Jurnal Material dan Energi Indonesia

Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika
Vol. 01, No. 02 (2017) 28 – 33
© Departemen Fisika FMIPA Universitas Padjadjaran
ENERGI TOTAL KEADAAN DASAR ATOM BERILIUM
DENGAN TEORI GANGGUAN
LIU KIN MEN *1, SETIANTO1, BAMBANG M. WIBAWA2
1
2
Departemen Fisika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran,
Jl. Raya Bandung-Sumedang Km 21, Jatinangor 45363
Departemen Teknik Elektro Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran,
Jl. Raya Bandung-Sumedang Km 21, Jatinangor 45363
* email : [email protected]
Abstrak. Atom Berilium adalah suatu atom yang mempunyai 4 buah elektron pada
kulitnya. Pada keadaan dasar, dua elektron menduduki orbital 1s dan dua elektron lainnya
menduduki orbital 2s. Fungsi gelombang total keadaan dasar ditentukan berdasarkan
determinan Slater. Hamiltonian total merupakan gabungan dari Hamiltonian masingmasing elektron dan suku interaksi di antara keempat elektron bersangkutan. Dengan
diperolehnya fungsi gelombang total dan Hamiltonian total, maka energi total keadaan
dasar atom Berilium dapat ditentukan. Perhitungan dilakukan dengan teori gangguan dan
diperoleh 𝐸0 = −363,75 𝑒𝑉.
Kata kunci : Atom Berilium, keadaan dasar, teori gangguan
Abstract. Beryllium atom is an atom that has four electrons in the shell. In the ground
state, two electrons occupy the 1s orbital and two other electrons occupy the 2s orbital.
The ground state total wave function is determined by the Slater determinant. The total
Hamiltonian is a combination of each electron Hamiltonian and interaction term between
the four electrons. By obtaining the total wave function and total Hamiltonian, then the
ground state total energy of Beryllium atom can be determined. The calculation
performed by perturbation theory and obtained 𝐸0 = −363,75 𝑒𝑉.
Keywords : Beryllium atom, ground state, perturbation theory
1. Pendahuluan
Dalam teori kuantum atom Hidrogen yaitu suatu atom yang hanya mempunyai satu
elektron pada kulitnya, melalui persamaan Schrodinger diperoleh fungsi-fungsi
gelombang (orbital-orbital) elektron dan energi-energi yang bersangkutan [1,2].
Hasil-hasil ini selanjutnya dipergunakan sebagai basis untuk menggambarkan
atom-atom dengan sejumlah elektron, khususnya berkaitan dengan energi total
keadaan dasar dan energi total keadaan eksitasi [3]. Untuk energi total keadaan
dasar, penentuan telah dilakukan pada atom Litium [4] dan atom Berilium [5]. Di
sisi lain untuk energi total keadaan eksitasi, penentuan telah dilakukan pada atom
Litium [6]. Semua penentuan ini dilakukan dengan metode variasi. Cara lain yang
perhitungannya lebih sederhana adalah dengan teori gangguan. Untuk itu dalam
kajian ini dilakukan perhitungan energi total keadaan dasar atom Berilium dengan
teori gangguan.
Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika, ISSN: 2549-0516
28
29
Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika, ISSN: 2549-0516
Tingkat-tingkat energi dan fungsi-fungsi gelombang atom Berilium tidak diperoleh
secara langsung melalui persamaan Schrodinger. Tingkat-tingkat energi dan fungsifungsi gelombang ini didasarkan pada atom Hidrogen ( biasanya dikenal sebagai
mirip-Hidrogen ). Berilium adalah suatu contoh dari atom-atom dengan banyak
elektron.
2. Metode Penelitian
Fungsi gelombang total keadaan dasar dari atom dengan banyak elektron ( Nelektron ) diungkapkan oleh determinan Slater yaitu:
𝜑1(1)𝛽(1) … 𝜑𝑁/2 (1)𝛽(1)
𝜑1(2)𝛽(2) … 𝜑𝑁/2 (2)𝛽(2) | ,
…
…
…
𝜑1 (𝑁)𝛽(𝑁) … 𝜑𝑁/2 (𝑁)𝛽(𝑁)
𝜑1 (1)𝛼(1)
1
| 𝜑1 (2)𝛼(2)
𝛹0 =
…
√𝑁!
𝜑1 (𝑁)𝛼(𝑁)
sedangkan Hamiltonian totalnya adalah:
̂ = ∑𝑖( 𝐻𝑖 + 1 ∑𝑗≠𝑖 𝑒
𝐻
2
4𝜋𝜖
2
0 𝑟𝑖𝑗
).
Dalam hal ini 𝜑1(1)𝛼(1) menyatakan orbital 1 yang diduduki oleh elekron 1 dan
mempunyai spin 𝛼 , dan dengan cara yang sama berarti suku yang terakhir
𝜑𝑁/2 (𝑁)𝛽(𝑁) menyatakan orbital N/2 yang diduduki oleh elektron N dan
mempunyai spin 𝛽 . Selanjutnya 𝑒 adalah muatan elektron, 𝜖0 adalah permitivitas
ruang hampa, 𝑟𝑖𝑗 adalah jarak antara elektron ke−𝑖 dan elektron ke−𝑗, karena itu
suku kedua sebelah kanan dari persamaan adalah potensial interaksi di antara
elektron-elektron, dan:
𝐻𝑖 = −
ћ2 2
𝑍𝑒 2
∇𝑖 −
2𝑚
4𝜋𝜖0 𝑟𝑖
adalah Hamiltonian dari elektron tunggal.
Untuk Berilium pada keadaan dasar ( terdiri dari 4 buah elektron, 2 elektron
menduduki orbital 1s dan 2 elektron menduduki orbital 2s ), fungsi gelombang
totalnya adalah:
𝜑1𝑠 (1)𝛼(1)
1 𝜑 (2)𝛼(2)
𝛹0 = 24 | 1𝑠
√
𝜑1𝑠 (3)𝛼(3)
𝜑1𝑠 (4)𝛼(4)
𝜑1𝑠 (1)𝛽(1)
𝜑1𝑠 (2)𝛽(2)
𝜑1𝑠 (3)𝛽(3)
𝜑1𝑠 (4)𝛽(4)
𝜑2𝑠 (1)𝛼(1)
𝜑2𝑠 (2)𝛼(2)
𝜑2𝑠 (3)𝛼(3)
𝜑2𝑠 (4)𝛼(4)
𝜑2𝑠 (1)𝛽(1)
𝜑2𝑠 (2)𝛽(2)
| ,
𝜑2𝑠 (3)𝛽(3)
𝜑2𝑠 (4)𝛽(4)
sedangkan Hamiltonian totalnya adalah:
̂ = 𝐻1 + 𝐻2 + 𝐻3 + 𝐻4 + 𝑒
𝐻
4𝜋𝜖
𝑒2
4𝜋𝜖0 𝑟34
2
0 𝑟12
𝑒2
+ 4𝜋𝜖
0 𝑟13
𝑒2
+ 4𝜋𝜖
0 𝑟14
𝑒2
+ 4𝜋𝜖
0 𝑟23
𝑒2
+ 4𝜋𝜖
0 𝑟24
+
.
Dalam teori gangguan, energi total keadaan dasar ditentukan berdasarkan
hubungan:
30
Liu Kin Men dkk
̂|𝛹0 > ,
𝐸0 = < 𝛹0 |𝐻
̂ adalah
dalam hal ini 𝛹0 adalah fungsi gelombang total keadaan dasar dan 𝐻
̂ mengandung
Hamiltonian total dari sistem yang bersangkutan. Di sini 𝛹0 dan 𝐻
parameter 𝑍 yang nilainya diambil sama dengan 4 yaitu nomor atom dari atom
Berilium.
3. Hasil dan Pembahasan
Berdasarkan fungsi gelombang total dan Hamiltonian total yang telah dituliskan
pada bagian sebelumnya, diperoleh energi total keadaan dasar atom Berilium
adalah:
𝐸0 = 2𝐸1𝑠 + 2𝐸2𝑠 + 𝐽11 + 4𝐽12 + 𝐽22 − 2𝐾12 ,
dalam hal ini
𝐸1𝑠 =< 𝜑1𝑠 (1)|𝐻1 |𝜑1𝑠 (1) > =< 𝜑1𝑠 (2)|𝐻2 |𝜑1𝑠 (2) > =< 𝜑1𝑠 (3)|𝐻3 |𝜑1𝑠 (3) >
=< 𝜑1𝑠 (4)|𝐻4 |𝜑1𝑠 (4) >
𝐸2𝑠 =< 𝜑2𝑠 (1)|𝐻1|𝜑2𝑠 (1) > =< 𝜑2𝑠 (2)|𝐻2 |𝜑2𝑠 (2) > =< 𝜑2𝑠 (3)|𝐻3 |𝜑2𝑠 (3) >
=< 𝜑2𝑠 (4)|𝐻4 |𝜑2𝑠 (4) >
𝐽11 = < 𝜑1𝑠 (1)𝜑1𝑠 (2) |
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (2) >
4𝜋𝜖0 𝑟12 1𝑠
= < 𝜑1𝑠 (1)𝜑1𝑠 (3) |
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (3) >
4𝜋𝜖0 𝑟13 1𝑠
= < 𝜑1𝑠 (1)𝜑1𝑠 (4) |
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (4) >
4𝜋𝜖0 𝑟14 1𝑠
= < 𝜑1𝑠 (2)𝜑1𝑠 (3) |
𝑒2
| 𝜑 (2)𝜑1𝑠 (3) >
4𝜋𝜖0 𝑟23 1𝑠
𝑒2
| 𝜑 (2)𝜑1𝑠 (4) >
= < 𝜑1𝑠 (2)𝜑1𝑠 (4) |
4𝜋𝜖0 𝑟24 1𝑠
= < 𝜑1𝑠 (3)𝜑1𝑠 (4) |
𝐽12 = < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (2) |
= < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (3) |
𝑒2
| 𝜑 (3)𝜑1𝑠 (4) >
4𝜋𝜖0 𝑟34 1𝑠
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (2) >
4𝜋𝜖0 𝑟12 1𝑠
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (3) >
4𝜋𝜖0 𝑟13 1𝑠
Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika, ISSN: 2549-0516
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (4) >
= < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (4) |
4𝜋𝜖0 𝑟14 1𝑠
= < 𝜑1𝑠 (2)𝜑2𝑠 (3) |
𝑒2
| 𝜑 (2)𝜑2𝑠 (3) >
4𝜋𝜖0 𝑟23 1𝑠
= < 𝜑1𝑠 (2)𝜑2𝑠 (4) |
=< 𝜑1𝑠 (3)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2
| 𝜑 (2)𝜑2𝑠 (4) >
4𝜋𝜖0 𝑟24 1𝑠
𝑒2
| 𝜑 (3)𝜑2𝑠 (4) >
4𝜋𝜖0 𝑟34 1𝑠
𝐽22 = < 𝜑2𝑠 (1)𝜑2𝑠 (2) |
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (2) >
4𝜋𝜖0 𝑟12 2𝑠
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (3) >
= < 𝜑2𝑠 (1)𝜑2𝑠 (3) |
4𝜋𝜖0 𝑟13 2𝑠
= < 𝜑2𝑠 (1)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (4) >
4𝜋𝜖0 𝑟14 2𝑠
= < 𝜑2𝑠 (2)𝜑2𝑠 (3) |
𝑒2
| 𝜑 (2)𝜑2𝑠 (3) >
4𝜋𝜖0 𝑟23 2𝑠
= < 𝜑2𝑠 (2)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2
| 𝜑 (2)𝜑2𝑠 (4) >
4𝜋𝜖0 𝑟24 2𝑠
=< 𝜑2𝑠 (3)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2
| 𝜑 (3)𝜑2𝑠 (4) >
4𝜋𝜖0 𝑟34 2𝑠
Dan
𝐾12 = < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (2) |
= < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (3) |
= < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (2) >
4𝜋𝜖0 𝑟12 2𝑠
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (3) >
4𝜋𝜖0 𝑟13 2𝑠
𝑒2
| 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (4) >
4𝜋𝜖0 𝑟14 2𝑠
= < 𝜑1𝑠 (2)𝜑2𝑠 (3) |
𝑒2
| 𝜑 (2)𝜑1𝑠 (3) >
4𝜋𝜖0 𝑟23 2𝑠
= < 𝜑1𝑠 (2)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2
| 𝜑 (2)𝜑1𝑠 (4) >
4𝜋𝜖0 𝑟24 2𝑠
31
32
Liu Kin Men dkk
𝑒2
=< 𝜑1𝑠 (3)𝜑2𝑠 (4) |4𝜋𝜖
0 𝑟34
| 𝜑2𝑠 (3)𝜑1𝑠 (4) > .
Dengan substitusi orbital-orbital 1s dan 2s dari atom Berilium:
𝜑1𝑠 =
𝜑2𝑠 =
1
4 3 −4𝑟⁄𝑎
0
)2 𝑒
√𝜋 𝑎0
(
4 3
1
4𝑟
( )2 (2 − 𝑎 ) 𝑒
2𝜋 𝑎
4√
0
0
−2𝑟⁄
𝑎0
,
diperoleh:
𝐸1𝑠 = −
𝐸2𝑠
𝑒2
(4)2 = −217,6 𝑒𝑉
8𝜋𝜖0 𝑎0
𝑒 2 (4)2
= −
= −54,4 𝑒𝑉
8𝜋𝜖0 𝑎0 (2)2
𝐽11 = −
𝑒2
5
(− ) (4) = 68 𝑒𝑉
8𝜋𝜖0 𝑎0
4
𝐽12 = −
𝑒2
17
(− ) (4) = 22,83 𝑒𝑉
4𝜋𝜖0 𝑎0
81
𝐽22
𝑒2
121
(−
) (4) = 25,71 𝑒𝑉
= −
4𝜋𝜖0 𝑎0
512
dan:
𝑒2
𝐾12 = − 4𝜋𝜖
0 𝑎0
16
(− 729) (4) = 2,39 𝑒𝑉 .
Karena itu energi total keadaan dasar atom Berilium dengan teori gangguan adalah:
𝐸0 = −363,75 𝑒𝑉 .
4. Kesimpulan
Telah dilakukan perhitungan energi total keadaan dasar atom Berilium dengan teori
gangguan dan diperoleh 𝐸0 = −363,75 𝑒𝑉 . Suku interaksi antar elektron
memberikan kontribusi yang cukup besar bagi energi total. Pengambilan nilai 𝑍 =
4 membuat hasil perhitungan energi total sedikit bergeser dari nilai yang
diharapkan.
Ucapan terima kasih
Penulis menyampaikan terima kasih kepada Haeruman, Heri Sembiring,
Muhammad Rizqan Akbar, dan Apollos Theophilus Silitonga atas diskusi-diskusi
berkaitan dengan topik yang dikaji. Terima kasih juga disampaikan kepada Kosam
Erawan dan Anda Suhanda atas dukungan-dukungan yang diberikan dalam
Penyelesaian tulisan ini
Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika, ISSN: 2549-0516
33
Daftar Pustaka
1.
2.
3.
4.
Siregar, R.E. , Fisika Kuantum, Widya Padjadjaran, 2010.
Gasiorowicz, S. , Quantum Physics, John Wiley and Sons, 2003.
Siregar, R. E. , Struktur Elektronik Atom dan Molekul, Diktat, 2014.
Liu, K. M. , Energi Total Keadaan Dasar Atom Litium dengan Metode Variasi,
Laporan Penelitian Mandiri, Tidak Dipublikasikan, 2014.
5. Liu, K. M. , Energi Total Keadaan Dasar Atom Berilium dengan Metode Variasi,
Laporan Penelitian Mandiri, Tidak Dipublikasikan, 2016.
6. Liu, K. M. dan Setianto, Energi Total Keadaan Eksitasi Atom Litium dengan
Metode Variasi, Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika , Volume 01, No. 01, 2017, 610.