, yaitu
kita memakai Lukasiewicz fuzzy logic dengan tiga kemungkinan nilai kebenaran yaitu 1, ½ , atau 0.
CONTOH: Misalkan kita akan menguji validitas dari argumen berikut dengan menggunakan
Lukasiewicz fuzzy logic.
AB,(BA)C|---AB
Activity
2
Part
Quiz/Exam/Self-Assess
Assignments
1.
Diketahui fuzzy set A dan B pada universal set U = himpunan bilangan riil dengan fungsi
keanggotaan masing-masing adalah tentukan support A, support B, bilangan kardinal A,
bilangan kardinal B, fungsi keanggotaan dari ….
2. Bila p, q dan r proposisi pada Lukasiewicz fuzzy logic dengan tiga nilai
kebenaran 1, ½ atau 0 maka
a. Tentukan apakah proposisi-proposisi berikut logical equivalence.
(~(p^~q) ^ ~(p v q) = ~p v q
(pvq)vr = pv(qvr)
b. Uji validitas dari argumen-argumen di atas.