Peluang Diskrit

Teknik Counting
Lanjut
Pendahuluan
Banyak problem counting yang tidak dapat
dipecahkan dengan menggunakan hanya aturan
dasar, kombinasi, permutasi, dan aturan sarang
merpati. Misalnya:
Ada berapa banyak string biner dengan panjang n
yang tidak memuat 2 angka nol berurutan?
Untuk memecahkan ini, misalkan an = banyaknya
string tsb panjang n.
Dapat ditunjukkan kemudian bhw an+1 = an + an-1.
Dengan memecahkan persamaan ini kita dapat
mencari an.
Relasi Recurrence
Definisi.
Relasi Recurrence untuk barisan {an} adalah
persamaan yang menyatakan an dalam salah satu
atau lebih bentuk a0, a1, …, an-1 untuk semua n
dengan n  n0 dimana n0 bilangan bulat nonnegatif.
Barisan {an} tersebut dikatakan sebagai solusi
dari relasi recurrence ini bila an memenuhi relasi
recurrence.
Pemodelan dengan relasi recurrence
Misalkan seseorang menabung Rp. 100,000 di bank
dengan bunga 12% per tahun. Berapa banyak uangnya
setelah 30 tahun?
Solusi.
Misal Pn menyatakan banyaknya uang dalam tabungan
setelah n tahun. Maka,
Pn = Pn-1 + 0.12 Pn-1 = (1.12) Pn-1, dengan P0 = 100,000.
Dengan pendekatan iteratif:
P1 = (1.12)P0
P2 = (1.12)P1 = (1.12)2 P0
P3 = (1.12)P2 = (1.12)3 P0

Pn = (1.12)Pn-1 = (1.12)n P0
Kelinci dan Bilangan Fibonacci
Sepasang kelinci ditaruh di suatu pulau. Pasangan kelinci
ini tidak akan beranak sampai berumur 2 bulan. Setelah
berumur 2 bulan, setiap sepasang menghasilkan sepasang
yg lain setiap bulannya. Tentukan relasi recurrence dari
jumlah pasangan setelah n bulan, bila tidak ada kelinci
yg mati.
Solusi.
Misalkan fn: jumlah pasangan kelinci setelah n
bulan.
Maka, f1 = 1, f2 = 1.
Untuk mencari fn, tambahkan jumlah pasangan pada
bulan sebelumnya, fn-1, dengan jumlah pasangan yang
baru lahir, fn-2.
Jadi, fn = fn-1 + fn-2.
Menara Hanoi
Merupakan sebuah puzzle populer yang
ditemukan oleh seorang matematikawan Perancis
Edouard Lucas pada abad 19, dan disebut Menara
Hanoi.
Terdapat menara dengan 3 tiang untuk
meletakkan sejumlah disk berukuran berbeda.
Awalnya semua disk terletak secara terurut pada
tiang pertama dengan disk terbesar paling bawah
Aturan: Satu disk dapat dipindahkan setiap
waktu dari satu tiang ke tiang lain selama disk
tsb tidak berada di atas disk yang lebih kecil.
Tujuan: Memindahkan semua disk ke tiang kedua
dengan disk terbesar di urutan paling bawah.
Menara Hanoi…




Misalkan Hn: banyaknya langkah yg diperlukan
untuk memindahkan n disk dalam masalah menara
Hanoi.
Kita mulai dengan n disk pada tiang 1. Kita dapat
memindahkan n-1 disk paling atas dengan
mengikuti aturan ke tiang 3 dalam Hn-1 langkah.
Kemudian, dengan menggunakan 1 langkah kita
bisa memindahkan disk terbesar ke tiang 2.
Selanjutnya, pindahkan n-1 disk dari tiang 3 ke
tiang 2, dengan mengikuti aturan dalam Hn-1
langkah. Sehingga kita telah memecahkan puzzle
dengan banyak langkah:
Hn = 2Hn-1 + 1 dan H1 = 1.
Menara Hanoi…

Untuk mencari solusinya, dilakukan proses iteratif:
Hn = 2Hn-1 + 1
= 2(2Hn-2 + 1)+1 = 22Hn-2 + 2 +1
= 22(2Hn-3 +1) + 2 +1 = 23Hn-3 + 22 + 2 +1
:
= 2n-1H1 + 2n-2 + 2n-3 + … + 2 +1
= 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + … + 2 +1
(deret geometri)
= 2n - 1

Jadi, untuk memindahkan 64 disk diperlukan langkah
sebanyak:
264 - 1 = 18,446,744,073,709,551,615.
Variasi Menara Hanoi
Terdapat banyak variasi dari masalah Menara
Hanoi. Yang tertua dan paling menarik adalah
Reve’s puzzle (Henry Dudeney, 1907).
Reve’s puzzle:
Sama seperti masalah Menara Hanoi
namun menggunakan 4 tiang.


Hingga kini belum ditemukan jumlah
langkah minimum untuk puzzle dengan n
disk.
Frame’s conjecture (Frame dan Stewart,
1939).
Contoh
Ada berapa banyak string biner dengan panjang n yang
tidak memuat 2 angka nol berurutan?
Misalkan an string biner dengan panjang n yang tidak
memuat 2 angka nol berurutan.
Tentukan relasi recurrence untuk an.
Solusi. Periksa: a1 = 2 dan a2 = 3.
Ada dua cara mendapatkan string biner dengan panjang n
yang tidak memuat 2 angka nol berurutan:
string biner dengan panjang n-1 yang
tidak memuat 2 angka nol berurutan
1
an-1
string biner dengan panjang n-2 yang
tidak memuat 2 angka nol berurutan
10
an-2
an = an-1 + an-2
Contoh (Enumerasi Codeword)
Suatu string desimal merupakan katakode yang valid
dalam suatu sistem komputer jika string tersebut
memuat sejumlah genap digit 0.
Contoh. 1230550821 valid dan 120028790 tidak valid.
Misalkan an banyaknya katakode valid dengan panjang n.
Tentukan relasi recurrence untuk an.
Solusi. Periksa: a1 = 9.
Ada dua cara mendapatkan katakode valid panjang n:
Menambahkan 1 digit selain ‘0’ pada
katakode valid panjang n-1
9an-1
Menambahkan 1 digit ‘0’ pada katakode
tak valid panjang n-1
10n-1 - an-1
an = 8an-1 + 10n-1
Soal (Bilangan Catalan)
Cn adalah banyaknya cara untuk
mengelompokkan perkalian n+1 bilangan
x0 . x1 . x2 … xn, untuk menentukan urutan
perkalian.
Tentukan relasi recurrence untuk Cn.