sistem koordinat Cartesius

MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra Gunawan
Semester II, 2016/2017
3 Maret 2017
Kuliah yang Lalu
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang
Kurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Kuliah Hari Ini
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang
Kurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
11.1 SISTEM KOORDINAT
CARTESIUS DI R3
• Memahami sistem koordinat Cartesius
di R3
• Mengenali dan menggambar grafik persamaan di R3
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Apa yang Akan Dipelajari
Kelak kita akan membahas vektor di bidang
(R2) dan di ruang (R3), dan setelah itu kita
akan membahas pula fungsi bernilai vektor.
Sistem koordinat Cartesius (dan polar) di R2
telah kita pelajari sebelumnya.
Sekarang kita akan mempelajari sistem
koordinat Cartesius di R3.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Sistem Koordinat Cartesius di R3
Sistem Koordinat Cartesius
di R3 terdiri dari 3 sumbu
yang saling tegak lurus dan
berpotongan di titik O, yang
kemudian disebut sebagai
titik asal. Ketiga sumbu tsb
biasanya disebut sebagai
sumbu-x, sumbu-y, dan
sumbu-z, dan membagi
ruang menjadi 8 oktan.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
z (pos)
O
y (pos)
x (pos.)
6
Sistem Koordinat Cartesius di R3
Setiap titik P di R3 dinyatakan sebagai koordinat
P(x,y,z), seperti pd gambar.
Jarak antara 2 titik P(x1,y1,z1)
dan Q(x2,y2,z2) diberikan
oleh rumus|PQ| =
z
P
O
( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( z2  z1 ) .
2
2
2
y
x
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Persamaan Bola, Bidang, dan Garis
1. Persamaan bola yang berpusat di P(a,b,c) dan
berjari-jari R adalah
( x  a)  ( y  b)  ( z  c)  R .
2. Persamaan umum bidang di R3 adalah
2
2
2
2
Ax  By  Cz  D, A  B  C  0.
3. Persamaan x  a y  b z  c


p
q
r
menyatakan garis lurus yang melalui T(a,b,c)
dan searah dengan vektor (p,q,r).
2
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
2
2
8
Contoh: Menggambar Bidang di R3
Gambarlah bidang yang
memiliki persamaan
z
x  2 y  3z  6.
R
Jawab: Bidang melalui
titik P(6,0,0), Q(0,3,0),
dan R(0,0,2).
Q
O
y
P
x
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
9
Soal
Gambarlah bidang di R3 yg memiliki persamaan
2 x  3z  12.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
10
MA1201 MATEMATIKA 2A
11.2-4 VEKTOR, HASILKALI TITIK,
DAN HASILKALI SILANG
• Memahami sifat-sifat vektor di R2 dan R3
• Menghitung jumlah dua vektor, hasilkali
vektor dengan skalar, dan besar vektor
• Menghitung hasilkali titik dan hasilkali
silang dua vektor, dan mengetahui sifatsifatnya
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Apa dan Mengapa Vektor
Kuantitas panjang, massa, dan waktu
merupakan skalar, yang dapat dinyatakan
dengan sebuah bilangan.
Kuantitas fisis lainnya seperti kecepatan dan
gaya tidak hanya mempunyai panjang atau
besar (magnitude) tetapi juga arah.
Besaran atau kuantitas tsb dikenal sebagai
vektor. Pemahaman tentang vektor juga
diperlukan untuk mempelajari fungsi dengan
banyak peubah.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
12
Vektor: Pendekatan Geometri
Secara geometri, vektor dinyatakan sebagai anak
panah, yang mempunyai titik awal (ekor) dan
titik akhir (kepala), dan dituliskan dengan huruf
tebal misalnya u atau v.
kepala
u
v
ekor
Dua vektor dikatakan sama atau setara apabila
kedua vektor tsb mempunyai panjang dan arah
yang sama. Sbg contoh, u dan v di atas setara.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Penjumlahan Dua Vektor
Diberikan dua vektor, kita dapat menghitung
jumlahnya dengan dua cara:
u
u
v
u+v
u+v
v
Cara Segitiga
Cara Jajargenjang
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Perkalian dengan Skalar
Kita juga dapat mengalikan vektor dgn skalar:
u
2u
Selisih dua vektor, u – v, dimaknai sebagai
hasil operasi u + (-1)v.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Vektor: Pendekatan Aljabar
Di R2: vektor u dinyatakan
sebagai pasangan terurut
(u1,u2). [Dalam hal ini, ekor
vektor u adalah O(0,0) dan
kepalanya adalah (u1,u2).]
Di R3: vektor u dinyatakan
sebagai tripel (u1,u2,u3).
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
(u1,u2)
O
(u1,u2,u3)
O
16
Perkalian dengan Skalar dan
Penjumlahan
Di R2: Jika u = (u1,u2), v = (v1,v2), dan c ϵ R, maka
c u := (cu1,cu2)
u + v := (u1+v1,u2+v2)
Di R3: Jika u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3), dan c ϵ R,
maka
c u := (cu1,cu2,cu3)
u + v := (u1+v1,u2+v2,u3+v3)
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Vektor Basis
Di R2: vektor i = (1,0) dan j = (0,1) disebut
sebagai vektor basis (baku). Vektor u dapat
dituliskan sebagai
u = (u1,u2) = u1i + u2j.
Di R3: vektor i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1)
merupakan vektor basis (baku).
u = (u1,u2,u3) = u1i + u2j + u3k.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
18
Besar atau Panjang Vektor
Di
R2:
u  u u .
Di R3: u 
2
1
2
2
u12  u 22  u32 .
Catatan. Vektor yang panjangnya sama dengan 1
disebut vektor satuan.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Teorema (Sifat Aljabar Vektor)
1.
2.
3.
4.
u+v=v+u
(u + v) + w = u + (v + w)
u+0=0+u=u
u + (-u) = 0
5.
6.
7.
8.
a(bu) = (ab)u
a(u + v) = au + av
(a + b)u = au + bu
1u = u
9. au  a  u .
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Hasilkali Titik
Di R2: u  v : u1v1  u2v2 .
Di R3: u  v : u1v1  u2v2  u3v3 .
Catatan: u  u  u .
2
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Sifat Hasilkali Titik
1. u  v  v  u
2. u  (v  w )  u  v  u  w
3. c(u  v )  (cu )  v
4. 0  v  0
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Teorema
Jika θ adalah sudut tak negatif antara dua
vector tak nol u dan v, maka
u  v  u  v cos  .
Definisi: Dua vektor u dan v tegak lurus jika dan
hanya jika u  v  0.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
23
Hasilkali Silang di R3
Definisi: Hasil kali silang antara u dan v adalah
u x v := (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1)
i
j
k
 u1
u2
u3 .
v1
v2
v3
Dapat diperiksa bahwa u x v = –(v x u).
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
24
Sifat Hasilkali Silang
1. u  (u  v )  0  v  (u  v ).
yakni u x v tegak lurus pada u dan v.
2. u, v, dan u x v membentuk tripel tangan
kanan.
3. u  v  u  v sin  .
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
25
Sifat Hasilkali Silang
1. u  (v  w )  u  v  u  w.
2. k (u  v )  (ku )  v  u  (kv ).
3. (u  v )  w  u  (v  w ).
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
26
Soal
Buktikan bahwa: i x j = k, j x k = i, k x i = j.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
27