1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah

1.1
Pengertian Persamaan Differensial
Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan
lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
yang mengandung fungsi dan turunannya. Suatu persamaan yang mengandung fungsi dan
turunannya dinamakan persamaan differensial. Jika mengandung turunan parsial
dinamakan persamaan differensial parsial. Selain persamaan differensial parsial, dikenal
persamaan differensial yang lain yang dinamakan persamaan differensial biasa.
Definisi :
Persamaan Differensial adalah persamaan yang mengandung fungsi dan turunannya.
Persamaan Differensial Biasa adalah persamaan yang mengandung turunan biasa, yaitu
turunan dengan satu peubah bebas. Persamaan Differensial Parsial adalah persamaan
yang mengandung turunan parsial, yaitu turunan dengan peubah bebas lebih dari satu.
Dalam bab ini akan dijelaskan beberapa metode penyelesaian persamaan differensial
biasa yang sering muncul dalam ilmu-ilmu terapan. Sebagai gambaran, perhatikan contoh
sederhana berikut :
(i)
Hukum II Newton dalam bentuk vektor adalah 𝐹 = 𝑚. 𝑎 . Jika percepatan 𝑎 ditulis
sebagai
𝑑𝑣
𝑑𝑡
, dengan 𝑣 adalah kecepatan, atau ditulis sebagai
𝑑²𝑟
𝑑𝑡²
, dengan 𝑟 adalah
perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
𝐹=𝑚
𝑑²𝑣
𝑑²𝑟
=𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝑡²
………………………………….………………………………..…………………………………………………... (1.1)
Pendahuluan Persamaan Differensial
1
Jadi masalah mekanika di atas yang digunakan untuk menentukan gerak benda
(misalnya elektron, mobil atau satelit) karena pengaruh gaya, mengandung
persamaan differensial.
(ii)
Laju perubahan panas 𝒬 yang berkurang melalui jendela atau dari pipa air panas
sebanding dengan luas permukaan 𝛢 dan sebanding dengan perubahan temperatur
𝛵 terhadap jarak 𝜒, dapat ditulis :
𝑑𝒬
𝑑𝑇
= 𝑘𝐴
𝑑𝑡
𝑑𝑥
…………………………………………..………………..…………………………………………………………... (1.2)
dengan 𝑘 adalah konduktivitas panas yang bergantung pada material/bahan yang
dilalui panas. Persamaan (1.2) di atas mengandung 2 turunan yang berbeda, yaitu
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑑𝒬
dan 𝑑𝑡 , dan penyelesaiannya adalah menentukan fungsi 𝑇 sebagai fungsi 𝑥, atau
𝒬 sebagai fungsi 𝑡.
(iii)
Perhatikan rangkaian sederhana berikut (gambar 1.1), yang terdiri dari resisitor R,
kapasitor C dan induktor L yang dihubungkan dengan tegangan AC.
Gambar 1.1
Rangkaian RLC seri, dihubungkan dengan tegangan AC, V
Jika arus yang mengalir pada rangkaian suatu saat adalah 𝐼(𝑡) dan muatan pada
kapasitor adalah 𝑞(𝑡) , diperoleh hubungan 𝐼 𝑡 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
. Tegangan diujung-ujung
𝑞
resistor 𝑅 adalah 𝐼. 𝑅, tegangan pada kapasitor 𝐶 adalah 𝐶 , dan tegangan pada
𝑑𝐼
induktor 𝐿 adalah 𝐿 𝑑𝑡 , maka tegangan setiap saatnya adalah :
𝐿
2
𝑑𝐼
𝑞
+ 𝑅. 𝐼 + = 𝑉
𝑑𝑡
𝐶
Pendahuluan Persamaan Differensial
Jika persamaan tersebut kita turunkan terhadap fungsi 𝑡 dengan mensubstitusikan
𝐼 𝑡 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
, diperoleh :
𝑑²𝐼
𝑑𝐼 𝐼 𝑑𝑉
+ 𝑅. + =
𝑑𝑡²
𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡
𝐿.
………………………………………………………………….……………………………………………………. (1.3)
Masih banyak lagi masalah-masalah fisika dan ilmu terapan lainnya yang
mengandung persamaan differensial.
Contoh 1.1
Manakah dari persamaan-persamaan berikut yang termasuk persamaan differensial
biasa.
a.
b.
𝑥 2 x 𝑦 2 = 25
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+𝑦+6= 0
c.
𝑥𝑦 + 𝑦 ′ + 𝑥 = 0
d.
𝑥𝑦′′ + 𝑥 2 𝑦 ′ + 6𝑦 = 𝑒 𝑥
e.
𝜕𝑢
𝜕𝑖
𝜕²𝑢
f.
𝜕𝑥 ²
+ 𝑢=
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑦 ²
𝜕𝑢
𝜕𝑧
=0
Jawab
a.
Bukan Persamaan Differensial Biasa (PDB), karena tidak mengandung turunan
fungsi.
b.
PDB, dengan peubah bebas 𝑥 dan peubah tak bebas 𝑦.
c.
PDB (ingat : 𝑦 ′ =
d.
PDB ( 𝑦 ′′ =
e.
Termasuk persamaan differensial parsial, karena peubah bebasnya ada dua, yaitu 𝑖
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
𝑑𝑦
𝑑𝑥
), dengan peubah bebas 𝑥 dan peubah tak bebas 𝑦.
), dengan peubah bebas 𝑥 dan peubah tak bebas 𝑦.
dan 𝑧.
f.
Termasuk persamaan differensial parsial, karena peubah bebasnya ada dua, yaitu 𝑥
dan 𝑦.
Pendahuluan Persamaan Differensial
3
1.2
Persamaan Differensial Biasa
Tingkat/orde suatu persamaan differensial adalah turunan tertinggi yang terdapat dalam
persamaan tersebut. Secara umum, persamaan differensial biasa orde 𝑛 mempunyai
bentuk :
𝐹 𝑥, 𝑢 𝑥 , 𝑢′ 𝑥 , 𝑢′′(𝑥), …, 𝑢𝑛 𝑥
= 0
…………….....…………………………….……….…………………………………………………………………………………..…. (1.4)
Persamaan (1.4), menyatakan hubungan antara peubah bebas 𝑥, fungsi 𝑢 dan turunannya
𝑢′ , 𝑢′′ , 𝑢′′′ , … , 𝑢𝑛 . Untuk selanjutnya akan digunakan variabel 𝑦 sebagai pengganti 𝑢 𝑥 ,
dan 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , 𝑦 ′′′ , … , 𝑦 𝑛 sebagai pengganti 𝑢′ 𝑥 , 𝑢′′ (𝑥), 𝑢′′′ 𝑥 , …, 𝑢𝑛 𝑥
, sehingga
persamaan (1.4) dapat ditulis dalam bentuk :
𝐹 𝑥, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 𝑛 = 0
…………………………………………………………….……….…………………………………………………….……. (1.5)
Sebagai contoh, perhatikan persamaan differensial berikut :
a.
𝑦 ′ + 𝑥𝑦² = 1, dimana 𝑦 ′ =
b.
𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 𝑥
c.
d.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝐿
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −g
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝑅𝐼 = 𝑉
Persamaan a, b, c dan d di atas adalah persamaan differensial orde satu, karena
persamaan-persamaan tersebut mengandung turunan pertama sebagai turunan
tertinggi.
e.
𝑑²𝑟
𝑚 𝑑𝑡² = −𝑘𝑟, adalah persamaan differensial orde dua, karena persamaan tersebut
mengandung turunan kedua sebagai turunan tertinggi.
Derajat/pangkat suatu persamaan differensial yang berbentuk polinom dalam peubah tak
bebas dan turunan-turunannya adalah derajat/pangkat tertinggi polinom tersebut.
Sebagai gambaran, perhatikan contoh-contoh berikut :
𝑦 ′′′ + 2𝑥𝑦 𝑦 ′
b.
𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑥𝑦 = sin 𝑥 , merupakan persamaan differensial berderajat satu.
c.
𝑦 ′′ =
(𝑥 2 +1)
,
𝑦
3
= 0, merupakan PD berderajat empat, karena mengandung 𝑦(𝑦 ′ )³
a.
merupakan persamaan differensial berderajat dua.
Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk 𝑦. 𝑦 ′′ = 𝑥 2 + 1
d.
3𝑥 − 2𝑦 𝑦 ′ = 1 − 𝑥 − 𝑥 2 , merupakan persamaan differensial berderajat tiga.
e.
3𝑥 + 5𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥 + 2 𝑑𝑥, merupakan persamaan differensial berderajat dua.
4
Pendahuluan Persamaan Differensial
1.3
Persamaan Differensial Linier dan Tak Linier
Suatu persamaan differensial linier (dengan 𝑥 adalah peubah bebas dan 𝑦 adalah peubah
tak bebas) adalah salah satu bentuk dari persamaan :
𝑎0 𝑦 + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎1 𝑦 ′′ + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑦 𝑛 = 𝑏
…..……………………………………………………..………………………..….………………………………………… (1.6)
Sebagai contoh, perhatikan persamaan differensial berikut :
a.
𝑦 ′ + 𝑥𝑦 2 = 1, (tidak linier, karena terdapat pangkat 2 dari 𝑦)
b.
𝑦 ′ = cot 𝑦, (tidak linier, karena terdapat fungsi transenden cot 𝑦)
c.
𝑦𝑦 ′ = 1, (tidak linier, karena terdapat perkalian 𝑦 dan 𝑦’)
d.
𝑦′
2
= 𝑥𝑦, (tidak linier, karena terdapat pangkat 2 pada 𝑦’)
Dengan demikian, persamaan differensial biasa disebut linier, jika memenuhi kriteria
sebagai berikut :
(i)
Tidak terdapat fungsi transenden dalam peubah tak bebas
(ii)
Tidak terdapat perkalian antara peubah tak bebas dengan turunannya
(iii)
Peubah tak bebas dan turunannya paling tinggi berpangkat Satu
(iv)
𝑎𝑛 (𝑥) adalah fungsi kontinu
Sebaliknya persamaan differensial biasa yang tidak memenuhi kriteria tersebut di atas,
disebut persamaan differensial tak linier.
Sebagian besar persamaan differensial yang muncul dalam masalah-masalah terapan
adalah linier dengan orde 1 atau orde 2. Untuk itu kita akan membahas secara khusus
mengenai persamaan differensial linier orde 1 dan orde 2.
Contoh 1.2
Tentukan apakah persamaan differensial berikut termasuk persamaan differensial biasa
atau parsial? Tentukan orde, pangkat dan kelinierannya!
a.
𝑥𝑦 ′ + 𝑒 𝑥 = 𝑦
b.
(sin 𝑥)𝑦 ′′ + 4𝑥 2 − 𝑦 = 0
c.
𝑦𝑦 ′′ + 𝑦 2 + 4𝑥𝑦 = sin 𝑥
Pendahuluan Persamaan Differensial
5
𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑦 + 4 𝑑𝑦
d.
e.
1
𝑦
𝑥
f.
𝑦
𝑦 ′ + 4𝑥 + 1 = 0
𝑑𝑥 = 2𝑑𝑦
g.
𝑦 ′ sin 𝑥 + 𝑦 cos 𝑥 = 5
h.
𝑥 sin 𝑦 + 𝑦 ′ cos 5𝑥 + 3 = 𝑒 𝑥
i.
U𝑥𝑥 + 𝑥𝑦U𝑥𝑦 − 𝑦Ux = 0
j.
𝑦 ′′′ + 𝑦 ′′ cos 𝑥. sin 𝑥 + 𝑦 ′ tan 𝑥 − 2𝑦 = 0
k.
𝜕²𝑢
𝜕𝑥 2
𝑑4𝑥
l.
𝑑𝑡 4
𝜕²𝑢
+ 𝜕𝑦 2 = 𝑥²
+
𝑑2𝑥
𝑑𝑡 2
5
+ 5𝑦 = 0
Jawab :
a.
Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan linier
b.
Persamaan differensial biasa, orde 2, pangkat 1, dan linier
c.
Persamaan differensial biasa, orde 2, pangkat 2, dan tak linier
d.
Persamaan di atas dapat ditulis :
𝑥2 + 1
𝑑𝑥
= (𝑥 − 𝑦 + 4)
𝑑𝑦
yang merupakan PDB, orde 1, pangkat 3, dan tak linier
𝑥 2 + 1 = (𝑥 − 𝑦 + 4)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
yang merupakan PDB, orde 1, pangkat 2, dan tak linier
e.
Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan linier
f.
Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan tak linier
g.
Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan linier
h.
Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan tak linier
i.
Persamaan differensial parsial, orde 2, pangkat 1, dan tak linier
j.
Persamaan differensial biasa, orde 3, pangkat 1, dan linier
k.
Persamaan differensial parsial, orde 2, pangkat 2, dan linier
l.
Persamaan differensial biasa, orde 4, pangkat 5, dan linier
6
Pendahuluan Persamaan Differensial
1.4
Solusi Persamaan Differensial
Perhatikan persamaan differensial biasa orde 𝑛 berikut :
𝐹 𝑥, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 𝑛 = 0
Solusi persamaan tersebut pada interval terbuka 𝛼 < 𝑥 < 𝛽 adalah suatu fungsi 𝜙
dimana 𝜙 ′ , 𝜙 ′′ , 𝜙 ′′′ , … , 𝑓 𝑛 ada, dan memenuhi persamaan 𝐹 𝜙 ′ , 𝜙 ′′ , 𝜙 ′′′ , … , 𝜙 𝑛 = 0
untuk setiap 𝑥 pada interval di atas. Kecuali ada pernyataan lain, kita anggap bahwa 𝐹
pada persamaan (1.5) adalah fungsi nilai riil dan 𝑦 = 𝜙(𝑥) juga bernilai riil.
Sebagai contoh, fungsi 𝜙1 𝑥 = cos 𝑥
dan 𝜙2 𝑥 = sin 𝑥 adalah solusi persamaan
𝑦 ′′ + 𝑦 = 0 untuk setiap 𝑥, karena jika 𝜙1 𝑥 dan/atau 𝜙2 𝑥 disubstitusikan kedalam
persamaan 𝑦 ′′ + 𝑦 = 0, akan diperoleh kesamaan. Contoh lain yang agak rumit,
𝜙1 𝑥 = 𝑥 2 ln 𝑥 adalah solusi persamaan 𝑥 2 𝑦 ′′ − 3𝑥𝑦 ′ − 4𝑦 = 0, 𝑥 > 0
Bukti :
𝜙1 𝑥 = 𝑥 2 ln 𝑥
1
𝜙1 𝑥 = 𝑥 2 . + 2𝑥 ln 𝑥
𝑥
𝜙1 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 ln 𝑥
𝜙1′′ 𝑥 = 1 + 2 ln 𝑥 + 2𝑥.
1
𝑥
𝜙1′′ 𝑥 = 3 + 2 ln 𝑥
Substitusikan pada persamaan differensial di atas, diperoleh :
𝑥 2 3 + 2 ln 𝑥 − 3𝑥 𝑥 + 2𝑥 ln 𝑥 + 4 𝑥 2 ln 𝑥 = 3𝑥 2 + 2 − 6 + 4 𝑥 2 ln 𝑥 = 0
Terbukti bahwa 𝜙1 𝑥 = 𝑥 2 ln 𝑥 merupakan solusi persamaan differensial
𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 4𝑦 = 0 di atas.
Jadi :
Suatu penyelesaian (solusi) persamaan differensial (dalam peubah 𝑥 dan 𝑦) adalah suatu
hubungan antara 𝑥 dan 𝑦, yang jika disubstitusikan kedalam persamaan itu, akan
memberikan kesamaan (identitas).
Pendahuluan Persamaan Differensial
7
Contoh 1.3
Persamaan 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐, adalah penyelesaian persamaan differensial 𝑦’ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥,
sebab jika disubstitusika𝑛 akan diperoleh kesamaan 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥.
Contoh 1.4
Persamaan 𝑦’’ = 𝑦 mempunyai penyelesaian :
𝑦 = 𝑒 𝑥 atau 𝑦 = 𝑒 −𝑥 atau 𝑦 = 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑥 .
(Buktikan dengan mensubstitusikannya!).
Jawab :
(i)
𝑦 = 𝑒𝑥
𝑦′ = 𝑒 𝑥
𝑦′′ = 𝑒 𝑥
Substitusikan pada persamaan 𝑦 ′′ = 𝑦 ⟹ 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 (terbukti)
(ii)
𝑦 = 𝑒 −𝑥
𝑦′ = −𝑒 −𝑥
𝑦′′ = 𝑒 −𝑥
Substitusikan pada persamaan 𝑦 ′′ = 𝑦 ⟹ 𝑒 −𝑥 = 𝑒 −𝑥 (terbukti)
(iii)
𝑦 = 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥
𝑦′ = 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥
𝑦 ′′ = 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥
Substitusikan pada persamaan 𝑦 ′′ = 𝑦 ⟹ 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 (terbukti)
Suatu pertanyaan yang mungkin muncul adalah apakah ada solusi lain disamping solusi
yang telah dibahas di atas? Atau bahkan timbul pertanyaan lebih lanjut, apakah
persamaan di atas mempunyai suatu solusi? Ini adalah pertanyaan tentang keujudan
suatu solusi persamaan differensial. Tidak semua persamaan differensial mempunyai
solusi. Jika suatu masalah yang telah dirumuskan dengan model matematika dan
mengandung suatu persamaan differensial, kemudian masalah tersebut tidak mempunyai
solusi, maka kita harus menguji kembali keabsahan model matematika itu.
8
Pendahuluan Persamaan Differensial
Kedua, jika persamaan yang diberikan mempunyai suatu solusi, apakah ada solusi yang
lainnya? Ini adalah pertanyaan tentang ketunggalan suatu solusi persamaan diferensial.
Pertanyaan yang ketiga adalah bagaimana cara menentukan solusi suatu persamaan
differensial?
Jika kita mengitegralkan 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥) diperoleh : 𝑦 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 yang mengandung satu
Jika kita mengitegralkan 𝑦 ′′ = g(𝑥) dua kali untuk
tetapan integrasi, yaitu 𝑐.
mendapatkan 𝑦, 𝑦 mengandung dua tetapan integrasi. Secara umum, suatu persamaan
differensial orde n akan mempunyai penyelesaian yang mengandung n buah tetapan
integrasi. Penyelesaian seperti ini dinamakan solusi umum dari persamaan differensial tak
linier. Solusi yang diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta/tetapan yang
sesuai, dinamakan solusi khusus.
Jadi :
Solusi umum suatu persamaan differensial adalah solusi yang mengandung
tetapan integrasi, sedangkan solusi khusus suatu persamaan differensial
adalah solusi yang di peroleh dari suatu solusi umum dengan menentukan
konstanta yang sesuai.
Dalam penerapannya, diinginkan solusi khusus yang sesuai dengan persamaan
differensial tersebut yang memerlukan syarat-syarat tertentu. Perhatikan contoh berikut :
Contoh 1.5
(Penerapan pada bidang Fisika)
Tentukan jarak benda jatuh karena gravitasi sebagai fungsi waktu 𝑡, jika benda mula-mula
diam.
Pendahuluan Persamaan Differensial
9
Jawab :
Misalkan 𝑥 adalah jarak benda jatuh sebagai fungsi waktu 𝑡, percepatan benda karena
pengaruh gravitasi adalah g, sehingga diperoleh persamaan :
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
= g, dengan
mengintegralkan, diperoleh :
𝑑𝑥
= g. 𝑡 + 𝑐 = g. 𝑡 + 𝑣0
𝑑𝑡
kemudian,
1
𝑥 = 2 g𝑡² + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 , dengan 𝑐1 = 𝑣0 dan 𝑐2 = 𝑥0 , atau
1
𝑥 = g. 𝑡 2 + 𝑣0 . 𝑡 + 𝑥0
2
…………....……………………………………………………………………..…………………………………………….. (1.7)
dengan 𝑣0 dan 𝑥0 adalah nilai 𝑣 dan 𝑥 pada 𝑡 = 0, persamaan (1.7) adalah solusi umum
dari persamaan differensial
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
= g, karena penyelesaian persamaan differensial linier
orde 2 tersebut mengandung 2 konstanta, yaitu 𝑣0 dan 𝑥0 Untuk mendapatkan solusi
khusus, kita masukkan nilai 𝑣0 = 0 (benda mula-mula diam), dan 𝑥0 = 0 (jarak benda
1
jatuh nol pada 𝑡 = 0), sehingga solusi khusus yang diinginkan adalah : 𝑥 = 2 g𝑡²
Contoh 1.6
(Penerapan pada bidang Geometri)
3
Tentukan solusi dari persamaan 𝑦′′ = 𝑦 yang melalui pusat koordinat dan titik (ln 2 , 4)
Jawab :
Solusi umum dari persamaan differensial tersebut adalah 𝑦 = 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑥 .
(lihat contoh 1.4). persamaan kurva 𝑦 = 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑥 melalui titik pusat koordinat
3
3
(𝑦 = 0 dan 𝑥 = 0) dan melalui titik (ln 2 , 4) (𝑦 = 4 dan 𝑥 = ln 𝑥).
Dengan mensubstitusikan titik-titik tersebut, diperoleh :
0 = 𝐴 + 𝐵, atau 𝐵 = −𝐴
3
= 𝐴. 𝑒 ln 2 + 𝐵. 𝑒 − ln 2
4
10
Pendahuluan Persamaan Differensial
3
4
1
= 𝐴. 2 + 𝐵. 2, karena 𝐵 = −𝐴, maka :
3
1
= 2𝐴 − 𝐴
4
2
3
4
3
1
1
= 2 𝐴 → 𝐴 = 2 dan 𝐵 = − 2
Solusi khusus yang diinginkan adalah :
1
1
𝑦 = 2 𝑒 𝑥 − 2 𝑒 −𝑥 , atau
1
𝑦 = (𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 )
2
𝑦 = sinh 𝑥
1
{ingat bahwa sinh 𝑥 = (𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ) dan cosh 𝑥 = (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 )}
2
Kondisi yang diberikan untuk mendapatkan solusi khusus dinamakan syarat batas,
sedangkan kondisi yang diberikan pada 𝑡 = 0 dinamakan syarat awal. Umumnya (tetapi
tidak selalu untuk persamaan differensial tak linier), solusi khusus yang diinginkan
diperoleh dari solusi umum dengan menentukan nilai konstantanya.
LATIHAN 1.1
1.
Untuk setiap persamaan differensial berikut, tentukan orde dan derajatnya !
Tentukan juga apakah persamaan differensial linier atau tak linier ?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2.
𝑑²𝑦
𝑑𝑦
𝑥 2 𝑑𝑥² + 𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 = sin 𝑥
𝑑2𝑦
1 + 𝑦2
𝑑𝑥 2
𝑑4 𝑦
𝑑3𝑦
𝑑2𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
4 +
3 +
𝑑𝑦
+ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑒 𝑥
+𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+𝑦 =1
+ 𝑥𝑦 2 = 0
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥 3
+ sin 𝑥 + 𝑦 = sin 𝑥
𝑑𝑦
+ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 cos² 𝑥 = 𝑥 3
Buktikan bahwa fungsi-fungsi yang diberikan merupakan solusi persamaan
differensial.
a.
𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 ; 𝑦1 𝑥 = 𝑒 𝑥 , 𝑦2 𝑥 = cosh 𝑥
b.
𝑦 ′′′ + 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 0 ; 𝑦1 𝑥 = 𝑒 −3𝑥 , 𝑦2 𝑥 = 𝑒 𝑥
Pendahuluan Persamaan Differensial
11
3.
𝑥
𝑥
c.
𝑦 𝑖𝑣 + 4𝑦 ′′′ + 3𝑦 = 𝑥 ; 𝑦1 𝑥 = 3 , 𝑦2 𝑥 = 𝑒 −𝑥 + 3
d.
2𝑥 2 𝑦 ′′ + 3𝑥𝑦 ′ − 𝑦 = 0, 𝑥 > 0 ; 𝑦1 𝑥 = 𝑥 ½ , 𝑦2 𝑥 = 𝑒 −𝑥
e.
𝑥 2 𝑦 ′′ + 5𝑥𝑦 ′ + 4𝑦 = 0, 𝑥 > 0 ; 𝑦1 𝑥 = 𝑥 −2 , 𝑦2 𝑥 = 𝑥 −2 ln 𝑥
f.
𝑦 ′′ + 𝑦 = sec 𝑥 , 0 < 𝑥 < 2 ; 𝑦 𝑥 = (cos 𝑥) ln cos 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥
g.
𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 = 1 ; 𝑦 𝑥 = 𝑒 𝑥
𝜋
𝑥
∩
2
2
𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 + 𝑒 𝑥²
Pada contoh 1.4, buktikan bahwa 𝑦 = cosh 𝑥 dan 𝑦 = sinh 𝑥 adalah penyelesaian
1
persamaan differensial 𝑦′′ = 𝑦. [ingat : cosh 𝑥 = 2 (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 )]
4.
Selesaikanlah contoh 1.6 dengan menggunakan solusi umum
𝑦 = 𝑎 sinh 𝑥 + 𝑏 cosh 𝑥
5.
Buktikan bahwa 𝑦 = sin 𝑥, 𝑦 = cos 𝑥, 𝑦 = 𝑒 5𝑥 , dan 𝑦 = 𝑒 −5𝑥 adalah solusi-solusi
untuk persamaan differensial 𝑦 ′′ = −𝑦
6.
Tentukan jarak benda yang bergerak, sebagai fungsi waktu 𝑡, jika benda mula-mula
diam dan percepatan benda
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
= g. 𝑒 −𝑘𝑡 . Tunjukkan bahwa untuk 𝑡 kecil, hasilnya
1
dapat dianggap sama dengan 𝑥 = 2 g𝑡 2 , dan untuk 𝑡 besar, kecepatan
𝑑𝑥
𝑑𝑡
dapat
dianggap konstan !
7.
Tentukan posisi 𝑥 suatu partikel sebagai fungsi waktu 𝑡, jika percepatannya
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
8.
= 𝐴 sin 𝜔𝑡!
Momentum (𝑝) suatu elektron yang bergerak dengan kecepatan yang mendekati
kecepatan cahaya naik menurut persamaan 𝑝 =
𝑚 0𝑣
1−
,
𝑣²
𝑐²
dimana 𝑚0 : massa diam elektron. Jika elektron tersebut dipengaruhi gaya konstan
𝐹, maka hukum Newton II menjadi :
𝑑𝑝 𝑑
=
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑚0𝑣
𝑣2
1− 2
𝑐
=𝐹
Tentukan kecepatan 𝑣 sebagai fungsi waktu 𝑡 dan tunjukkan bahwa limit kecepatan
jika 𝑡 mendekati tak hingga adalah 𝑐. tentukan jarak 𝑥 yang ditempuh elektron pada
waktu 𝑡, jika elektron mulai diam.
12
Pendahuluan Persamaan Differensial
2.1
Persamaan Differensial Linier
Jenis persamaan differensial orde 1 yang paling sederhana adalah 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥) dengan
fungsi 𝑓 hanya bergantung pada 𝑥. Kita akan menentukan 𝑦 = 𝜙(𝑥), yang turunannya
merupakan fungsi 𝑓 di atas. Dari teori kalkulus, diketahui bahwa 𝜙 adalah anti turunan 𝑓,
ditulis :
𝑦=𝜙 𝑥 =
𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥
dengan 𝑐 adalah konstanta yang sesuai.
Misalkan, jika 𝑦 ′ = sin 2𝑥,
Maka
𝑦=𝜙 𝑥 =
sin 2𝑥𝑑𝑥
1
𝑦 = − cos 2𝑥 + 𝑐
2
Secara umum, persamaan differensial linier orde 1 mempunyai bentuk umum :
𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g 𝑥
…………………………………………………………………………………………………………………………….…… (2.1)
dengan 𝑝 dan g adalah fungsi kontinu pada interval 𝛼 < 𝑥 < 𝛽. Pada bagian ini, kita akan
memfokuskan pada metoda penyelesaian persamaan (2.1).
Perhatikan persamaan berikut :
𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 0
dengan 𝑎 adalah konstanta riil. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metoda inspeksi.
Kita perlu suatu fungsi dengan turunannya yaitu 𝑦′ sama dengan (−𝑎) kali 𝑦. Salah satu
persamaan yang mempunyai sifat seperti itu adalah :
Pendahuluan Persamaan Differensial
13
𝑦 = 𝑐𝑒 −𝑎𝑥
………………………………………………………………………………………………………………………………….. (2.2)
dengan 𝑐 adalah konstanta.
Bukti :
𝑦 = 𝑐𝑒 −𝑎𝑥
𝑦′ =
𝑑𝑦
= −𝑎𝑐𝑒 −𝑎𝑥 = −𝑎𝑦
𝑑𝑥
Substitusikan pada persamaan : 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 0, diperoleh :
−𝑎𝑦 + 𝑎𝑦 = 0 → 0 = 0
Karena 𝑐 suatu konstanta, persamaan (2.2) memberikan tak hingga banyaknya solusi.
Pertanyaan yang mungkin muncul, apakah ada bentuk solusi lain selain solusi pada
persamaan (2.2) di atas ? Pada bagian lain akan dibuktikan bahwa tidak ada bentuk solusi
lain selain persamaan (2.2).
Secara geometri, persamaan (2.2) menyatakan suatu keluarga kurva. Untuk 𝑎 = 1,
beberapa anggota keluarga kurva digambarkan pada gambar 2.1.
Gambar 2.1
Keluarga kurva persamaan
14
Pendahuluan Persamaan Differensial
Akan lebih baik, jika kita menentukan suatu kurva yang melalui titik (𝑥0 , 𝑦0 ). Dalam hal
ini, kita menentukan 𝑦 = 𝜙(𝑥) sedemikian sehingga 𝜙 𝑥0 = 𝑦0 , atau 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 .
Keadaan ini dinamakan syarat awal. Persamaan differensial orde 1 dengan syarat awal
dinamakan Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem).
Sebagai contoh, perhatikan persamaan differensial berikut : 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 0, dengan syarat
awal 𝑦 0 = 2, yang mempunyai solusi seperti persamaan (2.2).
Solusi yang sesuai dengan syarat awal di atas ditentukan dengan mensubstitusikan 𝑥 = 0
dan 𝑦 = 2 pada persamaan (2.2), diperoleh 𝑐 = 2, sehingga solusi yang diinginkan adalah:
𝑦 = 𝜙 𝑥 = 2𝑒 −𝑎𝑥
Ini merupakan solusi khusus dari masalah nilai awal di atas. Sedangkan persamaan (2.2)
merupakan solusi umum dari persamaan 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 0.
Sekarang perhatikan persamaan differensial berikut :
𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = g(𝑥)
……………………………………………………………….…………….………………………………………………….. (2.3)
Jika 𝑎 = 0, ruas kiri persamaan hanya mengandung turunan 𝑦. Persamaan (2.3) tersebut
menjadi 𝑦 ′ = g(𝑥), yang dimiliki solusi 𝑦 = 𝜙 𝑥 =
g 𝑥 𝑑𝑥.
Jika 𝑎 ≠ 0, ruas kiri persamaan mengandung turunan 𝑦 dan 𝑦′.
Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk :
𝑦′ + 𝑎𝑦 =
𝑑
𝑑
(? ), dimana
(? ) = g(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Selanjutnya kedua sisi kita integralkan. Salah satu cara bagaimana menentukan solusinya,
perhatikan kembali persamaan differensial 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 0, yang mempunyai solusi
𝑦 = 𝑐. 𝑒 −𝑎𝑥 atau dalam bentuk lain 𝑐 = 𝑦𝑒 𝑎𝑥
Differensialkan, diperoleh :
𝑑
𝑑𝑥
𝑦𝑒 𝑎𝑥 = 0,
ingat bahwa 𝑐 = 𝑦𝑒 𝑎𝑥 dengan 𝑐 adalah konstanta dan turunan konstanta sama dengan
nol, atau
𝑑𝑦 𝑎𝑥
𝑑𝑦
𝑒 + 𝑎𝑒 𝑎𝑥 . 𝑦 = 𝑒 𝑎𝑥
+ 𝑎𝑦 = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Pendahuluan Persamaan Differensial
15
Jadi,
𝑑
𝑑𝑦
𝑦𝑒 𝑎𝑥 = 𝑒 𝑎𝑥
+ 𝑎𝑦 = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Jika persamaan (2.3) dikalikan dengan 𝑒 𝑎𝑥 , diperoleh :
𝑒 𝑎𝑥 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 𝑒 𝑎𝑥 . g(𝑥)
𝑑
𝑦𝑒 𝑎𝑥 = 𝑒 𝑎𝑥 . g(𝑥)
𝑑𝑥
Integralkan, diperoleh :
𝑥
𝑦𝑒
𝑎𝑥
=
𝑒 𝑎𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡
Jadi solusi persamaan (2.3) adalah :
𝑥
𝑦 = 𝑒 −𝑎𝑥
𝑒 𝑎𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡
Contoh 2.1
Tentukan solusi umum persamaan differensial 𝑦 ′ − 𝑦 = 2𝑒 𝑥
Jawab :
Bandingkan persamaan differensial di atas dengan bentuk umum persamaan differensial
[persamaan (2.3)], diperoleh 𝑎 = −1.
Kalikan persamaan differensial dengan 𝑒 −𝑥
𝑒 −𝑥 𝑦 ′ − 𝑦 = 2𝑒 𝑥 . 𝑒 𝑥
𝑑 −𝑥
𝑒 𝑦 =2
𝑑𝑥
Integralkan, diperoleh :
𝑒 −𝑥 𝑦 = 2𝑥 + 𝑐
𝑦 = 2𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐𝑒 𝑥
Jadi solusi umum persamaan differensial tersebut adalah 𝑦 = 2𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐𝑒 𝑥
16
Pendahuluan Persamaan Differensial
Contoh 2.2
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut :
𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 −𝑥
𝑦 𝑦𝑦 0 = 3
Jawab :
Bandingkan persamaan tersebut dengan persamaan (2.3), diperoleh 𝑎 = 2, kemudian
kalikan persamaan dengan 𝑒 2𝑥 , diperoleh :
𝑒 2𝑥 𝑦 ′ + 2𝑒 2𝑥 𝑦 = 𝑒 2𝑥 𝑒 −𝑥
𝑑 2𝑥
𝑒 𝑦 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥
Integralkan, diperoleh :
𝑒 2𝑥 𝑦 =
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 2𝑥 𝑦 = 𝑒 𝑥 + 𝑐
Solusinya :
Solusinya :
𝑦 = 𝑒 −2𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐𝑒 −2𝑥
𝑦 = 𝑒 −𝑥 + 𝑐𝑒 −2𝑥
Substitusikan 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 3, diperoleh 𝑐 = 2
Jadi solusi masalah nilai awal diatas adalah : 𝑦 = 𝑒 −𝑥 + 2𝑒 −2𝑥
Contoh 2.3
Tentukan solusi umum persamaan differensial 𝑦 ′ + 3𝑦 = 𝑥 + 𝑒 −2𝑥
Jawab :
Dari persamaan diperoleh 𝑎 = 3. Solusi umum persamaan differensial diatas adalah :
𝑥
𝑦=𝑒
−𝑎𝑥
𝑒 𝑎𝑡 g 𝑡 𝑑𝑡
Pendahuluan Persamaan Differensial
17
𝑥
𝑦=𝑒
−3𝑥
𝑒 3𝑡 g 𝑡 + 𝑒 −2𝑡 𝑑𝑡
𝑥
𝑦 = 𝑒 −3𝑥
𝑥
𝑡𝑒 3𝑡 𝑑𝑡 +
𝑒 𝑡 𝑑𝑡
1 3𝑥 1 3𝑥
𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝑐1 + 𝑒 𝑥 + 𝑐2
3
9
1
1
𝑦 = 𝑒 −3𝑥 𝑥𝑒 3𝑥 − 𝑒 3𝑥 + 𝑒 𝑥 + (𝑐1 + 𝑐2 )
3
9
1
1
𝑦 = 𝑒 −3𝑥 𝑥𝑒 3𝑥 − 𝑒 3𝑥 + 𝑒 𝑥 + 𝑐
3
9
1
1
𝑦 = 𝑥+ 𝑒 −2𝑥 − + 𝑐𝑒 −3𝑥
3
9
𝑦 = 𝑒 −3𝑥
□
Faktor Integrasi
Kita perhatikan kembali persamaan differensial orde 1 berikut [persamaan(2.1)] :
𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g(𝑥)
Analogi dengan cara di atas, kita akan memilih fungsi 𝜇 𝑥 sehingga jika persamaan (2.1)
dikalikan dengan 𝜇 𝑥 , ruas kiri persamaan dapat ditulis dalam bentuk turunan fungsi
𝜇 𝑥 . 𝑦.
𝜇 𝑥 . 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 =
𝑑
𝜇 𝑥 𝑦
𝑑𝑥
𝜇 𝑥 . 𝑦′ + 𝜇 𝑥 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝜇 𝑥 . 𝑦′ + 𝜇 ′
𝑥
.𝑦
Jadi 𝜇 𝑥 yang sesuai harus memenuhi 𝜇 𝑥 . 𝑝 𝑥 = 𝜇′ 𝑥
Anggap 𝜇 𝑥 > 0, diperoleh : 𝑝 𝑥 =
Karena
𝜇′ 𝑥
𝜇 𝑥
𝜇′ 𝑥
𝜇 𝑥
adalah turunan dari ln 𝜇 𝑥 ,
maka,
𝑥
ln 𝜇 𝑥 =
𝜇′ 𝑡
=
𝜇 𝑡
1
𝑦=
𝜇(𝑥)
𝑥
𝜇 𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐
𝑥
𝜇 𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡 +
𝑐
𝜇(𝑥)
……………………………………………………………………………………………………………………………….…. (2.4)
18
Pendahuluan Persamaan Differensial
Persamaan (2.4) adalah Solusi Eksplisit dari bentuk umum persamaan differensial linier
orde 1 [persamaan(2.1)] dengan 𝑝 dan g adalah fungsi kontinu. Dua integrasi diperlukan,
pertama, pada saat menentukan 𝜇(𝑥), dan kedua, pada saat menentukan 𝑦.
Dua hal penting yang harus diperhatikan dalam menentukan solusi persamaan (2.3).
1.
sebelum menentukan faktor integrasi 𝜇(𝑥), kita perhatikan dahulu apakah
persamaan betul-betul mempunyai bentuk seperti persamaan (2.3), dengan kata
lain koefisien (𝑦 ′ ) nya satu.
2.
setelah memperoleh 𝜇(𝑥) dan mengalikannya dengan persamaan differensial
terkait, apakah turunan 𝜇 𝑥 . 𝑦 ada atau tidak. Selanjutnya setelah solusi
ditemukan, uji ulang dengan mensubstitusikannya pada persamaan differensial
tersebut. Cara seperti diatas dinamakan Metode Integrasi.
Contoh 2.4
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut ;
𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 = 𝑥, 𝑦 0 = 1
Jawab :
Untuk persamaan terebut, faktor integrasinya, 𝜇 𝑥 , diperoleh :
𝑒 −𝑥² 𝑦 ′ − 2𝑥𝑒 −𝑥² 𝑦 = 𝑥𝑒 −𝑥² atau
𝑑
𝑑𝑥
2
𝑒 −𝑥 𝑦 = 𝑥𝑒 −𝑥²
Integralkan, diperoleh :
𝑥
𝑒 −𝑥² 𝑦 =
2
𝑡𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐
1
2
𝑒 −𝑥²𝑦 = − 𝑒 −𝑥 + 𝑐
2
1
2
𝑦 = − +𝑐𝑒 𝑥
2
2
Substitusikan 𝑦 0 = 1, diperoleh 𝑐 = 3
1
3
2
2
Jadi solusi masalah nilai awal di atas adalah 𝑦 = − + 𝑒 𝑥
Pendahuluan Persamaan Differensial
2
19
Contoh 2.5
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut :
𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 = 1, 𝑦 0 = 1
Jawab :
Untuk persamaan tersebut, faktor integrasinya, 𝜇(𝑥) adalah :
𝜇 𝑥 =𝑒
−2𝑥𝑑𝑥
2
= 𝑒 −𝑥
2
2
𝑒 −𝑥 𝑦 ′ −2𝑥𝑒 −𝑥 𝑦 = 1. 𝑒 −𝑥
𝑑
2
𝑒 −𝑥 𝑦 = 𝑒 −𝑥
𝑑𝑥
2
2
Integralkan, diperoleh :
𝑥
𝑦 = 𝑒𝑥
2
2
𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐. 𝑒 𝑥
2
Substitusikan 𝑦 0 = 1, diperoleh 𝑐 = 1, sehingga solusi masalah nilai awal diatas adalah:
𝑥
𝑦=𝑒
𝑥2
2
𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 + 𝑒 𝑥
2
Contoh 2.6
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut : 𝑦 ′ − 𝑦 = 2𝑥𝑒 2𝑥 , 𝑦 0 = 1
Jawab :
𝜇 𝑥 =𝑒
−𝑑𝑥
= 𝑒 −𝑥
𝑒 −𝑥 𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑒 −𝑥 (2𝑥. 𝑒 2𝑥 )
𝑒 −𝑥
𝑑
𝑑𝑥
20
= 2𝑥𝑒 𝑥
𝑒 −𝑥 𝑦 = 2𝑥𝑒 𝑥
Pendahuluan Persamaan Differensial
𝑒 −𝑥 𝑦 =
2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 −𝑥 𝑦 = 2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 𝑐
𝑒 −𝑥 𝑦 = 2𝑥 − 2 𝑒 𝑥 + 𝑐
𝑦 = 2𝑥 − 2 𝑒 2𝑥 + 𝑐. 𝑒 𝑥
Substitusikan 𝑦 0 = 1, diperoleh 𝑐 = 3, sehingga solusi masalah nilai awal diatas adalah:
𝑦 = 2𝑥 − 2 𝑒 2𝑥 + 3𝑒 𝑥
LATIHAN 2.1
1.
Untuk setiap persamaan differensial berikut, tentukanlah solusinya !
a.
𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑥 2 𝑒 2𝑥
b.
𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥𝑒 −𝑥 + 1
c.
𝑦 ′ + 𝑥 𝑦 = 3 cos 2𝑥, 𝑥 > 0
d.
𝑦 ′ − 4𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 2
e.
𝑥𝑦 ′ + 2𝑦 = sin 𝑥, 𝑥 > 0
1
(Petunjuk : bagi persamaan dengan 𝑥 untuk mendapatkan koefisien 𝑦′ sama dengan 1).
2.
3.
Untuk setiap masalah nilai awal berikut, tentukan solusinya !
a.
𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥𝑒 −2𝑥 , 𝑦 1 = 0
b.
𝑦 ′ + 𝑦 = 1+𝑥 2 , 𝑦 1 = 0
c.
𝑦′ + 𝑥 𝑦 =
d.
𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑒 2𝑥 , 𝑦 0 = 2
e.
𝑥𝑦 ′ + 2𝑦 = sin 𝑥, 𝑥 > 0, 𝑦
1
2
cos 𝑥
𝑥2
, 𝑥 > 0, 𝑦 𝜋 = 0
𝜋
2
=1
Tentukan solusi persamaan differensial berikut :
𝑑𝑦
1
= 𝑦
𝑑𝑥 𝑒 − 𝑥
(petunjuk : Gunakan 𝑦 sebagai variabel bebas)
4.
Buktikan masalah berikut ini :
a.
Buktikan 𝜙 𝑥 = 𝑒 2𝑥 merupakan solusi persamaan differensial 𝑦 − 2𝑦 = 0.
Buktikan juga bahwa 𝑦 = 𝑐. 𝜙(𝑥) juga merupakan solusi persamaan
differensial diatas, dimana 𝑐 adalah konstanta sembarang.
Pendahuluan Persamaan Differensial
21
b.
1
Buktikan bahwa 𝑓 𝑥 = 𝑥 adalah solusi persamaan differensial 𝑦 ′ + 𝑦 2 =
0, 𝑥 > 0. Tetapi buktikan bahwa 𝑦 = 𝑐. 𝜙(𝑥) bukan merupakan solusi
persamaan differensial diatas, dimana 𝑐 adalah konstanta sembarang.
(Catatan : persamaan 4.b. tidak linier, sedangkan persamaan 4.a. linier).
5.
Jika 𝑦 = 𝜙1 (𝑥) adalah solusi persamaan differensial 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 dan 𝑦 = 𝜙2 (𝑥)
adalah solusi persamaan differensial 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g(𝑥), Buktikan bahwa :
𝑦 = 𝜙1 𝑥 + 𝑦 = 𝜙2 (𝑥) adalah solusi persamaan 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g(𝑥)
2.2
Masalah Nilai Awal
Pada bagian 2.1, telah dibahas bagaimana menentukan solusi persamaan differensial
linier orde 1. Pada bagian ini, diberikan teorama penting masalah nilai awal persamaan
differensial linier orde 1, yang selalu mempunyai satu buah solusi.
Teorema 2.1.
Jika fungsi 𝑝 dan g kontinu pada interval 𝛼 < 𝑥 < 𝛽 yang mengandung 𝑥 = 𝑥0 ,
maka ada fungsi tunggal 𝑦 = 𝜙(𝑥) yang memenuhi persamaan differensial pada
interval tersebut, dan juga memenuhi syarat awal 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 dengan 𝑦0 adalah
suatu nilai awal yang telah ditentukan.
Untuk membuktikan teorema di atas, telah dibahas pada bagian sebelumnya bahwa :
𝑥
1
𝑦=
𝜇(𝑥)
𝜇 𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐
……….……………………………………………………………………………………………………………………….. (2.4)
dengan
𝜇 𝑥 =𝑒
𝑥
𝑝 𝑡 𝑑𝑡
Anggap bahwa persamaan (2.1) mempunyai solusi. Karena 𝑝 kontinu pada interval
𝛼 < 𝑥 < 𝛽, maka 𝜇(𝑥) terdefinisi pada interval tersebut. Kalikan persamaan tersebut
dengan 𝜇(𝑥), lalu differensialkan, diperoleh :
22
𝑑
𝑑𝑥
𝜇 𝑥 𝑦 = 𝜇 𝑥 . g(𝑥)
Pendahuluan Persamaan Differensial
Fungsi 𝜇(𝑥). g(𝑥) mempunyai anti turunan, karena μ dan g kontinu. Anggapan awal
bahwa ada sekurang-kurangnya satu solusi untuk persamaan (2.1), dapat dibuktikan
dengan mensubstitusikan y pada persamaan (2.4) kedalam persamaan (2.1). akhirnya
syarat awal yang diberikan dapat menentukan nilai tunggal konstanta 𝑐. karena
persamaan (2.4) mengandung semua solusi persamaan (2.1), persamaan (2.4) dinamakan
solusi umum untuk persamaan (2.1) tersebut.
Beberapa hal penting dari teorema 2.1 di atas menyatakan bahwa masalah nilai awal
mempunyai solusi dan hanya mempunyai satu buah solusi. Dengan kata lain, teorema
tersebut menegaskan keujudan (eksistensi) dan ketunggalan solusi dari masalah nilai awal
persamaan (2.1) dan syarat awal yang diberikan.
Contoh 2.7
Perhatikan masalah nilai awal berikut :
𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 4𝑥 2 , 𝑦 1 = 2
Tentukan solusi persamaan differensial tersebut dan memenuhi syarat awal yang
diberikan.
Jawab :
2
Dengan membagi persamaan dengan 𝑥, diperoleh : 𝑦′ + 𝑥 𝑦 = 4𝑥
Kemudian kita mencari solusi dalam interval yang mengandung 𝑥 = 1.
Karena koefisien pada persamaan tersebut ( yaitu :
2
𝑥
) kontinu, kecuali pada 𝑥 = 0,
berdasarkan teorema 2.1, solusi dari masalah nilai awal diatas, sesuai pada interval
0 < 𝑥 < ∞. Untuk mendapatkan solusinya, kita tentukan :
𝜇 𝑥 =𝑒
𝑥2
1𝑑𝑡
= 𝑒 2𝐼𝑛 𝑥 = 𝑥 2
Kalikan persamaan dengan 𝜇(𝑥) = 𝑥², diperoleh :
𝑒 2 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 4𝑥 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 2 𝑦 = 4𝑥 3
Pendahuluan Persamaan Differensial
23
Integralkan, diperoleh :
𝑥2 𝑦 =
4𝑥 3 𝑑𝑥 + 𝑐 = 𝑥 4 + 𝑐
𝑐
𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 4
Yang merupakan solusi umum masalah nilai awal tersebut.
Dengan mensubstitusikan syarat awal 𝑦(1) = 2, akan diperoleh 𝑐 = 1, jadi solusi
masalah nilai awal tersebut adalah :
𝑦 = 𝑥2 +
1
𝑥4
Pada beberapa masalah, memberikan persamaan diferensial tak linier. Persamaan
differensial tak linier ini dapat dipecahkan dengan cara substitusi, sehingga persamaan
tersebut menjadi persamaan differensial linier. Salah satu jenis persamaan differensial
seperti ini adalah persamaan Bernoulli.
Contoh 2.8
Perhatikan persamaan Bernoulli berikut : 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g(𝑥)𝑦 𝑛 . Tentukan solusi umum
persamaan Bernoulli tersebut, jika 𝑛 = 0 dan 𝑛 = 1.
Jawab :
(i)
Jika 𝑛 = 0, persamaan menjadi 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g(𝑥)𝑦
Faktor integrasinya adalah : 𝜇 𝑥 = 𝑒
𝑝 𝑥 𝑑𝑥
Kalikan persamaan dengan 𝜇(𝑥), diperoleh :
𝜇 𝑥 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝜇 𝑥 . g(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
𝜇 𝑥 . 𝑦 = 𝜇 𝑥 . g(𝑥)
𝑥
𝜇 𝑥 .𝑦 =
𝜇 𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐
1
𝑦=
𝜇(𝑥)
(ii)
𝑥
𝜇 𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡 +
𝑐
𝜇(𝑥)
Jika 𝑛 = 1, persamaan menjadi :
𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g 𝑥 𝑦, atau 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 − g 𝑥 𝑦 = 0
24
Pendahuluan Persamaan Differensial
Faktor integrasinya adalah : 𝜇 𝑥 = 𝑒
𝑝 𝑥 −𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐
Sehingga : 𝑦 = 𝜇 (𝑥)
Jika 𝑛 ≠ 0 dan 𝑛 ≠ 1, persamaan Benoulli dapat dipecahkan dengan cara reduksi orde,
yaitu mensubstitusikan 𝑣 = 𝑦 1−𝑛 pada persamaan, sehingga menjadi persamaan
differensial linier. Metode seperti ini, ditemukan oleh Leibniz pada tahun 1969.
Contoh 2.9
Tentukan solusi persamaan differensial berikut : 𝑥 2 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 − 𝑦 3 = 0
Jawab :
Bagi persamaan differensial dengan 𝑥², diperoleh :
2
𝑦3
𝑥
𝑥2
𝑦′ + 𝑦 −
2
1
𝑥
𝑥2
= 0 atau 𝑦 ′ + 𝑦 =
𝑦3
Bandingkan persamaan dengan bentuk umum persamaan Bernoulli, diperoleh :
2
1
𝑝 𝑥 = 𝑥 , g 𝑥 = 𝑥 2 dan 𝑛 = 3
Oleh karena itu, substitusikan : 𝑣 = 𝑦 1−𝑛 = 𝑦 −2
Differensialkan, diperoleh : 𝑣 ′ = −2𝑦 −3 . 𝑦′
Kalikan persamaan differensial dengan (1 − 𝑛)𝑦 −𝑛 dalam hal ini kalikan dengan −2𝑦 −3
diperoleh :
2
1
−2𝑦 −3 𝑦 ′ + 𝑦 = −2𝑦 −3 2 𝑦 3
𝑥
𝑥
4
2
−2𝑦 −3 𝑦 ′ − 𝑦 −2 = − 2
𝑦
𝑥
4
2
Substitusikan : 𝑣 = 𝑦 −2 dan 𝑣 ′ = −2𝑦 −3 . 𝑦′ , diperoleh : 𝑣 ′ − 𝑥 𝑣 = − 𝑥 2
Sekarang, persamaannya merupakan persamaan differensial linier.
Faktor integrasinya :
𝜇 𝑥 =𝑒
−−4
𝑑𝑥
𝑥
𝜇 𝑥 = 𝑒 −4 𝑙𝑛 𝑥
𝜇 𝑥 = 𝑥 −4
Pendahuluan Persamaan Differensial
25
4
2
Kalikan persamaan differensial 𝑣 ′ − 𝑥 𝑣 = − 𝑥 2 dengan 𝜇 𝑥 = 𝑥 −4
4
2
𝑥 −4 𝑣 ′ − 𝑣 = − 2 ∙ 𝑥 −4
𝑥
𝑥
𝑑 −4
𝑥 𝑣 = −2𝑥 −6
𝑑𝑥
𝑥 −4 𝑣 =
𝑥 −4 𝑣 =
−2𝑥 −6 𝑑𝑥 + 𝑐
2 −5
𝑥 +𝑐
5
Subtitusikan kembali 𝑣 = 𝑦 −2 , diperoleh :
2 −1
𝑥 + 𝑐𝑥 4
5
1
2 −1
=
𝑥 + 𝑐𝑥 4
2
𝑦
5
𝑦 −2 =
2
𝑦 = 𝑥 −1 + 𝑐𝑥 4
5
−
1
2
LATIHAN 2.2
1.
2.
Untuk setiap persamaan differensial berikut, tentukanlah solusi umumnya !
1
a.
𝑦 ′ + 𝑥 𝑦 = sin 𝑥, 𝑥 > 0
b.
𝑥 2 𝑦 ′ + 3𝑥𝑦 = 𝑥 sin 𝑥, 𝑥 < 0
c.
𝑦 ′ + (tan 𝑥)𝑦 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 , − 2 < 𝑥 <
d.
𝑥𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑥 > 0
1
𝜋
𝜋
2
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut. Tentukan integralnya, sehingga solusi
tersebut tepat/benar.
3.
𝜋
a.
𝑥𝑦 ′ + 2𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦
b.
𝑦 ′ + (cot 𝑥)𝑦 = 2 csc 𝑥 , 𝑦
2
=
1
𝜋
𝜋
2
=1
Dengan menggunakan metode reduksi orde, tentukan solusi persamaan
differensial:
𝑦 ′ = 𝜀. 𝑦 − 𝜎. 𝑦 2 ; 𝜀 > 0, 𝜎 > 0
26
Pendahuluan Persamaan Differensial
2.3
Persamaan Differensial Peubah Terpisah
Beberapa persamaan differensial orde 1 dapat diubah kedalam bentuk : g 𝑦 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥)
karena 𝑦 ′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, persamaan diatas dapat ditulis : g 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 .
Persamaan demikian dinamakan persamaan dengan peubah terpisah, atau persamaan
yang dapat dipisahkan, karena pada persamaan, peubah 𝑥 dan 𝑦 terpisah sehingga
𝑥 hanya muncul diruas kanan dan 𝑦 hanya muncul diruas kiri. Dengan mengintegrasikan
kedua ruas, diperoleh : g 𝑦 𝑑𝑦 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
Cara seperti ini dimana persamaan differensial diubah menjadi persamaan dengan
peubah terpisah dinamakan metode pemisahan variabel.
Secara umum, jika suatu persamaan differensial berbentuk :
𝑑𝑦
= 0
𝑑𝑥
𝑀 𝑥 +𝑁 𝑦
………………………………………………………………………..…………………………………………………………(2.5)
Dengan 𝑀(𝑥) adalah fungsi 𝑥 dan 𝑁(𝑦) adalah fungsi 𝑦, dinamakan persamaan terpisah
dimana solusinya dapat ditentukan dengan metode pemisahan variabel.
Persamaan (2.5) dapat ditulis dalam bentuk : 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑁 𝑦 𝑑𝑦
Misalkan 𝐻1 dan 𝐻2 adalah suatu fungsi sehingga :
𝐻1′ 𝑥 = 𝑀(𝑥) dan 𝐻2′ 𝑦 = 𝑁(𝑦)
Substitusikan pada persamaan (2.5), diperoleh :
𝐻1′ 𝑥 + 𝐻2′ 𝑦
𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥
……………………………………………………………………………………………………………………………………(2.6)
Jika 𝑦 = 𝜙(𝑥) merupakan solusi persamaan differensial (2.5).
Maka menurut aturan rantai
𝐻2′ 𝑦
𝑑𝑦
𝑑
=
𝐻 𝜙(𝑥)
𝑑𝑥 𝑑𝑥 2
Persamaan (2.6) menjadi :
𝐻1′ 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
𝐻2 𝜙(𝑥) = 0 , atau
Pendahuluan Persamaan Differensial
𝑑
𝑑𝑥
𝐻1 𝑥 + 𝐻2 𝜙 𝑥
=0
27
Integralkan, diperoleh :
𝐻1 𝑥 + 𝐻2 𝜙(𝑥) = 𝑐 atau 𝐻1 𝑥 + 𝐻2 𝑦 = 𝑐
………………………………………………………………………………………………………………………………… (2.7)
Dimana 𝑐 adalah konstanta. Jadi 𝑦 = 𝜙(𝑥) merupakan solusi persamaan differensial
(2.5), yang dapat ditentukan dalam bentuk implisit [persamaan (2.7)], dengan 𝐻1 dan 𝐻2
adalah fungsi yang memenuhi persamaan 𝐻1′ 𝑥 = 𝑀(𝑥) dan 𝐻2′ 𝑦 = 𝑁(𝑦), dan
merupakan anti turunan 𝑀 dan 𝑁.
Cara yang lebih sederhana, dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan
𝑀 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑁 𝑦 𝑑𝑦 pada masing-masing ruas persamaan. Ruas kiri diintegralkan
terhadap 𝑥, sedangakan ruas kanan diintegralkan terhadap 𝑦.
Jika persamaan (2.5) ditambahkan syarat awal 𝑥 = 𝑥0 dan 𝑦 = 𝑦0 , maka persamaan (2.7)
menjadi 𝑐 = 𝐻1 𝑥0 + 𝐻2 (𝑦0 ).
Kemudian substitusikan nilai ini pada persamaan (2.7), diperoleh :
𝑥
𝐻1 𝑥 − 𝐻1 𝑥0 =
𝑀 𝑡 𝑑𝑡 ,
𝑥0
𝑦
𝐻2 𝑦 − 𝐻2 𝑦0 =
𝑁 𝑡 𝑑𝑡 ,
𝑦0
Solusi persamaan (2.5) menjadi :
y
x
M t dt+
x0
N t dt=0 , yang merupakan solusi implisit.
y0
Contoh 2.10
Tentukan solusi umum persamaan differensial berikut :
9𝑦𝑦 ′ + 4𝑥 = 0
28
Pendahuluan Persamaan Differensial
Jawab :
Dengan pemisahan variabel, persamaan differensial tersebut dapat ditulis :
9𝑦𝑑𝑦 = −4𝑥𝑑𝑥
Untuk mendapatkan solusinya, integralkan kedua ruas, diperoleh :
9
𝑦 2 = −2𝑥 2 + 𝑐 atau
2
𝑥2
9
+
𝑦2
4
=𝑐
Solusi diatas menggambarkan suatu keluarga ellips.
Contoh 2.11
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut!
𝑑𝑦 3𝑥 2 + 4𝑥 + 2
=
,
𝑑𝑥
2(𝑦 − 1)
𝑦 0 = −1
Jawab :
Persamaan differensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk :
2 𝑦 − 1 𝑑𝑦 = 3𝑥 2 + 4𝑥 + 2 𝑑𝑥
Integralkan ruas kiri persamaan terhadap 𝑦 dan ruas kanan terhadap 𝑥, diperoleh :
𝑦 2 − 2𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 3
Substitusikan 𝑥 = 0 dan 𝑦 = −1, untuk memperoleh solusi yang sesuai dengan syarat
awal yang diberikan, diperoleh 𝑐 = 3. Jadi, solusi implisit dari masalah nilai awal di atas
adalah :
𝑦 2 − 2𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 3
Untuk mendapatkan solusi eksplisitnya, kita tentukan 𝑦 dalam 𝑥.
𝑦−1
2
= 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4
𝑦 = 1 ± 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 4
Persamaan di atas memberikan 2 buah solusi, tetapi hanya satu solusi yang sesuai dengan
syarat awal. Jadi solusi yang tepat adalah :
𝑦 = 1 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 4
Pendahuluan Persamaan Differensial
29
Contoh 2.12
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut!
𝑑𝑦
𝑦 cos 𝑥
=
,
𝑑𝑥 1 + 2𝑦 2
𝑦 0 =1
Jawab :
Persamaan differensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk :
1 + 2𝑦 2
𝑑𝑦 = cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑦
Integralkan, diperoleh : ln 𝑦 + 𝑦 2 = sin 𝑥 + 𝑐
Substitusikan 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 1, diperoleh 𝑐 = 1. Jadi, solusi dari masalah nilai awal
diatas adalah : ln 𝑦 + 𝑦 2 = sin 𝑥 + 1
LATIHAN 2.3
1.
Tentukan solusi umum (yaitu, suatu penyelesaian yang mengandung konstanta)
untuk setiap persamaan differensial berikut, dengan pemisahan variabel. Kemudian
tentukan suatu solusi khususnya dengan syarat batas yang diberikan !
a.
𝑥𝑦 ′ = 𝑦 ; 𝑦 = 3 pada 𝑥 = 2
b.
𝑥 1 − 𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑦 1 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 ; 𝑦 = 2 pada 𝑥 = 2
c.
𝑦 ′ sin 𝑥 = 𝑦 ln 𝑦 ; 𝑦 = 𝑒 pada 𝑥 =
d.
3
1 − 𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 ; 𝑦 = 0 pada 𝑥 = 5
𝑥𝑦 ′ − 𝑥𝑦 = 𝑦 ; 𝑦 = 1 pada 𝑥 = 1
f.
𝑦′ =
g.
𝑦𝑑𝑦 + 𝑥𝑦 2 − 8𝑥 𝑑𝑥 = 0 ; 𝑦 = 3 pada 𝑥 = 1
h.
𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 2 = 0 ; 𝑦 = 1 pada x=2
j.
1
𝜋
e.
i.
30
1
2𝑥𝑦 2 +𝑥
𝑥 2 𝑦−𝑦
; 𝑦 = 0 pada 𝑥 = 2
1 + 𝑦 𝑦 ′ = 𝑦 ; 𝑦 = 1 pada 𝑥 = 1
𝑦 ′ − 𝑥𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 1 pada 𝑥 = 0
Pendahuluan Persamaan Differensial
2.
Untuk setiap persamaan berikut, tentukan solusi eksplisit masalah nilai awal, dan
tentukan interval agar persamaannya terdefinisi !
a.
sin 2𝑥 𝑑𝑥 + cos 3𝑦 𝑑𝑦 = 0 ; 𝑦
b.
𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦𝑒 −𝑥 𝑑𝑦 = 0 ; 𝑦 0 = 1
c.
d.
e.
𝑑𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝜋
2
=
𝜋
3
=𝑟 ; 𝑟 0 =2
2𝑥
= 𝑦+𝑥 2 𝑦 ; 𝑦 0 = −2
2𝑥
= 1+2𝑦 ; 𝑦 2 = 0
1
3.
Selesaikan persamaan : 𝑦 2 1 − 𝑥 2 2 𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝑥 𝑑𝑥 Pada interval −1 < 𝑥 < 1
4.
Selesaikan persamaan : 𝑑𝑥 =
5.
Selesaikan persamaan : 𝑑𝑥 =
6.
Buktikan bahwa :
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦−4𝑥
𝑥−𝑦
𝑎𝑥 +𝑏
𝑐𝑥 +𝑑
𝑎𝑦 +𝑏
𝑐𝑦 +𝑑
dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝑑 konstanta.
Dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 konstanta.
bukan merupakan persamaan variabel terpisah, tetapi
𝑦
jika variabel 𝑦 diganti dengan 𝑣 dimana 𝑣 = 𝑥 , maka persamaan merupakan
variabel terpisah. Tentukan solusinya !
2.4
Reduksi Menjadi Bentuk Persamaan Terpisah
Persamaan differensial orde 1 tertentu, yang bukan persamaan terpisah, dapat diubah
menjadi persamaan terpisah dengan suatu pengubahan variabel yang sederhana. Hal ini
terjadi pada persamaan berikut :
a.
Bentuk 𝒚’ = 𝒇
𝒚
𝒙
𝑦
Dengan 𝑓 adalah suatu fungsi dari 𝑥 yang diberikan. Bentuk persaman ini mengaharuskan
𝑦
suatu substitusi : 𝑣 = 𝑥 , atau 𝑦 = 𝑣𝑥
Integralkan, diperoleh : 𝑦 ′ = 𝑣 + 𝑣′𝑥
Dengan substitusi persamaan ke dalam persamaan semula, diperoleh :
𝑣 ′ 𝑥 + 𝑣 = 𝑓(𝑣)
Pendahuluan Persamaan Differensial
31
Sekarang persamaannya merupakan persamaan terpisah, yang solusinya dapat
ditentukan dengan metode pemisahan variabel.
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑥 =𝑓 𝑣 −𝑣 ⇒
=
𝑑𝑥
𝑓 𝑣 −𝑣
𝑥
Integralkan, kemudian hasilnya substitusikan kembali 𝑣 =
𝑦
𝑥
Contoh 2.13
Tentukan solusi persamaan differensial berikut !
2𝑥𝑦𝑦 ′ − 𝑦 2 + 𝑥 2 = 0
Jawab :
Bagi terlebih dahulu persamaan dengan 𝑥², diperoleh :
2
𝑦 ′
𝑦
𝑦 −
𝑥
𝑥
2
+1=0
𝑦
Misalkan : 𝑣 = 𝑥 , maka : 𝑦 ′ = 𝑣 + 𝑣′𝑥
Substitusikan pada persamaan, diperoleh :
2𝑣 𝑣 + 𝑣 ′ 𝑥 − 𝑣 2 + 1 = 0
2𝑥𝑣𝑣 ′ + 𝑣 2 + 1 = 0
2𝑥𝑣
𝑑𝑣
= −(1 + 𝑣 2 )
𝑑𝑥
Dengan pemisahan variabel, diperoleh :
2𝑣
1+𝑣 2
1
𝑑𝑣 = − 𝑥 𝑑𝑥
Integralkan, diperoleh :
ln(1 + 𝑣 2 ) = − ln 𝑥 + c
= − ln 𝑥 + ln a
Pemakaian konstanta ln 𝑎, untuk penyederhanaan, sehingga menjadi :
1 + 𝑣 2 = 𝑐𝑥 −1
𝑦
Substitusikan kembali : 𝑣 = 𝑥 , diperoleh :
1+
𝑦
𝑥
2
= 𝑐𝑥 −1
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑐𝑥
32
Pendahuluan Persamaan Differensial
b.
Persamaan Homogen
Tinjau persamaan differensial berikut :
𝑑𝑦 𝑥 + 3𝑦
=
𝑑𝑥
2𝑥
…………………………………………………………………………..……………………………………………………. (2.8)
Persamaan tersebut diatas tidak dapat dipecahkan dengan pemisahan variabel. Dalam hal
ini, lakukan substitusi 𝑦 = 𝑣𝑥, dengan 𝑣 adalah fungsi 𝑥 .
Differensialkan 𝑦 = 𝑣𝑥 terhadap 𝑥 , diperoleh :
𝑑𝑦 𝑑𝑣
=
𝑥+𝑣
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑥 + 3𝑦 𝑥 + 3𝑣𝑥 1 + 3𝑣
=
=
2𝑥
2𝑥
2
Persamaan (2.8) menjadi :
𝑑𝑣
1 + 3𝑣
+𝑣 =
𝑑𝑥
2
𝑑𝑣 1 + 3𝑣
𝑥
=
−𝑣
𝑑𝑥
2
𝑑𝑣 1 + 𝑣
𝑥
=
𝑑𝑥
2
2
1
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
1+𝑣
𝑥
𝑥
Dengan pemisahan variabel, diperoleh :
2
𝑑𝑣 =
1+𝑣
1
𝑑𝑥
𝑥
2 ln 1 + 𝑣 = ln 𝑥 + 𝑐
1+𝑣
2
(𝑐 = ln 𝐴)
= 𝐴𝑥
Substitusikan kembali 𝑦 = 𝑣𝑥 :
𝑦 2
1+𝑥
𝑥+𝑦
= 𝐴𝑥
2
= 𝐴𝑥 3
Kesimpulan :
“kunci untuk memecahkan persamaan homogen adalah dengan mensubtitusi
𝑦 = 𝑣𝑥 , dengan 𝑣 adalah fungsi 𝑥. subtitusi ini akan mengubah persamaan
menjadi bentuk yang dapat dipecahkan dengan pemisahan variabel.”
Pendahuluan Persamaan Differensial
33
Persamaan (2.8) adalah persamaan homogen, karena pangkat 𝑥 dan 𝑦 yang terlibat dalam
masing-masing suku, berderajat sama.
c.
Persamaan Bernoulli
Perhatikan persamaan Bernoulli berikut :
𝑑𝑦
+ 𝑃𝑦 = 𝑄𝑦 𝑛
𝑑𝑥
Untuk menentukan solusi dari persamaan Bernoulli, perhatikan langkah-langkah berikut:
a.
Bagi kedua ruasnya dengan 𝑦 𝑛 , diperoleh 𝑦 −𝑛
b.
Misalkan 𝑧 = 𝑦 1−𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃𝑦1−𝑛 = 𝑄
𝑑𝑧
𝑑𝑦
= (1 − 𝑛)𝑦 −𝑛
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Kalikan persamaan (𝑎) dengan (1 − 𝑛), diperoleh :
1 − 𝑛 𝑦 −𝑛
𝑑𝑦
+ 1 − 𝑛 𝑃𝑦 1−𝑛 = 1 − 𝑛 𝑄
𝑑𝑥
Substitusikan dengan persamaan (𝑏), diperoleh :
𝑑𝑧
+ 𝑃1 𝑧 = 𝑄1
𝑑𝑥
Dengan 𝑃1 = 1 − 𝑛 𝑃 dan 𝑄1 = 1 − 𝑛 𝑄, yang merupakan fungsi 𝑥.
c.
Integrasikan persamaan baru tersebut, kemudian substitusikan kembali 𝑧 = 𝑦 1−𝑛
Contoh 2.14
Selesaikan persamaan differensial berikut !
𝑑𝑦 1
+ 𝑦 = 𝑥𝑦 2
𝑑𝑥 𝑥
Jawab :
Bagi terlebih dahulu persamaan dengan 𝑦², diperoleh :
𝑦 −2
𝑑𝑦 1 −2
+ 𝑦 =𝑥
𝑑𝑥 𝑥
Misalkan 𝑧 = 𝑦 1−𝑛 , dalam hal ini 𝑛 = 2 ⇒ 𝑧 = 𝑦 −1
34
Pendahuluan Persamaan Differensial
𝑑𝑧
𝑑𝑦
Differensialkan : 𝑑𝑥 = −𝑦 2 𝑑𝑥 , dan substitusikan ke persamaan yang telah dibagi dengan
𝑦², diperoleh :
𝑑𝑦 1 −1
𝑑𝑦 1 −1
+ 𝑦 = 𝑥 ⇒ −𝑦 2
− 𝑦 = −𝑥
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝑧 1
− 𝑧 = −𝑥
𝑑𝑥 𝑥
𝑦 −2
Selesaikan dengan faktor integrasi, diperoleh : 𝑧 = 𝑐𝑥 − 𝑥²
Substitusikan kembali 𝑧 = 𝑦 −1 :
𝑦 −1 = 𝑐𝑥 − 𝑥 2
𝑦 = 𝑐𝑥 − 𝑥 2
−1
LATIHAN 2.4
1.
Tentukan solusi persamaan differensial berikut!
a.
b.
c.
𝑑𝑦
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3
1−𝑥
𝑑𝑦
2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑦2
+ 2𝑦 = 𝑒 3𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
d.
𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑥 2
e.
𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 sin 3𝑥 + 4
f.
𝑥 cos 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− sin 𝑦 = 0
g.
𝑥 3 + 𝑥𝑦 2
h.
𝑥2 − 1
i.
j.
k.
l.
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑦 3
+ 2𝑥𝑦 = 𝑥
+ 𝑦 tanh 𝑥 = 2 sinh 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑥 𝑑𝑥 − 2𝑦 = 𝑥 3 cos 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦
+ 𝑥 = 𝑦3
𝑑𝑦
𝑥 𝑑𝑥 + 3𝑦 = 𝑥 2 𝑦 2
Pendahuluan Persamaan Differensial
35
2.
Tentukan solusi persamaan homogen berikut!
a.
b.
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
=
𝑥 2 +𝑦 2
(masing – masing suku berderajat sama)
𝑥𝑦
2𝑥𝑦 +3𝑦 2
(masing – masing suku berderajat sama)
𝑥 2 +2𝑥𝑦
c.
𝑥2 + 𝑦2
d.
𝑥−𝑦
e.
3.
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑥𝑦
=𝑥+𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑦
𝑑𝑦
f.
𝑥 2 + 𝑥𝑦
g.
2𝑦 − 𝑥
h.
𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 2 − 𝑥𝑦
i.
𝑥 3 − 𝑦 3 = 3𝑥𝑦 2 𝑑𝑥
j.
𝑦 − 3𝑥 + 4𝑦 + 3𝑥
k.
𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑦 − 𝑦 2
= 2𝑥 + 𝑦 ; 𝑦 = 3 pada 𝑥 = 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=0
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=0
= 𝑦 3 + 3𝑥 2 𝑦
Tentukan solusi persamaan linier berikut dengan menggunakan metode faktor
integrasi!
a.
b.
c.
d.
e.
f.
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5𝑦 = 𝑒 2𝑥
−𝑦 = 𝑥
𝑑𝑦
𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 cot 𝑥 = cos 𝑥
𝑥+1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = (𝑥 + 1)2
𝑑𝑦
𝑥 𝑑𝑥 − 5𝑦 = 𝑥 7
g.
1 − 𝑥2
h.
𝑥−2
i.
36
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑥𝑦 = 1
−𝑦 = 𝑥−2
3
; 𝑦 = 10 bila 𝑥 = 4
+ 3𝑦 = 𝑒 4𝑥
𝑑𝑦
j.
𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥
k.
tan 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 = sec 𝑥
𝑑𝑦
Pendahuluan Persamaan Differensial
l.
m.
n.
o.
p.
4.
5.
𝑑𝑦
𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 tan 𝑥 = sin 𝑥
𝑑𝑦
𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑥 3 cos 𝑥 ; 𝑦 = 0 pada 𝑥 = 𝜋
1 + 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3𝑥𝑦 = 5𝑥 ; 𝑦 = 2 pada 𝑥 = 1
+ 𝑦 cot 𝑥 = 5𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑦 = −4 pada 𝑥 =
𝜋
2
Tentukan solusi persamaan differensial berikut dengan pemisahan variabel !
a.
𝑥 𝑦−3
𝑑𝑦
b.
1 + 𝑥3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 4𝑦
= 𝑥 2 𝑦 ; 𝑦 = 2 pada 𝑥 = 1
2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
c.
𝑥3 + 𝑦 + 1
d.
cos 𝑦 + 1 + 𝑒 −𝑥 sin 𝑦 𝑑𝑥 = 0 ; 𝑦 =
e.
𝑥2 𝑦 + 1 + 𝑦2 𝑥 − 1
=0
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝜋
2
pada 𝑥 = 0
=0
Gunakan substitusi yang diberikan dan kerjakan seperti memecahkan persamaan
homogen.
6.
𝑑𝑦
a.
3𝑥 + 3𝑦 − 4
b.
𝑦 − 𝑥𝑦 2 = 𝑥 + 𝑥 2 𝑦
c.
𝑥 − 𝑦 − 1 + 4𝑦 + 𝑥 − 1
d.
3𝑦 − 7𝑥 + 7 + 7𝑦 − 3𝑥 + 3
e.
𝑦 𝑥𝑦 + 1 + 𝑥 1 + 𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2
𝑑𝑥
= − 𝑥+𝑦 ; 𝑥+𝑦 = 𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣
; 𝑦=𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=0 ; 𝑣 = 𝑥−1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 ; 𝑣 = 𝑥−1
𝑣
=0 ; 𝑦=𝑥
Tentukan solusi persamaan Bernoulli berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑥𝑦 3
+ 𝑦 = 𝑦4𝑒𝑥
𝑑𝑦
2 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑦 3 (𝑥 − 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 tan 𝑥 = 𝑦 2 tan2 𝑥
+ 𝑦 tan 𝑥 = 𝑦 3 sec4 𝑥
Pendahuluan Persamaan Differensial
37
2.5
Persamaan Differensial Eksak
Suatu persamaan differensial orde 1 berbentuk :
𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑦 ′ = 0
……………………………………………………………………………………………………………………………….. (2.9)
Jika ada suatu fungsi 𝛹 , sehingga :
𝛹𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 , 𝛹𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 , dan 𝛹 𝑥, 𝑦 = 𝑐
Mendefinisikan 𝛹 = 𝛷 (𝑥) secara implisit sebagai fungsi terdifferensial terhadap 𝑥,
maka:
𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑦 ′ + 𝛹𝑥 𝑥, 𝑦 + 𝛹𝑦 𝑥, 𝑦 𝑦′ =
𝑑
𝛹[𝑥, 𝛷 𝑥 ]
𝑑𝑥
……………………………………………………………………………………………………………………………… (2.10)
Substitusikan persamaan (2.10) ke dalam persamaan (2.9), diperoleh :
𝑑
𝛹 𝑥, 𝛷 𝑥
𝑑𝑥
=0
……………………………………………………………………………………………………………………………… (2.11)
Persamaan (2.9) dinamakan persamaan differensial eksak. Solusinya diperoleh dengan
mengintegralkan persamaan (11), yaitu :
𝛹 𝑥, 𝛷 𝑥
=𝑐
Dengan 𝑐 konstanta .
Dalam hal yang lebih umum, persamaan (2.9) ditulis :
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Dari persamaan (2.10), diperoleh pengertian bahwa suatu persamaan differensial
dikatakan eksak, apabila terdapat suatu fungsi 𝛹 (𝑥, 𝑦), sehingga :
𝛹𝑥 =
𝑑𝛹
𝑑𝛹
= 𝑀 𝑥, 𝑦 , 𝛹𝑦 =
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
Andaikan 𝑀 dan 𝑁 terdefinisi dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu
dalam suatu daerah 𝑥𝑦, maka diperoleh :
𝜕𝑀
𝜕2𝛹
=
𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑁
𝜕2 𝛹
𝜕2𝛹
=
=
𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥
Dengan asumsi kontinuitas turunan, maka dua turunan kedua dari fungsi di atas akan
bernilai sama.
38
Pendahuluan Persamaan Differensial
Jadi,
𝝏𝑴 𝝏𝑵
=
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Teorema 2.2.
Jika fungsi 𝑀, 𝑁, 𝑀𝑦, dan 𝑁𝑥 kontinu pada suatu daerah di bidang 𝑥𝑦; 𝛼 < 𝑥 < 𝛽 dan
𝛾 < 𝑦 < 𝛿 , maka persamaan differensial :
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Adalah persamaan differensial eksak pada bidang 𝑥𝑦, jika hanya jika:
𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑥 (𝑥, 𝑦)
Jika persamaan differensial eksak, maka fungsi 𝛹(𝑥, 𝑦) dapat ditentukan dengan cara
sistematis berikut :
Dari persamaan :
𝑑𝛹
𝑑𝑥
𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 ,
𝑑𝛹
𝑑𝑦
(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦)
Integralkan terhadap 𝑥, dengan menganggap 𝑦 konstanta, diperoleh :
𝑥
𝛹 𝑥, 𝑦 =
𝑀 𝑡, 𝑦 𝑑𝑡 + 𝑕(𝑦)
Fungsi 𝑕(𝑦) berperan sebagai konstanta integrasi. Untuk menentukan 𝑕(𝑦),
differensialkan persamaan diatas terhadap 𝑦, diperoleh :
𝑑𝛹
𝑑
𝑥, 𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑥
𝑀 𝑡, 𝑦 𝑑𝑡 + 𝑕′ 𝑦
𝑑𝛹
Karena 𝑑𝑦 = 𝑁, maka:
𝑑
𝑕′ 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 −
𝑑𝑦
𝑥
𝑀 𝑡, 𝑦 𝑑𝑡
Integralkan 𝑕′ (𝑦) untuk memperoleh 𝑕(𝑦); dimana
𝑦
𝑕 𝑦 =
𝑑
𝑁 𝑥, 𝑦 −
𝑑𝑠
𝑥
𝑀 𝑡, 𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠
Jadi solusi persamaan differensial eksak adalah :
𝑦
𝑥
𝛹 𝑥, 𝑦 =
𝑀 𝑡, 𝑦 𝑑𝑡 +
Pendahuluan Persamaan Differensial
𝑑
𝑁 𝑥, 𝑠 −
𝑑𝑠
𝑥
𝑀 𝑡, 𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠
39
Contoh 2.15
𝑑𝑦
Tentukan solusi persamaan differensial berikut 2𝑥𝑦 3 + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑥 = 0
jawab
dengan metode inspeksi (metode ini hanya digunakan untuk persamaan-persamaan
sederhana, dan dapat diperoleh dengan cepat), persamaan pasa ruas kiri merupakan
turunan dari persamaan 𝑥²𝑦³. jadi persamaan tersebut dapat ditulis :
2𝑥𝑦 3 + 3𝑥 2 𝑦 2
𝑑𝑦
𝑑 2 3
=
𝑥 𝑦 =0
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Solusi implisitnya ditentukan dengan pengintegralan langsung, dan diperoleh 𝑥²𝑦² = 𝑐
2
atau solusi eksplisitnya adalah : 𝑦 = 𝑐𝑥 −3
Contoh 2.16
Selesaikanlah persamaan differensial berikut :
(𝑦 cos 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦 ) + (sin 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑦 + 2)
𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥
Jawab
Dari persamaan differensial diatas, diperoleh :
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑦 cos 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦
𝜕𝑀
= 𝑀, cos 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦
𝜕𝑦
dan 𝑁 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑒 𝑦
𝜕𝑁
= 𝑁𝑥 = cos 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦
𝜕𝑥
Ternyata
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
, dengan demikian persamaan differensial tersebut merupakan
persamaan differensial eksak.
40
Pendahuluan Persamaan Differensial
Jadi 𝛹(𝑥, 𝑦) , sehingga:
𝛹𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑦 cos 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦
dan
𝛹𝑦 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑦 + 2
Integralkan persamaan pertama di atas terhadap 𝑥, diperoleh :
𝛹 𝑥, 𝑦 = 𝑦 sin 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑦 + 𝑕(𝑦)
Differensialkan terhadap 𝑦, dan pilih 𝛹𝑦 = 𝑁, diperoleh :
𝛹𝑦 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑦 + 𝑕′ 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑦 + 2
Sehingga : 𝑕’(𝑦) = 2 , atau 𝑕(𝑦) = 2𝑦
Konstanta integrasi dapat diabaikan, karena setiap solusi persamaan differensial
sebelumnya telah mencukupi.
Substitusikan persamaan 𝑕(𝑦) = 2𝑦 pada 𝛹(𝑥, 𝑦), diperoleh :
𝛹 𝑥, 𝑦 = 𝑦 sin 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑦 + 2𝑦
Dengan demikian, solusi persamaan differensial secara implisit adalah
𝑦 sin 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑦 + 2𝑦 = 𝑐
Contoh 2.17
Selesaikanlah persamaan differensial berikut :
(3𝑥² + 2𝑥𝑦) + (𝑥 + 𝑦²)𝑦’ = 0
Jawab:
Dari persamaan differensial di atas, diperoleh :
𝑀 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 + 2𝑥𝑦
𝑀𝑦 =
𝜕𝑀
= 2𝑥
𝜕𝑦
𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 2
𝑁𝑥 =
Karena
𝜕𝑀
𝜕𝑦
≠
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝜕𝑁
=1
𝜕𝑥
, maka persamaan differensial tersebut tidak eksak.
Pendahuluan Persamaan Differensial
41
Untuk membuktikan persamaan differensial tidak dapat diselesaikan dengan cara diatas,
pilih fungsi 𝛹(𝑥, 𝑦), sehingga :
𝛹𝑥 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥² + 2𝑥𝑦, dan 𝛹𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦²
Integralkan persamaan pertama terhadap 𝑥, diperoleh :
𝛹(𝑥, 𝑦) = 𝑥³ + 𝑥²𝑦 + 𝑕(𝑦)
Dengan 𝑕 adalah fungsi terhadap 𝑦 saja.
Differensialkan 𝛹(𝑥, 𝑦) terhadap 𝑦, kemudian substitusikan 𝛹𝑦 = 𝑁, diperoleh:
𝛹𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑕’(𝑦) = 𝑥 + 𝑦²
Sehingga : 𝑕′(𝑦) = 𝑥 + 𝑦² − 𝑥², yang merupakan persamaan yang bergantung terhadap
𝑥 dan 𝑦. dengan demikian tidak ada 𝛹(𝑥, 𝑦) yang memenuhi persamaan differensial :
(3𝑥² + 2𝑥𝑦) + 2𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦²)𝑦’ = 0
Contoh 2.18
𝑑𝑦
a𝑥+𝑏𝑦
Tentukan apakah persamaan differensial 𝑑𝑥 = − 𝑏𝑥 +𝑐𝑦 eksak atau tidak. Jika persamaan
eksak, tentukan solusinya !
Jawab :
Persamaan differensial di atas dapat ditulis menjadi :
a𝑥 + 𝑏𝑦 𝑑𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 𝑑𝑦 = 0 , atau a𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=0
Sehingga : 𝑀 𝑥, 𝑦 = a𝑥 + 𝑏𝑦
𝑀𝑦 =
𝜕𝑀
=𝑏
𝜕𝑦
𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦
𝑁𝑥 =
𝜕𝑁
=𝑏
𝜕𝑥
Karena 𝑀𝑦 = 𝑁𝑥 , maka persamaan differensial tersebut merupakan persamaan
differensial eksak.
42
Pendahuluan Persamaan Differensial
Untuk menentukan solusinya, pilih :
𝛹𝑥 = a𝑥 + 𝑏𝑦 , dan 𝛹𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦
Integralkan persamaan pertama diatas terhadap 𝑥, diperoleh :
𝛹=
1 2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑕(𝑦)
2
Differensialkan terhadap 𝑦, kemudian substitusikan 𝛹𝑦 = 𝑁, diperoleh :
𝛹𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑕′ 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 sehingga: 𝑕′ 𝑦 = 𝑐𝑦
1
Integralkan terhadap 𝑦, diperoleh : 𝑕 𝑦 = 2 𝑐𝑦 2
1
Substitusikan persamaan 𝑕 𝑦 = 2 𝑐𝑦 2 Pada 𝑦, diperoleh :
𝛹=
1 2
1
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2
2
2
Jadi, solusi umum persamaan differensial tersebut adalah :
1
2
1
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 + 2 𝑐𝑦 2 = 𝑐 atau 𝑎𝑥 2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2 = 𝑘
Dengan 𝑘 adalah konstanta baru.
Contoh 2.19
Tentukan nilai 𝑏 agar persamaan differensial :
𝑥𝑦 2 + 𝑏𝑥 2 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 , merupakan persamaan eksak, kemudian tentukan
solusinya!
Jawab:
Persamaan differensial diatas dapat ditulis menjadi :
𝑥𝑦 2 + 𝑏𝑥 2 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 𝑥 2
𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥
Dan diperoleh : 𝑀𝑦 = 2𝑥𝑦 2 + 𝑏𝑥 2 dan 𝑁𝑥 = 3𝑥 2 + 2𝑥𝑦
Agar persamaan differensial tersebut eksak, maka 𝑀𝑦 = 𝑁𝑥 , atau
2𝑥𝑦 + 𝑏𝑥 2 = 3𝑥 2 + 2𝑥𝑦
Dan diperoleh 𝑏 = 3, sehingga persamaan differensialnya menjadi :
𝑥𝑦 2 + 3𝑥 2 𝑦 + 𝑥 3 𝑥 2 𝑦
𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥
Pendahuluan Persamaan Differensial
43
Untuk menentukan solusinya, pilih :
𝛹𝑥 = 𝑥𝑦 2 + 3𝑥 2 𝑦 , dan 𝛹𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦
Integralkan persamaan pertama diatas terhadap 𝑥, diperoleh :
𝛹=
1 2 2
𝑥 𝑦 + 𝑥 3 𝑦 + 𝑕(𝑦)
2
Differensialkan terhadap 𝑦, kemudian substitusikan 𝛹𝑦 = 𝑁, diperoleh :
𝛹𝑦 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑥 3 + 𝑕′ 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦
Sehingga : 𝑕’(𝑦) = 0
Integralkan terhadap 𝑦, diperoleh : 𝑕(𝑦) = 𝑐
Substitusikan persamaan 𝑕(𝑦) pada 𝛹,diperoleh :
𝛹=
1 2 2
𝑥 𝑦 + 𝑥3𝑦 + 𝑐
2
Jadi, solusi umum persamaan differensial tersebut adalah :
1
2
𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 3 𝑦 = 𝑐 atau 𝑥 2 𝑦 2 + 2𝑥 3 𝑦 = 𝑘
LATIHAN 2.5
1.
Tentukan apakah setiap persamaan differensial berikut eksak atau tidak. Jika
persamaan eksak, tentukan solusinya !
a.
2𝑥 + 3 + 2𝑦 − 2 𝑦 ′ = 0
b.
2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑦 − 2 𝑦 ′ = 0
c.
d.
e.
2𝑥𝑦 2 + 2𝑦 + 2𝑥 2 + 2𝑥 𝑦 ′ = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
a𝑥−𝑏𝑦
𝑏𝑥 −𝑐𝑦
f.
𝑒 𝑥 sin 𝑦 − 2𝑦 sin 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 2 cos 𝑥)𝑑𝑦 = 0
g.
𝑒 𝑥 sin 𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 − (3𝑥 − 𝑒 𝑥 sin 𝑦)𝑑𝑦 = 0
h.
𝑦𝑒 𝑥𝑦 cos 2𝑥 − 2𝑒 𝑥𝑦 sin 2𝑥 + 2𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒 𝑥𝑦 cos 2𝑥 − 3)𝑑𝑦 = 0
i.
j.
k.
44
9𝑥 2 + 𝑦 − 1) − 4𝑦 − 𝑥 𝑦 ′ = 0
𝑦
𝑥
+ 𝑏𝑥 𝑑𝑥 + (ln 𝑥 − 2)𝑑𝑦 = 0
(𝑥 ln 𝑦 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 ln 𝑥 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 , 𝑥 > 0 dan 𝑦 > 0
𝑥𝑑𝑥
3
𝑥 2 +𝑦 2 2
+
𝑦𝑑𝑦
3
𝑥 2 +𝑦 2 2
=0
Pendahuluan Persamaan Differensial
2.
Tentukan nilai 𝑏 pada persamaan differensial : 𝑦𝑒 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏𝑥𝑒 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0,
agar menjadi persamaan eksak. Kemudian dengan menggunakan nilai 𝑏 tersebut,
tentukan solusinya!
2.6
Penerapan Persamaan Differensial Orde 1
Persamaan differensial sangat menarik, karena dengan menggunakannya, dapat
menyelidiki berbagai masalah ilmu terapan misalnya dalam bidang fisika, biologi, sosial,
ekonomi, teknik, dan ilmu terapan lainnya.
Ada 3 langkah penting untuk mengidentifikasikan dan menyelidiki masalah-masalah
tersebut, yaitu :
1.
Menganalisa masalah kemudian membuat model matematikanya. Secara umum
langkah ini dapat dilakukan dengan membuat asumsi (anggapan) tentang masalah
yang muncul, berdasarkan pada fenomena yang terjadi. Sebagai contoh, diamati
bahwa laju peluruhan zat radioaktif sebanding dengan banyaknya zat sisa, laju
panas yang mengalir dari suatu benda bersuhu tinggi ke benda bersuhu rendah
sebanding dengan perbedaan suhu kedua benda tersebut, laju benda bergerak
sesuai dengan hukum Newton tentang gerak, laju pertumbuhan populasi serangga
pada tempat tertutup sebanding dengan populasi yang ada, dan sebagainya. Semua
fenomena diatas mengandung laju perubahan, yang apabila dinyatakan dengan
model matematika, akan membentuk persamaan differensial.
Pada kehidupan nyata, model matematika yang dibuat merupakan pendekatan saja
dari model/kejadian sebenarnya. Hal ini disebabkan karena pembuatan model
berdasarkan pengamatan hasil pendekatan-pendekatan. Sebagai contoh, benda
yang bergerak mendekati kecepatan cahaya tidak cocok dengan hukum Newton,
populasi serangga tidak berkembang dalam jangka waktu tak terbatas karena
adanya keterbatasan persediaan makanan, aliran panas dipengaruhi oleh faktor lain
selain perbedaan suhu, dan sebagainya.
Pendahuluan Persamaan Differensial
45
2.
Menentukan solusi dari model matematika
3.
Menginterpretasikan kembali pada masalah semula
Pada bagian ini, akan dibahas contoh-contoh penerapan persamaan differensial
orde 1.
Contoh 2.20
(Penerapan bidang fisika)
Laju peluruhan inti radioaktif sebanding dengan jumlah inti yang tersisa. Jika jumlah inti
pada 𝑡 = 0 adalah 𝑁0 , tentukan jumlah inti tersisa setiap saat.
Jawab :
Persamaan differensial yang sesuai untuk masalah diatas adalah
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= −𝜆𝑁
(𝜆 disebut konstanta peluruhan)
Dengan pemisahan variabel, diperoleh :
𝑑𝑁
𝑁
= −𝜆𝑡
Integralkan kedua ruas, diperoleh : ln 𝑁 = −𝜆𝑡 + 𝑐
Karena pada 𝑡 = 0 , 𝑁 = 𝑁0 , maka nilai 𝑐 = ln 𝑁0 , sehingga persamaan menjadi:
ln 𝑁 = −𝜆𝑡 + ln 𝑁0
ln 𝑁 = ln 𝑒 −𝜆𝑡 + ln 𝑁0
𝑁 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡
Jadi penyelesaian yang diinginkan adalah 𝑁 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡
Contoh 2.21
Radium meluruh menjadi radon, yang kemudian meluruh manjadi polonium. Jika pada
𝑡 = 0, sampel hanya merupakan radium, berapa banyak radon terbentuk setiap saat ?
46
Pendahuluan Persamaan Differensial
Jawab :
Misal :
𝑁0 : jumlah radium pada waktu 𝑡 = 0
𝑁1 : jumlah radium pada waktu t
𝑁2 : jumlah radon pada waktu t
𝜆1 dan 𝜆2 : konstanta peluruhan radium dan radon
banyaknya peluruhan radium adalah :
𝑑𝑁1
𝑑𝑡
= −𝜆1 𝑁1 atau 𝑁1 = 𝑁0 𝑒
−𝜆 1 𝑡
Laju radon yang terbentuk sama dengan laju radium yang meluruh, yakni 𝜆1 𝑁1 atau
𝜆1 𝑁0 𝑒 −𝜆 1 𝑡 . Tetapi radon juga meluruh menjadi polonium dengan laju 𝜆2 𝑁2 .
Jadi :
𝑑𝑁2
𝑑𝑡
𝜆1 𝑁1 − 𝜆2 𝑁2 , atau
𝑑𝑁2
𝑑𝑡
+ 𝜆2 𝑁2 = 𝜆1 𝑁1 = 𝜆1 𝑁0 𝑒 −𝜆 1 𝑡
Bandingkan persamaan ini dengan persamaan (2,-1), yaitu 𝑦 2 + 𝑝𝑦 = g(𝑥) dengan
metode integrasi diperoleh :
𝑃 𝑡 = 𝜆2 dan g 𝑡 = 𝜆1 𝑁1 𝑒 −𝜆 1 𝑡
Faktor integrasinya adalah 𝜇 𝑡 = 𝑒
𝜆 2 𝑡𝑑𝑡
= 𝑒 𝜆2 𝑡
Kalikan, kemudian integralkan, diperoleh :
𝑁2 𝑒 𝜆 2 𝑡 =
𝜆1 𝑁0 𝑒 𝜆 1 𝑡 . 𝑒 𝜆 2 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐
𝑁2 𝑒 𝜆 2 𝑡 = 𝜆1 𝑁0
𝑁2 𝑒 𝜆 2 𝑡 =
𝑒
𝜆 2 −𝜆 1 𝑡
𝑑𝑡 + 𝑐
𝜆1 𝑁0 (𝜆 −𝜆 )𝑡
𝑒 2 1
𝜆2 − 𝜆1
………………………………….…………………………………………………………………………………………………(*)
Dengan 𝜆1 ≠ 𝜆2 . Karena 𝑁2 = 0 pada 𝑡 = 0 (pada 𝑡 = 0, sampel hanya merupakan
radium), diperoleh :
𝜆 𝑁
𝜆 𝑁
0 = 𝜆 1−𝜆0 + 𝑐 atau 𝑐 = − 𝜆 1−𝜆0
2
1
2
1
Substitusikan nilai c tersebut pada persamaan (*)
𝑁2 𝑒 𝜆 2 𝑡 =
𝜆1 𝑁0 (𝜆 −𝜆 )𝑡
𝜆1 𝑁0
𝑒 2 1 −
𝜆2 𝜆1
𝜆2 − 𝜆1
Pendahuluan Persamaan Differensial
47
𝑁2 =
𝜆2 𝑁0 −𝜆 𝑡
𝜆1 𝑁0 −𝜆 𝑡
𝑒 1 −
𝑒 2
𝜆2 − 𝜆1
𝜆2 − 𝜆1
𝑁2 =
𝜆1 𝑁0
𝑒 −𝜆 1 𝑡 − 𝑒 −𝜆 2 𝑡
𝜆2 − 𝜆1
Contoh 2.22
(Bunga majemuk/berganda)
Anggap uang sebesar 𝑆0 disimpan pada sebuah bank dengan bunga 6%. Besar simpanan
𝑆(𝑡) setelah 𝑡 tahun tergantung pada frekuensi simpanan itu digandakan.
Pada contoh ini, akan diamati pengaruh frekuensi penggandaan itu.
Jika bunga dihitung sekali dalam setahun, maka :
𝑆 𝑡 = 𝑆0 1 + 0,06
𝑡
Jika bunga dihitung dua kali dalam setahun, maka :
𝑆 𝑡 = 𝑆0
𝑆 𝑡 = 𝑆0
0,06
1+
2
0,06
1+
2
0,06
1+
2
𝑡
𝑘𝑡
Secara umum, jika bunga dihitung 𝑘 kali dalam setahun, maka :
𝑆 𝑡 = 𝑆0
0,06
1+
𝑘
𝑘𝑡
Keadaan ini dapat didekati dengan model matematika dengan manganggap bunga
dihitung terus menerus. Dengan anggapan ini, hukum pertambahan simpanan sebagai
persamaan differensial, ditulis :
𝑆 ′ 𝑡 = 0,06 𝑆(𝑡) , yang mempunyai solusi 𝑆 𝑡 = 𝑆0 𝑒 0,06𝑡 dengan 𝑆 0 = 𝑆0
2.7
Teorama Keujudan dan Ketunggalan
Pada bagian ini, akan dijelaskan pembuktian teorema 2.1, mengenai teorema keujudan
(eksistensi) dan ketunggalan (keunikan) pada masalah nilai awal persamaan differensial
orde pertama. Teorema ini menyatakan bahwa pada kondisi tertentu untuk 𝑓 𝑥, 𝑦 ,
masalah nilai awal:
48
Pendahuluan Persamaan Differensial
𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 , dan
𝑦 𝑥0 = 𝑦0
………………….………………………………………..…………………………………………………………………….(2.12)
Mempunyai suatu solusi tunggal pada interval yang mengandung titik 𝑥0 .
Pada beberapa kasus (sebagai contoh, jika persamaan differensial linier), keujudan solusi
masalah nilai batas persamaan (2.12) dapat ditentukan secara langsung dengan
menyelesaikan masalah-masalah tersebut dan menunjukkan rumus suatu solusinya.
Bagaimanapun, secara umum, pendekatan ini tidak mungkin dilakukan, karena tidak ada
metode penyelesaian persamaan (2.12) oleh karena itu pada kasus umum, untuk
menentukan keujudan solusi persamaan, biasanya dilakukan pendekatan tidak langsung.
Hal terpenting dari metode ini adalah menyusun rangkaian fungsi yang konvergen pada
suatu fungsi limit yang memenuhi masalah nilai awal, meskipun secara individu anggota
rangkaian itu tidak ada. Secara eksplisit, fungsi limit dapat ditentukan hanya pada kasuskasus yang jarang terjadi. Namun demikian, dengan pembatasan pada 𝑓(𝑥, 𝑦) Yang
dinyatakan dalam teorema 2.1, dibuktikan bahwa rangkaian fungsi konvergen dan fungsi
limit mempunyai sifat-sifat yang diinginkan.
Sekarang, kita perhatikan masalah dengan titik awalnya adalah titik pusat koordinat
(𝑥0 , 𝑦0 ) Dengan demikian :
𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 , dan
𝑦 𝑥0 = 0
……..……………………………………………………………………………………………………..……………………(2.13)
Jika beberapa titik awal yang lain diberikan, maka kita dapat melakukan pengubahan
variabel dengan mengambil titik awal yang diberikan menjadi titik pusat koordinat. Untuk
itu, diberikan variabel bebas dan variabel tak bebas yang baru, yaitu 𝑤 dan 𝑠, yang
didefinisikan sebagai : 𝑤 = 𝑦 − 𝑦0 dan 𝑠 = 𝑥 − 𝑥0
Pendahuluan Persamaan Differensial
49
Dengan menganggap 𝑤 sebagai fungsi 𝑠, dan dengan aturan rantai, diperoleh :
𝑑𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑥
=
.
𝑑𝑠
𝑑𝑥 𝑑𝑠
𝐷𝑤 𝑑 𝑦 − 𝑦0 𝑑𝑥
=
.
𝑑𝑠
𝑑𝑥
𝑑𝑠
𝑑𝑤 𝑑𝑦
= ,
𝑑𝑠 𝑑𝑥
𝑑𝑠
(ingat bahwa 𝑑𝑥 = 1)
Definisikan 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑠 + 𝑥0 , 𝑤 + 𝑦0 ), oleh 𝐹(𝑠, 𝑤) sehingga masalah nilai awal
menjadi :
𝑤 ′ 𝑠 = 𝐹 𝑠, 𝑤 𝑠 , dan
𝑤 0 =0
…………………………………………………..…………………….…………………………………………………….(2.14)
Persamaan (2.14) tidak lain adalah persamaan (2.13), kecuali variabelnya saja yang
berbeda,
Teorema keujudan dan ketunggalan dapat dinyatakan dengan cara berikut :
Jika f dan
𝑑𝑓
𝑑𝑦
Teorema 2.3.
kontinu pada bidang 𝑅: |𝑥 ≤ 𝑎, |𝑦| ≤ 𝑏. maka ada interval |𝑥| ≤ 𝐿 ≤ 𝑎 yang
mengandung suatu solusi tunggal 𝑦 = ∅(𝑥) pada masalah nilai awal persamaan differensial :
𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
Untuk membuktikan teorema ini, ubah masalah nilai awal persamaan (2.13) menjadi
bentuk yang lebih tepat. Jika kita mengangap bahwa ada suatu fungsi 𝑦 = ∅(𝑥) yang
memenuhi masalah nilai awal, maka 𝑓[𝑥, ∅ 𝑥 ] merupakan fungsi kontinu pada 𝑥 saja.
Kita dapat mengintegralkan persamaan (2.13) dari titik awal 𝑥 = 0 sampai 𝑥 tertentu,
∞
∅ 𝑥 =
𝑓 𝑡, ∅ 𝑡 𝑑𝑡
0
………………………………………………………………………………………………………………………………(2.15)
dengan mengambil ∅ 0 = 0
50
Pendahuluan Persamaan Differensial
Karena persamaan (2.15) mengandung suatu integral pada fungsi yang tidak diketahui,
yaitu 𝑓, maka dinamakan persamaan integral. Persamaan integral ini bukan merupakan
rumus untuk menentukan solusi masalah nilai awal, tetapi persamaan tersebut
memberikan hubungan lain yang sesuai dengan solusi persamaan (2.13). Sebaliknya,
anggap ada suatu fungsi kontinu 𝑦 = 𝑓(𝑥) yang memenuhi persamaan (2.15), dan
memenuhi masalah nilai awal (2.13). untuk membuktikannya, substitusikan 𝑥 dengan nol
pada persamaan (2.15).
2.8
Trayektori Orthogonal
Solusi umum suatu persamaan differensial, mengandung satu atau lebih konstanta, yang
dapat ditentukan dengan mensubstitusikan solusi dengan syarat awal atau pun syarat
batas yang diberikan. Solusi umum demikian manyatakan suatu keluarga kurva dalam
bidang (𝑥, 𝑦).
Satu kurva untuk satu nilai konstanta. Atau, dapat dikatakan bahwa solusi umum suatu
persamaan differensial merupakan suatu keluarga solusi dari persamaan differensial
tersebut.
Dalam ilmu matematika, sering kali diperlukan suatu keluarga kurva yang memotong
tegak lurus kurva-kurva yang lainnya. Kedua keluarga itu dikatakan saling tegak lurus,
sedangkan keluarga kurva yang diperoleh disebut trayektori orthogonal dari keluarga
kurva yang diketahui. Pada bagian ini akan dibahas cara mencari keluarga kurva yang
memotong tegak lurus keluarga kurva yang lain dengan menggunakan perhitungan
persamaan differensial.
Pendahuluan Persamaan Differensial
51
Perhatikan gambar 2.2 berikut :
Gambar 2.2
Setiap garis lurus pada gambar diatas, malalui titik (0, −1), dan merupakan suatu keluarga
kurva 𝑦 + 1𝑎𝑥. Sedangkan kurva-kurva melingkar, selalu memotong tegak lurus pada
setiap garis lurus tersebut. Keluarga kurva demikian, dinamakan trayektori orthogonal
dari keluarga kurva yang lain.
Untuk menentukan trayektori orthogonal dari keluarga kurva yang diketahui, perhatikan
kembali contoh pada gambar diatas, dimana keluarga kurva yang diketahuinya adalah :
𝑦 + 1 = 𝑎𝑥
Differensialkan persamaan tersebut untuk mendapatkan kemiringan kurva, sehingga
diperoleh : 𝑦’ = 𝑎
Dari persaman 𝑦 + 1 = 𝑎𝑥, diperoleh : 𝑎 =
𝑦’ = 𝑎, diperoleh : 𝑦 ′ =
𝑦+1
𝑥
, kemudian substitusikan nilai pada 𝑎 pada
𝑦+1
𝑥
Menurut geometri analitik, kemiringan dua garis yang saling tegak lurus adalah negatif
1
kebalikan kemiringan garis yang satu dengan yang lain, atau : 𝑚1 = − 𝑚 2 , dengan:
𝑚1 adalah kemiringan garis pertama, dan 𝑚2 adalah kemiringan garis kedua.
52
Pendahuluan Persamaan Differensial
Dengan demikian, kemiringan keluarga kurva trayektori orthogonal yang dicari,
𝑥
merupakan negatif kebalikan kemiringan kurva yang diketahui. Jadi, 𝑦 ′ = − 𝑦+1
merupakan kemiringan keluarga kurva trayektori orthogonal dari keluarga kurva
𝑦 + 1 = 𝑎𝑥.
Untuk mendapatkan persamaan kurva trayektori orthogonal, dapat ditentukan dengan
𝑥
menyelesaikan persamaan 𝑦 ′ = − 𝑦+1, yaitu sebagai berikut :
𝑥
𝑦 ′ = − 𝑦+1 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥
= − 𝑦+1
𝑦 + 1 𝑑𝑦 = −𝑥 𝑑𝑥
Integralkan kedua ruas, diperoleh :
1
1
𝑦 2 + 𝑦 = − 2 𝑥 2 = 𝑐, atau
2
𝑦 2 + 2𝑦 + 1 + 𝑥 2 = 2𝑐 + 1, ⇒ (𝑦 + 1)2 + 𝑥 2 = 𝑘 2
dengan 𝑘 adalah konstanta. Persamaan ini merupakan persamaan dari keluarga kurva
melingkar yang berpusat di titik (0, −1) dan berjari-jari 𝑘 (dimana 𝑘 = 2𝑐 + 1), sesuai
dengan gambar 2.2
Contoh 2.23
Tentukan trayektori orthogonal untuk keluarga kurva 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥 (𝑐 parameter). Kemudian
gambarlah kurva yang diberikan dan kurva trayektori orthogonalnya !
Jawab :
Differensialkan persamaan keluarga kurva diatas, diperoleh : 𝑦 ′ = 𝑐𝑒 𝑥 . Karena 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥 ,
maka 𝑦 ′ = 𝑦
1
Kemiringan keluarga kurva trayektori orthogonalnya adalah : 𝑦 ′ = − 𝑦 yang merupakan
persamaan differensial. Selesaikan persamaan differensial tersebut untuk mendapatkan
persamaan trayektori orthogonalnya, sebagai berikut :
𝑦𝑦 ′ = −1, atau
𝑦𝑑𝑦 = −𝑑𝑥
Pendahuluan Persamaan Differensial
53
Integralkan dan diperoleh :
1 2
𝑦 = −𝑥 + 𝑐′
2
𝑦 2 = −2𝑥 + 𝑐
LATIHAN 2.6
1.
Tentukan trayektori orthogonal untuk setiap keluarga kurva berikut.
Kemudian untuk setiap kasus, sketsa keluarga kurva yang diberikan dan keluarga
kurva trayektori orthogonalnya !
a.
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑐, 𝑐 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎
b.
𝑦 = 𝑘𝑥 2 , 𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎
c.
𝑦 = 𝑘𝑥 𝑛
d.
𝑥𝑦 = 𝑘
e.
𝑦−1
2
= 𝑥2 + 𝑘
2.
Tentukan trayektori orthogonal keluarga kurva 𝑥 = 𝑦 + 1 + 𝑐𝑒 𝑦
3.
Tentukan trayektori orthogonal dari keluarga kurva yang memiliki garis singgung
terhadap sumbu 𝑦 di titik pusat.
4.
Tentukan nilai 𝑘 sehingga parabola 𝑦 = 𝑐1 𝑥 2 + 𝑘 merupakan trayektori orthogonal
keluarga ellips 𝑥 2 + 2𝑦 2 − 𝑦 = 𝑐
5.
Tentukan nilai 𝑛 sehingga 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑐 merupakan trayektori orthogonal keluarga
𝑥
𝑦 = 1−𝑐𝑥
6.
Tentukan keluarga kurva trayektori orthogonal dari keluarga kurva lingkaran
(𝑥 − 𝑕)2 + 𝑦 2 = 𝑕2
54
Pendahuluan Persamaan Differensial