Turunan

Turunan
Ayundyah Kesumawati
Prodi Statistika FMIPA-UII
January 8, 2015
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
1 / 15
Sub Materi Turunan :
a. Turunan Fungsi
b. Turunan Tingkat Tinggi
c. Teorema Taylor dan McLaurin
d. Aturan L’Hopital
e. Teorema Rolle dan Teorema Nilai Antara
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
2 / 15
Turunan Fungsi
Fungsi Invers
Misalkan f (x), x ∈ Df fungsi kontinu, satu-satu dan diferensiabel untuk
setiap x ∈ Df , dan inversnya f −1 (x). Jika f diferensiabel, dengan
f 0 (x) 6= 0, maka fungsi f −1 juga diferensiabel dengan aturan turunan
sebagai berikut.
Misalkan f −1 = g maka f (g (x)) = x, karena f dan g diferensiabel, amka
derivatif kedua ruas terhadap x adalah
f 0 (g (x))g 0 (x) = 1
g 0 (x) =
1
f 0 (g (x))
1
f 0 (f −1 (x))
dy
1
dengan menggunakan notasi Leibniz
= dy
dx
dx
Contoh Tentukan turunan dari fungsi invers y = x 2 , x ≥ 0.
(f −1 )0 (x) =
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
3 / 15
Fungsi Parameter
Definisi Fungsi Parameter
Jika suatu fungsi disajikan dengan
x = f (t)
t ∈ Domain
y = g (t)
Dengan x dan y keduanya diferensiabel terhadap t, dan dx
dt 6= 0, maka
fungsi y diferensiabel terhadap x, yang didefinisikan dengan
dy
=
dx
Contoh
dy
dari fungsi parameter
Tentukan
dx
Ayundyah Kesumawati (UII)
dy
dt
dx
dt
x=
y=
Turunan
t−1
t+1
t+1
t−1
t ∈ R{−1, 1}
January 8, 2015
4 / 15
Fungsi Implisit
Misalkan diketahui y sebagai fungsi x yang memenuhi
dy
dari fungsi tersebut.
3x 2 y − 4xy − 3x 2 + 1 = 0, dan akan ditentukan
dx
Secara intuitif, pertama yang akan dilakukan adalah mencari solusi y dari
persamaan itu, yaitu:
3x 2 y − 4xy − 3x 2 + 1 = 0 ⇔ (3x − 4)xy − 3x 2 + 1 = 0 ⇔ y =
3x 2 − 1
x(3x − 4)
dy
3x 2 − 1
dari y =
.
dx
x(3x − 4)
Permasalahannya, tidak semua fungsi dengan relasi F (x, y ) = C dapat
dibawa ke bentuk y = f (x). Fungsi F (x, y ) = C disebut fungsi berbentuk
implisit (fungsi Implisit) sedangkan y = f (x) disebut fungsi eksplisit.
Berikutnya baru kita menentukan
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
5 / 15
dy
jika yang diketahui F (x, y ) tanpa terlebih
dx
dahulu mengubah ke bentuk y = f (x) ?
Dengan selalu beranggapan bahwa y merupakan fungsi dari x, maka dapat
dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Bagaimanan menentukan
i. Turunkan kedua ruas dari F (x, y ) = C terhadap x
ii. Ganti y dafri hasil akhir (bila ada) dengan bentuk fungsi awal.
Cara seperti diatas, disebut Turunan Implisit
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
6 / 15
Penggunaan turunan implisit untuk menyelesaikan
3x 2 y − 4xy − 3x 2 + 1 = 0
d
d
3x 2 y − 4xy − 3x 2 + 1 =
(0)
dx
dx
d
d
d
d
3x 2 y −
(4xy ) −
3x 2 +
(1) = 0
dx
dx
dx
dx
dy
dy
6xy + 3x 2
− 4y − 4x
− 6x = 0
dx
dx
dy
3x 2 − 4x = 6x + 4y − 6xy
dx
dy
6x + 4y − 6xy
=
dx
3x 2 − 4x
Bila disubtitusi nilai y =
3x 2 − 1
dy
6x + 4y − 6xy
ke dalam
=
,
x(3x − 4)
dx
3x 2 − 4x
diperoleh
dy
−12x 2 + 6x − 4
=
dx
x 2 (3x − 4)2
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
7 / 15
Fungi Trigonometri
d
1.
(sinx) = cosx
dx
d
2.
(cosx) = −sinx
dx
d
(tanx) = sec 2 x
3.
dx
d
4.
(cotx) = −csc 2 x
dx
d
(secx) = secxtanx
4.
dx
d
4.
(cscx) = −cscxcotx
dx
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
8 / 15
Fungsi Logaritma
Bila a < 0 dan a 6= 1, maka fungsi eksponensial f (x) = ax , merupakan
fungsi naik atau turun, sehingga merupakan fungsi satu-satu. Jadi
f (x) = ax mempunyai fungsi invers yang disebut fungsi logaritma dengan
bilangan pokok a.
Jika digunakan definisi invers
f −1 (x) = y ⇔ x = f (y )
maka
a
log x = y ⇔ ay = x
Logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural yaitu
x = lnx. Sifat logaritma natural:
e log
1. lnx = y ⇔ x = e y
2. lne x = x, x ∈ R
3. e lnx = x
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
9 / 15
Turunan Tingkat Tinggi
Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah
fungsi baru f 0 . Jika f 0 dideferensiasikan akan menghasilkan fungsi lain,
dinyatakan dengan f 00 dan disebut turunan kedua dari f , dan seterusnya.
Jika, sebagai contoh
f (x) = 2x 3 − 4x 2 + 7x − 8
maka
f 0 (x) = 6x 2 − 8x + 7
f 00 (x) = 12x − 8
f 000 (x) = 12
f 4 (x) = 0
karena turunan fungsi nol adalah nol, turunan keempat dan
turunan-turunan yang lebih tinggi dari f akan nol.
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
10 / 15
Teorema nilai Rata-rata
Misalkan fungsi f kontinu pada [a, b] dan diferensiabel pada (a, b), maka
terdapat c ∈ (a, b) sehingga
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
b−a
Teorema Rolle
Misalkan fungsi f kontinu pada [a, b] dan diferensiabel pada (a, b) serta
f (a) = f (b). Maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga f 0 (c) = 0.
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
11 / 15
Teorema Taylor
Misalkan fungsi f n kontinu pada [a, b] dan fungsi f n+1 terdiferensilakan
pada (a, b). Maka terdapat suatu c ∈ (a, b) sehingga
f (b) = f (a) + f 0 (a)(b − a) +
f n (a)
f n+1 (a)
f 00 (a)
(b − a)2 + ... +
(b − a)n +
2!
n!
n + 1!
Teorema McLaurin
Teorema ini merupakan kasus khusus dari Teorema Taylor untuk a = 0
maka kita akan peroleh
f (0) + f 0 (0)b +
Ayundyah Kesumawati (UII)
f 00 (0) 2 f 00 (0) 3
b +
b + ...
2!
3!
Turunan
January 8, 2015
12 / 15
Aturan L’Hopital
Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0
Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan aturan
L’Hopital. Bagaimana jika dihadapkan pada limit-limit berikut
f (x) − f (c)
sin x
x3 − 1
, lim
, lim
x→c
x→0 x
x→1 x − 1
x −c
Ketiga limit diatas mempunyai kemiripan, yaitu pembilang dan
penyebutnya sama-sama menuju 0. Ketiga limit di atas merupakan limit
bentuk tak tentu tipe 0/0
Catatan
lim
Ketika kita membahas sistem bilangan real, 0/0 tidak didefinisikan
yang sedang kita bahas adalah limit ”bentuk tak tentu 0/0”, bukan
0/0.
Limit tsb disebut ”bentuk tak tentu”, karena nilainya memang tak
tentu (bisa ada, bisa tidak; dan kalaupun ada, bisa berbeda antara
satu bentuk 0/0 dan bentuk 0/0 lainnya).
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
13 / 15
Aturan L’Hopital
Misalkan limx→c f (x) = limx→c g (x) = 0. Jika limx→c
f 0 (x)
ada
g 0 (x)
(terhingga atau tak terhingga), maka
lim
x→c
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g (x) x→c g (x)
Contoh
Hitung:
1. limx→0
2. limx→0
3. limx→1
x3 − 1
x −1
x − sin x
x − sin x
, limx→0
2
x
x3
2
ln x
x2 − 1
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
14 / 15
Bentuk Tak Tentu Lainnya
Menghitung bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , dan 1∞
Aturan L’Hopital
f 0 (x)
Misalkan limx→c f (x) = limx→c g (x) = ∞. Jika limx→c 0
ada
g (x)
(terhingga atau tak terhingga), maka
lim
x→c
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g (x) x→c g (x)
Contoh
Hitung:
ex
2x
x2
2. limx→0 x ,
e
3. limx→0+ xln x
1. limx→∞
Ayundyah Kesumawati (UII)
Turunan
January 8, 2015
15 / 15