ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA
advertisement
ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA Ningrum Astriawati Program Studi Teknika, Akademi Maritim Yogyakarta [email protected] ABSTRAK. Suatu graf dapat direpresentasikan sebagai aljabar lintasan dan jika graf tersebut diperluas dapat didefinisikan suatu aljabar lintasan Leavitt, yang pada kenyataannya merupakan Z-aljabar bertingkat. Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai sifat semiprima pada aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt yang berlaku dalam sebarang graf. Serta menyelidiki kaitan antara semiprima pada aljabar lintasan dengan semiprima pada aljabar lintasan Leavitt. KATA KUNCI: Graf Berarah, Aljabar Lintasan, Aljabar Lintasan Leavitt, Aljabar Linta-san Leavitt Semiprima. pangan 1. PENDAHULUAN Graf merupakan objek kombinato- K dan graf E didefinisikan suatu K-aljabar dapat yang rial yang terdiri atas dua himpunan disebut dengan aljabar lintasan (path yaitu himpunan titik (vertex) dan algebra) atas lapangan K pada E yang himpunan garis (edge) yang dilengkapi memiliki dengan pemetaan. Pemetaan lintasan yang ada pada graf tersebut. disini adalah pemetaan dari himpunan Dengan kata lain, aljabar lintasan garis ke himpunan titik, yang masing- merupakan masing daerah hasilnya disebut sebagai dengan basis himpunan semua lintasan sumber/asal (source) dan ujung/target yang ada pada graf. Dalam hal ini graf (range) dari suatu garis dalam graf. bukan sebagai objek kombinatorial Me-nurut Assem (2006)[1] graf seperti lagi, akan tetapi graf dipandang secara ini aljabar. suatu disebut sebagai graf berarah(quiver). himpunan aljabar atas semua lapangan Selain itu graf dapat diperluas Selanjutnya mendefinisikan sebagai basis operasi operasi dengan sehi-ngga terbentuk graf baru yang perkalian disebut sebaai graf perluasan (extended pada graf). Ide perluasan ini dilakukan oleh himpunan semua lintasan dalam graf, Leavitt yaitu dengan menambahkan himpunan struktur garis yang berlawanan arah dengan semigrup. Sehingga untuk sebarang la- garis nyata (real edge) pada graf. ini kompo-sisi mempunyai 35 Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati Setiap garis nyata pada graf akan 2. METODE PENELITIAN berpasangan dengan garis baru yang dibentuk, yang kemudian disebut Pertama-tama sebagai motivasi untuk mempelajari aljabar lintasan sebagai garis hantu (ghost edge). Leavitt Aljabar lintasan yang diperumum oleh pengertian dasar mengenai ring prima Leavitt dan semiprima. Untuk mempelajarinya pada graf perluasan dan semiprima dibutuhkan memenuhi relasi Cuntz-Krieger disebut digu-nakan buku dengan aljabar lintasan Leavitt (Leavitt (1984)[11]. Selanjutnya path algebra). Dari sini juga dapat mempelajari aljabar lintasan dan aljabar dikatakan lintasan bahwa aljabar lintasan Hungerfold Leavitt untuk diperlukan merupakan sub-aljabar dari aljabar pengetahuan tentang aljabar secara lintasan umum. Leavitt yang elemennya Untuk mempelajarinya dibangun dari lintasan-lintasan yang digunakan buku Fraleigh (2000)[4], hanya memuat garis nyata. Wisbauer Aljabar lintasan dan Adkins aljabar (1992)[12]. Dalam pembahasan lebih lintasan Leavitt mempunyai beberapa lanjut, aljabar lintasan dan aljabar sifat yang sama, diantaranya keduanya lintasan Leavitt merupakan aljabar merupakan dan bertingkat. Untuk itu diperlukan juga merupakan aljabar bertingkat. Lebih pengetahuan tentang aljabar bertingkat khusus yang K-aljabar aljabar dan (1996)[10] asosiatif lintasan Leavitt dikaji dalam buku Dummit merupakan Z-aljabar bertingkat. Akan (2004)[3], Wisbauer (1991)[10] dan tetapi, aljabar lintasan dan aljabar Rotman (2002)[9]. Dalam tulisan ini lintasan Leavitt juga mempunyai bebe- akan dibahas juga mengenai elemen- rapa perbedaan. Salah satu diantaranya elemen dari aljabar yang mempunyai adalah tentang sifat semiprima yang sifat melekat idempoten, pada keduanya. Untuk khusus, antara idempoten lain elemen ortogonal, sebarang graf E aljabar lintasan Leavitt primitif, elemen satuan, dan elemen pada E adalah semiprima. Tetapi hal unit lokal. Pengertian dari elemen- ini tidak selalu berlaku untuk aljabar elemen dengan sifat khusus tersebut lintasan. Di dalam tulisan ini juga dipelajari dari buku Dummit (2004)[3] dibahas mengenai sokel pada ring yang dan Assem (2006)[1]. berkaitan erat dengan sifat semiprima pada aljabar lintasan Leavitt. Graf sebagai representasi aljabar dan sifat-sifatnya yang berhubungan dengan sifat grafnya dikaji dalam 36 Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 Assem (2006)[1]. Himpunan lintasan 1 titik-titik dan anggota-anggota dari E dalam suatu graf, dinamakan garis-garis. merupakan semigrup secara struktur perkalian. Hal ini terhadap Graf E dipelajari dari Fraleigh (2000)[4]. mengenai graf Kemudian perluasan yang dikatakan row-finite graph (graf baris-berhingga) jika s 1 (v ) himpunan berhingga untuk setiap 0 dilakukan Leavitt banyak dikaji dalam v E . Dari sini tampak bahwa jika paper yang disusun oleh Abrams dan himpunan garis E 0 berhingga maka Aranda Pino (2005,2006)[8]. Selain itu Aranda Pino dan Pardo (2008)[7] juga membahas aljabar lintasan Leavitt sebagai aljabar bertingkat. Pembahasan lebih lanjut mengenai jumlahan dari ideal kiri minimal atau himpunan E1 juga berhingga. Selanjutnya dikatakan graf E berhingga jika E 0 berhingga. Jadi, yang dimaksud graf berhingga dalam paper ini adalah row-finite graph. yang lebih dikenal dengan sokel, yang Definisi 3.1.2. Sebuah lintasan (path) dipelajari oleh Dangerfield(2011)[2], dalam graf E adalah barisan garis- Martin dan Aranda Pino (2008)[6], garis e1e2 ...en sedemikian sehingga Siles Molina (2008)[5]. Sedangkan r (ei ) s(ei 1 ) untuk i 1, 2,..., n -1 . pembaha-san mengenai sifat-sifat semiprima pada aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt terdapat di Selanjut-nya source s ( ) s (e1 ) dinamakan (sumber/pangkal) dari , paper Aranda Pino (2008)[5]. r ( ) r (en ) dinamakan 3. HASIL DAN PEMBAHASAN (bayangan/ujung) dari dan n adalah 3.1 ALJABAR LINTASAN Panjang lintasan dari , diberi simbol Dalam bagian ini akan range l( ) n . diperkenalkan mengenai aljabar lintasan, Dinotasikan 0 sebagai himpu- beserta contoh dan sifat-sifatnya. Definisi 3.1.1. Graf E ( E 0 , E1 , r , s) terdiri atas dua himpunan-himpunan berhingga E 0 , E1 dan fungsi-fungsi Anggota-anggota dari r , s : E1 E 0 . nan dari semua titik-titik dengan 0 {s( e1 ), r (ei ); i 1, 2,..., n}. Himpunan dari semua lintasan-lintasan dalam graf E dinotasikan sebagai E * . E 0 dinamakan 37 Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati Misalkan ada suatu graf berarah s (e1 ) u1 , r (e1 ) u4 , s (e2 ) u1 , E ( E , E , r , s) dan lintasan r (e2 ) u2 , dan seterusnya. e1e2 ...en . Jika s ( ) s (e1 ) v dan ada-lah sink, karena u 4 s ( e), e E 1 . r ( ) r (en ) w untuk setiap v E 0 , Contoh-contoh lintasan (path) dari graf maka v disebut emit (memancarkan) di 0 1 dan w menerima . Titik v disebut tenggelam (sink) jika v tidak memancarkan sebarang garis, atau bisa Titik u4 atas adalah u1u2u3 , u1u4 , e1 , e2 e3 , e4 , e4 e4 , e2 e4 e4 dan seterusnya, banyak sejumlah lintasan. tak berhingga Untuk lintasan e2 e3e4 3 maka 0 {u1 , u 2 , u3 } . dikatakan: (v tenggelam v s(e), e E 1 ). Setiap titik v E0, Di dalam juga didefinisikan suatu perkalian dua lintasan sebagai berikut. diasosiasikan dengan lintasan dengan panjang 0, sedangkan sebarang garis Definisi 3.1.3. Diberikan Graf berarah e E1 , diasosiasikan dengan lintasan E ( E 0 , E1 , r , s ) dengan panjang 1. Untuk selanjutnya e1e2 .....em , v f1 f 2 ..... f n . Operasi yang dimaksud sebarang graf dalam perkalian paper ini adalah row-finite graph. e1e2 .....em Berikut ini adalah contoh graf yang dimaksud u2 u3 e4 e2 u1 sebarang dua dan lintasan lintasan v f1 f 2 ..... f n Didefinisikan sebagai v e1e2 .....em f1 f 2 ..... f n e3 dan jika r ( ) s ( v ) dan v 0 jika r ( ) s (v ) . Dari definisi perkalian inilah e1 u4 Graf E ( E 0 , E1 , r , s) di atas terdiri dari himpunan: dapat digunakan untuk mendefinisikan aljabar lintasan Leavitt. Dalam mendefinisikan aljabar lintasan dari suatu graf E diperlukan operasi perkalian lintasan 0 1) E {u1 , u 2 , u3 , u 4 } seperti definisi diatas, sebagai berikut: 2) E 1 {e1 , e2 , e3 , e4 } Definisi 3.1.4. Diberikan lapangan K Dapat dilihat bahwa lintasan pada graf E atas lapangan K 38 dan graf E . Didefinisikan aljabar Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 sebagai K -aljabar yang bebas (free) dalam KE dengan lintasan basis himpunan lintasan-lintasan dalam E dan memenuhi syarat : baru untuk ∀vi ,vj∈E dan ei =ei r(ei)=s(ei ) ei KE { ax x, ax K }, dimana graf E graf yang ditulis E ( E 0 , E1 ( E1 )*, r ', s ') dengan vi vj= ijvi 0 dengan (extended graphof E ) sebagai ( E 1 )* ei* ei E 1 dan fungsi r ' dan s ' yang didefinisikan : r' E1 r, s ' E1 s, r '(ei* ) s (ei ), xE * dapat dipandang sebagai semigrup dan s ' ( ei ) r (ei ) Selanjutnya diberikan contoh multiplikasi, sehingga KE merupakan untuk memperjelas perluasan pada graf, K -aljabar. sebagai berikut. Contoh graf yang merupakan Contoh 3.2.2. Diberikan perluasan graf aljabar lintasan adalah sebagai berikut u2 sebagai berikut e2 u3 e1 u1 f Gambar graf diatas adalah graf yang v terdiri dari himpunan-himpunan E 0 {v1 , v2 , ..., vn } , E1 {e1 , e2 ,..., en 1} 3.2 ALJABAR LINTASAN LEAVITT E * {e *, e *,..., e 1 1 Aljabar lintasan pada graf E , belumlah cukup untuk mendefinisikan disebut 2 garis n 1 *}, yang nyata adalah {e1 , e2 ,..., en1} , sedangkan garis-garis aljabar lintasan Leavitt. Definisi aljabar lintasan Leavitt membutuhkan graf E yang diperluas atau perluasan graf (extended graph), yang didefinisikan sebagai berikut: hantu adalah {e1*, e2 *, ..., en 1*} dengan s(e1 ) v1 r (e1 )*, s(e2 ) v2 r (e2 )* dan seterusnya. Selanjutnya akan diberikan defi- Definisi 3.2.1. Diberikan graf E, didefinisikan E perluasan graf nisi aljabar lintasan Leavitt beserta 39 Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati beberapa contoh sebagai ilustrasi untuk mengupas sifat-sifatnya v e Definisi 3.2.3. Diberikan lapangan K dan graf berhingga E ( E row-finite Lemma 3.2.5. Setiap monomial dalam graph). Aljabar lintasan Leavitt dari E aljabar lintasan Leavitt L ( E ) berbentuk dengan koefisien dalam lapangan K : didefinisikan sebagai aljabar lintasan (i) kv dengan k K dan v E 0 ; atau pada graf perluasan E , yang memenuhi relasi : ((CK1)) e* f ef r (e ) * k K ; , 0, 0; eis E1 dan eit ( E1 )* untuk setiap e, f E1 ((CK2)) v eE ; s ( e )v 1 ee* * (ii) kei1 ei e j1 e j dimana untuk 0 s ,0 t untuk Lemma 3.2.6. Diberikan graf 0 E, setiap v E dengan v bukan lapangan K danaljabar lintasan Leavitt sink. L( E ) Aljabar lintasan Leavitt ini, atas lapangan K . . L( E ) merupakan Z-aljabar bertingkat (Z- selanjutnya dinotasikan dengan LK ( E) graded algebra), dengan derajat yang atau lebih umum dengan L ( E ) . Kondisi dinyatakan oleh: ((CK1)) dan ((CK2)) dinamakan relasi deg(v ) 0 untuk setiap v E 0 ; deg(e ) 1 Cuntz-Kreager . Secara khusus, kondisi dan deg(e*) 1 untuk setiap e E 1. Hal ini berarti bahwa L ( E ) ((CK2)) adalah syarat Cuntz-Kreager pada v yang bukan sink, artinya ada e E 1 sedemikian sehingga v s ( e ). nZ L( E ) n , dimana Dengan kata lain, jika v sinkmakatidak L( E )0 KE A0 memiliki relasi ((CK2)) pada v . untuk n 0 ,dengan Contoh 3.2.4. Diberikan graf E yang An kei1 ei e*j1 e*j : 0, dan L( E )n An terdiri atas E {v} , E {e} , artinya eis E1 , e*jt E 1*, k K , n graf yang terdiri dari satu titik dan satu atau ekuivalen 0 garis, sebagaimana 1 graf yang diperlihatkan dalam gambar berikut: L( E ) n span{ pq * p, q E*, l ( p) l (q) n, n Z }. 40 Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 3.3. SIFAT SEMIPRIMA ALJA-BAR PADA LINTASAN LEAVITT 0 K L maka Sedangkan ideal Aljabar lintasan dan aljabar lin- K 0 atau K L . himpunan kanan dikatakan L minimal dari R jika L 0 dan untuk setiap K ideal tasan Leavitt mempunyai beberapa sifat kanan di yang K 0 atau K L . Jika memenuhi sama, merupakan diantaranya K-aljabar keduanya asosiatif dan merupakan aljabar bertingkat. Lebih khusus aljabar ideal kiri minimal dan ideal kanan minimal disebut sebagai ideal minimal. Leavitt Dari definisi diatas jelas bahwa merupakan Z-aljabar bertingkat. Akan suatu ideal dikatakan ideal minimal jika tetapi, Aljabar lintasan dan aljabar ideal tersebut bukan ideal nol dan tidak lintasan Leavittjuga memuat ideal non-trivial selain dirinya beberapa perbedaan. diantaranya lintasan R , jika 0 K L maka adalah mempunyai Salah satu sendiri. Untuk lebih jelasnya, diberikan tentang sifat contoh sebagai berikut. semiprima yang melekat pada keduanya. Contoh 3.3a.2. Jika ring R merupakan Untuk sebarang graf E aljabar lintasan lapangan, maka ideal minimal dari ring Leavitt pada E adalah semiprima.Tetapi R adalah hal ini tidak selalu berlaku untuk aljabar dikarenakan ideal-ideal di lapangan R lintasan. Sebelum membahas sifat tersebut, terlebih dahulu dibahas mengenai teori sokel pada ring yang berkaitan erat dengan sifat semiprima pada aljabar lintasan Leavitt. Dalam mempelajari sokel pada ring dibutuhkan pengertian mengenai minimal yang sendiri. Hal ini {0}dan R itu sendiri, dengan ideal nontrivialnya adalah R . Selanjutnya didefinisikan tentang jumlahan dari keluarga ideal kiri atau ideal kanan minimal, sebagai berikut. 3.3a. SOKEL PADA RING ideal hanya R itu didefinisikan Definisi 3.3a.3. Diberikan ring R. Sokel kiri dari R (dinotasikan sebagai Socl ( R) ) adalah jumlahan dari keluarga ideal kiri minimal di R (ideal sebagai berikut. nol jika R bukan ideal kiri minimal). Definisi 3.3a.1. Diberikan ring Himpunan L R. dikatakan ideal kiri minimal dari R jika L 0 dan untuk setiap K ideal kiri di R, Sokel kanan dari R (dinotasikan sebagai Socr ( R) ) adalah jumlahan dari keluarga idealkanan minimal di R jika 41 Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati (ideal nol jika R bukan ideal kanan minimal).. Dari s Socl ( R ) sebuah lintasan sehingga definisi maka diatas, dapat ' KE sedemikian s( ') r ( ) dan s() jika ditulis r ( ') . Setelah membahas semiprima di s i li , 0 li Li untuk berhingga aljabar lintasan banyak i dan Li ideal kiri minimal dari sifat semiprima di aljabar lintasan R. dengan aljabar lintasan Leavitt sebagai Proposisi 3.3a.4. Jika R adalah ring berikut: Akan ditunjukkan bahwa tidak semiprima, maka Socl ( R) Socr ( R). seperti di aljabar lintasan K E , bahwa 3.3b. SIFAT SEMIPRIMA PADA ALJABAR LINTASAN DAN ALJABAR LINTASAN LEAVITT KE, akan dibandingkan untuk sebarang graf pada aljabar LK ( E ) adalah lintasan Leavitt semiprima. Untuk menunjukkannya, kita perlu beberapa definisi sebagai berikut. Dalam bagian ini, akan dibahas Definisi 3.3b.3. Garis e disebut garis mengenai aljabar lintasan semiprima dan keluar aljabar lintasan leavitt semiprima serta e1e2 ...en , jika ada i sedemikian sifat-sifat yang berlaku di dalamnya. Disertakan pula beberapa contoh sebagai pendukung teori yang disajikan. (exit) untuk suatu lintasan sehingga s(e) s(ei ) dan e ei . Garis e disebut garis masuk (resp. entrance) Definisi 3.3b.1. Diberikan graf E dan untuk suatu lintasan e1e2 ...en , jika lapangan K . KE ada i sedemikian sehingga r (e) r (ei ) disebut semiprima jika untuk setiap dan e ei . Jika c merupakan lintasan Aljabar lintasan KE dengan KE 0 maka 0 yang memuat sikel dengan s (c ) r (c ) v maka c disebut basis Kemudian diberikan proposisi (based ) di v. yang berkaitan dengan sifat semiprima Untuk memperjelas definisi pada aljabar lintasan, sebagai berikut: diatas diberikan contoh sebagai berikut. Proposisi 3.3b.2. Diberikan graf E dan Contoh lapangan K . seperti gambar dibawah ini Aljabar lintasan KE disebut semiprima jika dan hanya jika untuk 42 setiap lintasan KE ada 3.3b.4. Diberikan graf E Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 T (v1 ) E 0 . e4 g v f u w w E 0 adalah {w, v4 , u}. e2 e1 Sedangkan pohon dari titik Pendefisian aljabar Jika diberikan lintasan c e1e2 e3e4 , lintasan semiprima memotivasi pada untuk mendefinisikan semiprima pada aljabar maka c merupakan sikel di E dengan lintasan Leavitt, sebagai berikut. basis di v. Garis g merupakan garis Definisi 3.3b.7. Diberikan graf E dan keluar dari lintasan c dan garis f lapangan K . Aljabar lintasan leavitt merupakan garis masuk dari lintasan c. LK E disebut semiprima jika untuk Selanjutnya diberikan yang berkaitan dengan relasi yang ada di dalam setiap LK E dengan LK E 0 maka 0 . lintasan suatu graf, sebagai berikut Sebelum membuktikan bahwa Definisi berarah lintasan 3.3b.5. Diberikan 0 1 E ( E , E , r, s) e1e2 ...en . Graf dan Didefinisikan suatu relasi di E 0 , jika v w maka ada lintasan E * dengan dan s() v r() w. Suatu pohon dari titik setiap aljabar lintasan Leavitt LK ( E ) merupakan semiprima terlebih dahulu dibuktikan beberapa lemma dan proposisi yang mendukung pembuktian tersebut, diantaranya: Proposisi3.3b.8. Diberikan graf E dan lapangan K . Aljabar lintasan Leavitt v E0 didefinisikan sebagai LK ( E ) semiprima jika dan hanya jika 0 T (v) {w E v w}. untuk setiap lintasan LK ( E ) ada Contoh 3.3b.6.Diberikan graf E seperti gambar dibawah ini: v1 v2 sehingga s( ') r ( ) dan s( ) r ( ') u v3 sebuah lintasan ' LK ( E ) sedemikian v4 w Dari graf diatas yang disebut sebagai pohon dari titik v1 E0 adalah Selanjutnya diberikan suatu lemma yang berkaitan isomorfisma dari suatu K-aljabar, sebagai berikut: Lemma 3.3b.9. Diberikan sebarang graf E. Jika diberikan garis v 43 Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati sedemikian sehingga ada sikel tanpa garis keluar c dengan basis di v, maka: Selanjutnya akan dibuktikan bahwa sebarang graf merupakan aljabar lintasan Leavitt, yaitu sebagai berikut: n vLK ( E )v { ki ci ki K ; m, n N } i m K [ x, x 1 ]. Dimana E maka LK ( E ) adalah semiprima. menyatakan isomorfisma dari K-aljabar dan memenuhi dan c t (c*) untuk setiap t 1 . diberikan Bukti: c0 w t Selanjutnya Proposisi 3.3b.11. Untuk sebarang graf Ambil sebarang ideal tak nol I v : {k * , E*, r ( ) v r ( ), suatu k K} yang merupakan ideal di LK ( E ) 2 I v 0 . Akan proposisi mengenai komposisi antara sedemikian sehingga suatu elemen di dalam aljabar lintasan dibuktikan bahwa I v 0 . Jika I v hanya Leavitt dengan lintasan dalam suatu graf. terdiri dari sebuah titik maka I v 0 , bukti selesai. Tetapi jika ada elemen tak Proposisi 3.3b.10. Diberikan sebarang nol p (c, c*) I v sedemikian sehingga graf E. Untuk setiap elemen tak nol p(c, c*)2 0 , maka x LK ( E ), ada lintasan 1 2 ... r v1v2 ...vs E 0 E 1 ( E 1 ) * sebagai p ( c, c*) k * . Andaikan sedemikian sehingga: 1. 1 2 ... r xv1v2 ...vs adalah tak nol di Kv , elemen untuk suatu v E0 , Iv 0 maka w E0 dan sikel tanpa garis keluar dengan basis di w sedemikian sehingga 1 2 ... r xv1v2 ...vs adalah elemen tak nol di wLK ( E )w. Kasus keduanya tidak saling terpisah. ada p(c, c*) 0 sedemikian sehingga p (c, c*) 2 0 2 atau 2. Ada sebuah titik p(c, c*) dapat ditulis k * 0 dengan * 0 , pastilah diperoleh k 0 . Timbul kontradiksi dengan p(c, c*) 0 , jadi yang benar Iv 0 . Dapat dibuktikan juga dengan mengambil o x LK ( E )0 dengan xLK ( E) x 0 akan dibuktikan x 0 . Jika x merupakan kombinasi linear dari 44 Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 n himpunan garis-garis, maka x ki vi i 1 untuk setiap vi E . Akibatnya 0 x ' L( E ) \{0}, z L( E ) n dan f * zg 0 , hal ini karena x1 hanya terdiri atas elemen-elemen dengan derajat 0 yang 0 vxv LK ( E ) n , untuk itu x adalah kombinasi linear dari garis-garis dan merupakan monomial ab * dengan a dan b adalah lintasan-lintasan dengan bukan garis. Dan karena x2 hanya terdiri dari titik tenggelamsehingga kita punya: f * xg f * x1 g f * x2 g derajat positif yang sama( l (a) l (b) ). f * fx ' g * z g f * x2 g Dengan menggunakan CK2, maka untuk f * fx ' g * f * zg f * x2 g setiap garis yang w E0 tenggelamdan memunculkan ditulis dengan Sehingga x x, dapat e e *. { ei E1 s ( ei ) w} i i dapat ditulis x ' 0 0 x ' tidak sebagai yang merupakan elemen tak nol di LK ( E )n . Akibatnya kombinasi linear tak nol dari garis-garis. penujmlahan dari monomial-monomial berderajat 0 sedemikan sehi-ngga hanya ada satu garis tenggelam. yang merupakan titik Dengan x x1 x2 , dengan kata x1 Andaikan LK ( E)n tidak terdiri atas elemen-elemen homogen dengan derajat l dan akan dibuktikan bahwa lain, LK ( E)n adalah kombinasi linear dari garis-garis dengan derajat 0 dan x2 adalah kombinasi linear bahwa 0 x LK ( E ) n LK ( E )l . Untuk setiap yang dari monomial-monomial ab * merupakan kombinasi linear dari x1 dengan derajat maksimum di a. Dapat ditulis sebagai tidak terdiri atas elemen-elemen homogen dengan derajat l . Anggap dari tenggelam. Sekarang, anggap bahwa satu LK (E)n terdiri atas f E1 berlaku f * x LK ( E )n merupakan elemen homogen dengan derajat l . Maka f *x 0 untuk Dengan setiap menggunakan ff * x vx 0 untuk f E1 . CK2 berakibat v E0 setiap dengan sedemikian sehingga s 1 (v) . Dengan merupakan kata lain jika v E0 dengan s 1 (v ) lintasan-lintasan dengan derajat sama. maka untuk setiap g E 1 kita punya f , g E1 Akibatnya dan a fa ', b gb ' a', b' x1 dapat ditulis sebagai vg vs(g)g 0 dengan v s( g) . x1 fx ' g * z dengan sehingga vx 0 untuk setiap v E0 45 Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati berakibat x0. Dan karena ∀n∈N, (LK(E)*=Lk(E) -n, 2. Keduanya merupakan aljabar bertingkat. ini menunjukkan bahwa LK (E)n tidak terdiri aljabar dari elemen-elemen homogen dengan merupakan derajat negatif. bertingkat. Lebih lintasan graf dikatakan cukup suatu aljabar yang lintasan semiprima adalah untuk setiap lintasan Leavitt Z-aljabar 3. Himpunan Syarat perlu dan khusus lintasan-lintasan berbeda membentuk himpunan yang bebas linier. 4. Aljabar lintasan merupakan LK ( E ) ada sebuah lintasan ' LK ( E ) sub-aljabar dari aljabar lintasan sedemikian sehingga s( ') r() dan Leavitt s() r( ') . dibangun dari lintasan-lintasan Kemudian diberikan yang suatu yang hanya elemennya memuat garis nyata. akibat dari Proposisi 3.3b.11, sebagai Selain berikut. mempunyai sifat, aljabar lintasan kesamaan dan aljabar Akibat 3.3b.12. Untuk sebarang graf E lintasan Leavitt mempunyai perbedaan maka Socl ( LK ( E )) Socr ( LK ( E )). sifat, salah satu diantaranya mengenai sifat semiprima yang melekat pada Dari sini membuktikan bahwa untuk sebarang lintasan Leavitt graf maka bersifat aljabar semiprima. Dimana sokel kiri dari aljabar lintasan leaviit sama dengan sokel kanan dari aljabar lintasan Leavittnya lintasan Leavitt bersifat semiprima. Akan tetapi hal ini tidak selalu berlaku pada sebarang graf di aljabar lintasan. Karena alasan bahwa untuk sebarang graf pada aljabar Berdasarkan pembahasan diatas disimpulkan aljabar semiprima inilah, dapat disimpulkan 4. KESIMPULAN dapat keduanya. Untuk sebarang graf maka bahwa aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt lintasan Leavitt berlaku jumlahan dari setiap ideal kiri minimal sama dengan jumlahan dari ideal kanan minimal . mempunyai beberapa sifat yang sama, diantaranya: 1. Keduanya merupakan K-aljabar asosiatif. 5. REFERENSI [1]. I.Assem, D. Simson, A. Skowronski, Elemens of the Repre-sentation Theory of AssociativeAlgebras, London 46 Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 Math. Soc. Student Text 65, Cambridge [8]. M. Siles Molina, Algebras of University Press, 2005. quotients [2]. D. Iain, Algebra 319 (12) (2008), 329-348. Leavitt path algebra, a thesis submitted for the degree of master science, Otago University, New Zealand, 2011. of path algebras, [9].Rotman J., 2003, J. Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, New York . [3]. D. S. Dummit, R. M. Foote, Abstract Algebra, United Stated Third [10]. Edition, University of Vermont, 2004. Foundation of Module and Ring [4]. Fraleigh, John. B, 2000, A First Theory, University of Dusseldorf, Course in Dusseldorf Edition, Addition-Wesley Abstract Algebra,Sixth Puplising Compeny, Inc, [5]. G. Aranda D. Martin Barquero, C. Martin Gonzalez, M, Siles Molina, Socle theory for Leavitt path algebras of arbitrary graphs Rev. Mat. Robert, 1991, [11]. Hungerford, T. W, Graduete Text in Pino, Wisbauer, Mathematics Algebra, Springer Verlag, New York, Heidelberg Berlin, 1984. [12]. Adkins, Algebra An Approach via Module Theory, Springer‐Verlag, 1992 Iberoamericana (to appear)(2008). [6].G. Aranda Pino, D. Martin Barquero, C. Martin Gonzalez, M, Siles Molina , The socle of a Leavitt path algebra , J. Pure Appl. Algebra 212(3) (2008), 500509. [7]. G. Aranda Pino, Pardo, E., 2008, Stable rank of Leavitt path algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 136 no. 7, 2375-2386. 47
