HITUNG INTEGRAL

PELUANG
A. Kaidah Pencacahan.
Merupakan dasar untuk membahas masalah permutasi dan kombinasi yang
menjadi acuan dalam mempelajari peluang.
A.1. Aturan Perkalian.
Adalah aturan pengisian tempat yang tersedia (filling slots) atau aturan dasar
membilang.
Jika suatu peristiwa dapat dilakukan dengan n1 cara, diikuti dengan peristiwa
ke dua dengan n2 cara, dilanjutkan dengan peristiwa ke tiga dengan n 3 cara,
dan seterusnya; maka semua peristiwa tersebut dapat dilakukan dengan : (n1
x n2 x n3 x ..........) cara.
Contoh :
1. Dari SMA Petra 4 ke SMA Petra 5 ada 4 jalur utama, dari SMA Petra 5 ke
SMA Petra 2 ada 3 jalur utama, dari SMA Petra 2 ke SMA Petra 3 ada 2 jalur
utama, dari SMA Petra 3 ke SMA Petra 1 ada 3 jalur utama. Berapa banyaknya
rute berbeda yang dapat ditempuh dari :
a. SMA Petra 4 dengan melalui SMA Petra 5 menuju ke SMA Petra 2 ?
b. SMA Petra 5 ke SMA Petra 1 dengan menuju SMA Petra 3?
c. SMA Petra 4 ke SMA Petra 1 dengan menuju SMA Petra 5, dilanjutkan ke
SMA Petra 2, kemudian ke SMA Petra 3?
Penyelesaian :
a.
Jadi terdapat 12 rute berbeda dari SMA Petra 4 ke SMA Petra 2 melalui
SMA Petra 5.
b. ......................................................................................................................
......................................................................................................................
c.
2. Seseorang mempunyai empat kemeja polos (k) dan 3 buah dasi (D) yang
semuanya berbeda warna. Berapa banyak variasi pemakaian kemeja dan dasi ?
Penyelesaian :
Cara 1 : Peristiwa I : Pemakaian kemeja polos, ada ......cara
Peristiwa II: Pemakaian dasi, ada......cara
Jadi variasi pemakaian kemeja polos dan dasi ada (.......... x..........) cara
= ........... cara
untuk memudahkan proses berfikir kita dapat memakai kotak-kotak
pengisian sebagai berikut :
Banyaknya variasi ada ( ..... x ......) cara.
Catatan : pengisian kotak-kotak/ tempat-tempat yang tersedia
biasanya disebut fillingslots.
3. Banyaknya siswa dalam suatu kelas ada 40 orang. Akan dipilih pengurus kelas
terdiri dari ketua (K), sekretaris (s) dan bendahara (B). Bila tidak boleh ada jabatan
rangkap, ada berapa susunan pengurus yang dapat di bentuk ?
Penyelesaian :
Untuk selanjutnya fillingslots di atas cukup ditulis secara sederhana sebagai berikut :
Jadi banyaknya susunan pengurus yang dpat
dibentuk ada .... x .... x.... = .... cara.
4. Dari angka-angka 2, 3, 5, 7, 8 akan dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka.
Dengan memakai filling slots, tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibentuk
a). Jika bilangan-bilangan itu tidak boleh mempunyai angka yang sama.
b). Jika bilangan-bilangan itu boleh mempunyai angka yang sama.
Penyelesaian :
a.
Jadi banyaknya bilangan yang dapat
dibentuk ada =....................
b.
Jadi banyaknya bilangan yang dapat
dibentuk ada =......................
5. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 akan dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka
berbeda. Tentukan banyaknya :
a. bilangan ganjil yang terbentuk
b. bilangan genap yang terbentuk
c. bilangan yang nilainya lebih dari 300
Penyelesaian :
a).
b).
Ada ........ bilangan
c).
Ada ........ bilangan
Ada ....... bilangan
A.2. Notasi Faktorial
Definisi : n ! = 1 . 2 . 3. ..........(n-2) (n-1) . n atau
n ! = n . (n-1) (n-2) . ............. 3 . 2. 1
(n ! dibaca n faktorial), 0 ! = 1, 1 ! = 1
Contoh :
1. 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120
2. 2! 3! = .....
3.
4!
= .............
2!
4. 6! = ...... ! 5 . 6
5. 20! = 19! ......
6. (n - 2)! = (n - 4) ! (......)(........)
7. (n + 1)! = (n - 3) ! ..................
Sederhanakan
8.
7!
5!......
 ......
=
5!
5!
9.
4!
..........
 ......
=
.........!
6!
10.
(n  2)! .........................
 ..........
=
n!
........................
B. Permutasi dan Kombinasi.
PERMUTASI
KOMBINASI
Definisi :
Definisi :
Pengaturan r unsur dari n unsur berbeda Pengaturan r unsur dari unsur berbeda
yang tersedia dengan memperhatikan yang tersedia tanpa memperhatikan
susunan/ urutannya.
susunan/ urutannya.
Ilustrasi :
Ilustrasi :
Dianggap berbeda
dan dihitung 2
Dianggap sama
dan dihitung 1
Notasi : n Pr = Prn dengan r  n
Rumus :
n Pr =
Prn 
Notasi : n Cr = C rn dengan r  n
n!
(n  r )!
Rumus :
Contoh kasus permutasi:
n Cr = C rn 
n!
(n  r )! r!
Contoh kasus kombinasi:
1. Dari 3 orang siswa yaitu Adi (A),
Budi(B) dan Dian (D), akan dipilih 2
orang sebagai Ketua dan sekretaris.
Tentukan banyak cara memilihnya.
1. Dari 3 orang siswa yaitu Adi , Budi dan
Dian, akan dipilih 2 orang untuk
mengikuti upacara. Tentukan banyak
cara memilihnya.
Penyelesaian :
Penyelesaian :
Susunannya adalah sebagai berikut:
Susunannya adalah sebagai berikut:
Ketua
A
B
A
D
B
D
Cara ke 1 : A&B = B&A
Sekretaris
B
A
D
A
D
B
Cara ke 2 : B&D = D&B
Cara ke
1
2
3
4
5
6
Cara ke 3 : A&D = D&A
Banyaknya susunan ada 6 cara.
Banyaknya susunan ada 3 cara.
Jika dihitung dengan rumus:
Jika dihitung dengan rumus:
P23 =
3!
3!
=
=6
(3  2)! 1!
Jadi diperoleh 6 cara
C 23 =
3!
3!
=
=3
(3  2)!2! 1! 2!
Jadi diperoleh 3 cara.
2. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan 2. Dalam suatu ulangan matematika siswa
dibuat bilangan terdiri dari 3 angka
diminta mengerjakan 3 soal dari 6 soal
berbeda.
yang diberikan. Tentukan banyaknya
Tentukan
banyaknya
bilangan yang terbentuk.
Penyelesaian :
cara memilih 3 soal dari 6 soal
tersebut.
Penyelesaian :
Karena 245 beda dengan 425, berarti
kasus permutasi.
........
....P.... =
.........
=
........
.........
Karena 2,4,5 = 4,2,5, berarti
kasus kombinasi.
........
....C.... =
.........
=
= .........
........
.........
= .........
Pengaturan n unsur yang berbeda dengan
Pengaturan n unsur yang berbeda tanpa
memperhati kan urutannya dinotasikan
memperhatikan urutannya dinotasikan
nPn
nCn
nPn
=
........
.........
=
........
.........
= .........
nCn
=
........
.........
=
........
.........
= .........
B.1. Permutasi Memuat Beberapa Unsur Sama.
Misalkan n unsur yang tersedia, terdapat k unsur yang masing-masing muncul, m1,
m2, m3, .............., mK, kali. Maka :
Banyaknya permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan :
nP (m1,m2,m3,...mk) =
n!
m1! m 2 ! m 3 !.............., m K !
Contoh :
Tentukan banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata :
a). BAB
Penyelesaian :
Dari 3 huruf yang ada,
A  1 huruf
B  2 huruf
Banyaknya susunan = 3P(1,2) =
.........
= .........
...........
Susunan tersebut adalah ........, ........... dan ........
Catatan : jika kemunculannya hanya sekali, biasanya tidak ditulis. Jadi soal di atas
penyelesaiannya = P23 =
3!
3
2!
b). PAPA
Penyelesaian :
Dari 4 huruf yang ada,
P  ........ huruf
A  ........ huruf
Banyaknya susunan = .... P (....,.....) =
.........
= .........
...........
Susunan tersebut adalah : ..........................................
c). PARTISIPASI
Penyelesaian : ..............................................................................................................
..............................................................................................................
B.2. Permutasi Siklis ( Melingkar ).
Misalkan tersedia n unsur yang berbeda,
banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan dengan aturan.
P siklis = (n – 1)!
Contoh:
NO.
UNSUR
SUSUNAN YANG DAPAT
BANYAK CARA
DIBENTUK
1.
A, B
(2-1)! = 1!
= 1 cara
2.
A, B, C
(3-1)! =2!
=2x1
=2 cara
3.
A, B, C, D
( ... - ....)!=...!
B.3. Permutasi Berulang.
Misalkan tersedia n unsur yang berbeda, banyak permutasi berulang r unsur yang
diambil dari n unsur yang tersedia ( r  n ) ditentukan dengan aturan.
P berulang = n r
No
UNSUR
SUSUNAN
DIBENTUK
1.
YANG
DAPAT
BANYAK
CARA
Dari 2 huruf AB akan
disusun 2 huruf
22
=
4
cara
2.
Dari
3
huruf
ABC
akan disusun 2 huruf
..........= ...
cara
3
Dari 4 huruf ABCD
akan disusun 2 huruf
Latihan 1.
1). Dari angka-angka 0 sampai dengan 9 akan dibuat bilangan yang terdiri dari 4
angka yang berbeda. Tentukan banyaknya :
a. Bilangan yang terbentuk
b. Bilangan ganjil yang terbentuk
c. Bilangan genap yang terbentuk
d. Bilangan kelipatan 5 yang terbentuk
e. Bilangan yang nilainya lebih dari 5000
f. Bilangan yang nilainya antara 3000 - 6000
2). Di suatu daerah, perusahaan telepon akan melakukan pembaharuan nomor
telp pelanggan, nomor telepon yang baru, akan memakai 6 digit. Tentukan
ada berapa nomor telepon yang dapat dibuat !
3). Ada 5 calon presiden, 6 calon wakil presiden dan 2 calon sekretaris. Dengan
berapa cara tiga posisi tersebut dapat diisi ?
4). Dalam berapa cara 6 buku dengan judul berbeda dapat ditempatkan berjajar
pada sebuah rak buku ?
5). Tujuh lukisan akan dipertunjukkan dalam sebuah pameran sehingga harus
dipasang di dinding dengan berjajar ke samping.
a). Berapa banyaknya pengaturan yang dapat dilakukan ?
b). Berapa banyaknya pengaturan yang dapat dilakukan, bila :
b.1. Ada sebuah lukisan tertentu yang harus diletakkan di posisi sentral.
b.2. Ada dua lukisan tertentu yang harus diletakkan di ujung kanan dan kiri.
6). Tentukan nilai dari :
a.
4!
6!
d. 2! + 4!
b.
9! 10!
7! 8!
c.
5! 6! 8!
7! 4! 9!
e. (2 + 4)!
f. Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh dari soal e dan f ?
g.
6!
2!
6
h. ( ) !
2
i. Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh dari soal g dan h ?
7). Sederhanakan :
a.
( n  1)!
( n  1)!
b.
(n  k  1)!
(n  k )!
c.
(n  1)! n!
(n  2)!(n  1)!
e.
n!(n  2)!
(n  1)!(n  3)!
d.
(n  k  1)!
(n  k  1)!
8).Tentukan n dari :
a.
( n  1)!
8
n!
b.
(n  2)!
 2n
(n  4)!
c.
(n  1)!
6
(n  1)!
d.
(n  1)!
n!

2!(n  1)! (n  2)!
9. Hitunglah :
a) 6P4
d.
6C4
b) 2P3
e.
8C3
c) 2P7
f.
7C7
10. For what value of n is :
a) nP2 = 20
d) nP3 = 12. nC4
b) 7Pn = 210
e). 3 n + 1C3 = 7 . nC2
c) nC4 = n C6
11. Without using calculators, prove that
10C4 +
2. 210C3 +
10C2
= 12 C4
12. Dari 20 siswa akan dipilih 5 siswa sebagai duta sekolah. Berapa macam susunan
siswa yang dapat dipilih ?
13. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka berbeda dari angkaangka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8.
14. In how many ways can 7 questions be selected out of 10 ?
15. Dengan berapa cara 8 orang dapat duduk di kursi yang berjajar ke samping bila
a). Hanya terdapat 6 kursi
b). Terdapat 8 kursi
16. How many 4 – digit numbers can be formed with the 10 digits 0, 1, 2, 3, .......,9 if.
a). Repetitions are allowed
b). Repetitions are not allowed
c). The last digit must be zero and repetitions are not allowed
17. Enam putra dan empat putri duduk berderet pada 10 kursi yang berdampingan
dalam sebuah pertemuan.
Dengan berapa cara mereka dapat duduk jika mereka duduk.
a). Secara sembarang
b). Secara berkelompok
c). Secara berkelompok sehingga hanya sepasang putra-putri boleh duduk
berdampingan.
18. Ada berapa tali busur yang dapat dibuat dari 12 titik yang terletak pada
lingkaran?
19. Jika 40 orang saling berjabat tangan. Ada berapakah jabat tangan yang terjadi ?
20. Ada 2 orang China, 3 orang Jepang, 4 orang India, 14 kursi berdampingan.
dengan berapa cara mereka dapat duduk Jika :
a. Boleh duduk di sembarang kursi
b. Duduk secara berkelompok sehingga mereka duduk sebangsa.
21. Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf
pada kata :
a. SUKACITA
c. MATEMATIKA
b. STATISTIKA
d. DAMAI SEJAHTERA
22. Five red marbles, two white marbles, and three blue marbles are arranged in a
row. If all the marbles of the same color are not distinguishable from each other,
how many different arrangements are possible ?
23. a.
Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada
kata “KOORDINATOR”
b. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada
kata “KOORDINATOR”
Bila :
b.1. Huruf O selalu berdampingan/ berkelompok
b.2. Diakhiri oleh kedua huruf R
b.3. Diakhiri oleh huruf K, N dan T yang berkelompok
b.4. Diawali dengan kelompok konsonan
b.5. Diawali dengan konsonan
b.6. Kumpulan O dan kumpulan R harus berdampingan.
24.
Ayah, ibu dan 5 orang anaknya duduk mengelilingi meja bundar di sebuah
restoran. Dengan berapa cara mereka dapat duduk bersama jika :
a. Ayah dan ibu selalu duduk berdampingan
b. Ayah dan ibu selalu duduk terpisah
c. 3 orang anak yang sama harus duduk berdampingan
25. In how many ways can 3 men and 3 women be seated at around table if :
a. No restriction is imposed
b. Two particular women must not seat together
c. Each woman is to be between two men
26.
Expand
a. (2x – 5y)3
c. (x2 -
1 4
)
x
e. (x +
1 4
1
) (x - )4
x
x
b. (x + 2x2)3
d. (x2 + x + 1)2
C. Peluang Suatu Kejadian.
C.1. Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian.
Ruang sampel (S) =
Himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu
percobaan.
Kejadian (K)
=
Himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh :
1. Sebuah mata uang dilempar sekali. Tentukan ruang sampelnya.
Jawab : S = { A, G}
Catatan : dari percobaan ini dapat muncul kejadian, diantaranya :
a. Kejadian muncul angka  K = {A}
b. Kejadian muncul gambar  K = {G}
c. Kejadian muncul gambar sekaligus angka dan gambar  k = {
},
mengapa ?
2. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan ruang sampelnya.
Jawab : S { ........................}
Catatan : dari percobaan ini dapat muncul kejadian diantaranya.
d. Kejadian muncul mata ganjil  K = {1, 3, 5}
e. Kejadian muncul mata genap  K = {...............
f. Kejadian muncul mata prima  K = {...............
g. Kejadian muncul mata kurang dari 5  K = {...............
3. Tiga mata uang dilempar sekaligus. Tentukan ruang sampel (s) dan banyaknya
anggota ruang sampel, tentukan pola banyaknya anggota kejadian munculnya 2
angka.
Penyelesaian :
S = { ...........................................................................}
N (s) = .........
K = { ...........................................................................}
N (s) = .........
4. Dari seperangkat kartu bridge diambil 2 kartu sekaligus. Tentukan banyaknya
anggota ruang sampel. Tentukan pula banyaknya anggota kejadian terambil.
a. Keduanya kartu king
c. Salah satunya kartu king
b. Keduanya kartu hitam
Penyelesaian : (Untuk percobaan ini kita tidak perlu mendata ruang sampelnya,
mengapa ? Tetapi kita perlu mengindentifikasi bahwa percobaan ini merupakan
kasus kombinasi ).
n (S) =
52C2
= ........
(demikian juga kita tidak perlu mendata kejadiaannya)
n (K) = .................
n (K) = .................
n K) = .................
C.2. Definisi Peluang.
Peluang kejadian K adalah perbandingan banyaknya anggota kejadian dengan
banyaknya anggota ruang sampel.
P (K) =
n( K )
n( S )
Ket : P (K) = Peluang kejadian K
n (K) = banyaknya anggota kejadian K
n (S) = banyaknya anggota ruang sampel
Contoh :
1). Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka genap
Penyelesaian :
n (S) = ....
K
= Kejadian muncul angka genap
= { ..............................}
n(K)= ..........
P(K) =
........
........
n( K )
=
=
........
........
n( S )
2). Dari seperangkat kartu bridge diambil 3 kartu. Tentukan peluang terambil
ketiganya kartu As.
Penyelesaian :
n (S) = .............= ..........
K
= Kejadian terambil tiga kartu as
n(K)= .............. = ..............
P(K) =
n( K )
= ...................
n( S )
3). Dari suatu kelas yang terdiri dari 30 siswa dan diantaranya 4 siswa
berkacamata, akan dipilih 3 siswa.
Tentukan peluang terpilih :
a). Ketiganya siswa berkacamata
b). Satu siswa berkacamata
c). Paling sedikit 1 siswa berkacamata
Penyelesaian :
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
C.3.
Nilai Peluang.
Karena kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel maka
n( K )
0  n (k)  n (s) atau 0 
 1
n( S )
Sehingga
0  P (K)  1
Kejadian yang peluangnya 0 (nol) disebut kejadian mustahil
Contoh : peluang matahari terbit dari sebelah barat.
Kejadian yang peluangnya 1 (satu) disebut kejadian pasti
Contoh : peluang matahari terbit dari sebelah timur
C.4. Frekuensi Harapan ( Ekspektasi).
Frekuensi harapan dari kejadian K dalam N kali percobaan :
F(K) = N. P(K)
Contoh : Jika sebuah dadu dilempar 60 kali berturut-turut. Tentukan frekuensi
harapan muncul mata kurang dari 5.
Penyelesian :
n (S) = ...., N = .........
K
= Kejadian muncul mata kurang dari 5
= { ..............................}
n(K)= ..........
P(K) =
....
.....
F(K) = P(K) . N = .........................
C.5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian.
Jika K, adalah kejadian pada ruang sampel S dan
K1 adalah komplemen dari K maka (kejadian tidak terjadinya k)
N (K1) = n (S) – n (k)
Sehingga P (K1) =
=
n( s )  n( k )
n( s )
n ( s ) n( k )
n ( s ) n( s )
=1-
n( k )
n( s )
P (K1) = 1 – P(K)
Contoh :
1. Dalam suatu penelitian, diperoleh fakta bahwa dari 30 orang, ternyata 6
diantaranya terjangkit deman berdarah. Berapa peluang yang tidak
terjangkit demam berdarah ?
Penyelesaian :
n (S) = ....
n(K)= ..........
P(K) =
....
.....
F (K1) = 1 – P(K)
= .....
= ....
2. Dari sebuah kotak yang berisi 4 bola hitam dan 6 bola putih diambil 3 bola
sekaligus secara acak.
Tentukan peluang bahwa yang terambil paling sedikit satu bola putih :
Penyelesaian :
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
TEKA-TEKI
Suatu minimarket yang baru saja di buka berusaha
menarik minat pembeli dengan iklan sebagai berikut:
Periode Juli – Agustus 1996
MENANGKAN !!
1 hadiah sepeda motor
1 hadiah lemari es
1 hadiah handphone
* Untuk setiap belanjaan Rp. 25.000,00 dan
kelipatannya, anda berhak mendapatkan 1
kupon).
Jika minimarket tersebut menyediakan 100 kupon.
Dan kamu belanja dengan nilai Rp. 260.000,00.
Tentukan peluang kamu mendapatkan :
a). Hadiah sepeda motor
b). Hadiah apapun
c). Tidak mendapat hadiah satupun
C.6. Kejadian Majemuk.
1. Kejadian majemuk adalah kejadian yang memiliki lebih dari satu titik sampel.
2. Kejadian majemuk dapat dibentuk dari beberapa kejadian sederhana atau
dengan menggunakan beberapa macam operasi himpunan, antara lain
komplemen, gabungan (union), dan irisan ( interseksi).
3. Gabungan kejadian A dan B adalah himpunan semua kejadian yang terdapat pada
kejadian A atau pada kejadian B. (notasi : A  B)
4. Irisan kejadian A dan B adalah himpunan semua kejadian yang terdapat pada
kejadian A sekaligus pada kejadian B (notasi: A  B)
5. Rumus jumlah anggota himpunan : n (A  B) = n (A) + n(B) –
n(A  B)
6. Rumus peluang kejadian A dan B : p (A  B) = p (A) + p(B) –
p(A  B)
Contoh :
Suatu RT terdiri atas 20 kepala keluarga, diantara mereka 10 orang memiliki
mobil, 14 orang memiliki sepeda motor, dan 2 orang tidak memiliki kendaraan.
Jika dipilih secara acak seorang kepala keluarga, berapa peluangnya bahwa dia
pemilik mobil atau sepeda motor dan berapakah peluangnya bahwa yang terpilih
adalah pemilik mobil sekaligus sepeda motor.
Jawab :
Jumlah kepala keluarga n (s) = 20
Jumlah kepala keluarga yang memiliki mobil = n (m) = 10
Jumlah kepala keluarga yang memiliki sepeda motor = n (N) = 14
Jumlah kepala keluarga yang tidak memiliki kendaraan : n ( MUN )= 2
a). n ( M  N ) = n (s) – n ( MUN ) =20 – 2 = 18
.....
n( MUN )
p(M  N)=
=
= .............
........
n( s )
Jadi peluang bahwa yang terpilih adalah pemilik mobil atau sepeda motor
adalah : ...
b). n (M  N ) = n (m) – n (N) – n (M  N)
= ......... + ........- ...............
p (M  N ) =
.....
n( M  N )
=
= .............
........
n( s )
Jadi peluang bahwa yang terpilih adalah pemilik mobil sekaligus sepeda motor
adalah : ...
7. Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas (mutually exclusive).
Dua kejadian atau lebih disebut saling lepas, jika tidak terdapat irisan antara
kejadian-kejadian tersebut , maka A  B =  atau n(A  B) = 0. Jadi P(A  B)= 0.
Dengan demikian peluang gabungan dua kejadian itu : p (A  B) = p(A) + p(B)
Contoh :
Dalam sebuah kantong terdapat 8 bola billiard, masing-masing memiliki nomor
berturutan. Sebuah bola diambil dari dalam kantong secara acak. Misalkan A
adalah kejadian bahwa yang terambil bola bernomor genap dan B adalah
kejadian terambil bola bernomor tujuh. Tentukan peluang kejadian A atau B !.
Jawab : A = { 2, 4, 6, 8}
n(A  B) = 0
p(A  B) =
B={7}
n( A)  n( B)
n( A  B )
=
n( s )
n( s )
=
....  ...
 ....
....
Jadi peluang kejadian A atau B = ....
8. Peluang kejadian yang saling bebas stokastik.
Dua kejadian atau lebih disebut kejadian yang saling bebas stokastik apabila
terjadi atau tidaknya kejadian yang satu tidak bergantung pada terjadi atau
tidaknya kejadian yang lain.
Contoh :
Pada percobaan pelemparan dua kubus bernomor, jika A adalah kejadian kubus
pertama muncul nomor 3 dan B adalah kejadian kubus kedua muncul nomor 5.
a). Tentukanlah peluang kejadian A dan B !
b). Apakah kejadian A dan B saling bebas stokastik !
Jawab :
a) A = {( 3,1) , (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)} A  B = {(3,5)}n(A  B) = ........
B = {( 1,5) , (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}
P(A  B) =
......
n( A  B )
=
= ..........
.........
n( s )
p(A) . p(B) =
6
.....
1 .....
n( A) n( B)
.
=
.
=
.
= ..........
6 .....
36 ......
n( S ) n( S )
p(A  B) .............. p(A) . p(B)
Jadi kejadian A dan B saling....................
9. Peluang kejadian bersyarat.
Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S.
Kejadian A dengan syarat B adalah kejadian munculnya A yang ditentukan oleh
persyaratan kejadian B telah muncul (notasi : A/B)
Peluang munculnya kejadian A dengan persyaratan kejadian B telah muncul
adalah P(A/B) =
P( A  B)
, dengan P(B) >0
P( B)
Contoh :
Dua dadu bernomor dilemparkan secara bersama-sama. Jika salah satu dadu
muncul nomor 1, tentukan peluang bahwa jumlah mata dadu yang muncul pada
kedua dadu adalah 4.
Jawab :
Misal A = Kejadian jumlah mata dadu yang muncul pada kedua dadu adalah 4.
A = {(1,3), (2,2), (3,1)}
B = Kejadian salah satu mata dadu muncul angka 1
B = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (20,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)} -
n(B) = 10
A  B = {(1,3), (3,1)} -- n(A  B) = 2
2
p( A  B)
p( A/B) =
= 36 = ...........
......
p( B)
10. Aturan perkalian untuk kejadian bersyarat.
Jika kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian bersyarat, maka peluang
terjadinya A dan B adalah : p (B  A) = p(B) . p(A/B)
p (A  B) = p(A) . p(B/A)
Contoh :
Sebuah kotak berisi 5 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna putih.
Dua kelereng diambil secara acak berturut-turut dari kotak tersebut. Tentukan
peluang kedua kelereng yang terambil berwarna merah jika :
a. Pengambilan kelereng dilakukan dengan pengembalian
b. Pengambilan kelereng dilakukan tanpa pengembalian.
Jawab :
Misal:
A = kejadian pengambilan pertama diperoleh kelereng berwarna merah.
B = kejadian pengambilan kedua diperoleh kelereng berwarna merah.
P(A  B) = peluang diperoleh dua kelereng berwarna merah adalah
a. p(A) =
5
5
; p (B/A) = p(B) =
8
8
p(A  B) = p(A) . p(B) =
b. p(A) =
5 5
25
. =
8 8
64
5
4
; p (B/A) =
8
7
5 4
5
.
=
8 7
14
p(A  B) = p(A) . p(B/A) =
D. Sebaran Peluang
Contoh : Pada pelemparan dua buah dadu, x menyatakan jumlah angka yang
muncul pada pelemparan dua buah dadu. Hitunglah :
a) P(x = 5)
b). P (x  10)
d). P(7<x  10)
c). P(X>9)
Kubus II
Kubus I
1
1
(1,1)
2
(1,2)
3
(1,3)
4
(1,4)
5
(1,5)
6
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Nilai x adalah: x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12.
Maka:
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Ini disebut Sebaran/Distribusi Peluang, yaitu fungsi dari x ke P(x), dimana
x adalah suatu kejadian dan P(x) adalah peluang dari kejadian tersebut.
Jika P(x) dijumlahkan hasilnya selalu 1.
a). P( x = 5) = 4/36
b). P( x  10) = 1 – (p(x = 11) + p(x = 12)) = 1 – (
2
1
33
+ )=
36 36
36
c). P( x > 9) = p(x = 10) + p(x = 11) + p(x=12) =
3
2
1
6 1
+
+ =
=
36 36 36 36 6
d). P(7<x  10) = p(x = 8) + p(x = 9) + p(x=10) =
5  4  3 12 1
= =
36
36 3
D.1.Sebaran Binomial.
Sebaran Binomial = Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus berikut :
P (x) = C (n,x) . px (1 – p)n-x, untuk n = 0 , 1, 2, ...., n
Dengan : p sebagai parameter dan 0  p  1
p = peluang sukses
n = banyak percobaan
x = muncul sukses
n-x = muncul gagal
Contoh :
Tentukan peluang munculnya angka prima sebanyak 4 kali pada pengetosan 10
dadu.
Jawab :
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } -- n (s) = 6
A = Himpunan angka prima yang muncul pada pengetasan sebuah kubus
berangka = { 2, 3, 5}  n (A) = 3
P=
3
1
n( A)
=
=
; n = 10
6
2
n( s )
4
1  1
P ( x = 4) = C   1  
2  2
10 4
10
4
1
=C  
2
4 6
10
4
10!  1 
=
 
6!4!  2 
=
10
10.9.8.7
210
. 2-10 =
4 .3 .2
1024
D.2.Sebaran Seragam (Uniform).
Sebaran seragam adalah sebaran peluang yang setiap nilai perubah acaknya
memiliki peluang yang sama untuk terjadi. Fungsi peluang dari sebaran seragam
adalah :
f(x) = p (x =  ) =
1
, untuk  = 1, 2, 3, .........., n
n
atau
1
, untuk  =  1,  2,  3, ..........,  k
k
f(  ,k) =
Catatan :
f(x) = P(x =  ) adalah notasi fungsi peluang
f(  ,k) adalah untuk menunjukkan bahwa sebaran seragam bergantung pada
parameter k.
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu sebanyak 1 kali, perubah acak x dapat
mencapai nilai  = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Carilah :
a). Sebaran peluangnya
b). Nilai harapan perubah acaknya.
Jawab :
a). Sebaran peluang itu merupakan sebaran seragam.
Fungsi peluangnya = f(x ; 6) =
1
, untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
6
b).  = E(x)
1
1
1
1
1
1
= 1 ( ) + 2. ( ) + 3. ( ) + 4 . ( ) + 5. ( )+ 6 . ( )
6
6
6
6
6
6
1
= ( ) . (1+2+3+4+5+6)
6
=
21
6
=3
1
2
D.3. Rata-rata atau Nilai harapan suatu perubah acak
Jika x1, x2, x3, ........, xn adalah nilai-nilai dari perubah acak x dan peluangnya
berturut-turut P1, P2, P3, ........., Pn, maka nilai harapan ditulis  atau E(x)
adalah :
 = E(x) =
n

xk . PK = x1 . P1 + x2 . P2 + ......+ xn . Pn
k 1
Contoh : Pada pengetosan sebuah mata uang 3 kali, x menyatakan banyaknya
muncul gambar. Tentukan nilai harapan perubah acak x.
Jawab :
Perubah acak x dengan nilai x = 0, 1, 2, 3
X
P(x =  )
 =0.
0
1
2
3
1
8
3
8
3
8
1
8
1
3
3
1
3  6  3 12
+ 1. + 2. + 3. =
=
8
8
8
8
8
8
Latihan 2.
1. Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu bridge.
Tentukan peluang yang terambil :
a. Kartu As
b. Kartu Merah
c. Bukan Kartu King.
2. Dalam kantong terdapat 5 kelereng merah, 6 kelereng putih dan 4 kelereng biru.
Diambil 3 kelereng sekaligus. Tentukan peluang terambil.
a). Ketiganya warna biru
b). Dua kelereng merah
c). Satu merah, 1 putih, 1 biru
d). Paling sedikit 1 merah
3. Dari seperangkat kartu bridge diambil sebuah kartu. Percobaan ini dilakukan
sampai 50x. Tentukan frekuensi harapan terambil kartu bernomor dua.
4. Suatu kelas yang terdiri dari 21 siswa putra dan 19 siswa putri akan mengadakan
pemilihan ketua kelas . Berapa peluang terpilih :
a. Siswa putri
b. Siswa putra
5. Dalam sebuah ulangan, siswa di haruskan mengerjakan 8 nomor dari 10 nomor
yang ada. Jika nomor 1 dan 3 adalah soal yang wajib dikerjakan, tentukan
peluang siswa mengerjakan soal No. 6
6. Peluang A dapat menyelesaikan ulangan adalah 0,7. Tentukan peluang A tidak
dapat menyelesaikan ulangan.
7. Dari 100 orang siswa, 30 orang mengambil kursus Bahasa Inggris, 20 orang
mengambil kursus bahasa perancis, dan 10 orang mengambil kedua kursus itu.
Jika seorang siswa dipilih secara acak, tentukan peluang bahwa siswa itu
mengambil kursus bahwa Inggris dan bahasa Perancis.
8. Selama 1 minggu Metro TV memiliki 24 macam maka acara, dengan 10 mata
acara berisi materi pendidikan, 12 mata acara yang cukup menarik untuk
dinikmati, 5 mata acara berisi pendidikan dan sekaligus cukup menarik untuk
dinikmati. Jika kita diminta memilih salah satu program untuk ditonton, berapakah
peluang kita akan mendapatkan mata acara.
a). Yang tidak menarik untuk dinikmati
b). Yang berisikan pendidikan atau cukup menarik untuk dinikmati atau keduaduanya.
9. Hasil survei yang dilaksanakan di sebuah kecamatan tentang ke pemilikan
rumah dan sepeda motor menghasilkan data sebagai berikut :
10% penduduk tidak memiliki rumah
40% penduduk memiliki sepeda rumah
5% tidak memiliki rumah tetapi memiliki sepeda motor
Jika dari kecamatan itu dipilih satu orang secara acak, berapa peluang orang itu
memiliki rumah tetapi tidak memiliki sepeda motor ?
10. Sebuah perusahaan elektronik mengambil sampel 1000 kepala rumah tangga.
Kemudian responder ditanya tentang apakah mereka merencanakan untuk
membeli mobil atau motor.
Tabel berikut merupakan hasil survei terhadap 1000 responden
Membeli motor
Membeli mobil
Ya
Tidak
Total
Ya
60
240
300
Tidak
100
600
700
a). Berapa probabilitas seseorang membeli mobil atau motor ?
b). Berapa probabilitas seseorang membeli mobil atau tidak membeli motor ?
c). Berapa probabilitas seseorang tidak membeli mobil atau membeli motor ?
d). Berapa probabilitas seseorang tidak membeli keduanya ?
11. Diketahui P(A) =
1
2
dan p(A  B) =
.
2
3
Carilah : a) p(A)
b. p(A/B)
c. p(B/A)
d. p(BC/A)
12. Peluang seorang laki-laki hidup 25 tahun dari sekarang adalah
istrinya akan hidup 25 tahun dari sekarang adalah
5
dan peluang
12
4
. Tentukan peluang dari
5
sekarang:
a). Keduanya hidup
b). Paling sedikit satu dari mereka masih hidup
c). Hanya laki-laki yang hidup
13. Dalam sebuah kotak ada 9 bola bernomor 1 sampai dengan 9. Apabila diambil 2
buah bola secara acak. Tentukan probabilitas p bahwa :
a). Keduanya genap
b). Satu ganjil dan satu genap
Latihan 3.
1. Pada pengetosan uang logam 4 kali, perubah acak x menunjukkan banyaknya
sisi angka yang muncul dan x menunjukkan peluang nilai perubah acak.
Tentukan :
a . P(x=0)
b. P (x  2)
c. P(X<3)
d. P (1<X  3)
2. Dari 16 buah disket, terkena virus 20%, carilah peluang bahwa :
a). Sebuah disket terkena virus
b). Dua buah disket terkena virus
c). Paling banyak dua buah disket terkena virus
3. Dari 10 orang calon pelamar kerja yang berpeluang sama akan dipilih 3 orang
secara acak, carilah sebaran seragamnya !
4. Sebuah koin yang seimbang dilempar 4 kali, x menyatakan munculnya angka.
Carilah nilai harapan perubah acak x!
5. Seorang pemanah memiliki ketepatan membidik tepat mengenai sasaran sebesr
90%. Jika kepadanya diberikan 6 kali kesempatan menembak, hitunglah
probabilitas.
a). Bahwa 4 kali bidikan akan tepat mengenai sasaran
b). Paling banyak 1 kali bidikan tepat mengenai sasaran
c). Paling sedikit 5 kali bidikan tepat mengenai sasaran
6. Dari suatu penelitian peluang seorang siswa SMP yang melanjutkan ke SMA
adalah 0,80. Tentukan peluang bahwa 3 dari 10 siswa SMP melanjutkan ke
SMA !
7. Dalam suatu pertandingan, seorang pemain bola memiliki peluang memasukkan
bola sebesar 0,75. Tentukan peluang bahwa dalam 8 kali pertandingan dapat
memasukkan bola sebanyak 3x.
8. Seorang petugas asuransi menjual polis asuransi jiwa kepada seorang.
Diasumsikan bahwa umur dan kondisi kesehatan kelima orang tersebut sama,
dan setiap orang memiliki peluang
2
untuk hidup 30 tahun lagi.
3
Tentukan bahwa peluang dalam waktu 30 tahun :
a). Ke delapan orang tersebut masih hidup semua
b). Paling sedikit ada 4 orang yang masih hidup
9. Dari 10 orang peserta suatu tes diperkirakan peluang mereka masing-masing
akan lulus sebesar 0,6. Carilah peluang bahwa :
a). Paling sedikit 3 orang lulus
b). Ada 2 orang yang tidak lulus
10. A machine produces a total of 12,000 bolts a day which are on the average 3%
defective. Find the probability that out of 600 bolt chosen at random 12 will be
defective !