V - eLisa UGM

Bahan Minggu IX dan X
Tema : Elektrodinamika
Materi :
Diketahui ρ dan v berturut−turut adalah rapat muatan dan kecepatan aliran relatif terhadap
suatu kerangka inersial K. Rapat arus j dirumuskan sebagai
j = ρv .
Persamaan kontinuitas muatan dirumuskan sebagai
∂ρ
+ ∇. j = 0
∂t
Dalam elektrodinamika dikenal skalar potensial listrik φ dan vektor potensial listrik−3 A
yang mana gabungan keduanya bersama−sama membentuk suatu vektor potensial−4 A µ dengan
komponen
A µ = ( A0 , A m ) = (φ / c, A )
Mengikuti sistem satuan SI, terdapat perumusan−perumusan berikut
1 ∂φ
+ ∇ .A = 0
c 2 ∂t
1 ∂2A
− 2 2 + ∇ 2 A = −µ0 j
c ∂t
−
1 ∂ 2φ
+ ∇ 2φ = − µ 0 ρc 2
2
2
c ∂t
Gabungan dua persamaan di atas menghasilkan
∆ Aµ = −µ 0 j µ
dengan vektor kerapatan−4 j µ didefinisikan sebagai
j µ = ( j 0 , j ) = ( ρ c, j ) .
Operator skalar−4 ∆ didefinisikan sebagai
∆ = ∂µ∂µ = −
1 ∂2
1 ∂2
∂2
∂2
∂2
2
+
∇
=
−
+
+
+
c 2 ∂t 2
c 2 ∂t 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Operator turunan koordinat−4 kovarian dan kontravarian masing-masing dirumuskan sebagai
∂µ =
∂
∂  1 ∂
 ∂

= 0 , m =
,∇
µ
∂x
 ∂x ∂x   c ∂t 
 1 ∂

∂ µ = η µν ∂ν =  −
,∇
 c ∂t 
Bentuk syarat Lorentz dapat dituliskan sebagai
∂ µ Aµ = 0
sedangkan bentuk persamaan kontinuitas muatan dapat dituliskan menjadi
∂µ jµ = 0
Kaedah transformasi Lorentz untuk komponen vektor kerapatan−4 adalah

ρ~ c = Γ ρ c −

j⋅V 

c 
atau

ρ~ = Γ ρ −

j⋅V 

c 2 
serta
~
(Γ − 1) j ⋅ V
j = j+
V − Γ ρV ,
V2
~
j// = Γ j// − ρV ,
(
)
dan
~
j⊥ = j⊥ .
Sementara itu kaedah transformasi Lorentz untuk komponen vektor potensial−4 adalah
~
φ A ⋅ V 
φ

= Γ −

c
c
c


atau
~
(
)
φ = Γ φ − A⋅V ,
serta
~
(Γ − 1) A ⋅ V
Γφ
A=A+
V− 2 V,
2
V
c
~
φ 

A // = Γ A // − 2 V  ,
c


dan
~
A⊥ = A⊥ .
Contoh Soal
1.
Di kerangka K, sebuah partikel bergerak dengan kecepatan u . Di K tersebut juga terdapat
medan E dan B . Bagaimanakah cara menentukan gaya Lorentz pada partikel tersebut di
kerangka K’, dimana K’ bergerak dengan kecepatan V terhadap K ? Jika gaya Lorentz di K’
tersebut telah diperoleh, bagaimana cara menguji bahwa nilai yang diperoleh itu benar ?
2.
Jelaskan bahwa gaya Lorentz yang dirasakan oleh sebuah partikel di kerangka K menjadi
gaya Coulomb di kerangka diam K’. Bagaimana dengan sebaliknya, gaya Coulomb di K’
menjadi gaya Lorentz di K ?
3.
Di kerangka K’, sebuah partikel bermassa rehat m bermuatan q bergerak dengan kecepatan
konstan u ’. Di K’ tersebut terdapat medan listrik E ’ dan medan imbas magnet B ’. Jika
kerangka K’ bergerak terhadap kerangka K dengan kecepatan konstan V :
(a)
Tentukan energi, energi kinetik dan momentum partikel di K maupun di K’.
(b)
Carilah kecepatan partikel, medan listrik dan medan imbas magnet di K.
(c)
Nyatakan gaya Lorentz yang bekerja pada partikel di K maupun K’.
(d)
Tuliskan tiga invarian Lorentz yang melibatkan besaran-besaran di atas.