5 BAB 2 TEORI DASAR 2.1 Umum Peristiwa gempa merupakan

5
BAB 2
TEORI DASAR
2.1 Umum
Peristiwa gempa merupakan salah satu aspek yang sangat menentukan
dalam merencanakan struktur. Struktur yang direncanakan harus mempunyai
ketahanan terhadap gempa dengan tingkat keamanan yang dapat diterima. Prinsip
utama dalam perancangan tahan gempa adalah meningkatkan kekuatan struktur
terhadap gaya horizontal yang umumnya tidak mencukupi (Agus, 2002). Muto,
1987 juga mengatakan hal yang sama bahwa gaya dalam arah vertikal hanya
sedikit mengubah gaya gravitasi yang bekerja pada struktur. Oleh karena itu
struktur umumnya jarang sekali runtuh akibat gaya gempa vertikal. Sebaliknya
gaya gempa horizontal menyerang titik-titik lemah pada struktur yang
kekuatannya tidak memadai dan akan langsung menyebabkan keruntuhan.
Penyelesaian perhitungan pengaruh gempa terhadap struktur dapat
dilakukan dengan analisis statik maupun dinamik. Struktur harus dapat
memberikan layanan yang sesuai dengan perencanaan. Menurut Pauly dan
Priestley, 1992 tingkat layanan dari struktur akibat gaya gempa terdiri dari:
1. Serviceability;
Jika gempa dengan intensitas percepatan tanah yang kecil dalam waktu
ulang yang besar mengenai suatu struktur, disyaratkan tidak mengganggu
fungsi bangunan seperti aktivitas normal di dalam bangunan dan
6
perlengkapan yang ada. Dengan kata lain, tidak dibenarkan terjadi
kerusakan pada struktur baik pada komponen struktur maupun elemen
non-struktur yang ada. Dalam perencanaan harus diperhatikan kontrol dan
batas simpangan (drift) yang terjadi semasa gempa, serta menjamin
kekuatan yang cukup bagi komponen struktur untuk menahan gaya gempa
yang terjadi dan diharapkan struktur masih berprilaku elastik.
2. Kontrol Kerusakan (damage control);
Jika struktur dikenai gempa dengan waktu ulang sesuai dengan umur
rencana bangunan, maka struktur direncanakan untuk dapat menahan
gempa ringan tanpa terjadi kerusakan pada komponen struktur ataupun
non-struktur dan diharapkan struktur masih dalam batas elastis.
3. Survival ;
Jika gempa kuat yang mungkin terjadi pada umur rencana bangunan
membebani suatu struktur, maka struktur tersebut direncanakan untuk
dapat bertahan dengan tingkat kerusakan yang besar tanpa mengalami
keruntuhan (collapse). Tujuan utama dari keadaan batas ini adalah untuk
menyelamatkan jiwa manusia.
Sedangkan sifat khusus dari struktur yang berhubungan dengan tingkat layanan
bangunan akibat beban gempa adalah:
1. Kekuatan (Strength)
Kekuatan dapat diartikan sebagai ketahanan dari struktur atau komponen
struktur atau bahan yang digunakan terhadap beban yang membebaninya.
7
Perencanaan kekuatan suatu struktur bergantung pada maksud dan
kegunaan struktur tersebut.
2. Daktilitas (ductility)
Kemampuan suatu struktur gedung untuk mengalami simpangan pascaelatik yang besar secara berulang kali dan bolak-balik akibat beban gempa
di atas beban gempa yang menyebabkan terjadinya pelelehan pertama,
sambil mempertahankan kekuatan, dan kekakuan yang cukup, sehingga
struktur gedung tersebut tetap berdiri, walaupun sudah berada dalam
kondisi ambang keruntuhan.
3. Kekakuan (stiffness)
Deformasi akibat gaya lateral perlu dihitung dan dikontrol. Perhitungan
yang dilakukan berhubungan dengan sifat kekakuan. Deformasi pada
struktur dipengaruhi oleh besar beban yang bekerja. Hubungan ini
merupakan prinsip dasar mekanika struktur, yaitu sifat geometri dan
modulus elastisitas bahan. Kekakuan mempengaruhi besarnya simpangan
pada saat terjadi gempa.
2.2 Struktur Beraturan dan Tidak Beraturan
Bangunan dengan bentuk beraturan, sederhana, dan simetris akan
berperilaku lebih baik terhadap gempa dibandingkan dengan bangunan yang tidak
beraturan (Pauly dan Priestley, 1992). Struktur bangunan gedung harus
diklasifikasikan sebagai beraturan dan tidak beraturan berdasarkan konfigurasi
horizontal dan vertikal dari struktur bangunan gedung. Pada RSNI 03-1726-201x
8
struktur bangunan gedung beraturan dan tidak beraturan diklasifikasikan sebagai
berikut:
1.
Ketidakberaturan Horizontal
Struktur yang mempunyai satu atau lebih ketidakberaturan seperti berikut
ini dianggap mempunyai ketidakberaturan struktur horizontal.
- Ketidakberaturan torsi, yaitu jika simpangan antar lantai tingkat
maksimum, torsi yang dihitung termasuk tak terduga, di sebuah ujung
struktur melintang terhadap sumbu lebih dari 1,2 kali simpangan antar
lantai tingkat rata-rata di ke dua ujung struktur. Dan hanya berlaku untuk
struktur dimana diafragmanya kaku atau setengah kaku.
- Ketidakberaturan torsi berlebihan, yaitu jika simpangan antar lantai tingkat
maksimum, torsi yang dihitung termasuk tak terduga, di sebuah ujung
struktur melintang terhadap sumbu lebih dari 1,4 kali simpangan antar
lantai tingkat rata-rata di ke dua ujung struktur. Dan hanya berlaku untuk
struktur dimana diafragmanya kaku atau setengah kaku.
- Ketidakberaturan sudut dalam, yaitu jika kedua proyeksi denah struktur
dari sudut dalam lebih besar dari 15% dimensi denah struktur dalam arah
yang ditentukan.
- Ketidakberaturan diskontinuitas diafragma, yaitu jika terdapat diafragma
dengan diskontinuitas atau variasi kekakuan mendadak, termasuk yang
mempunyai daerah terpotong atau terbuka lebih besar 50% daerah
diafragma bruto yang melingkupinya, atau perubahan kekakuan diafragma
efektif lebih dari 50% dari suatu tingkat ke tingkat selanjutnya.
9
- Ketidakberaturan pergeseran melintang terhadap bidang, yaitu jika
terdapat diskontinuitas dalam lintasan tahanan gaya lateral, seperti
pergeseran melintang terhadap bidang elemen vertikal.
- Ketidakberaturan sistem non-paralel
Yaitu jika elemen penahan gaya lateral vertikal tidak paralel atau simetris
terhadap sumbu-sumbu ortogonal utama sistem penahan gaya gempa.
2.
Ketidakberaturan Vertikal
Struktur yang mempunyai satu atau lebih ketidakberaturan seperti berikut
ini dianggap mempunyai ketidakberaturan struktur vertikal.
- Ketidakberaturan kekakuan tingkat lunak, yaitu jika terdapat suatu tingkat
dimana kekakuan lateralnya kurang dari 70% kekakuan lateral tingkat di
atasnya atau kurang 80% kekakuan rata-rata 3 tingkat di atasnya.
- Ketidakberaturan kekakuan tingkat lunak berlebihan, yaitu jika terdapat
suatu tingkat dimana kekakuan lateralnya kurang dari 60% kekakuan
lateral tingkat di atasnya atau kurang 70% kekakuan rata-rata 3 tingkat di
atasnya.
- Ketidakberaturan berat (massa), yaitu jika massa efektif semua tingkat
lebih dari 150% massa efektif tingkat didekatnya. Atap yang lebih ringan
dari lantai di bawahnya tidak perlu ditinjau.
- Ketidakberaturan geometri vertikal, jika dimensi horizontal sistem
penahan gaya gempa di semua tingkat lebih dari 130% dimensi horizontal
sistem penahan gaya gempa tingkat didekatnya.
10
- Diskontinuitas arah bidang dalam ketidakberaturan elemen penahan gaya
lateral vertikal, yaitu jika pergeseran arah bidang elemen penahan gaya
lateral lebih besar dari panjang elemen itu atau terdapat reduksi kekakuan
elemen penahan di tingkat di bawahnya.
- Diskontinuitas dalam ketidakberaturan kuat lateral tingkat, yaitu jika kuat
lateral tingkat kurang dari 80% kuat lateral tingkat di atasnya. Kuat lateral
tingkat adalah kuat lateral total semua elemen penahan seismik yang
berbagi geser tingkat untuk arah yang ditinjau.
- Diskontinuitas
dalam
ketidakberaturan
kuat
lateral
tingkat
yang
berlebihan, yaitu jika kuat lateral tingkat kurang dari 65% kuat lateral
tingkat di atasnya. Kuat lateral tingkat adalah kuat lateral total semua
elemen penahan seismik yang berbagi geser tingkat untuk arah yang
ditinjau.
Sebaliknya jika suatu bangunan tidak termasuk dalam syarat yang
berlaku dalam RSNI 03-1726-201x, gedung tersebut dikategorikan sebagai
gedung beraturan.
2.3 Model Matematik dan Persamaan Diferensial
Model matematik adalah salah satu kebijakan dalam persoalan
keteknikan. Penyederhanaan atau anggapan yang ada pada matematik diambil
sedemikian rupa sehingga secara keseluruhan diperoleh suatu ketelitian yang
cukup tanpa adanya kesalahan yang berarti. Permodelan menjadi sesuatu yang
penting agar persoalan yang kompleks dapat ditransfer menjadi persoalan yang
11
dapat diselesaikan dengan mudah secara matematik. Model matematik ini
diperlukan tidak hanya pada persoalan statik tetapi juga pada problem dinamik
Penyelesaian problem statik umumnya hanya memerlukan sekali
penyelesaian,
artinya
tidak
ada
pengulangan-pengulangan,
sedangkan
penyelesaian problem dinamik akan dilakukan berulang-ulang sesuai dengan step
integrasi numerik dan durasi pembebanan yang ditinjau. Hal tersebut
mengakibatkan penyelesaian problem dinamik menjadi lebih lama, lebih banyak,
dan lebih mahal daripada penyelesaian problem statik. Pengaruh beban dinamik
terhadap respon struktur akan lebih besar daripada pengaruh beban statik. Hal
inilah yang menjadi alasan utama mengapa analisis dinamik tetap dibutuhkan
walaupun diperlukan waktu dan biaya yang lebih mahal dibanding dengan analisis
statik.
Model matematik pada hakekatnya adalah pemodelan suatu persoalan
sedemikian rupa sehingga penyelesaian persoalan tersebut dapat dilakukan secara
lebih jelas dan mudah dengan memakai prinsip-prinsip matematik. Apabila semua
aksi dan reaksi yang terlibat dalam sistem yang ditinjau kesemuanya telah
dimodelkan, maka ekspresi matematik atas keseimbangan sistem bersangkutan
dapat disusun dengan mudah. Oleh karena itu, ekspresi matematik atas suatu
keseimbangan dapat dituangkan dengan mudah dan benar apabila telah dilakukan
permodelan fisik secara visual sehingga memudahkan dalam menuangkan
ekspresi matematik atas suatu keseimbangan.
12
2.3.1 Struktur Tanpa Redaman
Pada gambar 2.1.a suatu struktur bangunan 1 tingkat mendukung beban
gravitasi yang berupa beban terbagi dan beban horizontal dinamik F(t). Akibat
beban dinamik, struktur akan bergoyang berganti-ganti ke kanan maupun ke kiri.
Terdapat dua parameter penting yang mempengaruhi besar-besarnya goyangan
yaitu massa (m) dan kekakuan (k). Dua parameter ini selanjutnya akan disebut
dinamik karakteristik dari struktur yang bersangkutan. Secara sepintas akan
mudah diketahui bahwa semakin kaku kolom maka goyangan massa akan
semakin kecil dan sebaliknya.
q=t/m'
F (t)
F
y
k
F (t)
k
m
y
a) Struktur yang sebenarnya
b) Model Matematik
c) Linier Elastik
Gambar 2.1 Pemodelan struktur
Sumber: Widodo (2001)
Beban gravitasi seperti Gambar 2.1.a selanjutnya dimodel sebagai suatu massa m,
yang dapat dihitung menurut,
m
dimana:
W adalah berat beban gravitasi
g adalah percepatan gravitasi
W
g
(2.1)
13
Massa struktur yang dihitung menurut persamaan 2.1 tersebut
dimodelkan sebagai suatu massa m yang bergerak diatas landasan melalui rodarodanya seperti tampak pada gambar 2.1.b. Dalam hal ini dianggap tidak ada
gesekan antara roda-roda dengan landasannya. Gerakan massa m akibat beban
dinamik F(t) tersebut dikendalikan oleh suatu pegas sebagaimana tampak pada
gambar 2.1.b. Simpangan horisontal y(t) selanjutnya diukur dari posisi massa saat
diam.
Sebagaimana disampaikan di atas, kolom akan memegang peranan
penting pada proses goyangan massa. Peran kolom pada peristiwa goyangan
massa ini akan ditunjukkan oleh adanya kekakuan kolom. Kekakuan kolom
kemudian dimodelkan sebagai suatu pegas seperti tampak pada gambar 2.1.b.
Kekakuan kolom yang dimaksud adalah fungsi langsung dari sistem pengekangan
pada ujung-ujung kolom, modulus elastik E, momen inersia Ix, dan berbanding
terbalik secara kubik dengan panjang kolom h. Dengan kenyataan seperti itu,
maka kekakuan kolom sangat dipengaruhi oleh panjang kolom.
Gambar 2.1.b adalah model matematik atas struktur yang tidak memakai
redaman. Untuk seterusnya, pembahasan respon struktur dipakai anggapan bahwa
kolom masih berperilaku elastik sehingga model pegas yang dipakai adalah pegas
linier elastik sebagaimana tampak pada gambar 2.1.c.
2.3.2 Struktur Dengan Redaman
Benda yang bergerak dipermukaan bumi umumnya akan mengalami
resistensi baik karena gesekan dengan benda-benda sekelilingnya maupun oleh
14
peristiwa intern yang ada pada benda yang bersangkutan. Dengan adanya
resistensi gerakan itu maka gerakan benda lambat laun akan melemah. Umumnya
dikatakan bahwa terdapat sistem penyerapan energi pada peristiwa yang
bersangkutan atau struktur yang bersangkutan mempunyai sistim peredaman.
Sistim penyerapan energi ini hanya ada pada peristiwa dinamik.
Ada beberapa jenis redaman yang dapat dikenal yaitu:
1) Structural damping
Sructural damping adalah redaman yang dihasilkan oleh adanya gesekan
secara intern atas molekul-molekul di dalam bahan, gesekan antara
bagian-bagian struktur dengan alat-alat penyambung, maupun gesekan
antara struktur dengan sistem dukungan.
2) Coulumb damping
Coulumb damping adalah redaman yang dihasilkan gesekan sesama benda
padat, misalnya gesekan antara suatu kotak dengan berat/gaya normal N
dengan lantai. Besarnya gaya redam C akan bergantung pada besarnya
gaya normal N dan sudut gesek alam material f, yang dapat dinyatakan
sebagai berikut:
C = N tan Ø
(2.2)
3) Viscous damping
Viscous damping adalah redaman yang dihasilkan oleh gesekan antara
benda padat dengan benda cair/gas (air, minyak, oli, dan udara), yang
dapat dinyatakan sebagai berikut:
C=C.ý
(2.3)
15
Persamaan 2.3 menunjukkan bahwa gaya redam C merupakan fungsi lurus
terhadap koefisien redaman c dan kecepatan massa ý . Koefisien redaman c
selanjutnya akan dinyatakan oleh rasio redaman (damping ratios). Setiap jenis
material dan tingkat respon struktur akan mempunyai rasio redaman yang
berbeda. Walaupun struktur mempunyai rasio redaman yang cukup tinggi tetapi
pada pembebanan yang relatif singkat seperti pada peristiwa ledakan, maka
efektivitas penyerapan energi relatif kecil. Penyerapan energi akan berjalan sangat
efektif apabila struktur mempunyai rasio redaman cukup besar dan durasi
pembebanan yang relatif lama. Redaman yang efektif selanjutnya akan banyak
mengurangi atau mengeliminasi goyangan.
F (t)
k
c
Simpangan (cm)
m
2
1
0
0
50
100
150
200
-1
-2
a) Struktur SDOF
k
b) Simpangan Horizontal Massa
F (t)
m
c= C.ý
c
c) Model Matematik
d) Model Redaman Viscous
Gambar 2.2 Model Matematik Struktur yang Mempunyai Redaman
Sumber: Widodo (2001)
Pada gambar 2.2.a gaya redam akan proporsional dengan kecepatan
relatif antara dua massa yang berdekatan. Gaya redam pada massa ke-i akan
16
dipengaruhi oleh kecepatan massa ke (i-1) dan kecepatan massa ke (i+1). Ada
juga gaya redam yang merupakan fungsi dari absolut kecepatan massa. Pada
redaman jenis ini gaya redam masing-masing tingkat akan saling independen,
artinya redaman tingkat ke-i hanya dipengaruhi oleh kecepatan massa ke-i. Untuk
bangunan gedung bertingkat banyak, jenis-jenis redaman seperti itu akan
berpengaruh terhadap matriks redaman dan akan berpengaruh terhadap respon
struktur.
Simpangan massa pada struktur yang mempunyai redaman akan
berkurang secara terus menerus sebagaimana tampak pada gambar 2.2.b. Pada
struktur yang bersifat elastik, simpangan massa akan menjadi nol setelah terjadi
penyerapan energi secara total. Pada saat itu posisi massa akan kembali atau sama
seperti pada posisi awal.
Model matematik struktur yang mempunyai redaman selengkapnya telihat
seperti gambar 2.2.c, dimana suatu massa m yang bergerak di atas landasan akibat
beban dinamik F(t), gerakannya dikendalikan oleh kekakuan pegas k, dan
koefisien redaman c. Gaya pegas dan gaya redam akan bekerja secara berlawanan
dengan arah gerakan. Hal ini yang memungkinkan bangunan kembali seperti pada
posisi semula setelah bergoyang akibat gempa bumi atau oleh beban dinamik
yang lain.
2.4 Derajat Kebebasan (Degree Of Freedom)
Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang
diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada setiap saat. Apabila suatu
17
titik yang ditinjau mengalami perpindahan tempat secara horizontal, vertikal, dan
ke samping misalnya, maka sistem tersebut mempuyai 3 derajat kebebasan. Hal
ini terjadi karena titik yang bersangkutan dapat berpindah secara bebas dalam 3
arah.
Sesuai dengan penyederhanaan yang dapat diambil pada persoalan
engineering, goyangan tersebut dapat dianggap hanya terjadi dalam satu bidang
saja (tanpa putiran). Hal ini dimaksudkan agar penyelesaian persoalan menjadi
sedikit berkurang baik secara kualitas atau pun secara kuantitas. Penyelesaian
yang dahulunya kompleks menjadi lebih sederhana. Hal ini terjadi karena
penyelesaian dinamik merupakan penyelesaian berulang-ulang dalam ratusan
bahkan ribuan kali.
Pada problem dinamik, setiap titik atau massa umumnya hanya
diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal.
Karena simpangan hanya terjadi dalam satu bidang (2 dimensi) maka simpangan
suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi/ordinat tertentu baik
bertanda positif ataupun negatif. Pada kondisi 2D tersebut simpangan suatu massa
pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu y(t). Struktur seperti
itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal. Secara umum bangunan
1 tingkat dianggap hanya mempunyai derajat kebebasan tunggal (single degree of
freedom, SDOF) dan struktur yang mempunyai n tingkat akan mempunyai n
derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak (multi degree of
freedom, MDOF). Dengan begitu, dapat disimpulkan bahwa, jumlah derajat
kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi
18
suatu massa pada saat tertentu.
2.5 Prinsip Shear Building
Pada struktur bangunan bertingkat yang bergoyang ke arah horizontal
umumnya terapat 3 pola goyangan yang terjadi. Kombinasi antara kelangsingan
struktur, jenis struktur utama penahan beban dan jenis bahan yang dipakai akan
berpengaruh terhadap pola goyangan yang dimaksud.
Pola goyangan pertama adalah bangunan yang bergoyang dengan
dominasi geser (shear mode) atau pola goyangan geser, yang akan terjadi pada
bangunan bertingkat banyak dengan portal terbuka sebagai struktur utama seperti
gambar 3.2.a. Pola goyangan kedua adalah pola goyangan yang didominasi oleh
lentur (flexural mode), yang akan terjadi pada struktur dinding yang kaku baik
pada frame walls atau cantilever wall yang kedua-duanya dijepit secara kaku pada
fondasinya seperti gambar 3.2.b. Pola goyangan ketiga adalah kombinasi diantara
keduanya, yang dapat terjadi pada struktur portal terbuka yang dikombinasi
dengan struktur dinding (structural walls) yang tidak terlaku kaku seperti gambar
3.2.c.
Pada analisiss dinamika struktur pola goyangan pertamalah yang
umumnya diadopsi, artinya struktur dianggap cukup fleksibel dengan lantai-lantai
tingkat yang relatif kaku, sehingga akan tercapai anggapan hanya terdapat satu
derajat kebebasan pada setiap tingkat. Dengan begitu portal seoalah-olah menjadi
bangunan yang bergoyang akibat gaya lintang saja (lentur balok dianggap tidak
ada) atau bangunan yang pola goyangannya didominasi oleh geser yang disebut
19
dengan istilah shear building.
F
F
a) Shear M ode
F
b) Flexural M ode
c) Kom binasi
Gambar 2.3 Pola Goyangan Struktur Bertingkat Banyak
Sumber: Widodo (2001)
2.6 Karakteristik Struktur Bangunan
Persamaan diferensial melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu
massa, kekakuan, dan redaman. Ketiga properti struktur itu umumnya disebut
dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat spesifik dan tidak
semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan elemen/struktur adalah salah
20
satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan
karakteristik yang lainya yaitu massa dan redaman tidak dipakai.
2.6.1 Massa
Struktur yang kontiniu kemungkinan mempunyai banyak derajat
kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya
derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan
menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial
yang ada. Terdapat dua pendekatan pokok yang umumnya dilakukan untuk
mendeskripsikan massa struktur. Pendekatan pertama adalah prinsip lumped mass
mass dan pendekatan kedua adalah prinsip consitent mass matrix.
a) Model Lumped Mass
Model diskretisasi massa yaitu massa dianggap menggumpal pada
tempat-tempat (lumped mass) join atau tempat-tempat tertentu. Dalam hal
ini gerakan/degre of freedom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik
model yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan/satu translasi maka
nantinya elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks
yang isinya hanya bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993)
mengatakan bahwa bagian off diagonal akan sama dengan nol karena gaya
inersia hanya bekerja pada tiap-tiap massa. Selanjutnya juga dikatakan
apabila terdapat gerakan rotasi massa (rotation degre of freedom), maka
pada model lumped mass ini juga tidak akan ada rotation moment of
inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa dianggap menggumpal
21
pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat
dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi
tersebut terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia
sama dengan nol.
Apabila prinsip di atas dipakai, maka hanya terdapat satu degree of
freedom untuk setiap modal/massa, yaitu simpangan horizontal. Kondisi
seperti itu adalah seperti prinsip bangunan geser (shear bulding). Pada
bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat pada
tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat
hanya ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan.
Karena hanya terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap
massa/tingkat, maka jumlah derajat kebebasan pada suatu bangunan
bertingkat hanya akan ditunjukkan oleh banyaknya tingkat bangunan yang
bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks hanya akan berisi pada bagian
diagonal saja.
b) Model Consitent Mass Matrix
Pada prinsip consitent mass matrix, elemen struktur akan
berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan
massa seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi
massanya kontiniu.
Apabila tiga derajat kebebasan (horizontal, vertikal, dan rotasi)
diperhitungkan pada setiap node maka standar consistent mass matrix
akan menghasilkan full populated consistent matrix artinya suatu matriks
22
yang off diagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Melalui pendekatan
finite elemen, maka untuk setiap element balok lurus dan degre of freedom
yang ditinjau akan menghasilkan konsisten matriks massa yang sudah
standar.
Clough dan Penzein (1993) mengatakan bahwa pemakaian
consistent mass matriks akan memerlukan hitungan yang banyak. Pada
lumped mass model tidak akan terjadi ketergantungan antar massa (mass
coupling) karena matriks massa adalah diagonal. Apabila tidak demikian
maka mass moment of inertia akibat translasi dan rotasi harus
diperhitungkan. Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya
terkonsentrasi pada tiap-tiap tingkat bangunan, maka penggunaan model
lumped mass masih cukup akurat. Untuk pembahasan struktur MDOF
seterusnya maka model inilah (lumped mass) yang akan dipakai.
2.6.2 Kekakuan
Kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan
yang sangat penting di samping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan
struktur akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut
karakteristik diri atau eigenproblem. Hubungan tersebut akan menentukan nilai
frekuensi sudut ω dan priode getar struktur T. Ke dua nilai ini merupakan
parameter yang sangat penting dan akan dapat mempengaruhi respons dinamik
struktur.
Pada prinsip bangunan geser (shear building) balok pada lantai tingkat
23
dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan.
Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat
membantu kekakuan balok sehingga anggapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada
prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat
dibanding dengan balok, namun rasio tersebut tidak selalu linear dengan
kekakuannya. Dengan prinsip shear building maka dimungkinkan pemakaian
lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung
berdasarkan rumus standar.
2.6.3 Redaman
Redaman merupakan peristiwa penyerapan energi (energi dissipation)
oleh struktur akibat adanya berbagai sebab. Beberapa penyebab itu diantaranya
adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul di dalam material,
pelepasan energi oleh adanya gesekan alat penyambung maupun sistem dukungan,
pelepasan energi akibat gesekan dengan udara dan pada respons inelastik.
Pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastik. Karena redaman
berfungsi melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respons struktur.
Secara umum redaman atau damping dapat dikategorikan menurut
damping system dan damping types. Damping system yang dimaksud adalah
bagaimana sistem struktur mempunyai kemampuan dalam menyerap energi.
Menurut sistem struktur yang dimaksud, terdapat dua sistem disipasi energi yaitu:
24
a) Damping klasik (Classical Damping)
Sistem struktur memakai bahan yang sama, yang mempunyai rasio
redaman (damping ratio) yang relatif kecil, dan struktur damping dijepit
didasarnya, maka sistem struktur tersebut mempunyai damping yang
bersifat klasik (classical damping). Damping dengan sistem ini akan
memenuhi kaidah kondisi orthogonal (orthogonality condition).
b) Damping Nonklasik (Non Classical Damping)
Suatu sistem struktur yang memakai bahan yang berlainan, dimana
bahan-bahan yang bersangkutan mempunyai rasio redaman yang berbeda
secara signifikan, sehingga keduanya tidak bisa membangun redaman
yang klasik.
Berdasarkan jenisnya, maka damping dapat dibedakan dalam beberapa
golongan yaitu sebagai berikut.
1. Damping Proporsional terhadap Massa (Mass Proportional Damping)
Dalam hal ini suatu damping akan berbanding langsung dengan massa
struktur. Apabila dipakai matriks massa diagonal, maka damping matriks juga
hanya pada diagonal saja. Chopra (1995) mengatakan bahwa damping jenis ini
agak kurang rasional secara fisik karena massa hanya bersinggungan dengan
udara padahal redaman akibat ini relatif kecil dan bahkan kadang-kadang dapat
diabaikan.
2. Damping
Proporsional
dengan
Kekakuan
(Stiffness
Proportional
Damping)
Redaman jenis ini merupakan fungsi dari kekakuan, artinya isian pada
25
matriks redaman akan senada dengan matriks kekakuan. Selanjutnya Chopra
(1995) mengatakan bahwa damping jenis ini secara fisik agak rasional, karena
disipasi energi akan dikaitkan dengan deformasi antar tingkat. Deformasi atau
simpangan antar tingkat banyak bergantung pada kekakuan dan banyak
pernyataan telah disampaikan bahwa semakin besar simpangan struktur maka
semakin besar pula potensi meredam energi.
3. Damping Proporsional dengan Massa dan Kekakuan (Mass and Stiffness
Proportional Damping)
Menyadari bahwa dua jenis redaman di atas masih mempunyai kelemahankelemahan maka umumnya dipakai kombinasi antara ke dua jenis redaman
tersebut. Kelemahan-kelemahan terletak pada nilai-nilai rasio redaman pada
mode-mode lebih tinggi rasio redamannya menjadi sangat kecil dan sangat besar.
Sebaliknya
pada
mode-mode
yang
rendah
rasio
redamannya
menjadi
kebalikannya. Dengan kenyataan ini dipakai kombinasi antar jenis redaman yang
pertama dengan yang ke dua.
2.7 Persamaan Diferensial Struktur Pada SDOF
Struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan
mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada
saat tertentu yang ditinjau.
26
q = t/m '
m
F (t)
k
c
a) Struktur SD O F
k
F (t)
m
b) M odel F isik Struktur SD O F
Fs
FD
F (t)
FI
c
c) M odel M atem atik
d) F ree B ody D iagram
Gambar 2.4 Pemodelan Struktur SDOF
Sumber: Widodo (2001)
Pada gambar 2.4.a tersebut tampak bahwa F(t) adalah beban dinamik
yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Sruktur seperti
gambar 2.4.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak pada gambar 2.4.b.
Notasi m,c, dan k seperti yang tampak digambar tersebut berturut-turut adalah
massa, koefisien redaman, dan kekakuan kolom. Pada gambar 2.4.c ditampilkan
model matematik untuk struktur SDOF yang mempunyai redaman. Pada gambar
tersebut bekerja sebuah gaya dinamik F(t).
Apabila beban dinamik F(t) seperti gambar 2.4.c bekerja ke arah kanan,
maka akan terdapat perlawanan pegas, damper, dan gaya inersia. Gambar 2.4.d
adalah gambar keseimbangan dinamik yang bekerja pada massa m. Gambar
tersebut disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik
pada free body diagram tersebut dapat diperoleh hubungan dalam persamaan di
27
bawah ini:
FI+FD+FS=F(t)
dimana :
FI = m. ÿ
FD = c. ý
Fs = k.y
(2.4)
(2.5)
Yang mana FI, FD, FS berturut-turut adalah gaya inersia, gaya redam dan gaya
pegas, sedangkan ÿ, ý, dan y berturut-turut adalah percepatan, kecepatan dan
simpangan.
Apabila persamaan 2.5 diatas disubstitusikan pada persamaan 2.4 maka
akan diperoleh,
m. ÿ + c. ý + k. y = F(t)
(2.6)
2.8 Persamaan Diferensial Struktur SDOF Akibat Base Motions
Beban dinamik yang umum dipakai pada analisis struktur selain beban
angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah
menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk aselerogram. Tanah
yamg bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah ikut
bergetar termasuk struktur bangunan. Dalam hal ini masih ada anggapan bahwa
antara pondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersamaan. Anggapan ini
sebenarnya tidak sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku
yang mampu menyatu dengan pondasi. Kejadian yang sesungguhnya adalah
bahwa antara pondasi dan tanah tidak akan bergerak secara bersamaan. Pondasi
masih akan begerak horizontal relatif terhadap tanah yang mendukungnya.
Keadaan seperti ini cukup rumit karena sudah mempertimbangkan pengaruh tanah
28
terhadap analisis struktur yang umumnya disebut soil structure in teraction
analisis.
Untuk menyusun persamaan diferensial gerakan massa akibat gerakan
tanah maka anggapan diatas tetap dipakai yaitu tanah menyatu secara kaku dengan
kolom atau kolom dianggap dijepit pada bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung
bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Hal tersebut dapat
digambarkan seperti gambar 2.5.
y1
m
y
m
-m ÿ
b
k
k
c
c
yb
a ) S tru ktu r Id ea l
b ) B eb a n G em p a E fektif
k
ky
cý
m
mÿ
c
yb
c) M o d el M a tem a tik
d ) F ree B o d y D ia g ra m
Gambar 2.5 Struktur SDOF akibat Base Motion
Sumber: Widodo (2001)
Berdasarkan free body diagram seperti pada gambar di atas, maka
persamaan diferensial gerakan adalah,
m. ÿ + c. ý + k. y = 0
(2.7)
Dimana ÿ, ý, dan y berturut-turut adalah percepatan, kecepatan dan simpangan
absolut massa yang dihitung dari referensi awal. Dengan memakai hubungan
29
antara percepatan dan simpangan absolut dengan kecepatan dan simpangan relatif
pada percepatan tanah seperti berikut:
y1 = yb + y
ý1= ýb + y
ÿ1 = ÿb +y
(2.8)
Dimana yb adalah simpangan tanah dan y adalah simpangan massa relative
terhadap fondasinya. Kemudian dengan melakukan substitusi persamaan 2.8 ke
dalam persamaan 2.7, maka akan diperoleh persamaan berikut,
m. ÿ + c. ý + k. y = - m . ÿb
(2.9)
Ruas kanan pada persamaan 2.9 biasa disebut sebagai beban gempa efektif atau
beban gerakan tanah efektif, yang seolah-olah menjadi gaya dinamik efektif yang
bekerja pada elevasi lantai tingkat seperti pada gambar 2.5
2.9 Persamaan Diferensial pada Struktur MDOF
Paz, 1987 mengatakan bahwa struktur tidak selalu dapat digolongkan
sebagai model berderajat tunggal dan pada umumnya dapat dinyatakan oleh
model
berderajat
banyak.
Kenyataannya,
struktur
adalah
sistem
berkesinambungan, jadi merupakan sistem berderajat kebebasan banyak (MDOF).
Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan
derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada
struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF). Anggapan seperti prinsip
shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak
(MDOF). Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai
prinsip keseimbangan dinamik pada suatu massa yang ditinjau. Untuk
(2.
30
memperoleh persamaan tersebut, maka diambil model struktur MDOF seperti
gambar 2.6.
k1
F 3 (t)
k3
F 1 (t)
k2
h
k1
h
m1
c2
F 2 (t)
m2
F 3 (t)
m3
c3
b) Model Matematik
k 1y1
c1ý1
l
k3
F 1 (t)
h
c1
F 2 (t)
k2
k 2 ( y2-y1)
mÿ
1
1
c2( ý2-ý1)
k 3 ( y3-y2)
m2ÿ2
c3( ý3-ý2)
m3ÿ3
l
c) Free Body Diagram
a) Struktur dengan 3 DOF
Gambar 2.6 Struktur 3 DOF dengan Redaman
Sumber: Widodo (2001)
Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram akan diperoleh,
m1 ÿ1 + k1y1 + c1ý1 – k2 (y2-y1) – c2 (ý 2- ý 1) - F1(t) = 0
m2 ÿ2 + k2 (y2-y1) + c2 (ý2- ý1) – k3 (y3-y2) – c3(ý3- ý2)-F2(t) = 0
m3 ÿ 3 + k3 (y3-y2) + c3(ý3- ý2) – F1(t) = 0
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Pada persamaan-persamaan tersebut di atas tampak bahwa keseimbangan dinamik
suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekauan, redaman,
simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti
itu umumnya disebut coupled equation, karena persamaan-persamaan tersebut
akan bergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus dilakukan
secara simultan, artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada. Pada
struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakan
31
merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain.
Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut
parameter yang sama (percepatan, kecepatan, dan simpangan), maka akan
diperoleh,
m1 ÿ1 + (c1+c2)ý1- c2 ý2 + (k1+k2)y1- k2 y2 = F1(t)
(2.13)
m2 ÿ2- c2 ý1+ (c2+c3)ý2- c3 ý3- k2 y1 + (k2+k3)y2- k3 y3 = F2(t) (2.14)
m3 ÿ3- c3 ý2+c3ý3- k3 y2+ k3 y3 = F3(t)
(2.15)
Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut,
 
 ,, 
, 
0  y1 k1  k 2  k 2
0  y1  F1(t ) 
m1 0 0  y,,1 c1  c2  c2
,
 0 m2 0  y2    c2 c1  c2  c3 y2    k 2 k1  k 2  k3 y2  F 2(t )


 ,,  
 ,  
  
 0 0 m3 y3  0
 c3
c3  y3  0
 k3
k3  y3 F3(t )(2.16)
 
 
 
 
 
 
Matriks di atas dapat ditulis ke dalam matriks yang lebih kompak, yakni:
[M]{ÿ} + [C]{ý} + [K]{y} = {F(t)}
(2.17)
Dimana [M], [C], dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks
dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
0
0 
0 
m1 0
c1  c2  c2
k1  k 2  k 2





M    0 m2 0 , C    c2 c1  c2  c3, K     k 2 k1  k 2  k3
 0 0 m3
 0
 0
 c3
c3 
 k3
k 3  (2.18)
Sedangkan { ÿ },{ý},{ y} dan {P(t)}masing-masing adalah vektor percepatan,
vector kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban, yang dapat dituliskan
sebagai berikut,
 
 .. 
 . 
y
1
y1 
 F1(t )
 y1 



..
..
.
.






Y    y 2, Y    y 2, Y    y 2, danF (t )  F 2(t )
..
.
F 3(t )
 y 3
 y 3
 y 3
 
 
 
(2.19)
32
Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya
pegas, gaya redam, dan gaya inersia seperti gambar berikut:
F (t)
fS
=
Displacement y
Velocity ý
Acceleration ÿ
(a)
fD
+
Displacement y
(b)
fI
+
Velocity ý
(c)
Acceleration ÿ
(d)
Gambar 2.7 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan fs, fd, dan fI (Chopra, 1995)
Sumber: Widodo (2001)
2.10
Analisis Time History (Analisis Riwayat Waktu)
Analisis time history dapat dilakukan dengan metode superposisi dan
metode integrasi langsung. Dan pada tugas akhir ini yang digunakan adalah
metode superposisi, yang disebut juga modal analysis method. Metode ini pada
intinya adalah dengan memakai standar mode shapes sebagai persoalan utama.
Standar mode shapes ini akan menjadi parameter yang sangat penting pada
metode ini, karena respons struktur merupakan fungsi langsung atas mode shapes
struktur yang bersangkutan.
Pada metode superposisi ini, persamaan diferensial coupling ditransfer
menjadi persamaan simultan uncoupling, yaitu persamaan diferensial simultan
yang masing-masing anggota persamaannya saling independen. Dengan
persamaan diferensial uncoupling, maka struktur MDOF seolah-olah menjadi
struktur SDOF. Penyelesaian persamaan dilakukan untuk setiap mode. Standar
33
mode shapes seperti disinggung di atas dipakai untuk mentransformasi dari Npersamaan diferensial coupling menjadi N persamaan diferensial uncoupling.
Persamaan diferensial uncoupling yang diperoleh adalah persamaan
diferensial setiap mode atau setiap ragam/pola goyangan yang saling independen.
Penyelesaian persamaan simultan independen akan menghasilkan simpangan
tingkat yang berasal dari kontribusi setiap mode. Simpangan total untuk setiap
tingkat dapat diperoleh dengan menjumlahkan/superposisi dari simpangan
konstribusi setiap mode. Dengan alasan tersebut maka metode ini disebut mode
displacement superposition method.
2.11 Analisis Statik Ekivalen
Pawirodikromo (2012) mengatakan bahwa analisis dinamik akan
memberikan hasil yang akurat tetapi memerlukan hitungan yang banyak,
memakan waktu, dan lebih banyak untuk kepentingan akademik. Untuk keperluan
praktis di lapangan maka analisis dinamik jarang dilakukan. Mengingat alasanalasan tersebut, oleh karena itu para peneliti sejak dulu telah berusaha bagaimana
analisis dinamik terhadap struktur dapat disederhanakan dengan memakai asumsiasumsi tertentu sehingga mudah dan praktis digunakan di lapangan. Efek beban
dinamik disederhanakan menjadi gaya horizontal yang bekerja pada pusat massa
yang bersifat statik. Gaya-gaya horizontal tersebut sifatnya hanya ekivalen
sebagai pengganti dari efek dinamik yang sesungguhnya pada saat terjadi gempa
bumi yang disebut sebagai beban horizontal statik ekivalen.