PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERSAMAAN SCHWARZSCHILD
DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Fisika
Oleh:
Dewa Ayu Ratmi Yanti
NIM : 013214014
PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SCHWARZSCIHLD EQUATION
AND ITS IMPLICATION ON PARTICLE TRAJECTORY
Scription
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the Sarjana Sains Degree
In Physics
By :
Dewa Ayu Ratmi Yanti
Student Number 013214014
PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PERSAMAAN SCHWARZSCHILD
DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL
Oleh :
Dewa Ayu Ratmi Yanti
Nim : 013214014
Telah disetujui oleh :
Pembimbing
Drs.Drs.Vet.Asan Damanik, M.Si.
tanggal 28 Februari 2008
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PERSAMAAN SCHWARZSCHILD
DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL
Dipersiapkan dan ditulis oleh
Dewa Ayu Ratmi Yanti
NIM : 013214014
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji
Pada tanggal 12 Maret 2008
dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap
Tanda tangan
Ketua
Dr. Ign. Edi Santosa, MS.
........................
Sekretaris
Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si.
........................
Anggota
Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si.
........................
Anggota
Dr. Agung Bambang Setyo Utomo, SU
........................
Anggota
Dr. Ign. Edi Santosa, MS
........................
Yogyakarta,
Maret 2008
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
Dekan,
(Ir. Greg Heliarko, SJ., SS., B.ST., MA., M.Sc)
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
" Apapun yang engkau lakukan,
Apapun yang engkau makan,
Apapun yang engkau persembahkan
atau berikan sebagai sumbangan
serta pertapaan
dan apapun yang engkau lakukan,
lakukanlah kegiatan itu sebagai
persembahaan kepada-Ku
wahai putra Kunti”
Bhagawad-gita Sloka 9.27
PERSEMBAHAN :
"Skripsi ini aku persembahkan untuk Ayah, Ibu, adik –
adikku dan Sinar kekasihku yang selalu memberikan
dukungan, semangat, doa, dan kasih sayang sepanjang
hidupku"
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERSAMAAN SCHWARZSCHILD
DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL
ABSTRAK
Telah dilakukan penelitian tentang implikasi persamaan Schwarzschild pada
bentuk lintasan dan perubahan geometri ruang suatu partikel bergerak. Partikel yang
bergerak di daerah r > α berada dalam bak-waktu, tetapi kalau partikel di daerah
r < α maka partikel berada dalam bak-ruang. Cahaya yang melintas dalam ruang
yang mempunyai medan gravitasi akan mengalami pembelokan dengan sudut
pembelok θ d .
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SCHWARZSCHILD EQUATION
AND ITS IMPLICATION ON PARTICLE TRAJECTORY
ABSTRACT
Research about the Schwarzschild equation implication on trajectory form and
space geometry change of the moving particle have been performed. Particles move
in the region r > α undergoing time-like but, if particles are in the region r < α ,
then they undergo space-like. Light pass through the space which having gravitational
field would undergo a deflection with deflection angle θ d .
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Ida Sang Hyang Widhi Wasa atas
segala asung kerta wara nugrahanya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini
dengan baik. Skripsi ini berjudul : ”PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN
IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL”, yang diajukan sebagai salah
satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang
penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing
yang
telah
banyak
meluangkan
waktu
untuk
membimbing,
mendampingi, memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan
tugas akhir ini.
2. Ayah dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan dukungan,
dorongan,
doa,
dan
kasih
sayang
sehingga
penulis
dapat
menyelesaikan skripsi ini.
3. Adik - adikku tercinta Jegek dan Dewi yang selalu memberikan
semangat dan doanya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4. Sinar yang selama ini selalu menemaniku, memberikan dorongan,
semangat dan doanya pada waktu pengerjaan tugas akhir ini.
5. Om mift dan Ninik Cuyak terimakasih atas semua dorongan dan
dukungannya.
6. Temen-teman Bali, Ketut, Wawan, Sidi, Gde, Wandi, Andika, yang
selalu memberikan semangat dan menjadi sahabat yang baik bagiku
serta menemaniku mengerjakan skripsi.
7. Temen-teman fisika, Manggar, Frida, Ratna, Nari, Vemby, Toni, yang
selama bertahun-tahun selalu berjuang bersamaku.
8. Ir.Sri Agustini Sulandari, M.Si selaku dosen pendamping akademik
yang sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi
mahasiswa.
9. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan
pengajaran dan pendampingan.
10. Teman-teman yang rela menunggu giliran pada saat bimbingan,
Minto, Kia, Danang terimakasi sudah mau bersabar.
11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu demi satu. Terimakasih
atas segala bantuannya.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh
karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun
dari berbagai pihak.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia
pendidikan dan khususnya pembaca.
Yogyakarta, Februari 2008
Penulis
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini adalah
karya saya dan tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah
disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya suatu karya
ilmiah.
Yogyakarta, Februari 2008
Penulis
Dewa Ayu Ratmi Yanti
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL………………………..............................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……………………….....
iii
HALAMAN PENGESAHAN .…………………………………………..
iv
HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN …………......………………….
v
ABSTRAK ……………………………………………………………….
vi
ABSTRACT ……………………………………………………………..
vii
KATA PENGANTAR …………………………………………………...
viii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………………….
xi
DAFTAR ISI …………………………………………………………….
xii
BAB I. PENDAHULUAN……………………………………………….
1
1.1. Latar Belakang ………………………………………………….
1
1.2. Perumusan Masalah …………………………………………….
3
1.3. Batasan Masalah ………………………………………………..
4
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………………………………
4
1.4.1. Tujuan Penelitian ………………………………………...
4
1.4.2. Manfaat Penelitian ……………………………………….
5
1.5. Sistematika Penulisan …………………………………………...
6
BAB II. DASAR TEORI ………………………………………………...
7
BAB III. METODA PENELITIAN…………………….........................
xii
16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3.1. Jenis Penelitian ………………………………………………….
16
3.2. Sarana Penelitian ………………………………………………..
16
3.3. Langkah-Langkah Penelitian ……………………………………
16
BAB IV. HASIL PEMBAHASAN...……………….................................
17
4.1. Orbit Planet ................................................……………………...
17
4.2. Perubahan Geometri dan Sifat Fisis Ruang .............…………….
19
4.3. Lintasan Cahaya dan Panjang Fokus ............................................
22
BAB V. PENUTUP............…………………………………………........
28
5.1. Kesimpulan ...............................................……………………...
28
5.2. Saran ............................................................................................
29
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………
30
LAMPIRAN ...............................................................................................
31
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Pada tahun 1916, sebulan setelah Einstein mempublikasikan teori relativitas
umum, seorang ahli astronomi dari Jerman yang bernama Schwarzschild menemukan
penyelesaian persamaan medan gravitasi Einstein. (Lawrie, 1998)
⎛1
⎞
Rμυ − ⎜ R − Λ ⎟ g μυ = kTμυ
⎝2
⎠
(1.1)
Dengan Rμυ tensor Ricci (yang digambarkan terikat dengan dua indeks dari tensor
Riemann), R merupakan skalar kelengkungan Ricci (R = gμυRμυ), Λ tetapan
kosmologi, gμυ tensor orde dua kovarian, k kopling antara geometri dan materi yang
menunjukan kuat gaya gravitasi dan Tμυ adalah tensor tekanan. Penyelesaian
sederhana persamaan medan Einstein yang menggambarkan bagaimana ruang waktu
(space-time) mengkerut akibat medan gravitasi suatu bintang yang sangat besar dan
padat (massive) yang telah menjadi lubang hitam (Black Hole). Jadi secara singkat
dapat dinyatakan bahwa lubang hitam memiliki percepatan gravitasi dan kerapatan
(massa jenisnya) sangat besar.
Dengan percepatan gravitasi yang sangat besar tersebut, semua benda (materi)
akan ditarik oleh lubang hitam, dan tidak ada benda atau materi yang mampu
melepaskan diri dari lubang hitam. Sebagai contoh, jika ada sebuah benda yang
memiliki kerapatan sama dengan kerapatan matahari dan jari-jari benda itu 500 kali
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
jari-jari matahari, maka suatu partikel yang ingin melepaskan diri dari permukaan
benda itu haruslah mempunyai kecepatan yang lebih besar dari kecepatan cahaya (c).
(Will, 1989)
Lubang hitam memiliki beberapa sifat-sifat fisis yang sangat menarik, antara
lain lintasan partikel (cahaya) dalam medan gravitasi lubang hitam tidak lurus,
melainkan melengkung. Hal ini dikarenakan lubang hitam memiliki medan
(percepatan) gravitasi yang sangat besar sehingga lintasan cahaya akan melengkung.
Dalam hal ini bentuk lintasan suatu partikel ditentukan oleh kuat atau besar medan
gravitasi didalam ruang dimana partikel tersebut melintas. Dengan menggunakan
koordinat bola sferis (r , θ , φ ) , elemen lintasan (ds) sebuah partikel dalam medan
gravitasi yang sangat lemah (lintasannya berbentuk garis lurus, karena medan
gravitasinya kecil) diberikan oleh (Lord,1979)
ds 2 = c 2 dt 2 − dr 2 − r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )
(1.2)
Jika ada medan gravitasi yang sangat besar maka, elemen lintasan (ds) sebuah
partikel (lintasannya melengkung, karena medan gravitasinya sangat besar) diberikan
oleh (Lawrie, 1998)
⎛ 2GM
ds 2 = ⎜1 − 2
c r
⎝
2
dr
⎞ 2 2
⎟c dt −
⎛ 2GM
⎠
⎜1 − 2
c r
⎝
⎞
⎟
⎠
− r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )
(1.3)
Dengan G tetapan gravitasi universal, M massa benda yang memiliki medan gravitasi
yang sangat besar (lubang hitam), dan c kecepatan cahaya. Perbedaan antara
persamaan (1.2) dan (1.3) adalah jika pada persamaan (1.2) lintasan berada dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
ruang tanpa medan gravitasi. Sedangkan pada persamaan (1.3) lintasan berada dalam
ruang yang memiliki medan gravitasi yang sangat besar.
Konstanta 2GM
c2
pada persamaan (1.3)disebut jari-jari Schwarzschild (α ) ,
atau
α=
2GM
c2
(1.4)
sehingga persamaan (1.3) dapat dituliskan kembali menjadi
1
⎛ α⎞
ds 2 = ⎜1 − ⎟c 2 dt 2 −
dr 2 − r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )
r⎠
⎛ α⎞
⎝
⎜1 − ⎟
r⎠
⎝
(1.5)
1.2. Perumusan Masalah
Sebagaimana diuraikan pada latar belakang masalah bahwa lubang hitam
memiliki sifat-sifat fisis yang berbeda dengan alam yang memiliki medan gravitasi
lemah, menyebabkan penelitian sifat-sifat fisis dan geometri lubang hitam merupakan
penelitian yang sangat menarik. Dari persamaan (1.5) kalau r = α maka ds2 menjadi
tak berhingga (singularitas). Jika r < α , maka suku-suku yang memuat koordinat
ruang (r , θ , φ ) mendominasi ds2 agar diperoleh lintasan yang berniali real. Jadi antara
titik r = α dan r < α terjadi perubahan fisis dan geometri.
Demikian juga bentuk lintasan partikel atau cahaya yang melintas dekat
lubang hitam akan melengkung menyebabkan adanya semacam titik fokus lubang
hitam. Oleh karena itu yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
1. Perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi, jika sebuah partikel melintas
dari r > α ke r < α melewati titik singular r = α .
2. Menentukan ”titik fokus” lubang hitam sebagai fungsi α dan besar fisis
terkait.
1.3. Batasan Masalah
Penelitian ini dibatasi pada masalah :
1. Perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi jika sebuah partikel melewati
titik α = r .
2. Penentuan ”titik fokus” lubang hitam, kalau lubang hitam tersebut berperilaku
sebagai sebuah lensa positif.
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian
1.4.1. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk :
1. Mengetahui perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi pada suatu lubang
hitam, jika sebuah partikel melintas dari r > α melewati r = α menuju
daerah r < α
2. Menentukan ”titik fokus” suatu benda dengan percepatan gravitasi yang
sangat besar (lubang hitam).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
1.4.2. Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan khususnya
pengetahuan tentang sifat-sifat fisis lubang hitam dan konsekuensinya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
1.5. Sistematika Penulisan
Hasil penelitian ditulis dengan sistematika sebagai berikut :
BAB I. PENDAHULUAN
Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II. DASAR TEORI
Dalam Bab II dijabarkan tentang persemaan Schwarzschild dan lintasan
partikel dalam medan gravitasi yang sangat besar (lubang hitam).
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN
Pada Bab III dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian, dan
langkah-langkah penelitian.
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada Bab IV ditampilkan hasil penelitian serta pembahasannya.
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
DASAR TEORI
Jarak antara dua titik dalam ruang diberikan oleh (Lawrie, 1998) :
ds 2 = g μυ dx μ dx υ
(2.1)
dengan gμυ adalah metrik tensor orde dua kovarian dalam sistem koordinat kartesian,
untuk ruang tiga dimensi jarak dua titik dalam ruang, yaitu titik A dan titik B (Gambar
2.1) diberikan oleh
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2
2
⎛ 1 0 0 ⎞⎛ dx ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ dy 2 ⎟
⎜ 0 0 1 ⎟⎜ dz 2 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠
sehingga metrik tensornya
g μυ
⎛1 0 0⎞
⎟
⎜
= ⎜ 0 1 0⎟
⎜0 0 1⎟
⎠
⎝
(2.2)
z
B (x2 , y2 , z2)
y
A (x1,y1,z1)
x
Gambar 2.1
7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Jika digunakan koordinat bola sferis (r,θ, φ ), maka panjang lintasan (elemen garis)
antara dua titik diberikan oleh
ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2
⎛1 0
⎜
= ⎜0 r2
⎜0 0
⎝
2
⎞⎛ dr ⎞
⎜
⎟
⎟
2
0
d
θ
⎜
⎟
⎟
⎜
2
2
2
r sin θ ⎟⎠⎝ dφ ⎟⎠
⎛1 0
⎜
= ⎜0 r 2
⎜0 0
⎝
⎞
⎟
0
⎟
2
2
r sin θ ⎟⎠
0
(2.3)
sehingga diberikan
g μυ
0
Dalam ruang dimensi 4 (ruang Minkowski) tanpa gravitasi, elemen garis ds
didapat dari
ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2
0
0 ⎞⎛ c 2 dt 2 ⎞
⎛1 0
⎟
⎟⎜
⎜
2
0
1
0
0
−
dx
⎟
⎜
⎟
⎜
=⎜
⎜
2 ⎟
⎟
0 0 −1 0
dy ⎟
⎟⎜
⎜
⎟
⎜0 0
⎜
0 − 1⎠⎝ dz 2 ⎟⎠
⎝
(2.4)
sehingga menghasilkan metrik tensor
g μυ
⎛1 0 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜0 −1 0 0 ⎟
=⎜
0 0 −1 0 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 0 − 1⎟
⎝
⎠
Kalau digunakan koordinat bola sferis, elemen garis atau lintasan menjadi :
ds 2 = c 2 dt 2 − dr 2 − r 2 dθ 2 − r 2 sin 2 θ dφ 2
(2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
0
⎛1 0
⎜
⎜0 −1 0
=⎜
0 0 − r2
⎜
⎜0 0
0
⎝
0
⎞⎛ c 2 dt 2 ⎞
⎟
⎟⎜
2
0
⎟⎜ dr ⎟
⎟⎜ dθ 2 ⎟
0
⎟
⎟⎜
− r 2 sin 2 θ ⎟⎠⎜⎝ dφ 2 ⎟⎠
(2.6)
0
⎛1 0
⎜
⎜0 −1 0
=⎜
0 0 − r2
⎜
⎜0 0
0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
0
⎟
− r 2 sin 2 θ ⎟⎠
(2.7)
yang menghasilkan
g μυ
0
0
Jika ada medan gravitasi, maka elemen garis atau lintasan dalam ruang dapat
dituliskan sebagai
ds 2 = A(r )c 2 dt 2 − B(r )dr 2 − C (r )r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )
(2.8)
dengan A(r), B(r), dan C(r) sebagai fungsi kuat medan gravitasi. Dengan
menggunakan transformasi r ′ = rC 1 / 2 dapat diperoleh A(r) = eυ dan B(r) = eλ
sedemikian hingga A(r) dan B(r) bernilai mendekati 1 jika r → ∞ . Dengan demikian
persamaan (2.8) dapat dituliskan kembali menjadi
ds 2 = eυ c 2 dt 2 − e λ dr 2 − r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )
(2.9)
Sebagaimana disebutkan bahwa elemen garis atau lintasan dari persamaan (2.9)
adalah
⎛ eυ
⎜
⎜0
ds 2 = ⎜
⎜0
⎜0
⎝
0
− eλ
0
0
0
0
− r2
0
⎞⎛ c 2 dt 2 ⎞
0
⎟
⎟⎜
0
⎟⎜ dr 2 ⎟
⎟⎜ dθ 2 ⎟
0
⎟
⎟⎜
− r 2 sin 2 θ ⎟⎠⎜⎝ dφ 2 ⎟⎠
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
sehingga metrik tensornya
g μυ
⎛ eυ
⎜
⎜0
=⎜
⎜0
⎜0
⎝
0
−e
0
0
λ
0
0
− r2
0
⎞
0
⎟
0
⎟
⎟
0
⎟
− r 2 sin 2 θ ⎟⎠
Nilai υ dan λ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan geodesik (Lord,
1979)
dU μ ⎧ μ ⎫ ρ σ
+ ⎨ ⎬U U = 0
ds
⎩ ρσ ⎭
dengan
Uμ =
(2.10)
⎧μ ⎫
dx μ
, dan ⎨ ⎬ adalah lambang Christoffel. Yang didefinisikan
ds
⎩ ρσ ⎭
sebagai (Joshi, 1980)
⎧ μ ⎫ 1 ρμ
σμ
ρσ
⎨ ⎬ = g ∂σ + g ∂ ρ − g ∂ μ
⎩ ρσ ⎭ 2
(
)
(2.11)
atau bisa juga ditulis
⎧μ ⎫
ρσ μυ
⎨ ⎬ = Γυ g
ρσ
⎩ ⎭
dengan
ρσ
υ
Γ
⎛ ∂g λρ ∂g σλ ∂g ρσ
1
= g ρα ⎜
+
−
⎜ ∂x
∂x ρ
∂xλ
2
⎝ α
⎞
⎟
⎟
⎠
Untuk menghitung lambang Christoffel membutuhkan waktu yang sangat
lama. Karena nilai dari lambang Christoffel kebanyakan adalah nol, suatu cara yang
labih cepat untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan persamaan geodesik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Sehingga persamaan (2.10) sama dengan
[
0 = δ ∫ ds = δ ∫ eν (U 4 ) 2 − e λ (U 1 ) 2 − r 2 (U 2 ) 2 − r 2 sin 2 θ (U 3 ) 2
]
1/ 2
ds
(2.12)
dengan c = 1, dan persamaan (2.12) adalah integran lintasan yang diminimalkan.
Persamaan (2.12) menghasilkan
d ⎛ ∂F ⎞ ∂F
,
⎜
⎟=
ds ⎝ ∂U μ ⎠ ∂x μ
(2.13)
dengan F adalah integran pada persamaan (2.12), persamaan (2.13) identik dengan
persamaan (2.10). sehingga dapat dihasilkan simbol Christoffel dari persamaan
tersebut. Sebagai contoh, jika ditulis μ = 4(ct = x 4 ) , maka
∂F
= 2eυ U 4
4
∂U
∂F
=0
∂x 4
maka persamaan (2.12) menjadi
(
)
d
2eυ U 4 = 0
ds
Dengan menggunakan relasi
(
(2.14)
d
d dr
, persamaan (2.14) menghasilkan
=
ds dr ds
)
(
)
d
d
2eυ U 4 =
2eυ ct& = 0
ds
ds
&t&eυ + t& d (eυ ) = 0
ds
&t& eυ + t& υ ′ r& eυ = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
&t& + υ ′ r& t& = 0
(2.15)
Dengan demikian lambang Christoffel dapat dihasilkan dari persamaan diatas.
Lambang Christoffel yang tidak bernilai nol adalah
⎧4⎫ 1
⎨ ⎬ = υ′
⎩14⎭ 2
⎧1⎫ 1
⎨ ⎬ = υ′
⎩14⎭ 2
⎧ 1 ⎫ 1 υ −λ
⎨ ⎬ = υ ′e
⎩44⎭ 2
⎧1⎫ 1
⎨ ⎬ = λ′
⎩11⎭ 2
⎧1⎫
−λ
⎨ ⎬ = −e r
⎩22⎭
⎧1⎫
2
−λ
⎨ ⎬ = − r sin θ e
⎩33⎭
⎧2⎫ 1
⎨ ⎬=
⎩21⎭ r
⎧2⎫
⎨ ⎬ = − cos θ sin θ
⎩33⎭
⎧2⎫
⎨ ⎬ = cot θ
⎩23⎭
⎧3⎫ 1
⎨ ⎬=
⎩13⎭ r
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
juga diperlukan relasi (Lord, 1976)
⎧λ ⎫
⎨ ⎬ = ∂ ρ log − g ,
⎩λρ ⎭
dengan g = −eν + λ r 4 sin 2 θ , sehingga
log − g =
ν −λ
2
+ 2 log r + log sin θ
(2.16)
Tensor Ricci Rμυ pada persamaan (1.1) dapat juga dituliskan sebagai
(
Rμv = log − g
)
μv
⎧ ρ ⎫⎧ λ ⎫ ⎧ ρ ⎫
⎧ρ⎫
− ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬⎨ ⎬ − ⎨ ⎬(log − g ) . ρ
⎩μv ⎭.ρ ⎩λμ ⎭⎩ ρv ⎭ ⎩μv ⎭
(2.17)
Agar penyelesaian persamaan medan gravitasi Einstein pada persamaan (1.1) linear,
nilai Rμυ harus sama dengan nol. Dari persamaan (2.16) yang memberikan nilai nol
adalah
⎛
1
v ′ 2 v ′λ ′ 2v ′ ⎞
⎟
0 = R44 = − e v.λ ⎜⎜ v ′ +
−
+
2
2
2
r ⎟⎠
⎝
0 = R11 =
v ′ 2 v ′λ ′ 2λ ′ ⎞
1⎛
⎜⎜ v ′′ +
⎟
−
−
r ⎟⎠
2⎝
2
2
⎧
⎛ v ′ + λ ′ ⎞⎫
0 = R22 = −⎨1 − (e −λ r )′ + e −λ r ⎜
⎟⎬
⎝ 2 ⎠⎭
⎩
(2.18)
(2.19)
(2.20)
dari R11 = R44 = 0 , diperoleh λ ′ + v ′ = 0 , sehingga λ + v = konstan. Nilai konstanta
tersebut adalah nol, karena λ + υ mendekati nol ketika r → ∞ , sehingga
λ = −v
(2.21)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Persamaan (2.18) menjadi
2v ′
=0
r
v ′′ + v ′ 2 +
(re )″ = 0
v
yaitu,
(re )′ = konstanta
v
(2.22)
Substitusi persamaan (2.21) ke persamaan (2.20) menghasilkan
(re )′ = 1
v
sehingga
ev = eλ = 1 −
α
(2.23)
r
dengan α adalah tetapan integrasi. Pernyataan (2.23) adalah g44 yang di identifikasi
sebagai 1 + 2φ / c 2 , adalah potensial Newton (untuk suatu pusat massa M, φ = MG / r .
Dengan demikian tetapan α pada persamaan (2.23) menjadi (Lord, 1979)
α = 2GM / c 2
(2.24)
yang dikenal sebagai jari-jari Schwarzschild. Substitusikan persamaan (2.24) dan
(2.23) ke dalam persamaan (2.9) sehingga akan menghasilkan
2
dr
⎛ 2GM ⎞
ds 2 = ⎜1 − 2 ⎟c 2 dt 2 −
c r ⎠
⎛ 2GM
⎝
⎜1 − 2
c r
⎝
⎞
⎟
⎠
− r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 )
(2.25)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
sehingga metrik tensor Schwarzschild
g μυ
⎛ 2GM
⎜1 − 2
c r
⎜
⎜
0
=⎜
⎜
⎜
0
⎜
⎜
0
⎝
0
−
1
2GM
1− 2
c r
0
0
0
0
− r2
0
⎞
⎟
⎟
⎟
0
⎟
⎟
⎟
0
⎟
2
2
− r sin θ ⎟⎠
0
(2.26)
Kalau α = r maka lintasan atau elemen garis dari partikel (materi) tersebut singular,
dan dapat dikatakan sebagai lubang hitam.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1. Jenis Penelitian
Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah penelitian
studi pustaka.
3.2. Sarana Penelitian
Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku yang
berhubungan dengan topik lubang hitam, tensor dan teori relativitas umum.
3.3. Langkah – langkah penelitian
Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Menelusuri bahan-bahan mengenai lubang hitam, metrik, tensor dan
relativitas umum dari buku-buku maupun dari internet.
2. Merumuskan atau mengolaborasi kerangka pemikiran teori dan konsep atau
teori yang terkait dengan lubang hitam, metrik, tensor dan relativitas umum
dari bahan-bahan yang dikumpulkan.
3. Merumuskan perubahan fisis dan geometri yang terjadi pada suatu lintasan
partikel pada lubang hitam, dan menentukan titik fokus suatu lubang hitam
sebagai fungsi α secara numerik atau matematik.
4. Menarik kesimpulan dan memberikan saran dari penelitian yang telah
dilakukan.
16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Orbit Planet
Gerak suatu planet yang mengorbit pada matahari yang memiliki massa yang
sangat berat dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Schwarzschild, pada
persamaan (2.25). Jika diambil θ = π
2
, maka persamaan (2.9) menjadi
ds 2 = eυ c 2 dt 2 − e −υ dr 2 − r 2 dφ 2
(4.1)
kalau persaman (4.1) dibagi ds2 dihasilkan
1 = eυ c 2 t&2 − e −υ r& 2 − r 2φ& 2
(4.2)
Dari persamaan (2.15) dapat diperoleh
d υ&
e t =0
ds
( )
(4.3)
eυ t& = k (konstanta)
(4.4)
sehingga
substitusi persamaan (4.4) ke dalam persamaan (4.2) menghasilkan
r& 2 + r 2φ& 2 −
α
r
= k 2 − 1 + α r φ& 2
(4.5)
Persamaan gerak orbit Newton hanya pada suku terakhir persamaan (4.5). Jika
persamaan (4.5) dikalikan dengan
2
⎛ ds ⎞
r4
⎟⎟ = 2
⎜⎜
h
⎝ dϕ ⎠
17
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
diperoleh
2
4
⎛ dr ⎞
⎞r
⎛α
2
2
⎟⎟ = − r + ⎜ + k − 1⎟ 2 + α r
⎜⎜
⎠h
⎝r
⎝ dϕ ⎠
Dengan mengganti variabel radial r =
2
(4.6)
du ⎞
1 ⎛
⎜ dr = − 2 ⎟ persamaan (4.6) menjadi
u ⎝
u ⎠
⎛ du ⎞
⎟⎟ = −u 2 + uα + k 2 − 1 / h 2 + α u 3
⎜⎜
d
ϕ
⎠
⎝
(
)
(4.7)
Jika persamaan (4.7) dideferensialkan terhadap φ , maka diperoleh
3α u 2
d 2u
α
u
=
−
+
+
2
dϕ 2
2h 2
(4.8)
Kalau diambil
u = u0 + ε
(4.9)
Dengan u0 adalah penyelesaian umum untuk persamaan orbit planet Newton dan ε
adalah suatu gangguan kecil. Substitusi persamaan (4.9) ke (4.8) menghasilkan
d 2 u 0 d 2ε
3α (u 0 + ε )
α
+
= −(u 0 + ε ) + 2 +
2
2
2
dϕ
dϕ
2h
= −u 0 − ε +
Karena u 0 =
α
2h
2
α
2
3
3
2
+ α u 0 + 3εα u 0 + αε 2
2
2
2h
2
(4.10)
, dan kalau ε sangat kecil suku ε2 dapat diabaikan sehingga
persamaan diferensial untuk ε dapat dituliskan
3
d 2ε
2
= (3αu 0 − 1)ε + αu 0
2
2
dϕ
(4.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Penyelesaian persamaan (4.11) dapat dituliskan sebagai
ε = A cos(ζϕ ) + B
(4.12)
dengan A, B, dan ζ adalah konstanta (lihat Lampiran). Jika ζ = 1, maka dihasilkan
orbit lingkaran. Dengan mendeferensialkan persamaan (4.12) terhadap φ kemudian
menyamakannya dengan nol, maka diperoleh
ϕ=
2nπ
ζ
(4.13)
Substitusi persamaan (4.12) ke dalam (4.11) dapat menghasilkan nilai ζ, yaitu
ζ 2 = 1 − 3αu 0
(4.14)
sehingga lintasan planet terjadi pada
φ=
± 2nπ
⎛ 3
⎞
~ ±2nπ ⎜1 + αu 0 ⎟,
1 − 3αu 0
⎝ 2
⎠
ϕ ~ ...(− 2π − 3παu 0 ), 0, (2π + 3παu 0 ), (4π + 6παu 0 )...
4.2. Perubahan Geometri dan Sifat Fisis Ruang
Ditinjau perubahan geometri dan sifat fisis ruang yang dialami oleh sebuah
partikel bergerak dari kedudukan atau posisi r > α ke posisi r < α . Dari persamaan
(2.25), jika r > α , maka nilai koefisien eυ = e λ > 0 (positif) sehingga suku yang
mengandung waktu (t) haruslah bernilai lebih besar dari suku-suku yang lain agar
ds 2 > 0 . Dengan kata lain, partikel yang melintas dalam medan gravitasi yang
ditimbulkan oleh massa M pada daerah r > α berada dalam ruang bak-waktu (time-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
like). Secara skematis lintasan partikel dalam ruang bak-waktu diperlihatkan pada
Gambar 4.1
Lintasan partikel
Masa depan
Waktu
Sekarang
Masa lalu
Gambar 4.1. Geometri ruang bak-waktu dan lintasan partikel
Jika partikel berada pada posisi r = α , maka ds2 menjadi tidak terdefinisi
(singular). Pada kondisi atau keadaan r = α partikel tidak berada dalam ruang bakwaktu maupun dalam ruang bak-ruang (space-like). Secara fisis, pada keadaan r = α ,
partikel tidak tunduk pada hukum-hukum fisika dan ruang yang dikenal selama ini
dalam teori-teori fisika.
Jika partikel berada pada posisi r < α , maka koefisien eυ = e λ < 0 . Jadi pada
keadaan seperti itu kalau ds 2 > 0 , nilai dari suku-suku yang tidak mengandung waktu
(t) pada persamaan (2.25) harus lebih besar dari nilai suku yang mengandung t.
Secara fisis partikel yang berada pada daerah r < α berada dalam ruang yang disebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
bak-ruang. Geometri bak-ruang dan lintasan partikel di dalamnya diperlihatkan pada
Gambar 4.2.
Bak - cahaya
Lintasan partikel
Gambar 4.2. Geometri bak-ruang dan lintasan partikel
Jadi partikel yang melintas dari posisi r > α menuju r < α dalam suatu
medan gravitasi yang sangat besar (misalnya Black Hole) akan mengalami geometri
dan sifat-sifat fisisyang berbeda didaerah r < α dan r > α . Perubahan geometri
ruang yang di alami partikel terjadi dari bak-waktu ke bak-ruang. Secara skematis,
perubahan ruang tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Waktu
Lintasan partikel
Lintasan partikel
(a)
(b)
Ruang
Gambar 4.3. (a) Lintasan partikel dalam bak-waktu untuk r > α , dan
(b) Lintasan partikel dalam ba-ruang untuk r < α .
4.3. Lintasan Cahaya dan Panjang Fokus
Lintasan cahaya mengikuti lintasan geodesik nol atau ds 2 = 0 . Jika dipilih
θ = π 2 , maka persamaan (4.1) menjadi
eυ t&2 − e −υ r& 2 − r 2φ& 2 = 0
(4.15)
Dengan menggunakan eυ t& = k , persamaan (4.15) dapat ditulliskan menjadi
r& 2 + r 2φ& 2 = k 2 + α r φ& 2
(4.16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
4
jika persamaan (4.16) dikalikan φ& 2 = r
h2
, dan variabel radial (r) diatas menjadi
1⎞
⎛
u ⎜ r = ⎟ , maka persamaan (4.16) menjadi
u⎠
⎝
2
⎛ du ⎞
k2
2
3
⎜⎜
⎟⎟ + u = α u + 2
h
⎝ dϕ ⎠
(4.17)
Kalau persamaan (4.17) dideferensialkan terhadap φ, maka
3 ⎞
d 2u
⎛
= −u + β u 2 , ⎜ β = α ⎟
2
2 ⎠
dϕ
⎝
(4.18)
Jika suku β u2 diabaikan, maka penyelesaian persamaan (4.18) diberikan oleh
u = A cos(φ + δ )
(4.19)
dengan A adalah tetapan, δ
Lintasan cahaya yang diperoleh dari persamaan (4.19) adalah
r=
1
1
=
u A cos(φ + δ )
(4.20)
yang merupakan garis lurus r = konstan untuk φ + δ konstan. Jika penyelesaian
persamaan (4.18) dipilih berbentuk
u = A cos φ + ε
(4.21)
dengan ε fungsi φ , maka diperoleh
d 2ε
= −ε + β A 2 cos 2 ϕ
2
dϕ
= −ε +
β A2
2
(1 + cos 2ϕ )
(4.22)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Dengan mengandaikan penyelesaian (4.22) berbentuk
ε = a + b cos 2φ
(4.23)
yang kalau dimasukkan ke (4.22) diperoleh
a=
βA 2
2
dan b =
βA 2
(4.24)
6
Jadi penyelesaian persamaan (4.23) dapat dituliskan
ε=
βA 2 ⎛
⎜1 +
2 ⎝
cos 2φ ⎞
⎟
3 ⎠
(4.25)
Dengan demikian, persamaan (4.21) menjadi
u = A cos φ −
βA 2
3
cos 2 φ +
2 βA 2
3
(4.26)
jika diambil r → ∞ , maka u → 0 . Untuk r → ∞ persamaan (4.26) menjadi
0 = A cos φ −
βA 2
3
cos 2 φ +
2 2
βA
3
(4.27)
⎞
⎟
⎟
⎠
(4.28)
Nilai cos φ dapat diperoleh dari (4.27), yaitu
3r
cos φ = 0
2β
2
⎛
⎜1 ± 1 + 8 β
2
⎜
9r0
⎝
dengan r0 adalah jarak lintasan cahaya ke pusat gravitasi (Gambar 4.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
ϕ2
ϕ1
α
r0
r0
Gambar 4.4. Pembelokan cahaya dalam medan gravitasi
Pada persamaan (4.28) nilai cos φ adalah antara -1 sampai +1, mengharuskan
nilai
r0
β >> 1 . Dengan demikian diperoleh
cos φ ~ − 2 β
3r0
= −α
r0
(4.29)
Dari Gambar 4.4. terlihat bahwa sudut pembelokan cahaya pada medan gravitasi
sebesar
θd =
2α 4GM
= 2
r0
c r0
(4.30)
Jika cahaya yang melintasi medan gravitasi dibelokkan dengan sudut belok θd
, maka suatu massa yang mempunyai medan gravitasi memiliki semacam titik fokus f.
Panjang titik fokus (f) untuk suatu benda bermassa M sebagai fungsi θ dapat dibentuk
dengan menggunakan trigonometri dan skema pada Gambar 4.5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
θd
r0
•
M
f
Gambar 4.5. Skema lintasan cahaya dalam medan gravitasi
Dari Gambar 4.5. diperoleh
tan θ d =
r0
f
(4.31)
sehingga panjang fokus f suatu benda bermassa M diberikan
f =
r0
tan θ d
(4.32)
Sebagai contoh dihitung panjang fokus (f) untuk benda-benda planet dalam
tata surya kalau planet-planet itu dianggap sebagai lubang hitam dengan r0 = 10 4 m ,
disajikan pada Tabel 4.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Tabel 4.1. Panjang fokus (f) untuk planet-planet di dalam tata surya kalau planet itu
dianggap sebagai lubang hitam untuk r0 = 10 4 m
No
Planet
M(kg)
θ
f (m)
1
Matahari
1,9.1030
0,0563
1773049,65
2
Merkurius
3,30.1023
9,78.10-9
1,023.1013
3
Venus
4,87.1024
1,4.10-7
7,143.1011
4
Bumi
5,98.1024
1,8.10-7
5,556.1011
5
Mars
6,42.1023
1,9.10-8
5,263.1012
6
Jupiter
1,90.1027
5,63.10-5
17,762.108
7
Saturnus
5,66.1026
1,68.10-5
59,524.108
8
Uranus
8,68.1026
2,57.10-5
38,911.108
9
Neptunus
1,02.1026
3.10-6
3,333.1010
10
Pluto
1,27.1022
3,76.10-10
2,659.1014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian ini
dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Lintasan atau orbit suatu planet dapat diperoleh dari penyelesaian
persamaan Schwarzschild. Dengan memilih θ = π .
2
2. Perubahan geometri dan sifat fisis ruang yang dialami oleh suatu
partikel yang bergerak dari daerah r > α ke daerah r < α dalam
medan gravitasi yang ditimbulkan oleh massa M, yaitu pada daerah
r > α partikel berada dalam bak-waktu dan pada daerah r < α
partikel berada dalam bak-ruang.
3. Lintasan cahaya mengikuti persamaan godesik ds 2 = 0 , dengan
θ = π 2 . Panjang suatu titik fokus (f) suatu benda bermassa M dalam
ruang dapat dinyatakan sebagai fungsi θ dan r0.
28
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
5.2. Saran
Karena yang diteliti dalam penelitian ini hanyalah masalah orbit planet,
perubahan geometri dan sifat fisis partikel yang bergerak dari r > α menuju r < α ,
dan pembelokan lintasan cahaya dalam medan gravitasi yang ditimbulkan oleh massa
M yang dianggap sebagai lubang hitam menggunakan persamaan Schwarzschild,
maka disarankan untuk meneliti konsekuensi-konsekuensi yang lain dari persamaan
Schwarzschild. Pada saat partikel melintasi titik r = α partikel itu tidak berada dalam
bak-waktu maupun bak-ruang. Oleh sebab itu disarankan untuk meneliti jenis ruang
yang ditempati partikel itu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Joshi, A. W., 1980, “Matrics and Tensor in Physics”, New Delhi Banglore Bombay
Calcuta : Wiley Eastern Limited.
Lord, E. A., 1976, Tensor Relativity and Cosmology, United Kingdom: University
of Edinburgh Scotland.
Lawire, I. D., 1998, “A unified Grand Tour of Theoritical Physics”, Philadelphia:
Institut of Physics Publishing.
Will, C., 1989, The New Physics, New York: Canbridge University.
William, J. K., 1973, “Relativity and Cosmology”, New York : Harper & Row
Publishers
30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN
Persamaan diferensial pada persamaan (4.11) mempunyai penyelesaian ε
sebagai fungsi φ, dengan menggunakan metoda operator D =
d
dϕ
d 2ε
3
2
= (3αu 0 − 1)ε + αu 0
2
2
dϕ
dengan ζ 2 = 3αu 0 − 1 , dan u 0 =
ζ 2 +1
. Sehingga persamaan (4.11) menjadi
3α
d 2ε
1
= ζ 2ε +
(ζ 2 + 1) 2
2
6α
dϕ
dimana
1
(ζ 2 + 1) 2 = K (tetapan) , sehingga dapat dituliskan menjadi
6α
d 2ε
− ζ 2ε = K
2
dϕ
jika
( D − i ζ ) ( D + iζ ) ε = K
dengan ( D + iζ )ε = u , maka
( D − iζ ) − u = K
Persamaan diatas dapat juga dituliskan menjadi
d2y
+α 2 y = β
2
dt
(D 2 + α 2 ) y = β
( D + iα ) ( D − iα ) y = β
31
(4.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
( D + iα )u = β
D u + iα u = β
β
u=
D + iα
du
+ iα u = β
dt
Jika persamaan di atas dideferensialkan terhadap dt maka,
(
)
du iαt
e u = β e iα t
dt
integralkan persamaan di atas
∫ d (e
i αt
u ) = ∫ β e iαt dt
hasilnya adalah
e i αt u = β
1 i αt
e +k
iα
u = e − iαt ∫ β e iαt dt + k
u=
β
+ k e − i αt
iα
sehingga
( D − iα ) y = e −iαt ∫ β e iαt dt + k
Apabila persamaan ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan (4.11),
maka akan menjadi
( D − iζ )u = K
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
du
− iζ u = K
dϕ
d −iζϕ
du
(e u ) = −iζ e −iζϕ u + e −iζϕ
dϕ
dϕ
⎛ du
= ⎜⎜
− iζ
⎝ dϕ
⎞
u ⎟⎟e −iζϕ
⎠
d −iζϕ
(e u ) = K
dϕ
e iζϕ
d −iζϕ
(e u ) = e −iζϕ K
dϕ
d (e − iζϕ u ) = e −iζϕ K dϕ
∫ d (e
− iζϕ
u ) = ∫ K e −iζϕ dϕ
e −iζϕ u = ∫ K e −iζϕ dϕ
u = e iζϕ ∫ K e −iζϕ dϕ
Dengan demikian dapat dituliskan menjadi
( D + iζ )ε = u = e iζϕ ∫ K e − iζϕ dϕ
e −iζϕ
d iζϕ
(e ε ) = e iζϕ ∫ K e −iζϕ dϕ
dϕ
d iζϕ
(e ε ) = e 2iζϕ ∫ K e −iζϕ dϕ
dϕ
d (e iζϕ ε ) = (e 2iζϕ ∫ K e −iζϕ dϕ ) dϕ
(
)
e iζϕ ε = ∫ e 2iζϕ ∫ K e −iζϕ dϕ dϕ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
(
)
ε = e −iζϕ ∫ e 2iζϕ ∫ Ke −iζϕ dϕ dϕ
dengan
∫ Ke
−iζϕ
dϕ =
K −iζϕ
e
+ C , maka menghasilkan
− iζ
⎛ Ke iζϕ
⎞
+ C e 2iζϕ ⎟⎟dϕ
iζ
⎝
⎠
ε = e −iζϕ ∫ ⎜⎜ −
⎤
⎡ K
C 2iζϕ
= e −iζϕ ⎢− 2 2 e iζϕ +
+ C2 ⎥
e
2iζ
⎣ i ζ
⎦
Ce iζϕ
= 2 +
+ C 2 e −iζϕ
2iζ
ζ
K
= 2 + C e iζϕ + e −iζϕ
K
[
ζ
]
Apabila (e iζϕ + e −iζϕ ) = 2 cos(ζϕ ) , sehingga akan menghasilkan
ε=
ε=
dimisalkan
K
ζ2
K
ζ2
K
ζ2
+ C (2 cos(ζϕ ))
+ 2C cos(ζϕ )
= B dan 2C = A , dengan demikian hasilnya adalah (pada persamaan
(4.12))
ε = B + A cos(ζϕ )