Pemulusan Fungsi Kernel Terhadap Sebaran Laju

2
amatan dengan bias kecil atau mencari pola
mulus yang memiliki keragaman kecil.
Semakin kecil kelas yang dibentuk, maka
akan diperoleh dugaan fungsi dengan bias
kecil tetapi ragam besar. Sebaliknya, semakin
lebar kelas yang dibentuk, maka akan
diperoleh dugaan fungsi dengan bias besar
tetapi ragam kecil. Perimbangan antara bias
dan ragam dalam proses pendugaan fungsi
kepekatan sangat bergantung pada lebar kelas
data yang digunakan dalam pemulusan
(Aunuddin 2009).
Histogram merupakan alat peraga pertama,
paling sederhana, dan populer untuk
menggambarkan perilaku sebaran data. Proses
penyusunannya mencakup dua tahapan
(Aunuddin 2009) yaitu:
1. Pengalokasian pengamatan ke dalam salah
satu kelas yang telah ditetapkan.
2. Pembuatan kotak (persegi panjang) pada
setiap kelas dengan tinggi kotak masingmasing merupakan
frekuensi
atau
banyaknya pengamatan yang termasuk ke
dalam kelas yang bersangkutan.
Meskipun sederhana ternyata proses ini
memiliki beberapa kelemahan, antara lain:
1. Ketidakjelasan dalam penetapan banyak
kelas nilai yang dibentuk.
2. Ketidakjelasan dalam penetapan lebar
kelas.
3. Ketidakjelasan lokasi nilai tengah masingmasing kelas.
4. Sumbangan setiap pengamatan dianggap
hanya mewakili nilai tengah kelas,
berapapun nilai pengamatan tersebut.
5. Bersifat tidak kontinu pada batas kelas.
6. Bentuknya sangat dipengaruhi oleh titik
awal dan titik akhir.
Dalam uraian yang lebih formal, misalkan
terdapat
angka
pengamatan
berupa
, ,…,
dalam selang [ , ], kemudian
selang dibagi menjadi
kelas dengan lebar
kelas ℎ masing-masing sama besar, titik
batasnya adalah
= ℎ untuk 0 ≤ ≤ .
Tentukan
= + ℎ dan
merupakan
banyaknya amatan
dalam kelas ke- atau
maka histogram untuk data tersebut
,
menjadi,
( )=
1
ℎ
,
dengan ( ) merupakan fungsi indikator dari
gugus A.
Silverman (1986) menyarankan penetapan
kelas untuk menduga ( ) tidak bersifat tetap,
tetapi berpusat pada nilai sehingga fungsi
kepekatan dianggap sebagai konsentrasi relatif
dari pengamatan
pada kelas-kelas yang
berbeda. Pendekatan ini disebut sebagai
penduga kepekatan sederhana atau “naive
density estimator” yang dirumuskan oleh
persamaan,
( )=
( −
ℎ
1
2ℎ
)
dengan ( ) = 1 untuk | | < 1 2
untuk | | ≥ 1 2
fungsi ( ) ini adalah fungsi kepekatan
uniform dalam selang [−ℎ, ℎ].
Metode Pemulusan Fungsi Kernel
Suatu fungsi (. ) disebut fungsi Kernel
jika merupakan fungsi kontinu. Umumnya
Kernel bersifat positif dan simetrik di sekitar
nol, bahkan dalam praktiknya (. ) yang
digunakan merupakan fungsi kepekatan
peluang simetrik seperti misalnya fungsi
kepekatan Normal. Persamaannya dirumuskan
sebagai berikut:
(x) =
1
ℎ
−
ℎ
dengan,
ℎ
= banyaknya data pengamatan
= lebar jendela
(. ) = fungsi Kernel
= nilai pengamatan ke –
Persamaan di atas menunjukkan penduga
Kernel bergantung pada ℎ dan fungsi Kernel
( ). Fungsi Kernel ( ) menentukan bentuk
bukit yang terbentuk dalam jendela,
sedangkan ℎ menentukan lebar jendela.
Silverman (1986) mengasumsikan fungsi
Kernel ( ) ialah suatu fungsi simetris yang
memenuhi kondisi di bawah ini, yaitu:
a. Memenuhi hukum probabilitas
( )
=1
b. Memiliki nilai rataan sama dengan nol
( )
=0
c. Memiliki nilai ragam berupa konstanta
yang tidak sama dengan nol
( )
dengan
Kernelnya.
adalah
=
ragam
≠0
dari
fungsi
Metode Kernel pada data peubah tunggal
umumnya digunakan untuk kepentingan
eksplorasi dan hasil pendugaannya lebih
banyak disajikan secara visual dan deskriptif
(Silverman 1986). Beberapa fungsi Kernel
untuk penduga kepekatan tercantum pada
Tabel 1, sedangkan bentuk kurva dari masing-