BAB II KAJIAN TEORITIS DAN HIPOTESIS TINDAKAN 1.1. Kajian

7
BAB II
KAJIAN TEORITIS DAN HIPOTESIS TINDAKAN
1.1. Kajian Teoritis
2.1.1
Hakikat Bilangan
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk
pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk
mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam
matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk
meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan
bilangan kompleks (Http://id.wikipedia.org/wiki/bilangan)
Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan
menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris.
Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran
bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang
mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai
keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian,
pembagian, dan perpangkatan. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris
disebut sebagai aritmetika.
Teori Bilangan (NumberTheory) menurut Winataputra,dkk (1993:184)
adalah cabang dari ilmu matematika yang mempelajari tentang sifat-sifat,
hubungan-hubungan dari berbagai macam bilangan. Kelompok bilanganbilangan alam (natural numbers) adalah kelompok bilangan terpenting yang
dipelajari didalam TeoriBilangan dari berbagai macam kelompok bilangan yang
8
terdapat didalam teori bilangan. Dari kelompok bilangan-bilangan alam tersebut
yang peranannya menonjol adalah bilangan prima, yang merupakan bilangan
alam yang lebih besar dari 1 dan pembagi positifnya hanyalah 1 dan bilangan itu
sendiri.Salah satu hasil dari Teori Bilangan menunjukkan bahwa perkalian dari
bilangan-bilangan prima dapat menghasilkan semua bilangan alam kecuali 1.
2.1.2 Jenis-jenis Bilangan
A. Bilangan Asli
Biasanya dinyatakan dengan lambang N. Bilangan asli memiliki asal dari
kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan
satu. Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur
himpunan {1, 2, 3, 4, ...}
Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori
himpunan. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol
(berkorespondensi dengan himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang
menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, logika dan ilmu komputer.
Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori bilangan, bertahan pada tradisi
lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama. Di mulai dari 1, 2, 3,
4, 5, ….
Bilangan asli terdiri atas :
1. Bilangan genap
Adalah bilangan cacah yang habis dibagi dua, seperti 2,4,6,8….
2. Bilangan ganjil
9
Adalah bilangan cacah yang tidak genap. Bilangan tersebut adalah 1, 3, 5,
7,….
3. Bilangan Komposit
Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan
yang lain Komposit = {4,6,8,9,…
4. Bilangan prima
Bilangan prima adalah suatu bilangan yang dimulai dari 2 dan hanya dapat
dibagi oleh bilangan itu sendiri = {2,3,5,7,...}.
B. Bilangan bulat
Biasanya dinyatakan dengan lambang Z. Bilangan bulat terdiri dari
bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0
dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa
komponen desimal atau pecahan. Himpunan semua bilangan bulat dalam
matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman
untuk "bilangan“). Di mulai dari …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….
Bilangan bulat terdiri dari :
1. Bilangan bulat negatif
Di mulai dari …., -5, -4, -3, -2, -1
2. Bilangan cacah
Adalah semua bilangan asli. Bilangan tersebut adalah 1, 2, 3,….
3. Bilangan nol
Kata Nol atau “Zero” berasal dari bahasa latin Zephirum yang
berarti kosong atau hampa ratusan tahun yang lalu, manusia hanya
10
mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian,
datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Nol
telah digunakan dalam notasi posisi sejak 700 SM oleh orang-orang
Babylon, namun mereka mencopotnya bila menjadi lambang terakhir pada
bilangan tersebut. Konsep nol pada masa modern berasal dari
matematikawan India Brahmagupta
C. Bilangan Rasional
Adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan p dan q
bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua
buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik.
D. Bilangan Irasional
Adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah
berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b,
dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi
bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling
populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, , dan bilangan e.
Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi =
3,1415926535.... atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288
41971 69399 37510...
Untuk bilangan : = 1,4142135623730950488016887242096....
atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694
80731 76679 73798.. dan untuk bilangan e: = 2,7182818....
E. Bilangan Real
11
Adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan
irasional. bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa
dituliskan dalam bentuk desimal.
Menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti
2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti
42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan sqrt2. Bilangan rasional
direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional
memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang.
F. Bilangan Kompleks
Adalah bilangan yang berbentuk dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i
adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil
a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut
bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka
bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Sebagai
contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian
imajiner 2.
2.1.3 Bilangan Prima
Adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri
dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi
oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan
seterusnya.
Coba perhatikan contoh beberapa bilangan berikut ini: 2,3,5,7
2=1x2
12
3=1x3
5=1x5
7=1x7
Ke empat factor tersebut mempunyai factor 1 dan dirinya sendiri, tidak mempunyai
factor yang lain. Bilangan semacam ini disebut bilangan prima. 11 = 1 x 11 tidak
mempunyai factor lain selain 11 dan 1, sehingga 11 adalah bilangan prima. Akan
tetapi 4 adalah bukan bilangan prima, sebab selain 1 x 4 = 4, 4 juga dapat
dinyatakan dengan 2 x 2,yang berarti 4 mempunyai factor 1,2 dan 4. Walaupun 1=
1 x 1, yang berarti 1 mempunyai factor 1 dan dirinya sendiri, akan tetapi 1 tidak
digolongkan sebagai bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan bulat yang
lebih besar dari 1 yang mempunyai hanya dua factor yaitu 1 dan dirinya sendiri.
Menurut Wahyudin (dalam Hamka 2010:10)bilangan prima adalah
integer yang lebih besar dari 1 dan pembagi positifnya hanyalah 1 dan
dirinya sendiri. Contoh bilangan prima adalah 2, 3,5, 7, 11, 13, 17,
....Integer yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut
bilangan komposit (composite number).
Pengertian lainnya adalah Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat
habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan
bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan
prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya (Koetting,1996:137)
2.1.4
Hakikat Media saringan erastothenes
2.1.4.1 Pengertian media
13
Media berasal dari bahasa latin yang merupakan bentuk kata ‘ medium
‘secara harfiah adalah pengantar/perantara. Media adalah pengantar dan perantara
pesan dari pengerim ke penerima pesan.Menurut Gagne (dalam Hamalik,1998:6)
menyatakan bahwa media adalahberbagai jenis komponen dalam lingkungan siswa
yang dapat merangsang siswa untuk belajar.
Media dalam pengertian yang lebih spesifik lagi adalah sebagai alat bantu
atau peraga. Berkenaan dengan pengertian ini. Natawijaya dalam Tambunan
(2006:14) mengemukakan bahwa Alat peraga yaitu alat bantu atau pelengkap yang
digunakan oleh guru dalam berkomunikasi dengan siswa. Alat peraga berupa benda
maupun perilaku. Benda dapat berupa langsung seperti daun-daunan,bunga atau
pensil. Dapat juga berupa benda tiruan berupa model bola dunia,gajah-gajahan dan
dapat berupa benda tak langsung misalnya papan tulis,tape, recorder atau film.
Dari uraian tersebut dapat disimpulkan media bukan sekedar alat peraga
yang dilihat atau didengar, namun media merupakan segala sesuatu yang dapat
digunakan untuk menyalurkan pesan untuk merangsang,pikiran,perasaan dan minat
serta perhatian anak sehingga proses belajar mengajar akan terlaksana dengan baik
sesuai yang diharapkan.
Menurut Azhar (2002:32) Manfaat penggunaan media dalam proses
pembelajaran adalah sebagai :
1. Meletakkan dasar-dasar yang konkret dalam berfikir dan mengurangi
verbalism.
2. Memperbesar perhatian siswa dalam proses belajar mengajar
14
3. Meletakkan dasar-dasar yang penting untuk perkembangan proses belajar
mengajar dan membuat pelajaran yang mantap
4. Menumbuhkan pemikiran yang teratur, lentur dan kontinu terutama melalui
gambar hidup membantu tumbuhnya pengertian yang dapat membantu
perkembangan kemampuan berbahasa
5. Memberikan pengalaman yang tidak mudah diperoleh dengan cara lain dan
membantu efisiensi dan keragaman yang lebih banyak dalam belajar.
2.1.4.2 Saringan Erastothenes dalam Pembelajaran Bilangan Prima
Saringan Erastothnes adalah sebuah media yang dapat digunakan
untuk menemukan bilangan prima antara 1 dan suatu angka n. Saringan
Erastothenes ini ditemukan oleh Eratosthenes, seorang ilmuwan Yunani kuno
( http:/id.wikipedia/Saringan_Erastothenes )
Langkah-langkah pengunaan saringan erastothenes adalah sebagai berikut :
1. Tulis semua bilangan, mulai dari 1 sampai n. Misalkan ini adalah daftar A.
2. Buat suatu daftar yang masih kosong, sebut saja daftar B.
3. Coret bilangan 1 dari daftar A.
15
4. Lalu tulis 2 pada daftar B. Lalu coret 2 dan semua kelipatannya dari daftar
A
5. Bilangan pertama yang belum tercoret dari daftar A (misalnya 3) adalah
bilanganprima. Tulis bilangan ini di daftar B, lalu coret bilangan ini dan
semua kelipatannya dari daftar A.
6. Ulangi langkah 4 dan berhenti pada giliran bilangan yang lebih besar dari
√n.
7. Tulis semua bilangan yang belum dicoret pada daftar B.
8. Selesai. Daftar B memuat semua bilanganprima antara 1 sampai n.
2.1.5
Kajian Penelitian Yang Relevan
Berdasarkan hasil penelitian Eneng Sri Susilowati dalam meningkatkan
kemampuan siswa menentukan bilangan prima pada mata pelajaran matematika di
sekolah dasar dengan menggunakan media dadu.kemampuan anak menggenal
16
konsep bilangan berdasarkan kategorisasi pada awal (pre-test) tidak ada seorang
anak pun yang berada pada BSH (Berkembang Sesuai Harapan), lima orang anak
atau 33,3 % berada pada kategori MDP (Masih Dalam Proses) dan 10 orang anak
atau 66,6 % berada pada kategori BT (Belum Terlihat), sedangkan berdasarkan
hasil post test, kemampuan anak mengenal bilangan mengalami peningkatan yaitu
yang bearad pada kategori BSH(Berkembang Sesuai Harapan) sebanyak 14 orang
atau 93,3 % pada kategori MDP(Masih Dalam Proses) hanya satu orang atau 6,6%
dan yang berada pada kategori BT(belum Terlihat) tidak ada atau 0%. Dari data
tersebut dapat disimpulkan bahwa semua anak mengalami peningkatan dalam
kemampuan menentukan bilangan. Hal ini terjadi karena melalui pembelajaran
dengan menggunakan media dadu, proses pembelajaran lebih menyenangkan,
menarik sehingga anak-anak semakin termotifasi dan aktif untuk mengikuti proses
pembelajaran.
2.2 Hipotesis Tindakan
Hipotesis tindakan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut :“Jika
melalui media saringan erastothenes maka kemampuan menentukan bilangan
prima pada siswa kelas IV SDN 2 Tolinggula Tengah akan meningkat.”
2.3 Indikator Kinerja
Yang menjadi indikator keberhasilan penelitian tindakan kelas ini adalah
minimal 75 % siswa kelas IV SDN 2 Tolinggula Tengah yang dikenai tindakan
memperoleh nilai 70 ke atas.
17