X Fungsi dan Grafik

12/4/2015
MataKuliah :Matematika RekayasaLanjut
KodeMK :TKS8105
Pengampu :AchfasZacoeb
Sesi XI
FUNGSI dan GRAFIK
e-Mail : [email protected]
www.zacoeb.lecture.ub.ac.id
Hp. 081233978339
FUNGSI
Secara intuitif, y dapat dipandang sebagai fungsi dari x, jika
terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) menghubungkan
nilai x.
Contoh :
1. 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓
2. 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟗
1
12/4/2015
FUNGSI (Lanjutan)
Definisi :
Suatu fungsi adalah suatu himpunan
pasangan terurut (x,y) dimana
himpunan semua nilai x disebut
daerah asal (domain) dan himpunan
semua nilai y = f(x) disebut daerah
hasil (ko-domain) dari fungsi.
(Notasi : f : A → B)
FUNGSI (Lanjutan)
Untuk contoh 1, mendefinisikan suatu fungsi (namakan
fungsi itu f). Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut
(x,y) sehingga x dan y memenuhi :
f = {(x,y)2x2 + 5}
x
y
0
5
1
7
-1
7
2
13
-2
13
…
…
10
205
Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5); (1,7); (-1,7);
(2,13); (-2,13); …; (10,205), dan f memuat tak berhingga
banyak pasangan terurut.
2
12/4/2015
FUNGSI (Lanjutan)
Catatan :
1. Himpunan : A, B  
2. Fungsi :
y = f(x)
x peubah bebas
y peubah tak bebas,
bergantung pada x
3. Daerah asal fungsi:
Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}
4. Daerah hasil fungsi:
Wf = {y є B | y = f(x), x  Df}
5. Grafik fungsi:
{(x,y) | x  Df, y = f(x)}
PENYAJIAN FUNGSI
Ada beberapa cara penyajian suatu fungsi yaitu :
a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata.
b. Secara numerik : dengan tabel
c. Secara visual : dengan grafik
d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit
3
12/4/2015
PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan)
a. Secara verbal
 Contoh biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons
adalah B(w).
 Aturan yang digunakan di Kantor Pos adalah sebagai
berikut :
 Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat
sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap
ons tambahan sampai 5 ons.
PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan)
b. Secara numerik
 Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan
pada Tabel berikut :
Berat w
(dalam Ons)
Biaya B(w)
(dalam Rupiah)
0<w1
1000
1<w2
1250
2<w3
1500
3<w4
1750
4<w5
2000
4
12/4/2015
PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan)
c.
Secara visual
 Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan
dalam grafik berikut :
PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan)
d. Secara aljabar
 Contoh biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan
oleh fungsi berikut :
𝟏. 𝟎𝟎𝟎,
𝟏. 𝟐𝟓𝟎,
𝑩 𝒘 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎,
𝟏. 𝟕𝟓𝟎,
𝟐. 𝟎𝟎𝟎,
jika 𝟎 < 𝒘 ≤ 𝟏
jika 𝟏 < 𝒘 ≤ 𝟐
jika 𝟐 < 𝒘 ≤ 𝟑
jika 𝟑 < 𝒘 ≤ 𝟒
jika 𝟒 < 𝒘 ≤ 𝟓
5
12/4/2015
JENIS FUNGSI
1. Fungsi linear
Bentuk umum :
y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta
a = kemiringan garis
b = perpotongan garis dengan sumbu-y
Daerah asal, Df =  dan daerah hasil, Wf = 
Grafik :
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
2. Polinomial
Bentuk umum :
y = f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0
an, an-1, …, a1, a0 = konstanta
n = derajad polinom (an0)
Daerah asal, Df = 
Grafik :
6
12/4/2015
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
3. Fungsi Pangkat
Bentuk umum :
y = f(x) = xn, n  N
Daerah asal, Df = 
Grafik :
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
4. Fungsi Akar
Bentuk umum :
y = f(x) = 𝒏 𝒙,
n = 2, 3, 4, …
Daerah asal dan daerah hasil :
Df = [0,), Wf = [0,), jika n genap
Df = , Wf = , jika n ganjil
Grafik :
7
12/4/2015
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
5. Fungsi Kebalikan
Bentuk umum :
𝟏
𝒚= , 𝒙≠𝟎
𝒙
Daerah asal dan daerah hasil :
Df =  - {0}, Wf =  - {0}
Grafik :
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
6. Fungsi Rasional
𝑷(𝒙)
Bentuk umum : 𝒚 = 𝑸(𝒙) , dengan : P, Q adalah polinom
Daerah asal :
Df =  - {xQ(x) = 0}
7. Fungsi Aljabar
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat
dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:
penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan
penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.
8
12/4/2015
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
Catatan :
Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi
balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.
8. Fungsi Trigonometri
a. Fungsi Sinus
b. Fungsi Cosinus
c. Fungsi Tangen
d. Fungsi trigonometri lainnya.
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
9. Fungsi Eksponensial
Bentuk umum :
𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 , a > 0
Daerah asal dan daerah hasil :
Df = , Wf = (0,)
Grafik :
9
12/4/2015
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
10. Fungsi Logaritma
Bentuk umum :
𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 x, a > 0
Daerah asal dan daerah hasil :
Df = (0,), Wf = 
Grafik :
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
11. Fungsi Transenden
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi
aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi
trigonometri, invers trigonometri, eksponensial dan
logaritma.
12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong
(piecewise function)
Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong
adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap
aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.
10
12/4/2015
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
13. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi: jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk
setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi
genap.
Catatan:
Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
Definisi: Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk
setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi
ganjil.
Catatan :
Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.
11
12/4/2015
JENIS FUNGSI (Lanjutan)
14. Fungsi naik dan fungsi turun
Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I, jika
f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
2. Fungsi f disebut turun pada selang I, jika
f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
BIDANG TEKNIK SIPIL
Secara umum fungsi mengatur hubungan antara variabel
bebas dan variabel terikat. Hubungan antara satu variabel
dengan variabel lain atau antara kumpulan variabel dengan
satu variabel lain banyak dijumpai dalam bidang teknik
sipil, seperti contoh beberapa fungsi berikut :
1. Hubungan antara momen lentur (Mx) suatu penampang
dengan absis penam-pang tersebut (x) pada balok
sederhana sepanjang bentang (L) dengan beban merata
(q) yang diberikan oleh fungsi :
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝑴𝒙 = 𝒒𝑳𝒙 − 𝒒𝒙𝟐
12
12/4/2015
BIDANG TEKNIK SIPIL (Lanjutan)
2.
Hubungan antara tegangan () dan regangan () suatu
bahan yang bermodulus elastis (E) dalam batas elastis
diberikan oleh fungsi :
𝝈 = 𝑬. 𝜺
3.
Hubungan antara kecepatan aliran air (v) pada saluran
terbuka yang memiliki keliling basah (R), koefisien
kekasaran dinding (c) dan kemiringan dasar saluran (i),
diberikan oleh fungsi :
𝒗 = 𝒄 𝑹. 𝒊
GRAFIK FUNGSI



Grafik fungsi adalah presentasi fungsi menggunakan
gambar dengan mengacu pada sistem koordinat tertentu,
misalnya koordinat kartesius, koordinat polar dan
sebagainya.
Dengan grafik fungsi, perilaku fungsi lebih mudah
diamati misalnya, apakah fungsi naik, fungsi turun,
mencapai maksimum/minimum atau mencapai nol.
Disamping itu dengan memahami bentuk-bentuk grafik
fungsi dapat membantu menemukan persamaan fungsi
dari peristiwa alam yang diketahui datanya secara
diskrit.
13
12/4/2015
GRAFIK FUNGSI (Lanjutan)

Berikut ini diberikan contoh-contoh grafik fungsi yang
digunakan dalam bidang teknik sipil :
GRAFIK FUNGSI (Lanjutan)
1. Grafik fungsi gaya lintang pada balok sederhana yang
mendapat beban terbagi merata sepanjang batang
seperti gambar berikut :
14
12/4/2015
GRAFIK FUNGSI (Lanjutan)
2. Grafik fungsi momen lentur pada balok kantilever yang
mendapat beban terbagi terbagi merata seperti gambar
berikut :
GRAFIK FUNGSI (Lanjutan)
3. Grafik hubungan antara defleksi puncak frame dua
batang yang dianalisis secara non-linier geometri
seperti gambar berikut :
15
12/4/2015
GRAFIK FUNGSI (Lanjutan)
4. Grafik hubungan antara kadar air dan volume tanah
pada batas-batas konsistensi seperti gambar berikut :
RANGKUMAN
1. Fungsi digunakan dalam bidang teknik sipil untuk
menyatakan hubungan antara variabel bebas dengan
variabel terikat.
2. Fungsi-fungsi tersebut digunakan dalam berbagai
kajian bidang teknik sipil seperti rekayasa struktur,
rekayasa geoteknik, rekayasa keairan, rekayasa
transportasi, manajemen konstruksi, dan lain-lain.
3. Grafik fungsi digunakan untuk mempresentasikan
fungsi secara visual dalam bentuk gambar.
16
12/4/2015
LATIHAN
Gambarkan grafik dari fungsi SPL berikut :
1. 𝑥 + 2𝑦 = 1
3𝑥 − 𝑦 = 10
2. 4𝑥 + 𝑦 = 17
3𝑥 − 4𝑦 = 27
3. 4𝑥 + 5𝑦 = 2
11𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3
𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 1
4. 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = −4
Thanks for
your kind attention!
17