Aljabar Boolean, Sintesis Fungsi Logika - Eko Didik Widianto

Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Aljabar Boolean, Sintesis Fungsi Logika
Kuliah#3 TSK205 Sistem Digital - TA 2011/2012
Eko Didik Widianto
Teknik Sistem Komputer - Universitas Diponegoro
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Umpan Balik
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
Sebelumnya dibahas tentang konsep rangkaian logika:
I
I
I
I
I
I
I
Representasi biner dan saklar sebagai elemen biner
Variabel dan fungsi logika
Ekspresi dan persamaan logika
Tabel kebenaran
Gerbang dan rangkaian logika
Analisis rangkaian dan diagram Pewaktuan
Umpan Balik:
I
Gambarkan rangkaian untuk fungsi logika
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 x 2 ) + (x 3 x4 ) dan analisis untuk
masukan {x1 , x2 , x3 , x4 } = {0, 1, 0, 1}, 12
I
Buktikan bahwa (x1 x 2 ) + (x 3 x4 ) = (x1 x 2 ) (x 3 x4 )
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Tentang Kuliah
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
Dalam kuliah ini, akan dibahas tentang implementasi
fungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (disebut
proses sintesis), baik menggunakan tabel kebenaran,
maupun aljabar Boolean
I
I
I
I
I
I
I
I
Aljabar Boolean: aksioma, teorema, dan hukum
Diagram Venn
Manipulasi aljabar
Sintesis ekspresi logika dari tabel kebenaran
Bentuk kanonik: minterm/SOP dan maxterm/POS beserta
notasinya
Konversi SOP <-> POS
Rangkaian AND-OR, OR-AND
Rangkaian NAND-NAND, NOR-NOR
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Kompetensi Dasar
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu:
1. [C2] Mahasiswa akan mampu memahami dalil, teorema dan
hukum aljabar Boolean
2. [C5] Mahasiswa akan mampu mendesain rangkaian logika
dengan benar jika diberikan kebutuhan/requirement desain
yang diinginkan (tabel kebenaran, diagram pewaktuan)
3. [C6] Mahasiswa akan mampu mendesain rangkaian logika
yang optimal dengan melakukan penyederhanaan fungsi
secara aljabar
I
Link
I
Website: http://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/
kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/
I
Email: [email protected]
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Bahasan
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Sintesis Ekspresi Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
Aljabar Boolean (Tahun 1849)
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
I
I
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Memberikan skema untuk deskripsi
aljabar dari proses berpikir secara
logika dan penalaran (reasoning)
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Kemudian digunakan untuk
menjabarkan rangkaian logika
I
I
desain dan analisis rangkaian
menyederhanakan suatu ekspresi
logika untuk implementasi fisik
rangkaian yang lebih sederhana
Umpan Balik
Lisensi
George Boole
(1815-1864)
Bahasan
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Umpan Balik
Lisensi
Dalil Aljabar Boolean dan Prinsip Dualitas
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
I
Aljabar Boolean menggunakan aturan-aturan yang
diturunkan dari asumsi dasar (aksioma/dalil/postulat)
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
I
1a.
2a.
3a.
4a.
I
Tidak perlu dibuktikan karena self-evident, kebenarannya
terjamin
1b. 1 + 1 = 1
0·0=0
2b. 0 + 0 = 0
1·1=1
3b. 1 + 0 = 0 + 1 = 1
0·1=1·0=0
4b. Jika x = 1, maka x = 0
Jika x = 0, maka x = 1
Dalil dituliskan berpasangan →untuk menunjukkan
prinsip dualitas
I
Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresi
tersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua +
dengan · atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau
sebaliknya
I
I
dalil(b) merupakan dual dari dalil(a) dan sebaliknya
Dual dari pernyataan benar adalah juga benar
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Teorema 1 Variabel
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
Aturan ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel
tunggal
5b. x + 1 = 1
5a. x · 0 = 0
6b. x + 0 = x
6a. x · 1 = x
7b. x + x = x
7a. x · x = x
8b. x + x = 1
8a. x · x = 0
9. x = x
I Pembuktian teorema dengan induksi
I
I
Memasukkan nilai x = 0 dan x = 1 ke dalam ekspresi
Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b)
dan sebaliknya
I
f1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 dualnya adalah f2 (x1 , x2 ) = x1 · x2
Misalnya: f1 = 0 + 0 = 0, f2 = 1 · 1 = 1, sehingga f1 dan f2
dual
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
Hukum-hukum Aljabar
@2012,Eko Didik
Widianto
10a. x · y = y · x
10b. x + y = y + x
→Komutatif
11a. x · (y · z) = (x · y ) · z
11b. x + (y + z) = (x + y ) + z
→Asosiatif
12a. x · (y + z) = x · y + x · z
12b. x + y · z = (x + y ) · (x + z)
→Distributif
13a. x + x · y = x
13b. x · (x + y ) = x
→Absorsi
14a. x · y + x · y = x
14b. (x + y ) · (x + y ) = x
→Penggabungan
15a. x · y = x + y
15b. x + y = x · y
→DeMorgan
16a. x + x · y = x + y
16b. x · (x + y ) = x · y
17a.
17b. (x + y ) · (y + z) · (x + z) =
x ·y +y ·z +x ·z = x ·y +x ·z
(x + y ) · (x + z)
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
→Konsensus
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
I
Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat
dilakukan secara induktif (dengan tabel kebenaran)
maupun dengan melakukan perhitungan aljabar
I
Contoh: teorema DeMorgan secara induktif
I
Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan
aljabar
Pembuktian Aljabar
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
Buktikan persamaan logika berikut benar
1.(x1 + x2 ) · (x 1 + x 2 ) = x1 · x 2 + x 1 · x2
2. x1 · x 3 + x 2 · x 3 + x1 · x3 + x 2 · x3 = x1 + x 2
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
f
= x1 · x 3 + x 2 · x 3 + x1 · x3 + x 2 · x3
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
= x 1 · x 2 + x1 · x2 + x1 · x 2
Umpan Balik
= x1 + x 2
I
I
Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana,
sehingga rangkaian logika akan lebih sederhana
Teorema dan property menjadi basis untuk sintesis fungsi
logika di perangkat CAD
Lisensi
Bahasan
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Umpan Balik
Lisensi
Diagram Venn
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
I
Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi logika secara visual
I
Suatu set s merupakan koleksi elemen yang merupakan
anggota dari s
I
I
dalam hal ini s merupakan koleksi variabel dan/atau konstan
Elemen (variabel/konstan) dinyatakan sebagai area
dengan kontur seperti kotak, lingkaran atau elips
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Diagram Venn
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
DeMorgan: x · y = x + y
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
I
Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua
ekspresi sama
Bahasan
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Umpan Balik
Lisensi
Notasi Operator Fungsi Logika
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara
logika dan aritmetika
I
I
Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum)
Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product)
Operasi
OR
AND
I
Keterangan
Bitwise OR
Bitwise AND
Ekpresi ABC+A’BD+A’CE
I
I
Notasi Operator
W
+,V , |
·, , &
Merupakan jumlah dari 3 operasi/term perkalian (SOP,
sum-of-product terms)
Ekspresi (A+B+C)(A’+B+D)(A’+C+E)
I
Merupakan perkalian dari 3 operasi/term penjumlahan
(POS, product-of-sum terms)
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
(Konvensi) Urutan Operasi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
I
Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung,
operasi fungsi logika dilakukan dengan urutan:
1. NOT
2. AND
3. OR
I
Misalnya ekspresi x + x · y
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
I
I
I
variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-AND-kan
dengan variabel y
term pertama dan kedua kemudian di-OR-kan
Latihan
I
Gambar rangkaian untuk persamaan logika
f = (x 1 + x2 ) · x3 dan f = x 1 + x2 · x3
Lisensi
Bahasan
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Umpan Balik
Lisensi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi
yang ekivalen
I
I
I
Misalnya: f1 = x 1 x 2 + x 1 x2 + x1 x2 dan f2 = x 1 + x2 adalah
ekivalen secara fungsional
Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian
ekivalen untuk memenuhi constraint nonfungsional (area, cost)
Catatan: rangkaian dengan jumlah gerbang minimal bisa jadi bukan
merupakan solusi terbaik, tergantung constraintnya. Misalnya
constraint delay
Fungsi: f = x 1 x 2 + x 1 x2 + x1 x2
I Replikasi term 2: f = x 1 x 2 + x 1 x2 + x 1 x2 + x1 x2
I Distributif (12b): f = x 1 (x 2 + x2 ) + (x 1 + x1 ) x2
I Teorema (8b): f = x 1 · 1 + 1 · x2
I Teorema (6a): f = x 1 + x2
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Umpan Balik: Aljabar Boolean
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Mahasiswa mampu:
1. memahami dalil, teorema dan hukum aljabar Boolean
2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif
(tabel kebenaran), manipulasi aljabar dan diagram Venn
3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan
dalil, teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar)
4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR)
dan urutan operasi logika
Latihan:
I
Buktikan x 1 x2 x3 + x2 · x 3 + x 2 · x 3 = x 3 + x 1 x2 secara
induktif, aljabar dan diagram Venn
I
Hitung jumlah gerbang yang dibutuhkan oleh tiap ekspresi
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Proses Sintesis
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
Diinginkan suatu fungsi, bagaimana
mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau
rangkaian logika?
I
I
Misalnya
I
I
I
I
Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi
dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya
Desain rangkaian logika dengan dua masukan x1 dan x2
Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika
1 jika switch (x1 ,x2 ) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau
(1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0)
Pernyataan lain: jika switch x1 tersambung dan x2 terputus
maka keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran
harus 1
Langkah desain: membuat tabel kebenaran untuk
menuliskan term perkalian yang menghasilkan keluaran 1
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Bahasan
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Tabel Kebenaran dan Hasil Ekspresi (SOP)
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
I
Tabel kebenaran untuk fungsi yang harus disintesis
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
I
Realisasi f adalah f = x 1 x 2 + x 1 x2 + x1 x2
Latihan Sintesis
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
I
Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z
I
Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu
(atau kedua) y atau z bernilai 1
1. Tuliskan ekspresi dan rangkaian logikanya
2. Sederhanakan rangkaian tersebut
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Bahasan
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
Minterm
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel
f (x1 , x2 . . . xn )
I
I
I
Sebuah minterm dari f adalah satu term perkalian dari n
variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak
diinverskan maupun diinverskan
Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, minterm
dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 1 atau x i
jika xi = 0
Notasi mj merupakan minterm dari baris nomor j di tabel
kebenaran. Contoh:
I
I
Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0
minterm: m0 = x 1 x 2 x 3
Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1
minterm: m1 = x 1 x 2 x3
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
@2012,Eko Didik
Widianto
I
I
Tiap baris dari tabel
kebenaran membentuk
satu buah minterm
Fungsi f dapat dinyatakan
dengan ekspresi
penjumlahan dari semua
minterm di mana tiap
minterm di-AND-kan
dengan nilai f yang
bersesuaian
Baris
x1
x2
x3
i
minterm
f
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
0
0
0
0
x 1x 2x 3
0
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
1
0
0
1
x 1 x 2 x3
1
Bentuk Kanonik SOP
2
0
1
0
x 1 x2 x 3
0
Konversi SOP-POS
3
0
1
1
x 1 x2 x3
0
4
1
0
0
x1 x 2 x 3
1
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
5
1
0
1
x1 x 2 x3
1
6
1
1
0
x1 x2 x 3
1
7
1
1
1
x1 x2 x3
0
Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik
SOP:
I
f
mi
=
m0 · 0 + m1 · 1 + m2 · 0 + m3 · 0 + m4 · 1 + m5 · 1 + m6 · 1 + m7 · 0
=
m1 + m4 + m5 + m6
=
x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3 + x1 x2 x 3
Bentuk Kanonik POS
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
Notasi SOP
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
I
Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
f
=
=
m1 + m4 + m5 + m6
Konversi SOP-POS
x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3 + x1 x2 x 3
| {z } | {z } | {z } | {z }
1
5
4
6
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
I
Notasi Persamaan SOP: f =
I
Implementasi:
I
I
P
m(1, 4, 5, 6)
Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik
Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasi yang
paling sederhana
Bahasan
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Prinsip Duality SOP - POS
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
I
Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel
kebenaran, maka ekspresi untuk f dapat diperoleh
(disintesis) dengan cara:
1. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1, atau
2. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0
I
Pendekatan (1) menggunakan minterm
I
Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm,
disebut maxterm
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Penjelasan Dualitas SOP-POS
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
I
Jika fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka
fungsi inversnya f , dapat dinyatakan dengan penjumlahan
minterm dengan f = 1, yaitu di baris di mana f = 0
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
f
=
=
I
m0 + m2 + m3 + m7
x 1 x 2 x 3 + x 1 x2 x 3 + x 1 x2 x3 + x1 x2 x3
Fungsi f dapat dinyatakan
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
f
I
=
m0 + m2 + m3 + m7
=
=
x 1 x 2 x 3 + x 1 x2 x 3 + x 1 x2 x3 + x1 x2 x3
x 1 x 2 x 3 · x 1 x2 x 3 · x 1 x2 x3 · (x1 x2 x3 )
=
(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x3 ) (x1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 )
Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai
bentuk perkalian semua term perjumlahan, maxterm
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel
f (x1 , x2 . . . xn )
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
I
Sebuah Maxterm dari f adalah satu term penjumlahan
dari n variabel yang ditampilkan sekali baik dalam bentuk
tidak diinverskan maupun diinverskan
I
I
Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxterm
dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 0 atau
xi jika xi = 1
Notasi Mj (dengan huruf M besar) merupakan maxterm dari
baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh:
I
I
Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0
maxterm: M0 = x1 + x2 + x3
Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1
maxterm: M1 = x1 + x2 + x 3
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
@2012,Eko Didik
Widianto
I Tiap baris dari tabel
kebenaran membentuk satu
buah maxterm
I Fungsi f dapat dinyatakan
dengan ekspresi perkalian
dari semua maxterm di mana
tiap maxterm di-OR-kan
dengan nilai f yang
bersesuaian
I
f
Aljabar Boolean
Baris i
x1
x2
x3
maxterm Mi
f
0
0
0
0
x1 + x2 + x3
0
Sintesis Ekspresi
Logika
1
0
0
1
x1 + x2 + x 3
1
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
2
0
1
0
x1 + x 2 + x3
0
3
0
1
1
x1 + x 2 + x 3
0
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
4
1
0
0
x 1 + x2 + x3
1
5
1
0
1
x 1 + x2 + x 3
1
6
1
1
0
x 1 + x 2 + x3
1
7
1
1
1
x1 + x2 + x3
0
Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik
POS:
=
(M0 + 0) (M1 + 1) (M2 + 0) (M3 + 0) (M4 + 1) (M5 + 1) (M6 + 1) (M7 + 0)
=
M0 · M2 · M3 · M7
=
(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x3 ) (x1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 )
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
Notasi POS
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
f
=
M0 · M2 · M3 · M7
=
(x1 + x2 + x3 ) · (x1 + x 2 + x3 ) · (x1 + x 2 + x 3 ) · (x 1 + x 2 + x 3 )
|
{z
} |
{z
} |
{z
} |
{z
}
0
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
2
3
7
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Q
I
Notasi Persamaan SOP: f =
I
Persamaan berikut benar untuk fungsi f (x1 , x2 , x3 )di atas:
X
m(1, 4, 5, 6)
=
x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3 + x1 x2 x 3
=
M(0, 2, 3, 7)
Y
M(0, 2, 3, 7)
(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x3 )
(x1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 )
Lisensi
Bahasan
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Sintesis Ekspresi Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
Konversi Bentuk SOP-POS
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
I
P
Q
Jika suatu fungsi f diberikan dalam bentuk m atau M,
maka dengan
mudah
P
Q dapat dicari fungsi f atau f dalam
bentuk
m atau M
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Bentuk
Asal
P
f =
m
(1,4,5,6)
Q
f = M
(0,2,3,7)
Fungsi dan Bentuk yang Diinginkan
P
Q
P
Q
f =
m
f = M
f =
m
f = M
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
-
Umpan Balik
Nomor yg
tdk ada dlm
daftar
(1,4,5,6)
Nomor yg
tdk ada dlm
daftar
(0,2,3,7)
-
Nomor
yang tdk
ada dlm
daftar
(0,2,3,7)
Nomor
yang ada
dlm daftar
(1,4,5,6)
Nomor
yang ada
dlm daftar
(0,2,3,7)
Nomor yg
tdk ada dlm
daftar
(1,4,5,6)
Lisensi
Persamaan multi variabel
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
I
Bagaimana bentuk kanonik POS dan SOP untuk fungsi 4
variabel? prinsipnya sama.
I
Walaupun bisa menjadi masalah untuk implementasi di
FPGA yang hanya mempunyai LUT 2-masukan
I
Dilakukan dengan sintesis multilevel
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
Tips Penyederhanaan SOP dan POS
@2012,Eko Didik
Widianto
I Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di
ekspresi
I
I
SOP: menggunakan hukum 14a (x · y + x · y = x)
POS: menggunakan hukum 14b ((x + y ) · (x + y ) = x)
I Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan
hukum 14a atau 14b jika berbeda hanya di satu variabel saja
I
f x1 , x2 , x3
= x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3 + x1 x2 x 3
m1 dan m5 berbeda di x1 , dan m4 dan m6 berbeda di x2
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
f
I
f x1 , x2 , x3
=
x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x2 x 3
x 1 + x1 x 2 x3 + x1 (x 2 + x2 )x 3
=
x 2 x3 + x1 x 3
=
= x1 + x2 + x3
x1 + x 2 + x3
x1 + x 2 + x 3
x1 + x2 + x3
Lisensi
M0 dan M2 berbeda di x2 , dan M4 dan M7 berbeda di x1
f
=
=
x1 + x3 + x2 x 2 x1 x 1 + x 2 + x 3
x2 + x3
x1 + x3
Umpan Balik Sintesis
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z
I
Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu
(atau kedua) y atau z bernilai 1
1.1 Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasinya
1.2 Cari invers fungsi tersebut
1.3 Sederhanakan rangkaian dan gambar rangkaian logikanya
2. Cari minterm, maxterm dan tuliskan bentuk SOP dan POS
dari
I
fungsi f = (x1 + x2 ) · x 3
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Bentuk Kanonik SOP
Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Rangkaian Logika dengan NAND dan NOR
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
I Fungsi NAND adalah inversi
I Fungsi NOR adalah inversi
fungsi AND
fungsi OR
f (x1 , x2 ) = f 1 (x1 , x2 ) = x1 · x2
f (x1 , x2 ) = f 1 (x1 , x2 ) = x1 + x2
I Gerbang NAND merupakan
I Gerbang NOR merupakan
gerbang AND yang diikuti
gerbang NOT
gerbang OR yang diikuti
gerbang NOT
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Rangkaian NAND Lebih Sederhana dari AND
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
I
Di CMOS, implementasi rangkaian dari gerbang NAND
dan NOR lebih sederhana (dan cepat) daripada AND dan
OR
I
Sehingga rangkaian lebih kecil dan lebih cepat untuk
mewujudkan fungsi logika yang sama
CMOS NAND (4 transistor)
CMOS AND (6 transistor)
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Rangkaian NOR Lebih Sederhana dari OR
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
CMOS NOR (4 transistor)
CMOS OR (6 transistor)
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Recall: Teorema DeMorgan
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Rangkaian AND-OR dan NAND-NAND
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
I Rangkaian AND-OR (bentuk SOP) dapat dikonversi menjadi rangkaian
NAND-NAND
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
I Bentuk ekspresinya: inverskan minterm, ganti (+) dengan (.), inverskan
ekspresi
I
Contoh: f =
f
P
m(1, 4, 5, 6)
=
x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3 + x1 x2 x 3
=
x 1 x 2 x3 · x1 x 2 x 3 · x1 x 2 x3 · x1 x2 x 3
| {z } | {z } | {z } | {z }
NAND
|
NAND
NAND
{z
NAND
NAND
}
Rangkaian OR-AND dan NOR-NOR
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
I Rangkaian OR-AND (bentuk POS) dapat dikonversi menjadi rangkaian
Aljabar Boolean
NOR-NOR
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
I Bentuk ekspresinya: inverskan maxterm, ganti (.) dengan (+), inverskan
ekspresi
I Contoh: f =
f
=
=
Q
M(0, 2, 3, 7)
x1 + x 2 + x3 x1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3
x1 + x2 + x3 + x1 + x 2 + x3 + x1 + x 2 + x 3 + x 1 + x 2 + x 3
|
{z
} |
{z
} |
{z
} |
{z
}
NOR
NOR
NOR
NOR
|
{z
}
x1 + x2 + x3
NOR−2nd level
Umpan Balik
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
@2012,Eko Didik
Widianto
I
Yang telah kita pelajari hari ini:
I
I
I
I
Latihan:
I
I
I
Dalil, teorema dan hukum aljabar Boolean, diagram Venn
serta penyederhanaan rangkaian secara aljabar
Sintesis rangkaian logika dari tabel kebenaran, SOP, POS
dan koversinya
Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
P
Sederhanakan fungsi f (x1 , x2 , x3 ) =
m (0, 2, 4, 5) dan
buat rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR-nya
Buat rangkaian multiplekser 2-masukan
Yang akan kita pelajari di pertemuan berikutnya adalah
penyederhanaan fungsi logika menggunakan peta
Karnaugh untuk memperoleh rangkaian yang optimal
I
Pelajari: http://didik.blog.undip.ac.id/files/2011/
03/TSK205-Kuliah4-PetaKarnaugh1.pdf
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi
Aljabar Boolean,
Sintesis Fungsi Logika
Lisensi
@2012,Eko Didik
Widianto
Creative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC
BY-SA 3.0)
I
Anda bebas:
I
I
I
Di bawah persyaratan berikut:
I
I
I
untuk Membagikan — untuk menyalin, mendistribusikan,
dan menyebarkan karya, dan
untuk Remix — untuk mengadaptasikan karya
Atribusi — Anda harus memberikan atribusi karya sesuai
dengan cara-cara yang diminta oleh pembuat karya
tersebut atau pihak yang mengeluarkan lisensi.
Pembagian Serupa — Jika Anda mengubah, menambah,
atau membuat karya lain menggunakan karya ini, Anda
hanya boleh menyebarkan karya tersebut hanya dengan
lisensi yang sama, serupa, atau kompatibel.
Lihat: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0
Unported License
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi
Logika
Rangkaian
NAND-NAND dan
NOR-NOR
Umpan Balik
Lisensi