aplikasi hukum kirchoff-1 untuk perhitungan perubahan tegangan

APLIKASI HUKUM KIRCHOFF-1 UNTUK PERHITUNGAN
PERUBAHAN TEGANGAN SIMPUL RANGKAIAN RESISTIF
Entjie M. Sobbich
Pusat Penelitian Kalibrasi Instrumentasi dan Metrologi – LIPI,
Kompleks PUSPIPTEK- Serpong, Tangerang
[email protected]
ABSTRACT
Since the issuance of ISO-GUM as a guide for metrologist, the word ‘sensitivity’ has been
discussed more and implemented in analysis of uncertainty of measurement, and in this article is
applied for analysis of error on a resistive network. Taylor series is a series that can be applied to
analysis of sensitivity of a measuring quantity when it was presented as function of one or more
quantities. In this article, Taylor series is used to monitor sensitivity of nodal voltages changes of a
node on a resistive loop and/or the voltage source when they are assumed to be changed.
Keywords: Taylor series, sensitivity, resistive loop, nodal voltages
ABSTRAK
Sejak hadirnya ISO-GUM yang menjadi panduan bagi para metrologist, kata “sensitivitas”
sering diperbincangkan dan diimplementasikan di dalam analisis ketidakpastian pengukuran, dan
disini diimplementasikan dalam melakukan analisis kesalahan pada rangkaian resistif. Deret Taylor
adalah suatu bentuk deret yang digunakan untuk melakukan analisis sensitivitas dari suatu besaran
bila ia disajikan sebagai fungsi dari satu atau lebih besaran-besaran lainnya. Dalam makalah ini,
deret Taylor tersebut digunakan sebagai dasar pedoman untuk mengamati sensitivitas perubahan
tegangan simpul-simpul pada lup resistif bila resistor-resistor dan/atau sumber tegangan dalam lup
dianggap mengalami perubahan.
Kata kunci: deret Taylor, sensitivitas, lup resistif, tegangan simpul
144
Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 2 Juli 2010: 144-151
PENDAHULUAN
Sudah saatnya turunan (derivatif) tidak hanya diinformasikan untuk menggambarkan laju
perubahan (rate of change) dan garis singgung (tangent line) pada sebuah kurva[1] tetapi juga untuk
diinformasikan (terutama oleh para metrologist) bahwa turunan adalah penggambaran sensitivitas dari
sebuah besaran, khususnya besaran pengukuran[2]. Nilai turunan ternyata mampu menggambarkan
seberapa sensitif sebuah variabel (tak-bebas) bila variabel bebasnya mengalami perubahan. Sebagai
contoh : jika u = 2x maka du/dx = 2 sedangkan jika v = 3x maka dv/dx = 3. Disini, dapat diyakinkan
bahwa sensitivitas variabel v lebih besar dari variabel u. Jika x diubah sebesar 5 kali dari nilainya yang
semula maka u akan membesar 10 kali dari nilai sebelumnya sedangkan v akan membesar 15 kali dari
nilai sebelumnya. Besaran v nampak lebih sensitif dibandingkan u.
Hukum Ohm dan dua hukum Kirchoff memang mendominasi teori analisis rangkaian. Tetapi
ketiga hukum tersebut menjadi tidak cukup ketika orang harus menganalisis terjadinya perubahan pada
setiap parameter yang ada di dalam rangkaian. Deret Taylor (Gazali, 2005: ISO, 1993) adalah
formulasi yang digunakan untuk mengekspansi sebuah besaran ukur jika ia mengalami perubahan,
bahkan apabila ia dirupakan oleh lebih dari satu variabel (peubah). Besarnya perubahan akan
bergantung pada sensitivitas besaran tersebut terhadap besaran-besaran penentunya (umum disebut
sebagai parameter), sensitivitas ditentukan oleh bentuk keterkaitan besaran ukur yang umumnya
dinyatakan dalam bentuk pemodelan matematis.
Dalam makalah ini, sebuah rangkaian listrik dalam bentuk dua lup serial berisi parameterparameter yang terdiri atas sumber tegangan konstan dan sejumlah resistor yang diketahui nilai
tahanannya dan berada pada tiap cabang dalam lup-lup tersebut. Implementasi deret Taylor dapat
digunakan untuk mengetahui berapa besar perubahan tegangan pada simpul-simpul dalam rangkaian
jika tahanan resistor serta sumber tegangan mengalami perubahan. Dapat pula untuk melihat apakah
perubahannya adalah berupa penambahan ataukah pengurangan ketika sebagian atau keseluruhan dari
resistor-resistor ada yang bertambah dan ada yang berkurang. Dengan demikian dapat dilakukan
estimasi pengubahan terhadap satu atau lebih resistor untuk mendapatkan variasi tertentu pada
tegangan simpul-simpul.
Hukum Kirchoff-1
Apabila cabang-cabang pada sebuah rangkaian dilabelkan secara berurutan (1, 2, 3, ...M) dan
simpul-simpul diberi label juga (0, 1, 2, 3, ...,N) di mana 0 dipandang sebagai simpul patokan
(referensi) maka cabang-cabang dapat dikarakterisasi oleh persamaan yang dalam bentuk matriknya
adalah
Aa*Ib = 0
(1)
dengan
Ib
Aa
vektor arus cabang (arus ij adalah arus yang mengalir di cabang ke-j)
matrik berukuran NxM yang elemen-elemennya adalah -1, 0 atau 1
-1
jika arus ij menuju/masuk simpul k
0
jika arus ij tidak menuju maupun meninggalkan simpul k
1
jika arus ij meninggalkan simpul k.
Persamaan (1) tidak lain adalah hukum Kirchoff-1 yang bila dikenakan pada simpul k
menyatakan bahwa jumlah (sumasi) arus yang masuk menuju sebuah simpul adalah sama dengan
jumlah (sumasi) arus yang keluar meninggalkannya.
Aplikasi Hukum Kirchoff-1…... (Entjie M. Sobbich)
145
Tegangan-tegangan simpul dalam sebuah rangkaian adalah fungsi dari nilai sumber
penggeraknya (sumbernya dapat berupa sumber tegangan atau arus) serta komponen-komponen (untuk
rangkaian resistif, berupa resistor-resistor) yang terdapat di dalam rangkaian. Kita cari formula untuk
perubahan kecil pada tegangan simpul sebagai fungsi dari perubahan kecil komponen-komponen dan
sumbernya. Untuk itu, komponen-komponen dan sumber-sumber dapat disebut sebagai : parameter.
Menurut hukum Kirchoff-1, dalam sebuah lup tertutup besarnya sumasi tegangan sumber akan
didisipasikan habis menjadi tegangan-tegangan pada beban-beban yang terdapat dalam lup. Sedangkan
hukum Ohm menyatakan bahwa sebuah resistor memiliki tahanan yang bisa dicari dari pembagian
tegangan dan arus yang melewatinya. Kombinasi hukum Ohm dan hukum Kirchoff (Staudhammer,
1975) dapat digunakan untuk mencari tegangan simpul-simpul dalam rangkaian. Keseluruhan
tegangan pada simpul-simpul dapat dipandang sebagai vektor tegangan simpul Vn dan menurut Taylor,
vektor tegangan Vn dapat diekspansi menjadi bentuk deret :
Vn ( p o + δp ) = Vn 0 + ΔVn
N N
∂Vn
∂ 2Vn
= Vn(po ) + ∑
δp i + ∑∑
δpi δp j + ...
i =1 ∂p i
i =1 j =1 ∂p i ∂p j
N
(1)
dengan
p
N
Vn(po)
δpi
po
Vn0
ΔVn
δp
vektor dari seluruh parameter-parameter rangkaian
banyaknya parameter dalam rangkaian (resistor dan sumber-sumber)
vektor tegangan simpul saat parameter mengambil harga po.
variasi (perubahan) parameter ke i
vektor komponen di titik dimana perubahan Vn dihitung
= Vn(po)
vektor variasi tegangan simpul untuk variasi δp
vektor variasi δp keseluruhan.
Untuk perubahan kecil pada parameter maka perubahan Vn dapat diperkirakan hanya memakai
turunan-turunan pertama saja, tentunya dengan syarat bahwa suku-suku deret lainnya memang dapat
diabaikan atau signifikansinya jauh di bawah suku-suku pada orde 1. Untuk itu, ΔVn pada persamaan
(1) tinggal menjadi :
N
ΔVn = ∑
i =1
∂Vn
δp i
∂pi
(2)
Memang tidak mudah untuk mengetahui apakah persamaan (2) cukup akurat ataukah tidak
tanpa benar-benar melakukan penghitungan turunan-turunan tingkat tinggi. Namun, kebetulan untuk
kebanyakan rangkaian, tegangan simpul merupakan fungsi yang licin (smooth) dari parameter sirkit;
untuk keseluruhan rangkaian linear semua tegangan (simpul dan cabang) dan juga arus dalam
rangkaian adalah merupakan fungsi linear dari kekuatan sumber.
Persamaan (2) sekarang dapat dipandang sebagai persamaan yang berdaya-guna untuk
perhitungan perubahan tegangan simpul, turunan parsial menunjukkan bahwa evaluasi harus
dikerjakan pada “titik operasi” ini dan perubahan parameter-parameter sesungguhnya disekitar titik ini
harus diketahui. Walaupun di dalam makalah ini dikembangkan formula turunan untuk dikenakan
pada persamaan simpul pada umumnya, masih mungkin untuk menuliskan persamaan simpul-simpul
dalam ekspresi aljabar biasa dan membentuk turunan secara langsung.
Berikut ini diturunkan formula tegangan simpul-simpul berdasarkan hukum Kirchoff bila
diimplementasikan pada rangkaian dua lup seperti terlihat pada Gambar 1.
146
Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 2 Juli 2010: 144-151
Anggaplah pada lup sebelah kiri mengalir arus listrik sebesar I1 dan pada lup sebelah kanan mengalir
arus listrik sebesar I2.
Pada lup sebelah kiri berlaku :
E = R1 .I 1 + R2 ( I 1 − I 2 )
Atau
(R1 + R2 ).I 1 − R2 I 2 = E
Pada lup sebelah kanan berlaku :
− R2 .I 1 + I 2 .(R2 + R3 + R4 ) = 0
(3)
Dengan menggunakan aturan Cramer, diperoleh :
I1 =
atau
I1 =
− R2
R2 + R3 + R4
E
0
R1 + R2
− R2
− R2
R2 + R3 + R4
(R2 + R3 + R4 )
.E
(R1 + R2 )(R2 + R3 + R4 ) − R2 2
(R2 + R3 + R4 )
.E
R1 .(R2 + R3 + R4 ) + R2 .(R3 + R4 )
R1 + R2
I2 =
=
(4)
E
− R2
R1 + R2
− R2
0
R2
=
.E
− R2
(R1 + R2 )(R2 + R3 + R4 ) − R2 2
R2 + R3 + R4
atau
I2 =
R2
.E
R1 .(R2 + R3 + R4 ) + R2 (R3 + R4 )
(5)
Dengan demikian, tegangan-tegangan simpul V1 dan V2 adalah :
V1 = R2 ( I 1 − I 2 )
=
R2 ( R3 + R4 )
.E
R1 (R2 + R3 + R4 ) + R2 (R3 + R4 )
(6)
V2 = R4 .I 2
=
R2 .R4
.E
R1 (R2 + R3 + R4 ) + R2 (R3 + R4 )
Aplikasi Hukum Kirchoff-1…... (Entjie M. Sobbich)
(7)
147
Aplikasi Hukum Kirchoff-1
Sebagai gambaran implementasi dari persamaan (2) akan diberikan rangkaian dua lup seperti
Gambar 1 berikut.
Gambar 1 Contoh Rangkaian
untuk Implementasi
Analisis hukum Kirchoff -1 dan Kirchoff-2 (Marcus, 1984) terhadap jaringan seperti Gambar1 menghasilkan
V1 =
R2 ( R3 + R4 )
.E
R1 ( R2 + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 )
(8)
V2 =
R2 R4
.E
R1 ( R2 + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 )
(9)
Bila persamaan (8) dan (9) digabung menjadi sebuah vektor kolom dan diberi nama Vn maka :
R2 ( R3 + R4 )
⎡
⎤
⎢ R ( R + R + R ) + R ( R + R ) .E ⎥
3
4
2
3
4
⎥
Vn = ⎢ 1 2
R
R
2 4
⎢
.E ⎥
⎢⎣ R1 ( R2 + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 ) ⎥⎦
(10)
Dari persamaan (10) didapatkan turunan-turunan parsial.
148
R2 ( R3 + R4 )
⎡
⎤
⎢
∂Vn
R ( R + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 ) ⎥
⎥
=⎢ 1 2
R2 R4
∂E ⎢
⎥
⎢⎣ R1 ( R2 + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 ) ⎥⎦
(11)
⎡ − R2 ( R3 + R4 )( R2 + R3 + R4 )
⎤
.E ⎥
2
⎢
∂Vn
[R ( R + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 )] ⎥
=⎢ 1 2
− R2 R4 ( R2 + R3 + R4 )
∂R1 ⎢
.E ⎥
⎢ [R ( R + R + R ) + R ( R + R )]2 ⎥
3
4
2
3
4
⎣ 1 2
⎦
(12)
Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 2 Juli 2010: 144-151
⎤
⎡ ( R3 + R4 )(R1 R3 + R1 R4 + R2 R4 )
.E ⎥
2
⎢
∂Vn
[R ( R + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 )] ⎥
=⎢ 1 2
R4 ( R1 R3 + R1 R4 + R2 R4 )
∂R2 ⎢
.E ⎥
⎢ [R ( R + R + R ) + R ( R + R )]2 ⎥
3
4
2
3
4
⎦
⎣ 1 2
(13)
2
⎤
⎡
R1 R2
.E ⎥
⎢
2
∂Vn ⎢ [R1 ( R2 + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 )] ⎥
=
− R2 R4 ( R1 + R2 )
⎥
∂R3 ⎢
.E ⎥
⎢
2
⎣ [R1 ( R2 + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 )] ⎦
(14)
2
⎤
⎡
R1 R2
.E ⎥
⎢
2
∂Vn ⎢ [R1 ( R2 + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 )] ⎥
=
R2 ( R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 )
⎥
∂R4 ⎢
.E ⎥
⎢
2
⎣ [R1 ( R2 + R3 + R4 ) + R2 ( R3 + R4 )] ⎦
(15)
Dengan demikian, apabila E berubah sebesar δE, R1 berubah sebesar δR1, R2 berubah sebesar
δR2, R3 berubah sebesar δR3 dan R4 berubah sebesar δR4 maka implementasi persamaan (2) akan
mengakibatkan vektor Vn berubah sebesar ΔVn yang bisa diformulasikan berbentuk :
⎛ ∂V
⎛ ∂V ⎞
ΔVn = ⎜ n ⎟δE + ⎜⎜ n
⎝ ∂E ⎠
⎝ ∂R1
⎞
⎛ ∂V
⎟⎟δR1 + ⎜⎜ n
⎠
⎝ ∂R2
⎛ ∂V
⎞
⎟⎟δR2 + ⎜⎜ n
⎠
⎝ ∂R3
⎞
⎛ ∂V
⎟⎟δR3 + ⎜⎜ n
⎝ ∂R4
⎠
⎞
⎟⎟δR4
⎠
(16)
Contoh Aplikasi Numerik
Diberikan harga numerik pada masing-masing parameter yang ada di Gambar 1. Ambillah
sumber tegangan E = 10 volt, tahanan resistor R1 = 3 ohm, tahanan resistor R2 = 2 ohm, tahanan
resistor R3 = 1 ohm dan tahanan resistor R4 = 1 ohm. Dengan memasukkan nilai-nilai numerik
tersebut di atas ke persamaan-persamaan, didapatkan vektor tegangan simpul Vn, sensitivitas Vn
terhadap parameter-parameter E, R1, R2, R3, R4. dan akhirnya ΔVn. Perhitungan dalam ukuran cukup
besar ini sebaiknya tidak dilakukan secara manual untuk menghindari terjadinya kesalahan-kesalahan
hitung. Untuk mengatasinya, disini digunakan sarana bantu penghitungan perangkat lunak lembar
kerja Microsoft Excel 2007 dan diperiksa ulang menggunakan MATLAB R2007a. Hasilnya adalah
sebagai berikut:
Vektor tegangan simpul
⎡ 2,5 ⎤
Vn = ⎢
⎥
⎣1,25⎦
(volt )
Sensitivitas tegangan simpul Vn terhadap sumber tegangan E
⎡1⎤
∂Vn ⎢ 4 ⎥ ⎛ volt ⎞
=⎢ ⎥ ⎜
⎟
∂E ⎢ 1 ⎥ ⎝ Ohm ⎠
⎣8⎦
Aplikasi Hukum Kirchoff-1…... (Entjie M. Sobbich)
149
Sensitivitas tegangan simpul Vn terhadap tahanan resistor pertama, R1, adalah
⎡ 5⎤
∂Vn ⎢ − 8 ⎥ ⎛ volt ⎞
=⎢
⎟
⎥ ⎜
∂R 1 ⎢− 5 ⎥ ⎝ Ohm ⎠
⎣ 16 ⎦
Sensitivitas tegangan simpul Vn terhadap tahanan resistor kedua, R2, adalah
⎡ 15 ⎤
∂Vn ⎢ 32 ⎥ ⎛ volt ⎞
=⎢ ⎥ ⎜
⎟
∂R 2 ⎢ 15 ⎥ ⎝ Ohm ⎠
⎣ 64 ⎦
Sensitivitas tegangan simpul Vn terhadap tahanan resistor ketiga, R3, adalah
⎡ 15 ⎤
∂Vn ⎢ 32 ⎥ ⎛ volt ⎞ adalah
=⎢
⎟
⎥ ⎜
∂R 3 ⎢− 25 ⎥ ⎝ Ohm ⎠
⎣ 64 ⎦
Sensitivitas tegangan simpul Vn terhadap tahanan resistor keempat, R4, adalah
⎡ 15 ⎤
∂Vn ⎢ 32 ⎥ ⎛ volt ⎞
=⎢ ⎥ ⎜
⎟
∂R 4 ⎢ 55 ⎥ ⎝ Ohm ⎠
⎣ 64 ⎦
Dengan demikian maka perubahan pada vektor tegangan simpul adalah
ΔV n =
∂V
∂V
∂V
∂Vn
∂V
δE + n δR1 + n δR2 + n δR3 + n δR4
∂R4
∂E
∂R1
∂R2
∂R3
⎡ 5⎤
⎡ 15 ⎤
⎡ 15 ⎤
⎡ 15 ⎤
⎡1⎤
⎢−8⎥
⎢ 32 ⎥
⎢ 32 ⎥
⎢ ⎥
⎢4⎥
= ⎢ ⎥.(−0,02) + ⎢
.(0,03) + ⎢ ⎥.(0,02) + ⎢
.(0,01) + ⎢ 32 ⎥.( −0,02)
1
5⎥
15
25 ⎥
55
⎢− ⎥
⎢ ⎥
⎢− ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣8⎦
⎣ 16 ⎦
⎣ 64 ⎦
⎣ 64 ⎦
⎣ 64 ⎦
−
0
,
064
⎡
⎤
=⎢
⎥
−
0
,
051
⎣
⎦
PENUTUP
Formulasi turunan-turunan yang ada di persamaan (10) hingga (16) didalam makalah ini telah
semakin membuka pandangan kita betapa pentingnya pemahaman tentang turunan-parsial yang
kenyataannya saat di bangku kuliah hal tersebut dipandang remeh untuk dilupakan mengingat
mahasiswa tidak tahu benar manfaat ilmu tentang turunan parsial. Rangkaian dua lup seperti Gambar 1
telah dianalisis secara penurunan matematis maupun dengan memberikan nilai numerik untuk masingmasing parameter dalam rangkaian. Analisis ini (berdasarkan pada penderetan Taylor orde 1) dapat
digunakan untuk mengetahui sensitivitas tegangan simpul terhadap parameter yang ada dalam
rangkaian. Hasilnya, jika R1 = 3 Ω naik 1% ; R2 = 2Ω naik 1% ; R3 = 1Ω turun 2% ; R4 = 1Ω turun 2%
dan E = 10 volt turun 2% maka tegangan simpul V1 = 2,5 volt turun 0,064 volt menjadi 2,436 volt
sedangkan tegangan simpul V2 = 1,25 volt turun 0,051 volt menjadi 1.199 volt. Dengan contoh
numerik yang diberikan, nalar kita terbuka bahwasanya tegangan simpul dapat berubah turun
(berkurang) padahal di sana ada parameter yang berubahnya naik (bertambah).
150
Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 2 Juli 2010: 144-151
DAFTAR PUSTAKA
Gazali W. (2005) Kalkulus, Yogyakarta: Graha Ilmu, 2005.
ISO, (1993) Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, ISO/TAG-4, Switzerland.
Marcus A., (1984) Basic Electricity, New Jersey: Prentice Hall, Englewood Cliffs
Staudhammer J., (1975) Circuit Analysis by Digital Computer, New Jersey: Prentice Hall, Englewood
Cliffs
Toro V.D., (1986) Electrical Engineering Fundamentals, New Jersey: Prentice Hall, Englewood Cliffs
Aplikasi Hukum Kirchoff-1…... (Entjie M. Sobbich)
151