PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Klik Shapes
Untuk ke subbab materi
Atau keluar
Keluar Program
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan
trigonometri Suatu sudut dalam derajat atau radian. Dari bentuk-bentuk rumus
periodisasi fungsi trigonometri untuk fungsi sinus,cosinus dan tangen klita dapat
menentukan penyelesaian persamaan trigonometri.
A. Persamaan trigonometri berbentuk sin x°= sin α°.
persamaan sin x = sin α, dapat ditentukan himpunan penyelesaianya dengan
menggunakan Rumus persamaan:
I. sin x = sin α ,yaitu : x1= α + k.360°, atau x2 = (180 – α) + k.360 , k ⋵ bil bulat
Contoh 1. Tentukan Hp dari persamaan sin x = 0.5 , interval 0° ≤ x ≤ 360°
Jawab: sin x= sin 30°
X1= α + k.360°, atau x2 = (180 – α) + k.360°
X1= 30° + k.360°, atau x2 = (180 – 30°) + k.360°
Untuk k = 0 , x1 = 30° atau x2 = 150°
k = 1 , x1 = 390° atau x2 = 510°
Karena interval 0° ≤ x ≤ 360°, maka untuk k = 1tidak termasuk.
Jadi, Hp = {30°, 150°}
Ke Menu Utama
B. Persamaan trigonometri berbentuk cos x°= cos α°.
persamaan tan x = tan α, dapat ditentukan himpunan
penyelesaianya dengan menggunakan Rumus persamaan:
I. cos x = cos α ,yaitu : x1= α + k.360°, atau x2 = (-α )+ k.360
Contoh 1. Tentukan Hp dari persamaan cos x – cos 120°, interval
0° ≤ x ≤ 360°
Jawab: cos x = cos 120°,
x1= α + k.360°, atau x2 = (-α )+ k.360
x1= 120° + k.360°, atau x2 = (– 120°) + k.360°
Untuk k = 0 , x1 = 120° atau x2 = – 120°
k = 1 , x1 = 480° atau x2 = 240°
Karena interval 0° ≤ x ≤ 360°, maka untuk x= 480° dan x= – 120°
,tidak termasuk.
Jadi, Hp = {120°, 240°}
Ke Menu Utama
C. Persamaan trigonometri berbentuk tan x°= tan α°.
persamaan tan x = tan α, dapat ditentukan
himpunan penyelesaianya dengan menggunakan
Rumus persamaan:
I. tan x = tan α ,yaitu : x1= α + k.180°
Contoh 1. Tentukan Hp dari persamaan tan 2x = tan 𝞹 interval 0° ≤ x
≤ 2𝞹
Jawab: tan 2x = tan 180°
x= α + k. 𝞹
2x= 𝞹 + k. 𝞹
x= ½𝞹 + k. ½𝞹
Untuk k = 0 , x = ½𝞹
k=1,x=𝞹
k = 2, x= 1½𝞹
k = 3, x= 2𝞹
k = 4, x= 2½𝞹
Karena interval 0° ≤ x ≤ 2𝞹, maka untuk x= 2½𝞹 tidak termasuk.
Jadi, Hp = {½𝞹, 𝞹, 1½𝞹 , 2𝞹 }
Ke Menu Utama
D. Penyelesaian Persamaan trigonometri sin px°= a, cos px°= a, dan tan px°= a
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin px°= a, cos px°= a,
Dan tan px°= a, terlebih dahulu kita mengubah konstanta a menjadi perbandingan
Trigonometri yang sama dengan perbandingan trigonometri pada ruas kiri.
Catatan :
Persamaan-persamaan trigonometri sin
px°= a, cos px°= a, Dan tan px°= a berlaku
pula dinyatakan dalam radian
Ke Menu Utama
Selanjutnya
Contoh :
1. Himpunan penyelesaian dari 2 sin (2x + 120)° + 1 = 0 dengan 0°≤ x ≤ 360° adalah…
Jawab!
Ke Menu Utama
Sebelumnya
E. Persamaan trigonometri yang memuat jumlah , selisih sinus atau kosinus.
Rumus-rumus.
(!) 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)
2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β)
2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)
(!!) sin A + sin B
sin A ̶ sin B
cos A + cos B
cos A ̶ cos B
= 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B)
= 2 cos ½ (A + B) cin ½ (A ̶ B)
= 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B)
= ̶ 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B)
Untuk menyelesaikan Persamaan trigonometri yang memuat jumlah , selisih sinus
atau kosinus. Maka kita dapat menggunakan rumus jumlah dan selish dalam trigonopmetri
Untuk lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini……………!
Ke Menu Utama
Selanjutnya
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin 5x + sin 3x = 0, dalam interval
0≤ x ≤ 360°.
Jawab. !
Sin 5x + sin 3x = 0
⇔ 2 sin ½ (5x + 3x) cos ½ (5x ̶ 3x)
⇔ sin 4x cos x = 0
⇔ sin 4x = 0 atau cos x = 0
Dari persamaan itu diperoleh :
Dari persamaan itu diperoleh :
sin 4x = 0 = sin 0°
Cos x = 0 = cos 90°
⇔ 4x = k × 360° atau 4x = 180° + k. 360°
⇔ x = ± 90° + k . 360°
⇔ x = k × 90° atau x = 45° + k. 90°
⇔ x = 90° +k . 360° atau x = - 90° +k . 360°
⇔ untuk k = 0, x = 0° atau x = 45°
⇔ untuk k = 0 x = 90° atau x = - 90°
k = 1, x = 90° atau x = 135°
k = 1, x = 470° atau x = 270°
k = 2, x = 180° atau x = 215°
k = 3, x = 270° atau x = 315°
k = 4, x = 360° atau x = 405°
Jadi Hp = {0°,45°,90°, 180°, 135°, 215°, 270° ,315°, 360°}
Ke Menu Utama
Sebelumnya
F. Persamaan kuadrat dalam sinus dan kosinus, dan tangen.
persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangen akar-akarnya
Dapat ditentukan dengan cara
1.Dengan memfaktorkan
2.Dengan melengkapi kuadrat sempurna
3.Dengan menggunakan rumus ABC
Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan
Menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
1.Nyatakan persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat umum.
2.Tentukan akar-akarnya menggunakan salah cara yang telah ditentukan
3.Akar-akar yang telah ditentukan harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.
a. Nilai sin x, cos x dan tan x, haruslah bilangan real, sehingga D ≥ 0 (D=b²- 4ac)
b. Nilai sin x = {– 1 ≤ sin ≤ 1}, cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}.
Jika salah satu syarat diantara kedua itu tidak dipenuhi maka persamaan
tersebut tidak memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaianya adalah ∅
(Himpunan kosong).
Agar lebih jelas lihatlah contoh berikut….!
Ke Menu Utama
Selanjutnya
Contoh 1.
Tentukan Hp dari persamaan 2 sin²x = 3 sin x - 1, dengan 0≤ x ≤ 360°
Jawab !
2 sin²x = 3 sin x - 1
⇔ 2 sin²x – 3 sin x + 1 = 0
⇔ 2x² - 3x + 1 = 0
misal sin x = x
⇔ (2x - 1) (x -1)= 0
x= ½ x = 1
a. Dari persamaan diperoleh sin x = ½
⇔ sin x = sin 30°
⇔ x = 30° + k . 360° atau x = (180°- 30°) + k . 360°
⇔ k=0, x= 30° atau x = 150°
k=1, x= 390° atau x= 510°
b. Dari persamaan diperoleh sin x =1
⇔ sin x = sin 90°
⇔ x= 90 + k . 360° atau x = (180 – 90) ° + k.360 °
⇔ k=0, x=90°
k=1, x=450°
Maka Hp = {30°, 90°,150°}
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
Contoh.2
Jika x memenuhi 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 dan 0≤ x ≤90°, maka cos x adalah……..
Jawab !
2 sin²x – 7 sin x + 3 =0
⇔2x² - 7x +3 = 0
diterima
⇔ (2x – 1)(x – 3)=0
⇔x=½ x=3
ditolak
Maka, sin x =½ dan sin x = 3
Sin x = ½ = sin 30°
x = 30° + k . 360° atau x = 150° + k . 360°
Untuk k = 0, maka x = 30° atau x = 150°
dalam interval 0 ≤ x ≤ 90° dipenuhi oleh x = 30°
Ke Menu Utama
Sebelumnya
G. Persamaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat
dalam Sinus, cosinus dan tangen.
Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat
Dalam sinus, cosinus dan tangen kita dapat menggunakan rumus-rumus sudut
rangkap, dan rumus trigonometri sudut pertengahan.
Perhatikan contoh dibawah ini.
1.Tentukan penyelesaian dari persamaan cos 2x – 10 sin x = - 11 dalam interval
0 ≤ x ≤ 360°
solusi !
Cos 2x – 10 sin x = -11
⇔1- 2 sin²x – 10 sin x = -11
Ingat cos 2x = 1 – 2sin²x
⇔ 2 sin²x + 5 sin x – 6 = 0
⇔(sin x + 6)(sin x – 1)=0
⇔sin x = -6(ditolak) atau sin x = 1(diterima)
⇔sin x = 1 = 90°
x = 90° + k . 360°
Untuk k = 0 maka x = 90°
Jadi penyelesaianya adalah 90°
Ke Menu Utama
Selanjutnya
G. PERTIDAKSAMAAN FUNGSI TRIGONOMETRI
A. Pertidaksamaan Fungsi trigonometri.
Pertidaksamaan trigonometri adalah suatu pertidaksamaan yang
mengandung fungsi trigonometri dengan peubah sudutnya belum diketahui
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri dapat ditentukan .
Dengan 2 cara:
1. Diagram Garis Bilangan .
2. Sketsa Kurva Fungsi Trigonometri.
Agar lebih jelas perhatikan copntoh dibawah ini……!
Misal : Tentukan Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sin x ≤ ½
dalam interval 0 ≤ x ≤ 360°.
Cara 1. Diagram Garis Bilangan.
Langkah 1: tentukan nilai batas dari pertidaksamaan, nilai tersebut diperoleh
dengan menyelesaikan persamaan trigonometri.
Sin x = ½ = sin 30°
x = 30° + k.360° atau x = (180 – 30)° + k.360°
Untuk k = 0 maka x = 30° atau x = 150°
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
Langkah 2 : Gambarkan setiap batas nilai dari satu periode tersebut pada
garis bilangan.
•0
•
•
30°
•360°
150°
x
Langkah 3 : tentukan tanda pertidaksamaan pada setiap interval.
Dari garis bilangan diatas terbagi 3 interval yaitu :
1. 0≤ x ≤ 30°
3. 150°≤ x ≤360°
misal kita ambil nilai x = 0 maka :
nilai x = 180° maka:
⇔ x = 30° + k . 360° ⇔ 0 = 30° + k . 360°
⇔ 180° = 150° + k .360°
- 30° = k . 360°
- 30° = k . 360°
k= ̶ ,
k= ̶ ,
2. 30° ≤ x ≤ 150°
misal kita ambil nilai x = 120° maka:
⇔ x = 30° + k . 360° ⇔ 120° = 30° + k .360°
90° = k . 360°
k= + ,
(̶)
(+)
(̶)
•0
•
•
•
30°
150°
360°
Catatan : dalam menentukan tanda pada interval ambil nilai x yang lebih
dengan batas nilai.
Ke Menu Utama
x
dekat
Sebelumnya Selanjutnya
Langkah 4 : tentukan Hp pertidaksamaan, yaitu mengambil tanda sama
dengan tanda dari pertidaksamaan.
sin x ≤ ½ , maka yang diminta kurang dari sama dengan 0, maka diambil
Interval yang bertanda negatif. Karena pertidaksamaan tersebut
memiliki tanda kurang dari sama dengan maka batas nilai dari
pertidaksamaan tersebut masuk.
•0
(̶)
(+)
•30° 150°
•
(x x= 30° + k.360°)
Ke Menu Utama
(̶)
•360°
(x = 150° + k.360°)
Sebelumnya Selanjutnya
Cara II. Seketsa grafik fungsi trigonometri
Cara menentukan tanda, untuk x = π, maka sin π ≤
berarti daerah
150° ≤ x ≤ 360° bertanda negatif (-), tanda daerah ini berubah pada daerah
Disebelahnya, tetapi apabila pertidaksamaan itu berpangkat genap maka
Tanda daerah tetap (tidak berubah tanda pada daerah disampingnya )
Oleh karena tanda pertidaksamaan adalah ≤ maka daerah yang memnuhi
Adalah bertanda negatif.
Jadi Hp adalah {x | 0 ≤ x ≤ 30° atau 150°≤ x ≤ 360°}
O°
Ke Menu Utama
30°
150°
360°
Sebelumnya Selanjutnya
A. Bentuk a cos x° + b sin x°
I. Mengubah bentuk a cos x° + b sin x° menjadi bentuk k cos ( x – a).
Bentuk a cos x° + b sin x° dapat diubah ke dalam bentuk k cos (x – α)° dengan
k adalah konstanta positif dan 0 ≤ x ≤360°, nilai-nilai k dan α ditentukan oleh
nilai-nilai a dan b dengan cara pengerjaan:
a cos x° + b sin x° = k cos (x – α)°
a cos x° + b sin x° = k cos x° cos α° + k sin x° sin α°
Maka : a = k cos α° , b = k sin α°
k² cos²α° + k² sin²α° = a²+ b²
k² (cos²α° + sin²α° ) = a²+ b²
k² = a²+ b²
Ketentuan :
1.α° di kuadran I jika a˃0 & b˃0
2.α° di kuadran II jika a˂0 & b˃0
3.α° di kuadran III jika a˂0 & b˂0
4.α° di kuadran IV jika a˃0 & b˂0
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
Contoh :
1.Ubahlah bentuk 4 cos x – 4 sin x ke dalam bentuk k sin (x+α) ,dengan
k ˃ 0 dan 0 ≤ x ≤360°.
Solusi.
4 cos x – 4 sin x = k sin (x+α)
4 cos x – 4 sin x = k sin x cos α + k cos x sin α
k sin α = 4 → a = 4
K cos α = - 4 → b = - 4
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
II. Penyelesaian Persamaan a cos x° + b sin x° = c
Untuk menentukan penyelesaian persamaan trigonometri berbentuk
a cos x° + b sin x° = c, dengan a, b dan c 𝜖 R dan ≠ 0 , dapat diselesaikan
Dengan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1 : ubahlah bentuk trigonometri a cos x° + b sin x°, kedalam
bentuk k cos (x – α)° dengan
dan
atau ke dalam bentuk k sin (x – α)° dengan
dan
.
Langkah 2 : kemudian dengan mengganti a cos x° + b sin x°= c dengan
k cos (x – α)° atau k sin (x – α)° maka persamaan itu menjadi
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
Langkah 3 : Syarat persamaan dapat diselesaiakan
Perhatikanlah contoh dibawah ini.!
Contoh 1: Agar persamaan (a+1) cos x + a sin x = a + 2, memiliki
Penyelesaian,tentukan batas a!
Jawab !
+
Ke Menu Utama
-1
•
-
3
•
+
Sebelumnya Selanjutnya
III. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x°.
Nilai-nilai stasioner (nilai maksimum atau minimum) fungsi trigonometri
y = f(x) = a cos x° + b sin x°. Dengan
dan
Adalah.!
Contoh 1:
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
IV. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x° + c
Nilai-nilai stasioner (nilai maksimum atau minimum) fungsi trigonometri
y = f(x) = a cos x° + b sin x°+ c = k cos ( x – α) + c Dengan
dan
adalah!
Contoh !.
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi y = 8 cos x° + 6 sin x° + 5
Solusi!
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
V. Menggambar Grafik Fungsi y = f(x)
Langkah – langkah menggambar grafik fungsi:
Langkah 1 : Ubahlah fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x°+c menjadi fungsi
f(x) = k cos ( x – α)°+c.
Lankah 2 : Tentukan titik-titik stasionernya.
1. Titik maksimum.
2. Titik minimum.
Langkah 3 : Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat.
- titik potong dengan sumbu –x diperoleh bila y =0
- titik potong dengan sumbu –y diperoleh bila x =0
Langkah 4 : Gambarkan titik-titik (x,y) yang diperoleh pada langkah
2 dan 3 pada bidang kartesius.
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
2
y
1
0
30°
120°
210°
300°
360°
x
1
-2
Catatan : dalam menggambar grafik fungsi trigonometri dapat juga menggunakan
cara Tabel dan Tranlasi grafik fungsi.
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
VI. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat dalam fungsi Trigonometri.
Contoh !:
Seketsalah kurva fungsi y=f(x)= 2 sin²x – 2 sin x + 1 dalam interval -180 ≤ x ≤ 180°
Solusi !
1. Menentukan titik potong dengan sumbu kordinat.
a. Titik potong dengan sumbu x , jika y = 0
D = b² - 4ac
2 sin²x – 2 sin x + 1 = 0
D = (-2)² - 4 .2.1= - 4
Karena D ˂ 0, maka grafik tidak memotong sumbu –x.( ingat sifat-sifat grafik
fungsi kuadrat).
b. Titik potong dengan sumbu y jika x = 0.
y = 2 sin²x – 2 sin x + 1 = 0
y = 2 sin²0 – 2 sin 0 + 1 = 1
Titik potong dengan sumbu- y adalah (0,1)
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
2. Menentukan titik Stasioner.
y = 2 sin²x – 2 sin x + 1
y’= 4 sin x cos x – 2 cos x = 2 sin 2x – 2 cos x ( Turunan pertama).
y’’= 4 cos 2x + 2 sin x (Turunan Kedua).
Nilai Setasioner dicapai jika y’ = 0, maka:
4 cos 2x + 2 sin x = 0
⇔ 2 cos x (2 sin x – 1) = 0
⇔ cos x = 0 atau sin x = ½
cos x = 0 = cos 90°
Sin x = ½ = sin 30°
x = 90°+k.360° or x = 90°+k.360° x = 30°+k.360° or x = 150°+k.360°
Untuk k = 0 maka x=90° or x = -90° Untuk k = 0 maka x=30° or x = 150°
*Untuk x = 90° ⇔ y’’= 4 cos 2x + 2 sin x
= 4 cos 2.90° + 2 sin 90° ⇔ 4 cos 180° + 2 sin 90°
= 4 .(-1) + 2(1) = -2
-2 ˂ 0 maka fungsi f adalah maksimum.
X = 90°→ y maks = 2 sin² 90° - 2 sin 90° + 1 = 1
Titik maksimumnya adalah (90° ,1)
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
*Untuk x = - 90° ⇔ y’’= 4 cos 2(-90°) + 2 sin (-90°)
= 4 cos 180° + 2- sin 90° ⇔ 4 (-1)- 2 (1)
= 4 .(-1) - 2(1) = -6 ˂ 0 (fungsi maksimum)
X = -90°→ y maks = 2 sin²( -90°) -2 sin (-90°) + 1 = 5
Titik maksimumnya adalah (-90° ,5)
*Untuk x = 30° ⇔ y’’= 4 cos 2(30°) + 2 sin (30°)
= 4 cos 60° + 2 sin 30° ⇔ 4 (½)- 2 (½)
= 2+ 1 = 3 ˃ 0 (fungsi minimum)
X = 30°→ y maks = 2 sin²( 30°) - 2 sin (30°) + 1 = ½
Titik maksimumnya adalah (30° ,½)
*Untuk x = 150° ⇔ y’’= 4 cos 2(150°) + 2 sin (150°)
= 4 cos 300° + 2 sin 150° ⇔ 4 (½)- 2 (½)
= 2+ 1 = 3 ˃ 0 (fungsi minimum)
X = 30°→ y maks = 2 sin²( 150°) - 2 sin (150°) + 1 = ½
Titik maksimumnya adalah (150° ,½)
Ke Menu Utama
Sebelumnya Selanjutnya
*Untuk x = - 180°→ y = 2 sin² (-180°) – 2 sin (-180°)+1 = 1, titiknya (-180°,1)
*Untuk x = 180°→ y = 2 sin² (180°) – 2 sin (180°)+1 = 1, titiknya (180°,1)
y
(-90°,5)
5
y=f(x)= 2 sin²x – 2 sin x + 1
4
3
2
1
(0,1)
½
(-180°,1)
-180°
Ke Menu Utama
- 90°
0
(90°,1)
(150°,½)
(30°,½)
30°
(180°,1)
90°
150°
x
180°
Sebelumnya