Document

CHAPTER 8
Advanced Counting
Techniques
Banyak problem counting yang tidak dapat
dipecahkan dengan menggunakan hanya aturan
dasar, kombinasi, permutasi, dan aturan sarang
merpati. Misalnya:
Ada berapa banyak string biner dengan panjang n
yang tidak memuat 2 angka nol berurutan?
Untuk memecahkan ini, misalkan an = banyaknya
string tsb panjang n.
Dapat ditunjukkan kemudian bhw an+1 = an + an-1.
Dengan memecahkan persamaan ini kita dapat
mencari an.
Relasi Recurrence
Definisi.
Relasi Recurrence untuk barisan {an} adalah
persamaan yang menyatakan an dalam salah satu
atau lebih bentuk a0, a1, …, an-1 untuk semua n
dengan n  n0 dimana n0 bilangan bulat nonnegatif.
Barisan {an} tersebut dikatakan sebagai solusi dari
relasi recurrence ini bila an memenuhi relasi
recurrence.
8.1 APPLICATIONS OF
RECURRENCE RELATIONS
Contoh 1
Misalkan seseorang menabung Rp. 100,000 di bank
dengan bunga 12% per tahun. Berapa banyak uangnya
setelah 30 tahun?
Solusi.
Misal Pn menyatakan banyaknya uang dalam tabungan
setelah n tahun. Maka,
Pn = Pn-1 + 0.12 Pn-1 = (1.12) Pn-1, dengan P0 = 100,000.
Dengan pendekatan iteratif:
P1 = (1.12)P0
P2 = (1.12)P1 = (1.12)2 P0
P3 = (1.12)P2 = (1.12)3 P0

Pn = (1.12)Pn-1 = (1.12)n P0
Contoh 2
Sepasang kelinci ditaruh di suatu pulau. Pasangan kelinci
ini tidak akan beranak sampai berumur 2 bulan. Setelah
berumur 2 bulan, setiap sepasang menghasilkan sepasang
yg lain setiap bulannya. Tentukan relasi recurrence dari
jumlah pasangan setelah n bulan, bila tidak ada kelinci
yg mati.
Solusi.
Misalkan fn: jumlah pasangan kelinci setelah n
bulan.
Maka, f1 = 1, f2 = 1.
Untuk mencari fn, tambahkan jumlah pasangan pada
bulan sebelumnya, fn-1, dengan jumlah pasangan yang
baru lahir, fn-2.
Jadi, fn = fn-1 + fn-2.
Menara Hanoi
Merupakan sebuah puzzle populer yang
ditemukan oleh seorang matematikawan Perancis
Edouard Lucas pada abad 19.
Terdapat menara dengan 3 tiang untuk
meletakkan sejumlah disk berukuran berbeda.
Awalnya semua disk terletak secara terurut pada
tiang pertama dengan disk terbesar paling bawah
Aturan: Satu disk dapat dipindahkan setiap
waktu dari satu tiang ke tiang lain selama disk
tsb tidak berada di atas disk yang lebih kecil.
Tujuan: Memindahkan semua disk ke tiang kedua
dengan disk terbesar di urutan paling bawah.
Menara Hanoi (2)
• Misalkan Hn: banyaknya langkah yg diperlukan
untuk memindahkan n disk dalam masalah menara
Hanoi.
• Kita mulai dengan n disk pada tiang 1. Kita dapat
memindahkan n-1 disk paling atas dengan
mengikuti aturan ke tiang 3 dalam Hn-1 langkah.
• Kemudian, dengan menggunakan 1 langkah kita
bisa memindahkan disk terbesar ke tiang 2.
• Selanjutnya, pindahkan n-1 disk dari tiang 3 ke
tiang 2, dengan mengikuti aturan dalam Hn-1
langkah. Sehingga kita telah memecahkan puzzle
dengan banyak langkah:
Hn = 2Hn-1 + 1 dan H1 = 1.
Menara Hanoi (3)
• Untuk mencari solusinya, dilakukan proses iteratif:
Hn = 2Hn-1 + 1
= 2(2Hn-2 + 1)+1 = 22Hn-2 + 2 +1
= 22(2Hn-3 +1) + 2 +1 = 23Hn-3 + 22 + 2 +1
:
= 2n-1H1 + 2n-2 + 2n-3 + … + 2 +1
= 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + … + 2 +1
(deret geometri)
= 2n - 1
• Jadi, untuk memindahkan 64 disk diperlukan langkah
sebanyak:
264 - 1 = 18,446,744,073,709,551,615.
Variasi Menara Hanoi
Terdapat banyak variasi dari masalah Menara
Hanoi. Yang tertua dan paling menarik adalah
Reve’s puzzle (Henry Dudeney, 1907).
Reve’s puzzle:
Sama seperti masalah Menara Hanoi
namun menggunakan 4 tiang.
• Hingga kini belum ditemukan jumlah
langkah minimum untuk puzzle dengan n
disk.
• Conjecture: sama dengan jumlah langkah
dalam algoritma Frame dan Stewart (1939).
Contoh 3
Ada berapa banyak string biner dengan panjang n yang
tidak memuat 2 angka nol berurutan?
Misalkan an string biner dengan panjang n yang tidak
memuat 2 angka nol berurutan.
Tentukan relasi recurrence untuk an.
Solusi. Periksa: a1 = 2 dan a2 = 3.
Ada dua cara mendapatkan string biner dengan panjang n
yang tidak memuat 2 angka nol berurutan:
string biner dengan panjang n-1 yang
tidak memuat 2 angka nol berurutan
1
an-1
string biner dengan panjang n-2 yang
tidak memuat 2 angka nol berurutan
10
an-2
an = an-1 + an-2
Contoh 4 (Enumerasi Katakode)
Suatu string desimal merupakan katakode yang valid
dalam suatu sistem komputer jika string tersebut
memuat sejumlah genap digit 0.
Contoh. 1230550821 valid dan 120028790 tidak valid.
Misalkan an banyaknya katakode valid dengan panjang n.
Tentukan relasi recurrence untuk an.
Solusi. Periksa: a1 = 9.
Ada dua cara mendapatkan katakode valid panjang n:
Menambahkan 1 digit selain ‘0’ pada
katakode valid panjang n-1
9an-1
Menambahkan 1 digit ‘0’ pada katakode
tak valid panjang n-1
10n-1 - an-1
an = 8an-1 + 10n-1
Soal (Bilangan Catalan)
Cn adalah banyaknya cara untuk
mengelompokkan perkalian n+1 bilangan
x0 . x1 . x2 … xn, untuk menentukan urutan
perkalian.
Tentukan relasi recurrence untuk Cn.
8.2 SOLVING LINEAR RECURRENCE
RELATIONS
Relasi recurrence linear homogen
berderajat k dengan koefisien konstan
Bentuk umum:
an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k,
dengan c1, c2, …, ck bilangan real dan ck  0.
Contoh 1.
1. Pn = (1.12)Pn-1
2. fn = fn-1 + fn-2
3. Hn = 2Hn-1 + 1
4. an = an-1 + (an-2)2
5. Tn = nTn-2
homogen linear berderajat 1
homogen linear berderajat 2
linear tapi tak homogen
tak linear
koefisien tak konstan
Hanya mengkaji relasi linear dengan koefisien konstan!
Mencari solusi
Langkah dasar dalam memecahkan relasi recurrence
homogen linear adalah mencari solusi dalam bentuk an
= rn dengan r konstan.
an = rn adalah solusi dari
an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k
jika dan hanya jika
rn = c1 rn-1 +c2 rn-2 + … + ck rn-k.
Bila kedua ruas dibagi dengan rn-k diperoleh:
rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - … - ck-1 r - ck = 0.
Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari
relasi recurrence. Solusi dari persamaan ini disebut
akar karakteristik.
Solusi relasi recurrence homogen
orde 2 dengan akar berbeda
Teorema 1
Misalkan c1, c2 bilangan real dan
r2 - c1r - c2 = 0 mempunyai dua akar
berbeda r1 dan r2.
Maka semua solusi dari relasi recurrence
an = c1 an-1 + c2 an-2
berbentuk
an = 1r1n + 2r2n, n=0,1,2,…
dengan 1 dan 2 konstan.
Bukti. Lihat di buku!
Contoh 2
Carilah solusi dari
an = an-1 + 2an-2
dengan a0 = 2 dan a1 =7.
Solusi.
Persamaan karakteristiknya
r2 - r - 2 = 0,
mempunyai akar r = 2 dan r = -1.
Menurut Teorema 1, solusi relasi recurrence
berbentuk
an= 1 2n + 2 (-1)n .
Karena a0= 2 dan a1= 7, diperoleh
an = 32n - (-1)n .
Soal 1
Tentukan formula eksplisit dari
bilangan Fibonacci.
Ingat bahwa bilangan Fibonacci fn
memenuhi relasi
fn = fn-1 + fn-2
dan kondisi awal
f0=1, f1=1
Solusi relasi recurrence homogen
orde 2 dengan akar tunggal
Teorema 2
Misalkan c1, c2 bilangan real dengan c2  0 dan r2
- c1r - c2 = 0 mempunyai hanya satu akar r0.
Maka semua solusi dari relasi recurrence
an = c1 an-1 + c2 an-2
berbentuk
an = 1 r0n + 2 nr0n, n=0,1,2,…
dengan 1 dan 2 konstan.
Bukti. Latihan!
Soal 2
Tentukan solusi dari relasi recurrence
an = 6an-1- 9an-2
dengan kondisi awal a0 = 1 dan a1 = 6.
Solusi relasi recurrence homogen
orde n dengan akar berbeda
Teorema 3
Misalkan c1, c2, …, ck bilangan real dan
persamaan karakteristik
rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - … - ck-1 r - ck = 0
mempunyai k akar r1, r2, …, rk yang berbeda.
Maka, solusi relasi recurrence
an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k
selalu berbentuk
an = 1r1n + 2r2n + … + krkn , n=0,1,2,…
dengan i , i=0,1,…,k konstan.
Contoh 3
Tentukan solusi dari relasi recurrence
an = 6an-1 – 11an-2 + 6an-3
dengan kondisi awal a0=2, a1=5 dan a2=15.
Solusi.
Persamaan karakteristiknya
r3 - 6r2 + 11r - 6 = 0.
Jadi akar-akarnya r=1, r=2 dan r=3.
Dengan demikian, solusinya berbentuk
an = 11n + 22n + k3n .
Dari kondisi awalnya diperoleh
an = 1 - 2n + 2  3n .
Solusi relasi recurrence homogen
orde k
Teorema 4
Misal c1, c2, …, ck bilangan real dan persamaan
karakteristik
rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - … - ck-1 r - ck = 0
mempunyai t akar r1, r2, … , rt berbeda dengan
multiplisitas m1, m2, … , mt (m1+ m2 + … + mt = k).
Maka solusi relasi recurrence
an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k
selalu berbentuk
an = (1,0 + 1,1n + … + 1,m1-1 nm1-1)r1n
+ (2,0 + 2,1n + … + 2,m2-1 nm2-1)r2n
+ … + (t,0 + t,1n + … + t,mt-1 nmt-1)rtn
Contoh 4
Tentukan solusi dari relasi recurrence
an = -3an-1 - 3an-2 - an-3
dengan kondisi awal a0 = 1, a1 = -2 dan a2 = -1.
Solusi.
Persamaan karakteristiknya
r3 + 3r2 + 3r +1 = 0.
Jadi akarnya r = -1 dgn multiplisitas 3.
Dengan demikian, solusinya berbentuk
an = 1,0 (-1)n + 1,1 n (-1)n + 1,2 n2 (-1)n .
Dengan memandang kondisi awalnya diperoleh
a = (1 +3n-2n2) (-1)n.
Relasi recurrence tak homogen linear
dengan koefisien konstan
Contoh 5.
an = 3an-2 + 5n
Secara umum,
an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k + F(n)
dengan ci , i=0,1,2,… konstan dan
F(n) fungsi tak nol.
an = c1an-1+c2an-2+ … + ck an-k
disebut relasi recurrence homogen yang berkaitan.
Contoh 6.
an = an-1 + 2n
an = an-1 + an-2 + an-3 + n!
Teorema 5
Jika {an(p)} adalah solusi khusus dari relasi
recurrence tak homogen linear dengan
koefisien konstan
an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k + F(n)
maka setiap solusi berbentuk
{an(p) + an(h)},
dengan {an(h)} solusi relasi recurrence
homogen yang berkaitan
an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k.
Contoh 7
Tentukan semua solusi dari relasi recurrence
an = 3an-1 + 2n.
Solusi.
Karena F(n) = 2n adalah polinom berderajat satu,
maka kita coba polinom berderajat satu
pn = cn + d, dengan c dan d konstan
untuk mendapatkan solusi khusus.
Didapat, pn = 3pn-1 + 2n
cn+d = 3(c(n-1)+d) + 2n
(-2c-2)n + (3c-2d) = 0
Sehingga c = -1 dan d = -3/2.
Jadi, solusi khususnya an(p) = -n - 3/2.
Contoh 7 (2)
Solusi homogen dari relasi homogen yang
berkaitan,
an = 3an-1
adalah an(h) = 3n, dengan  konstan.
Menurut Teorema 5, solusi umum dari
an = 3an-1 + 2n
adalah
an = an(p) + an(h) = -n - 3/2 + 3n.
Jika diketahui a1 = 3, maka solusi menjadi
an = -n - 3/2 + (11/6) 3n.
Contoh 8
Tentukan semua solusi dari relasi recurrence:
an = 5an-1 - 6an-2 + 7n.
Solusi.
Solusi homogennya adalah
an(h) = 13n + 22n.
Karena F(n) = 7n, solusi khusus yg perlu dicoba
adalah
an(p) = c 7n.
Maka,
c 7n = 5c 7n-1 – 6c 7n-2 + 7n.
Diperoleh c = 49/20.
Jadi, solusi umumnya:
an = 13n + 22n + 49/20 7n.
Teorema 6
Misalkan {an} memenuhi relasi recurrence tak homogen
linear
an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k + F(n)
dengan ci , i=1,2,…,k bilangan real dan
F(n) = (btnt + bt-1nt-1 + … + b1n + b0) sn
dengan bi , i=0,1,…,t dan s bilangan real.
Jika s bukan akar dari persamaan karakteristik relasi
recurrence homogen yang berkaitan, maka terdapat
solusi khusus yang berbentuk
(ptnt + pt-1nt-1 + … + p1n + p0) sn
Jika s akar dari persamaan karakteristik dengan
multiplisitas m, maka terdapat solusi khusus yang
berbentuk
F(n) = nm (ptnt + pt-1nt-1 + … + p1n + p0) sn
Contoh 9
Carilah solusi khusus dari relasi recurrence
an = 6an-1 - 9an-2 + F(n)
bila
1. F(n) = 3n,
2. F(n) = n 3n,
3. F(n) = n2 2n, dan
4. F(n) = (n2+1) 3n
Solusi.
Solusi homogennya adalah an(h) = 13n + 2n3n.
Dan solusi khususnya adalah
1. an(p) = p0 n2 3n.
2. an(p) = n2 (p1n+p0)3n.
3. an(p) = (p2n2+p1n+p0)2n.
4. an(p) = n2(p2n2+p1n+p0)3n.
Contoh 10 – Menara Hanoi
Tentukan solusi dari relasi recurrence
Hn = 2Hn-1 + 1, H1 = 1, dan H2 = 3
Solusi.
Relasi homogen yang berkaitan adalah
Hn = 2Hn-1
dan solusi homogennya
Hn(h) =  2n.
Karena F(n) = 1 = 1n, maka solusi khususnya adalah
Hn(p) = p0 1n = p0.
Sehingga solusi umumnya adalah
Hn =  2n + p0
Dengan memandang H1 = 1 dan H2 = 3 diperoleh =1 dan
p0= -1. Jadi,
Hn = 2n - 1
Soal 3
• Ada berapa cara untuk menutup suatu
papan persegi panjang berukuran 2 x n
dengan menggunakan papan-papan kecil
yang berukuran 1 x 2 dan 2 x 2.
• Misalkan an adalah jumlah n bilangan
bulat positif pertama.
Berikan formula eksplisit dari an.