Templat tugas akhir S1

PENGGUNAAN TEOREMA HOMEOMORPHY 2-MANIFOLD
DAN TEOREMA EULER POINCARE PADA TORUS 𝑻 DAN
SIMPLICIAL COMPLEX 𝑲
QOWIYYUL AMIN SIREGAR
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Teorema
Homeomorphy 2-Manifold dan Teorema Euler Poincare pada Torus 𝑇𝑇 dan
Simplicial Complex 𝐾𝐾 adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi uang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Qowiyyul Amin Siregar
NIM G54090061
ABSTRAK
QOWIYYUL AMIN SIREGAR. Penggunaan Teorema Homeomorphy 2Manifold dan Teorema Euler Poincare pada Torus 𝑇 dan Simplicial Complex 𝐾.
Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan NUR ALIATININGTYAS.
Dua ruang topologi berdimensi dua dikatakan homeomorfik apabila
memiliki invarian topologi yang sama, di mana salah satu invarian topologi yang
digunakan adalah karakteristik Euler. Dasar teorema yang digunakan untuk
membedakan ruang topologi berdimensi dua adalah Teorema Homeomorphy 2Manifold dan Teorema Euler Poincare. Teorema Homeomorphy 2-Manifold
melihat nilai karakteristik Euler dari ruang topologi untuk membedakan ruang
topologi berdimensi dua. Lalu Teorema Euler Poincare untuk alternatif pencarian
nilai karakteristik Euler dari nilai Betti number, yang juga merupakan invarian
topologi. Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk melihat kehomeomorfisan torus 𝑇
dan Simplicial Complex 𝐾 . Ruang topologi torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾
memiliki nilai karakteristik Euler yang sama, yaitu bernilai dua. Berdasarkan
Teorema Homeomorphy 2-Manifold Torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾 dapat
dikatakan homeomorfik.
Kata kunci: topologi, homeomorfis, Euler, torus, simplicial
ABSTRACT
QOWIYYUL AMIN SIREGAR. The Use of Homeomorphy 2-Manifold’s
Theorem and Euler Poincare’s Theorem on Torus 𝑇 and Simplicial Complex 𝐾.
Supervised by SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS.
Two dimensional topological spaces are said to be homeomorphic if they
have the same topological invariant, where one of topological invariant used is an
Euler characteristic. Homeomorphy 2-Manifold’s Theorem and Euler Poincare’s
Theorem are used to distinguish two topological spaces. Homeomorphy 2Manifold’s Theorem uses Euler characteristic to identify two dimensional
topological spaces. Euler Poincare’s Theorem is an alternative way to find Euler
characteristic with Betti number, which is topological invariant as well. The
objective of this paper is to investigate the homeomorphism of torus 𝑇 and
simplicial complex 𝐾. Topological space torus and simplicial complex 𝐾 have the
same Euler characteristic, which is two. Based on Homeomorphy 2-Manifold’s
Theorem topological space torus 𝑇 and simplicial complex 𝐾 is homeomorphic.
Keywords: topology, homeomorphism, Euler, torus, simplicial
PENGGUNAAN TEOREMA HOMEOMORPHY 2-MANIFOLD
DAN TEOREMA EULER POINCARE PADA TORUS 𝑻 DAN
SIMPLICIAL COMPLEX 𝑲
QOWIYYUL AMIN SIREGAR
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-Manifold dan Teorema
Euler Poincare pada Torus 𝑇 dan Simplicial Complex 𝐾
Nama
: Qowiyyul Amin Siregar
NIM
: G54090061
Disetujui oleh
Dr Sugi Guritman
Pembimbing I
Dra Nur Aliatiningtyas, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penilitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2013 ini adalah
topologi, dengan judul Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-Manifold dan
Teorema Euler Poincare pada Torus 𝑇 dan Simplicial Complex 𝐾.
Terima Kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Sugi Guritman dan Ibu Dra
Nur Aliatiningtyas selaku pembimbing, serta Bapak Muhammad Ilyas, MSi yang
telah banyak memberi saran. Di samping itu, Penghargaan penulis sampaikan
kepada Bapak Regi Wahyu selaku Presiden PT. Mediatrac, Bapak Imron Zuhri
selaku komisioner PT. Mediatrac, Bapak Tom Malik selaku CEO PT. Mediatrac
dan Bapak HasanYusuf selaku Manajer Serta bapak Lurino Bertorani. Ungkapan
terimakasih juga disampaikan kepada Ayah, Ibu, teman-teman Departemen
Matematika Angkatan 45, 46, dan 47 atas segala doanya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2014
Qowiyyul Amin Siregar
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
12
SIMPULAN DAN SARAN
18
Simpulan
18
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
15
DAFTAR GAMBAR
Beberapa objek 2-manifold.
Torus 𝑇
Simplicial complex 𝐾
Basic 2-manifold torus.
Basic 2-manifold dengan tambahan edge 𝑐.
4
13
14
14
16
DAFTAR LAMPIRAN
Koding bentukan simplicial complex 𝐾.
20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Topologi adalah cabang ilmu matematika yang memelajari bentuk dan
ruang. Secara formal topologi dapat dikatakan ilmu tentang sifat yang dilihat
secara kualitatif terhadap objek-objek yang tidak berubah dalam beberapa macam
transformasi. Untuk lebih sederhana topologi adalah ilmu tentang kekontinuan
dan keterhubungan.
Suatu permasalahan dasar pada ruang topologi ialah penentuan apakah dua
ruang tersebut homeomorfik atau tidak (isomorfik dalam struktur ruang topologi
atau tidak). Untuk memperlihatkan apakah dua ruang dalam ruang topologi
tersebut homeomorfik dapat dilihat dengan mengkonstruksi sebuah fungsi bijektif,
dengan fungsi invers yang kontinu yang memetakan suatu ruang ke ruang lainnya.
Lalu untuk membuktikan bahwa dua ruang topologi tersebut tidak homeomorfik
perlu memperlihatkan tidak ada fungsi seperti yang disebutkan sebelumnya.
Namun cara seperti itu sangat sulit untuk dilakukan. Cara yang biasa dilakukan
untuk menyelesaikan masalah yang disebutkan sebelumnya (menunjukan dua
ruang topologi tidak homeomorfik) ialah dengan menemukan suatu sifat atau ciri
ruang topologi (contoh, suatu sifat invariant dalam fungsi homeomorfisma) yang
hanya dimiliki satu ruang topologi tersebut dan tidak dimiliki ruang topogi
lainnya (Munkres 1984).
Suatu ciri atau sifat dasar suatu ruang topologi tidak selalu dapat menjadi
acuan untuk menentukan apakah ada suatu homeomorfisma atau tidak. Untuk
mengklasifikasikan permukaan kompak dengan dasar homeomorfisma
membutuhkan suatu invariant topologi yang ‘luar biasa’ dibandingkan yang lain.
Sehingga dapat menyelesaikan masalah apakah dua ruang topologi tersebut
homeomorfik (Munkres 1984).
Aljabar topologi sendiri ditemukan oleh dua orang matematikawan yaitu
Poincare dan Betti yang bertujuan untuk menemukan suatu invariant topologi.
Poincare memperkenalkan suatu grup yang disebut Fundamental Group. Dan
Betti memperkenalkan asosiasi dari setiap ruang dengan suatu sekuens dari grup
abelian yang disebut grup homologi. Di mana grup homologi ini merupakan suatu
invariant topologi juga. Jadi grup homologi dapat menjadi salah satu cara untuk
menyelesaikan masalah homeomorfik dengan kelebihan grup homologi lebih
mudah untuk dihitung dibandingkan dengan Fundamental Group (Munkres c984).
Betti number adalah cara yang paling mudah untuk mendeskripsikan grup
homologi. Simplicial complex adalah objek amatan yang berada pada ruang
topologi.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas mengenai pemakaian Teorema
homeomorphy 2-manifold dan Teorema Euler Poincare. Penggunana Teorema
homeomorphy 2-manifold dipakai untuk melihat homeomorfisma pada torus 𝑇
dan simplicial complex 𝐾 . Dan penggunaan Teorema Euler Poincare untuk
mencari karakteristik Euler di mana Betti number diperlukan di dalamnya.
2
Tujuan Penelitian
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
1. Mengkontruksi grup homologi dari sebuah 2-simplex yang berupa simplicial
complex 𝐽.
2. Menggunakan Teorema homeomorphy 2-manifold untuk menunjukan
kehomeomorfisan torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾.
3. Mencari nilai karakteristik Euler torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾
menggunakan Teorema Euler Poincare.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan definisi-definisi mengenai teori himpunan dan
fungsi, ruang topologi, teori grup, ruang vektor, simplicial complex, karakeristik
Euler, free abelian group, grup homologi dan Betti number.
Teori Himpunan dan Fungsi
Definisi Koleksi Himpunan
Koleksi adalah sebuah himpunan yang anggotanya berupa himpunan-himpunan
(Munkres 2000).
Definisi Produk Cartesian
Diberikan himpunan 𝐴 dan himpunan 𝐵. Didefinisikan 𝐴 × 𝐵 merupakan produk
kartesian di mana,
𝐴 × 𝐵 = 𝑎, 𝑏 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑏 ∈ 𝐵 .
(Munkres 2000)
Definisi Fungsi, Domain, Image
Suatu fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 adalah aturan yang memadankan setiap elemen 𝑥 dalam
himpunan 𝐴 secara tepat ke satu elemen yang disebut 𝑓(𝑥), dalam himpunan 𝐵.
Himpunan 𝐴 disebut daerah asal (domain) fungsi, daerah hasil (image) adalah
himpunan semua nilai 𝑓(𝑥) (Stewart 2001).
Definisi Injektif
Suatu fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dikatakan injektif (atau fungsi satu-satu) jika
𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑎′ ) maka 𝑎 = 𝑎′ (Munkres 2000).
Definisi Surjektif
Fungsi
𝑓: 𝐴 → 𝐵
dikatakan
surjektif
ada𝑎 ∈ 𝐴, di mana 𝑏 = 𝑓(𝑎) (Munkres 2000).
jika
𝑏∈𝐵
maka
3
Definisi Bijektif
Jika 𝑓: 𝐴 → 𝐵 keduanya surjektif dan injektif, maka dikatakan 𝑓 bijektif
(atau dikatakan korespondensi satu-satu) (Munkres 2000).
Ruang Topologi
Definisi Topologi
Sebuah topologi pada himpunan 𝑋 adalah sebuah koleksi 𝒯 dari koleksi himpunan
bagian 𝑋 yang mempunyai beberapa ciri:
1. ∅ dan 𝑋 ada di dalam 𝒯.
2. Gabungan dari anggota-anggota dari semua bagian koleksi berhingga 𝒯
ada di dalam 𝒯.
3. Irisan dari anggota-anggota dari semua bagian koleksi berhingga 𝒯 ada di
dalam 𝒯 .
Pasangan terurut ( 𝑋 , 𝒯 ) disebut ruang topologi. Selanjutnya Pasangan
terurut (𝑋, 𝒯) akan dinyatakan sebagai 𝑋 saja. Himpunan bagian 𝑋 yang dimuat
dalam 𝒯 disebut himpunan terbuka (Munkres 2000).
Definisi Basis
Jika 𝑋 adalah sebuah himpunan, sebuah basis dari topologi pada 𝑋 adalah koleksi
𝔅 dari himpunan bagian 𝑋 yang memenuhi pernyataan berikut:
1. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋, terdapat paling sedikit satu elemen 𝐵 yang memuat 𝑥.
2. Jika 𝑥 berada pada irisan dari dua elemen B1 dan B2 , maka ada sebuah
elemen B3 yang mengandung 𝑥 di mana B3  B1  B2 .
Jika 𝔅 basis, maka topologi 𝒯 dibangkitkan dari 𝔅 (Munkres 2000).
Definisi Produk Topologi
Misal 𝑋 dan 𝑌 menjadi ruang topologi. Produk 𝑋 × 𝑌 adalah ruang topologi
(Munkres 2000).
Teorema Basis Produk Topologi
Produk topologi 𝑋 × 𝑌 mempunyai basis 𝔅 dari koleksi himpunan 𝑈 × 𝑉 , di
mana 𝑈 adalah himpunan bagian yang terbuka dari 𝑋 dan 𝑉 juga himpunan bagian
terbuka dari 𝑌 (Munkres 2000).
Definisi Himpunan Tertutup
Sebuah himpunan bagian 𝐴 dari ruang topologi 𝑋 dikatakan tertutup jika
himpunan 𝑋 − 𝐴 terbuka (Munkres 2000).
Definisi Neighborhood
Himpunan 𝑈 adalah neighborhood dari 𝑥 jika 𝑈 himpunan terbuka yang memuat
𝑥 (Munkres 2000).
4
Definisi Kekontinuan dari Fungsi
Misal 𝑋 dan 𝑌 ruang topologi. Sebuah fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dikatakan kontinu jika
untuk setiap himpunan bagian terbuka 𝑉 dari 𝑌 , maka himpunan 𝑓−1 (𝑉)
merupakan himpunan terbuka dari 𝑋 (Munkres 2000).
Definisi Terhubung
Suatu ruang topologi 𝑋 dikatakan terhubung jika dan hanya jika satu-satunya
himpunan bagian dari 𝑋 yang terbuka dan tertutup adalah himpunan kosong dan
𝑋 itu sendiri (Munkres 2000).
Definisi Open Covering
Suatu koleksi 𝒜 dari himpunan bagian ruang topologi 𝑋 disebut open covering 𝑋
jika gabungan elemen 𝒜 sama dengan 𝑋.
Definisi Compact
Ruang topologi 𝑋 dikatakan compact jika setiap open covering 𝑋 (𝒜) memuat
subkoleksi berhingga yang juga open covering 𝑋.
Definisi Basic 𝟐-Manifold
Gambar 1 Beberapa objek 2-manifold.
Gambar 1 memberikan basic 2-manifold menggunakan diagram. Pada karya
ilmiah ini fokus pada gambar kedua dari kiri yang berupa basic 2-manifold dari
torus, suatu kotak dengan verteks 𝑣 dan sisi 𝑎, 𝑏. Gambar paling kiri merupakan
basic 2-manifold dari bola adalah lingkaran dengan sisi 𝑣 . Kemudian gambar
kedua dari kiri merupakan 2-manifold dari torus. Lalu gambar paling kanan
merupakan basic 2-manifold dari klein bottle adalah kotak dengan verteks 𝑣 dan
sisi 𝑎, 𝑏. Yang terakhir adalah basic 2-manifold dari projective plane adalah kotak
dengan verterks 𝑣,w dan sisi 𝑎, 𝑏.
Dari basic 2 -manifold torus dapat dikonstruksi kembali menjadi torus
berdimensi tiga dengan menyatukan edge yang sama. Pertama bila kita
menyatukan edge 𝑎 akan membuat tansformasi basic 2-manifold torus menjadi
tabung lalu dengan menyatukan edge 𝑏 maka akan menjadi torus berdimensi tiga
(Zomorodian 2005).
Definisi Metrik
Suatu metrik pada himpunan 𝑋 adalah fungsi dari 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → 𝑅 yang mempunyai
sifat seperti berikut:
(1) 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0 untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
(2) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑(𝑥, 𝑦) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
5
(3) (Pertaksamaan segitiga) 𝒅 𝒙, 𝒚 + 𝒅 𝒚, 𝒛 ≥ 𝒅(𝒙, 𝒛) , untuk semua
𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑿.
(Munkres 2000)
Definisi Ruang Metrik
Pasangan terurut (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik di mana 𝑋 adalah himpunan dan 𝑑
adalah fungsi metrik (Munkres 2000).
Definisi Separable
Suatu ruang topologi 𝑋 dikatakan separable jika ruang topologi tersebut memiliki
basis yang terhitung (Zomorodian 2005).
Definisi 𝟐-Manifold
Suatu 2 -manifold atau permukaan adalah suatu separable, ruang metrik Σ 2 di
mana untuk setiap 𝑝 ∈ Σ 2 , ada suatu neighborhood 𝑈 dari 𝑝 yang homeomorfik
terhadap ℝ2 (Zomorodian 2005).
Definisi Ruang Euclidean
Produk Cartesian ℝ𝑛 dengan metrik Euclidean 𝑑 𝑥, 𝑦 =
adalah ruang Euclidian ℝ𝑛 (Zomorodian 2005).
𝑛
𝑖=1 (𝑢𝑖
𝑥 − 𝑢𝑖 𝑦 )
Definisi Homeomorfisma, Homeomorfik
Misal 𝑋 dan 𝑌 ruang topologi. Ada 𝑓: 𝑋 → 𝑌 merupakan fungsi bijektif. Jika
kedua fungsi 𝑓 dan 𝑓 −1 itu kontinu maka 𝑓 dikatakan sebuah homeomorfisma.
Dan jika 𝑓 fungsi hoemomorfisma maka 𝑋 dan 𝑌 dapat dikatakan homeomorfik
(Munkres 2000).
Teori Grup
Definisi Operasi Biner
Operasi biner ∗ pada suatu himpunan 𝑆 adalah suatu fungsi dari 𝑆 × 𝑆 ke 𝑆 yang
membawa setiap (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆 × 𝑆 ke 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑆 yang unik. Jadi 𝑎, 𝑏 → 𝑎 ∗ 𝑏 .
Karena 𝑎 ∗ 𝑏 juga berada dalam 𝑆 maka dikatakan 𝑆 tertutup di bawah operasi ∗
(Fraleigh 1994).
Definisi Grup
Struktur aljabar 𝐺 dengan operasi biner ∗ disebut grup jika memenuhi aksioma
berikut ini,
1. Operasi ∗ bersifat asosiatif (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 , ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺.
2. Ada unsur identitas 𝑒 ∈ 𝐺 untuk ∗ pada 𝐺 sehingga berlaku 𝑒 ∗ 𝑥 =
𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐺.
3. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 ada unsur 𝑥 −1 ∈ 𝐺 sehingga 𝑥 ∗ 𝑥 −1 = 𝑥 −1 ∗
𝑥 = 𝑒 (Fraleigh 1994).
6
Definisi Grup Abelian
Grup 𝐺 disebut Grup komutatif jika operasi biner ∗ bersifat komutatif yaitu:
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 . Grup abelian adalah grup yang bersifat komutatif
(Zomorodian 2005).
Definisi Order Grup
Banyak unsur dari grup hingga 𝐺 disebut order dari 𝐺, dinotasikan o(𝐺) atau |𝐺|
(Fraleigh 1994).
Definisi Grup Siklik
Dinotasikan 𝑎 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ ℤ }. Jika 𝐺 = 𝑎 maka 𝐺 disebut grup siklik yang
dihasilkan oleh 𝑎 (Fraleigh 1994).
Selanjutnya operasi grup berada di bawah operasi tambah.
Definisi Grup Hasil Jumlah Langsung
Misalkan 𝐺1 , 𝐺2 , … , 𝐺𝑛 grup dengan unsur identitas, 𝑒𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan invers
dari (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) adalah (𝑎1 −1 , 𝑎2 −1 , … , 𝑎𝑛 −1 ) . Untuk notasi aditif, ∏𝑛𝑖=1 𝐺𝑖
dinotasikan dengan ⊕𝑛𝑖=1 𝐺𝑖 = 𝐺1 ⨁𝐺2 ⨁ … ⨁𝐺𝑛 , dan disebut grup hasil jumlah
langsung dari 𝐺𝑖 (Fraleigh 1994).
Definisi Homomorfisma
Misalkan 𝐺 grup dengan operasi + dan 𝐺 ′ adalah grup di bawah operasi #. Fungsi
𝜃: 𝐺 → 𝐺 ′ disebut homomorfisma grup jika 𝜃 𝑥 + 𝑦 = 𝜃 𝑥 ⋕ 𝜃(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺
(Fraleigh 1994).
Definisi Monomorfisma, Epimorfisma, Isomorfisma, Automorfisma
Ada fungsi homomorfisma 𝜃: 𝐺 → 𝐺 ′ , jika 𝜃 injektif maka 𝜃 disebut
monomorfisma. Jika 𝜃 surjektif maka 𝜃 disebut epimorfisma. Jika 𝜃 bijektif
maka 𝜃 disebut isomorfisma. Jika 𝐺 = 𝐺 ′ dan 𝜃 isomorfisma maka 𝜃 disebut
authomorfisma (Fraleigh 1994).
Definisi Kernel
Misalkan 𝜃: 𝐺 → 𝐺 ′ grup homomorfisma. Grup 𝜃 −1 ({𝑒 ′ }) disebut kernel dari 𝜃
dan dinotasikan ker 𝜃. Jadi ker 𝜃 = {𝑥 ∈ 𝐺|𝜃 𝑥 = 𝑒 ′ } (Fraleigh 1994).
Teorema Isomorfik Grup Siklik Takhingga
Setiap grup siklik takhingga 𝐺 isomorfik dengan ℤ (Fraleigh 1994).
Definisi Subgrup Normal
Misalkan 𝐺 grup dan 𝑁 subgrup dari 𝐺. Maka 𝑁 disebut subgrup normal dari 𝐺
jika ∀𝑔 ∈ 𝐺, ∀𝑛 ∈ 𝑁, 𝑔𝑛𝑔 −1 ∈ 𝑁 (Fraleigh 1994).
7
Teorema Grup Faktor
Misalkan 𝐺 grup, 𝑁 subgrup normal dari 𝐺 dan himpunan 𝐺 𝑁 beserta operasi
perkalian pada 𝐺 𝑁 adalah sebagai berikut:
𝐺 = 𝑎𝑁 𝑎∈𝐺
𝑁
𝑎𝑁 ∙ 𝑏𝑁 = 𝑎𝑏𝑁.
maka 𝐺 𝑁 adalah grup dan disebut grup faktor (Fraleigh 1994).
Ruang Vektor
Definisi Ruang Vektor
Himpunan 𝑉 bersama-sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan
skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut
terpenuhi.
A1. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 untuk setiap 𝑥 dan 𝑦 di 𝑉.
A2. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 untuk setiap 𝑥 , 𝑦, 𝑧 di 𝑉.
A3. Terdapat elemen 0 di 𝑉 sehingga 𝑥 + 0 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉.
A4. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉 terdapat elemen −𝑥 di 𝑉 sehingga 𝑥 + −𝑥 =
0.
A5. 𝛼 𝑥 + 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦 untuk setiap skalar 𝛼 dan setiap 𝑥 dan 𝑦 di 𝑉.
A6. 𝛼 + 𝛽 𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 dan setiap 𝑥 ∈ 𝑉.
A7. 𝛼𝛽 𝑥 = 𝛼(𝛽𝑥 ) untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 dan setiap 𝑥 ∈ 𝑉.
A8. 1 ⋅ 𝑥 = 𝑥.
(Leon 2001)
Definisi Bebas Linear
Vektor-vektor 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 dalam ruang vektor 𝑉 disebut bebas linear (linearly
independent) jika
𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑣𝑛 = 0
mengakibatkan semua skalar-skalar 𝑐1 , … , 𝑐𝑛 harus sama dengan 0 (Leon 2001).
Definisi Merentang
Himpunan {𝑣1 , … , 𝑣𝑛 } disebut himpunan perentang untuk 𝑉 jika dan hanya jika
setiap vektor dalam 𝑉 dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛
Definisi Basis
Vektor-vektor 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 membentuk basis untuk ruang vektor 𝑉 jika dan hanya
jika
(i) 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 bebas linear.
(ii) 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 merentang 𝑉 (Leon 2001).
8
Simplicial Complex
Definisi Bebas Geometri
Poin-poin 𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑞 di ruang Euclidean ℝ𝑘 dikatakan bebas geometri (atau
affine independent) jika satu-satunya solusi dari sistem linear
𝑞
𝜆𝑗 𝑣𝑗 = 𝟎
𝑗 =0
𝑞
(2.1)
𝜆𝑗 = 0
𝑗 =0
adalah solusi trivial 𝜆0 = 𝜆1 = ⋯ = 𝜆𝑞 = 0 (Wilkins 2008).
Dari definisi di atas dapat ditunjukan bahwa poin-poin 𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑗
merupakan bebas geometri jika hanya jika vektor 𝑣1 − 𝑣0 , 𝑣2 − 𝑣0 , … , 𝑣𝑗 − 𝑣0
merupakan bebas linear. Akibatnya suatu himpunan dari poin bebas geometri di
ℝ𝑘 mempunyai paling banyak 𝑘 + 1 elemen. Perlu diketahui juga bahwa jika
suatu himpunan terdiri dari poin yang bebas geometri di ℝ𝑘 maka setiap
himpunan bagian dari himpunan tersebut juga terdiri dari poin yang bebas
geometri.
Definisi 𝒒-Simplex
Sebuah 𝑞-simplex di ℝ𝑘 dari 𝑆 = {𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑞 } didefinisikan sebagai himpunan
𝑞
𝑞
𝑡𝑗 𝑣𝑗 ; 0 ≤ 𝑡𝑗 ≤ 1 untuk 𝑗 = 0,1, … , 𝑞 dan
𝑗 =0
𝑡𝑗 = 1
(2.2)
𝑗 =0
di mana 𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑞 merupakan poin bebas geometri dari ℝ𝑘 . Poin 𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑞
dapat dikatakan verteks dari simplex. Bilangan bulat taknegatif 𝑞 menunjukan
sebagai dimensi dari simplex (Wilkins 2008). Kumpulan dari 𝑞-simplex disebut
simplices atau kumpulan simplicial.
Sebuah 𝑞-simplex juga bisa dilihat sebagai selubung cembung (convex hull)
dari 𝑞 + 1 titik yang bebas goemetri 𝑆 = {𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑞 }. Semua titik di dalam 𝑆
adalah verteks-verteks dari simplex (Zomorodian 2005).
Definisi Face, Coface
Misal 𝜎 suatu 𝑞 -simplex didefinisikan dari 𝑆 = {𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑞 } . Simplex 𝜏 dari
𝑇 ⊆ 𝑆, disebut face dari 𝜎 dan 𝜎 disebut coface. Hubungan tersebut dinotasikan
dengan 𝜎 ≥ 𝜏 dan 𝜎 ≤ 𝜏.
Definisi Simplicial Complex
Sebuah koleksi berhingga 𝐾 dari kumpulan simplicial di ℝ𝑘 dikatakan simplicial
complex jika memenuhi dua kondisi berikut:
1. jika 𝜎 adalah simplex yang dimiliki 𝐾 maka setiap face (𝜏) dari 𝜎 juga
dimiliki oleh 𝐾.
9
2. jika 𝜎1 dan 𝜎2 adalah kumpulan simplicial yang dimiliki 𝐾 maka kedua
𝜎1 ∩ 𝜎2 = ∅ atau 𝜎1 ∩ 𝜎2 merupakan face umum dari kedua 𝜎1 dan 𝜎2
(Wilkins 2008).
Dimensi dari simplicial complex 𝐾 adalah bilangan bulat tak negatif
terbesar 𝑛 sedemikian sehingga 𝐾 mengandung sebuah 𝑛-simplex.
Definisi Underlying Space
Underlying Space |𝐾| dari simplicial complex 𝐾 adalah 𝐾 = 𝜎 ∈𝐾 𝜎 . Dapat
dikatakan |𝐾| adalah topologi (Zomorodian 2005).
Gabungan dari semua simplicial dari 𝐾 adalah sebuah himpunan bagian
compact |𝐾| dari ℝ𝑘 dikenal sebagai polyhedron dari 𝐾.
Contoh. Misal 𝐾𝜎 terdiri dari beberapa 𝑛-simplex 𝜎 beserta dengan face 𝜎.
Maka 𝐾𝜎 adalah simplicial complex dari dimensi n, dan 𝐾𝜎 = 𝜎.
Definisi Interior
Misal 𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑞 verteks-verteks dari suatu 𝑞-simplex 𝜎 di ruang Euclidan ℝ𝑘 .
Didefinisikan interior dari suatu simplex 𝜎 adalah himpunan titik-titik dari 𝜎,
𝑞
𝑞
𝑡𝑗 𝑣𝑗 ; 𝑡𝑗 > 0 , 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑞 dan
𝑗 =0
𝑡𝑗 = 1
(2.3)
𝑗 =0
Dari bentuk di atas dapat dilihat bahwa interior dari simplex 𝜎 memuat
semua titik di 𝜎 kecuali titik-titik yang berada di ujung 𝜎 (Wilkins 2008).
Definisi Rentangan Verteks
Suatu himpunan verteks 𝐾 yang dinotasikan dengan vert 𝐾 = {𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 } ,
dikatakan merentang 𝐾 jika elemen elemen vert 𝐾 merentang suatu simplex di
dalam 𝐾 (Wilkins 2008).
Karakteristik Euler
Definisi invariant
Invariant topologi adalah suatu fungsi yang memetakan objek yang dipandang
sama menuju ruang dengan tipe topologi yang sama (Zomorodian 2005).
Karakteristik Euler merupakan suatu invariant topologi, di mana dapat
mendeskripsikan topologi. Karakteristik Euler dapat membedakan objek topologi
berdimensi rendah (dimensi dua) namun gagal untuk membedakan dimensi yang
lebih tinggi.
Definisi Karakteristik Euler
Misal 𝐿 simplicial complex dan 𝑠𝑖 = {𝜎 ∈ 𝐿| dim 𝜎 = 𝑖} . Karakteristik Euler
𝜒(𝐾) adalah
dim 𝐾
−1 𝑖 |𝑠𝑖 |
𝜒 𝐿 =
𝑖=0
(Zomorodian 2005)
10
Karakteristik Euler adalah invariant integer untuk |𝐿|, yang berada dalam
ruang 𝐿.
Free Abelian Group
Misal 𝐺 Merupakan grup abelian, {𝑎𝛼 } index dari keluarga 𝐺 , dan 𝐺𝛼
menjadi subgrup dari 𝐺 yang dibangkitkan oleh {𝑎𝛼 } . Jika setiap grup 𝐺𝛼
merupakan siklik takhingga dan jika 𝐺 merupakan hasil jumlah langsung dari
grup 𝐺𝛼 maka 𝐺 merupakan free abelian group yang mempunyai basis 𝑎𝛼
(Munkres 2000).
Himpunan ℤ merupakan suatu free abelian group karena ℤ dapat
dikonstruksi dari 1 yang merupakan grup siklik takhingga. Lalu contoh lain
akan dikonstruksi sebuah free abelian group dari himpunan 𝑋 = {𝑎, 𝑏}. 𝐹𝐴 𝑋 =
𝑚1 𝑎 + 𝑚2 𝑏, 𝑚1 , 𝑚2 ∈ ℤ, di mana 𝐹𝐴(𝑋) adalah suatu free abelian group yang
merupakan suatu kombinasi linear dari elemen-elemen 𝑋. Operasi biner dari free
abelian group 𝐹𝐴(𝑋) adalah +,
Grup Homologi
Definisi Chain Groups
Chain group 𝑘 dari suatu simplicial complex 𝐽 𝐶𝑘 𝐽 , + adalah free abelian
group pada 𝑞-simplices yang berorientasi, di mana 𝜎 = −[𝜏] jika 𝜎 = 𝜏 dan 𝜎
dan 𝜏 mempunyai orientasi yang berbeda. Elemen dari 𝐶𝑘 (𝐾) adalah suatu 𝑘 chain, 𝑞 𝑛𝑞 [𝜎𝑞 ] , 𝑛𝑞 ∈ ℤ, 𝜎𝑞 ∈ 𝐽 (Zomorodian 2005).
Contoh. Misal 𝑣0 , 𝑣1 dan 𝑣2 menjadi verteks dari segitiga pada suatu ruang
Euclidean. Misal 𝐾 menjadi simplicial complex yang memiliki segitiga tersebut,
bersama dengan himpunan verteks dan edge segitiga tersebut. Setiap 0-chain dari
𝐾 dapat diekspresikan secara unik dalam bentuk 𝑛0 𝑣0 + 𝑛1 𝑣1 + 𝑛2 𝑣2 untuk
nilai 𝑛0 , 𝑛1 , 𝑛2 ∈ ℤ. Hal ini merupakan suatu 1 -chain dari 𝐾 yang juga dapat
diekspresikan secara unik dalam bentuk 𝑚0 𝑣0 , 𝑣1 + 𝑚1 𝑣1 , 𝑣2 + 𝑚2 𝑣2 , 𝑣0
untuk 𝑚0 , 𝑚1 , 𝑚2 ∈ ℤ . Suatu 2 -chain dari 𝐾 dapat diekspresikan secara unik
dalam bentuk 𝑛 𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 untuk 𝑛 ∈ ℤ.
Definisi Boundary Homomorphism
Misal 𝐾 menjadi suatu simplicial complex dan 𝜎 ∈ 𝐾, 𝜎 = 𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑘 .
Boundary homomorphism 𝜕𝑘 : 𝐶𝑘 𝐾 → 𝐶𝑘 −1 (𝐾) didefinisikan dengan 𝜕𝑘 𝜎 =
𝑖
𝑖 (−1) 𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , … , 𝑣𝑛 , di mana 𝑣𝑖 dihapus dari sekuens (Zomorodian
2005).
Contoh. Misal diletakkan boundary dari simplices berorientasi di dalam
gambar. 𝜕1 𝑎, 𝑏 = 𝑏 − 𝑎 , 𝜕2 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑏, 𝑐 − 𝑎, 𝑐 + 𝑎, 𝑏 = 𝑏, 𝑐 + 𝑐, 𝑎 +
[𝑎, 𝑏], 𝜕3 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = 𝑏, 𝑐, 𝑑 − 𝑎, 𝑐, 𝑑 + 𝑎, 𝑏, 𝑑 − [𝑎, 𝑏, 𝑐].
Definisi Cycle, Boundary
Grup cycle 𝑘 adalah 𝑍𝑘 = ker 𝜕𝑘 . Grup boundary 𝑘 adalah 𝐵𝑘 = im𝜕𝑘+1
(Zomorodian 2005).
11
Teorema Dua Boundary
𝜕𝑘 −1 𝜕𝑘 𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑘 = 0,untuk semua 𝑘.
Bukti. 𝜕𝑘 −1 𝜕𝑘 𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑘 = 𝜕𝑘 −1
=
−1
𝑖
−1
𝑗
𝑖 (−1)
𝑖
𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , … , 𝑣𝑘
𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , … , 𝑣𝑖 , … , 𝑣𝑘
𝑗 <𝑖
+
−1
𝑖
−1
𝑗 −1
𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , … , 𝑣𝑖 , … , 𝑣𝑘
𝑗 >𝑖
= 0.
(Zomorodian 2005)
Chain Complex
Dari 𝑛 dimensional 𝐽 dan boundary homomorfism dapat dikonstruksi suatu
sekuens berikut ini,
𝜕 𝑛 +1
𝜕𝑛
𝜕 𝑛 −1
𝜕1
𝜕0
0
𝐶𝑛 𝐽
𝐶𝑛−1 𝐽
…
𝐶1 𝐽
𝐶0 (𝐽)
0
Dengan 𝜕𝑛 𝜕𝑛−1 𝐶𝑘 (𝐽) = 0 untuk semua nilai 𝑘. Catatan bahwa jika dimensi
𝑛 < 0 maka 𝐶𝑛 = 0 dan 𝐶𝑛 +1 = 0 karena tidak ada 𝑛 + 1 -simplex di 𝐾 .
Sekuens tersebut disebut chain complex.
Definisi Grup Homologi
Grup homologi 𝑘 adalah 𝐻𝑘 = 𝑍𝑘 𝐵𝑘 = ker 𝜕𝑘 im𝜕𝑘+1 (Zomorodian 2005).
Betti Number
Betti number ke- 𝑛 yang dinotasikan dengan 𝛽𝑛 , dari suatu simplicial
complex adalah suatu jumlah lubang berdimensi 𝑛 di dalam complex.
Secara intuitif Betti number dapat dijelaskan sebagai berikut:
 Lubang 0-dimensi menjadi sebuah unit yang terhubung (titik).
 Lubang 1-dimensi menjadi sebuah lingkaran atau independent tunnel.
 Lubang 2-dimensi menjadi sebuah ruang tak tertutup.
Betti number juga merupakan invariant topologi, seperti juga karakteristik
Euler dan grup homologi. Grup homologi merupakan salah satu cara untuk
mendeskripsikan topologi dan cara termudah utuk mendeskripsikan grup
homologi dengan Betti number. Grup homologi ini dapat mendeskripsikan suatu
ruang topologi secara feasible yang artinya dapat dipakai secara komputasi. Lalu
akan diberikan Betti number:
𝛽𝑛 = rank 𝐻𝑛 ,𝑛 = 0,1,2, …
(2.4)
𝛽𝑛 = Betti number dimensi ke- 𝑛
𝐻𝑛 = grup homologi dimensi ke- 𝑛.
(Zomorodian 2005)
12
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab pembahasan ini akan dikonstruksi grup homologi dari sebuah 2simplex yang berupa simplicial complex 𝐽. Selanjutnya dibuktikan bahwa torus 𝑇
dan simplicial complex 𝐾 homeomorfik. Lalu akan diberikan alternatif pencarian
karakteristik Euler dari Torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾.
Konstruksi Grup Homologi Simplicial Complex 𝑱
Diketahui Sebuah 2 - simplex mempunyai himpunan simplicial complex
𝐽 = {[𝑣0 ], [𝑣1 ], [𝑣2 ], [𝑣0 , 𝑣1 ], [𝑣1 , 𝑣2 ], [𝑣2 , 𝑣0 ], [𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 ]} . Di mana 𝑣0 = (0,3),
𝑣1 = (4,0), 𝑣2 = (4,3), 𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 ∈ ℤ × ℤ.Akan dikonstruksi suatu 𝑘-chain group
𝐶𝑘 (𝐽), + dari simplicial complex 𝐽 . Pertama akan dikontruksi 0 - chain , dari
himpunan 𝜎0 = {𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 } lalu dibuat suatu free abelian group, 𝑛1 𝑣0 + 𝑛2 𝑣1 +
𝑛3 𝑣2 yang merupakan anggota 0 - chain . Selanjutnya konstruksi 1 -chain dari
himpunan 𝜎1 = {[𝑣0 , 𝑣1 ], [𝑣1 , 𝑣2 ], [𝑣2 , 𝑣0 ]} Lalu dibuat suatu free abelian group,
𝑚1 [𝑣0 , 𝑣1 ] + 𝑚2 [𝑣1 , 𝑣2 ] + 𝑚3 [𝑣2 , 𝑣0 ] yang merupakan anggota 1 - chain . Dan
terakhir konstruksi 2-chain dari himpunan 𝜎2 = {[𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 ]} dibuat free abelian
group, 𝑝0 [𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 ] yang merupakan anggota 2-chain .
Selanjutnya akan dikonstruksi chain complex dari simplicial complex 𝐽.
0 → 𝐶2 𝐽 → 𝐶1 𝐽 → 𝐶0 𝐽 → 0
Karena 𝑛1 𝑣0 + 𝑛2 𝑣1 + 𝑛3 𝑣2 elemen 0-chain maka 𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 adalah grup
𝐶0 (𝐽). Begitu juga 𝑚1 [𝑣0 , 𝑣1 ] + 𝑚2 [𝑣1 , 𝑣2 ] + 𝑚3 [𝑣2 , 𝑣0 ] yang merupakan elemen
1 - chain maka [𝑣0 , 𝑣1 ], [𝑣1 , 𝑣2 ], [𝑣2 , 𝑣0 ]
adalah grup 𝐶1 (𝐽) . Dan juga
𝑝0 [𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 ] yang merupakan elemen 2 - chain maka [𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 ] adalah grup
𝐶2 (𝐽). Dapat dituliskan sebagai berikut,
𝐶0 (𝐽) = 𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2
𝐶1 𝐽 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝐶2 𝐽 = 𝐴
Di mana 𝑎 = [𝑣0 , 𝑣1 ], 𝑏 = [𝑣1 , 𝑣2 ], 𝑐 = [𝑣2 , 𝑣0 ], dan 𝐴 = [𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 ].
Setelah itu akan dicari homologi dari simplicial complex 𝐽.
Karena 𝜕𝑣0 = 𝜕𝑣0 = 𝜕𝑣0 = 0 sehingga 𝑍 = 𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 = 𝐶0 (𝐽).
Dengan 𝐵0
𝜕(𝑎) = 𝜕[𝑣0 , 𝑣1 ]
𝜕(𝑐) = 𝜕[𝑣2 , 𝑣0 ]
= 𝑣1 − 𝑣0
= 𝑣0 − 𝑣2
𝜕(𝑏) = 𝑑[𝑣1 , 𝑣2 ]
= 𝑣2 − 𝑣1
𝐻0 𝐽
= 𝑍0 /𝐵0
= 𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣1 / 𝑣1 − 𝑣0 , 𝑣2 − 𝑣1 , 𝑣0 − 𝑣2
= 𝑣0 − 𝑣1 , 𝑣1 − 𝑣2 , 𝑣2 / 𝑣0 − 𝑣1 , 𝑣1 − 𝑣2 , 0
= 𝑣0 − 𝑣1 , 𝑣1 − 𝑣2 , 𝑣2 / 𝑣0 − 𝑣1 , 𝑣1 − 𝑣2
= 𝑣2
=ℤ
grup 𝑍1 didapat dari,
13
𝜕𝐶1 𝐽 = 𝜕 𝑚1 𝑎 + 𝑚2 𝑏 + 𝑚3 𝑐
= 𝜕(𝑚1 [𝑣0 , 𝑣1 ] + 𝑚2 [𝑣1 , 𝑣2 ] + 𝑚2 [𝑣2 , 𝑣0 ])
= 𝑚1 ([𝑣1 ] − [𝑣0 ]) + 𝑚2 ([𝑣2 ] − [𝑣1 ]) + 𝑚3 ([𝑣0 ] − [𝑣2 ])
= (𝑚1 − 𝑚2 )[𝑣1 ] + (𝑚2 − 𝑚3 )[𝑣2 ] + (𝑚3 − 𝑚1 )[𝑣0 ]
lalu
0 = (𝑚1 − 𝑚2 )[𝑣1 ] + (𝑚2 − 𝑚3 )[𝑣2 ] + (𝑚3 − 𝑚1 )[𝑣0 ]
Sehingga 𝑚1 = 𝑚2 , 𝑚2 = 𝑚3 , 𝑚3 = 𝑚1
𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚3
didapatlah 𝑍1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝐻1 (𝐽) = 𝑍1 /𝐵1
= 𝑎+𝑏+𝑐 / 𝑎+𝑏+𝑐
=0
𝐵1 = 𝜕𝐴 = 𝜕[𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 ]
= [𝑣0 , 𝑣1 ] + [𝑣1 , 𝑣2 ] + [𝑣2 , 𝑣0 ]
=𝑎+𝑏+𝑐
Kemudian 𝑍2 didapatkan dari
𝜕(𝑝0 𝐴) = 𝜕𝑝0 [𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 ]
= 𝑝0 ([𝑣1 − 𝑣0 ] + [𝑣2 − 𝑣1 ] + [𝑣0 − 𝑣2 ])
Jika 𝜕𝐶2 (𝐽) = 0 maka,
0 = 𝑝0 ([𝑣1 − 𝑣0 ] + [𝑣2 − 𝑣1 ] + [𝑣0 − 𝑣2 ]) ⟷ 𝑝0 = 0
Jadi 𝑍2 = 0,
dilanjutkan dengan
𝐻2 (𝐽) = 𝑍2 /𝐵2
= 0/0
=0
𝐵2 = 𝜕0
=0
Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-Manifold
Didefinisikan 𝑆 1 adalah sebuah lingkaran pada ℝ2 . Himpunan 𝑆 1 ini
dinotasikan sebagai berikut:
𝑆 1 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 2 + 𝑦 2 = 1}
Ruang 𝑆 1 merupakan topologi dengan basis 𝑈 di mana 𝑈 merupakan
himpunan dari busur-busur pada lingkaran.
Didefinisikan bahwa suatu torus 𝑇 di mana 𝑇 ∶ 𝑆 1 × 𝑆 1 adalah topologi
dengan basis 𝑈 × 𝑉 di mana 𝑈 dan 𝑉 merupakan basis dari 𝑆 1 (Munkres 2000).
Gambar 2 Torus 𝑇
Didefinisikan simplicial complex 𝐾 dengan himpunan vertek-verteks vert
𝐾 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} dan himpunan,
14
Gambar 3 Simplicial complex 𝐾
𝐾 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1,2 , 2,3 , 3,1 , 4,1 , 5,2 , 6,3 , [4,
5], 5,6 , 6,4 , 7,4 , 8,5 , 9,5 , 7,8 , 8,9 , 1,5 , 2,6 , 3,4 , 4,8 , 5,9 , [6
,7], 7,2 , 8,3 , 9,1 , 9,7 , 1,7 , 2,8 , 3,9 , 1,5,2 , 4,1,5 , 2,6,3 , 5,2,6 ,
3,4,1 , 6,3,1 , 4,8,5 , 7,4,8 , 5,9,6 , 8,5,9 , 6,7,4 , 9,6,7 , 7,2,8 , [1,7,2]
8,3,9 , [2,8,3] 9,1,7 , [3,9,1]}.
(2.1)
Kemudian ada polyhedron |𝐾| yang merupakan gabungan dari semua
anggota 𝐾, dan polyhedron |𝐾| merupakan topologi (Zomorodian 2005).
Transformasi torus 𝑇 dengan definisi basic 2 -manifold sehingga berupa
manifold dimensi dua. Dapat dilihat pada Gambar 4, yang merubah himpunan
torus tersebut menjadi 𝑇 = { 𝑣 , 𝑎, 𝑏, 𝑎𝑏}.
Gambar 4 Basic 2-manifold torus.
Lalu akan dibuktikan bahwa torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾 adalah
homeomorfik. Untuk membuktikan hal tersebut pada umumnya akan
menggunakan definisi homeomorfisma. Namun itu terlalu sulit untuk dilakukan,
maka digunakanlah teorema berikut:
Teorema Homeomorphy 2-Manifold
Permukaan kompak tertutup 𝕄1 dan 𝕄2 adalah homeomorfik jika hanya
jika,
a) 𝜒 𝕄1 = 𝜒 𝕄2
b) Kedua permukaannya orientable atau keduanya tidak orientable
(Zomorodian 2005).
Teorema ini dapat digunakan pada ruang topologi yang berupa manifold
dimensi dua. Dalam kasus ini ruang topologi (𝐾, |𝐾|) merupakan objek dua
dimensi (lihat Gambar 5) dan juga torus yang sudah di transformasi dengan
definisi basic 2-manifold. Selanjutnya ruang topologi (𝐾, |𝐾|) akan disebutkan
menjadi simplicial complex 𝐾.
15
Untuk menggunakan teorema tersebut pertama harus mencari karakteristik
Euler dari torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾. Nilai Karakteristik Euler didapatkan
dengan menggunakan definisi karakteristik Euler, dimulai dengan mencari nilai
karakteristik Euler torus 𝑇;
𝜒 𝑇1 = 2𝑖=0 −1 𝑖 |𝑠𝑖 |
= −1 0 |𝑠0 |+ −1 1 |𝑠1 |+ −1 2 |𝑠2 |
=1−2+1
=0
Setelah itu mencari nilai karakteristik Euler dari simplicial complex 𝐾,
𝜒 𝐾 = 2𝑖=0 −1 𝑖 |𝑠𝑖 |
= −1 0 |𝑠0 + −1 1 |𝑠1 + −1 2 |𝑠2 |
= 9 − 27 + 18
=0
Poin a) terpenuhi karena kedua nilai karakteristik yang didapat bernilai sama.
Bila melihat Gambar 3 dan Gambar 4 terlihat bahwa masing-masing torus 𝑇 dan
simplicial complex 𝐾 mempunyai orientasi, poin b) terpenuhi. Sehingga dengan
menggunakan Teorema homeomorphy 2-manifold dapat diyatakan bahwa torus T
dan simplicial complex 𝐾 itu homeomorfik.
Selanjutnya akan diberikan alternatif pencarian karakteristik 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 dari
simplicial complex 𝐾 dan torus 𝑇
.
Penggunaan Teorema Euler Poincare
Untuk dapat mencari karakteristik Euler di mana dibutuhkan suatu Betti
number dari torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾. Betti number didapatkan dari rank
grup homologi. Sehingga langkah pertama yang dilakukan yaitu mencari Betti
number dari torus 𝑇 dengan mencari grup homologi torus 𝑇. Di mana teorema
berikut ini yang akan digunakan:
Teorema Euler Poincare
Jika 𝐾 adalah suatu simplicial complex hingga maka karakterisitik Euler 𝐾
sama dengan alternatif penjumlahan Betti number dari setiap dimensi:
𝜒 𝐾 =
−1
𝑘
𝛽𝑘 (𝐾)
(2.2)
𝑘
Bukti
Diperlukan beberapa fakta dari aljabar linear.
pertama. Jika Suatu 𝑀, 𝐿 adalah ruang vektor dan 𝐴: 𝑀 → 𝐿 operator linear
maka 𝑀/ker 𝐴 ≃ im 𝐴.
Fakta kedua. Jika 𝑌 ruang bagian dari ruang vektor 𝑋 maka dim 𝑋/𝑌 =
dim 𝑋 − dim 𝑌.
Ada empat Vektor yang terlibat dalam peritungan Betti number dari 𝐾:
grup chain, grup cycle, grup boundary dan grup homologi. Ini merupakan notasi
dimensi mereka: 𝑐𝑘 = dim 𝐶𝑘 (𝐾) , 𝑧𝑘 = dim 𝑍𝑘 𝑘 , 𝑏𝑘 = dim 𝐵𝑘 𝐾 , 𝛽𝑘 =
dim 𝐻𝑘 (𝐾).
Ada operator boundary 𝜕𝑘 : 𝐶𝑘 𝐾 → 𝐶𝑘 −1 (𝐾) , lalu definisikan 𝑍𝑘 𝐾 =
ker 𝜕𝑘 , dan 𝐵𝑘 = Im 𝜕𝑘+1 . Fakta satu dan fakta dua mengimplikasikan suatu,
16
dim 𝑀 − dim ker 𝐴 = dim im 𝐴
Kemudian mengaplikasikannya kepada operator boundary di atas, didapatkan:
dim 𝐶𝑘 (𝐾) − dim ker 𝜕𝑘 = dim im 𝜕𝑘 . Atau ,
𝑐𝑘 − 𝑧𝑘 = 𝑏𝑘 −1
(2.3)
Mengingat bahwa 𝐻𝑘 𝐾 = 𝑍𝑘 (𝐾)/𝐵𝑘 (𝐾) . Maka dari fakta dua
mengakibatkan.
𝛽𝑘 = 𝑧𝑘 − 𝑏𝑘
(2.4)
Langkah selanjutnya, misalkan 𝑛 dimensi tertinggi dari 𝐾, maka:
𝛽0 − 𝛽1 + 𝛽2 − ⋯ + −1 𝑛 𝛽𝑛
subtitusikan persamaan (2.4)
= 𝑧0 − 𝑏0 − 𝑧1 − 𝑏1 + 𝑧2 − 𝑏2 − ⋯ + −1 𝑛 (𝑧𝑛 − 𝑏𝑛 ).
= 𝑧0 − 𝑏0 − 𝑧1 + 𝑏1 + 𝑧2 − 𝑏2 − ⋯ + −1 𝑛 𝑧𝑛 − (−1)𝑛 𝑏𝑛 .
= 𝑧0 − 𝑐1 − 𝑧1 − 𝑧1 + 𝑐2 − 𝑧2 + 𝑧2 − 𝑐3 − 𝑧3 − ⋯ + (−1)𝑛 𝑧𝑛 −
−1 𝑛 (𝑐𝑛+1 − 𝑧𝑛 +1 ).
= 𝑧0 − 𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑐𝑛+1 + (−1)𝑛 𝑧𝑛+1 .
= 𝑐0 − 𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3 + ⋯ + 0 + 0.
= 𝜒(𝐾).
∎
Kelebihan bila mencari karakteristik Euler dengan menggunakan teorema
ini adalah akan didapatkan gambaran geometri yang lebih rinci dari Betti number
yang didapat bila dibandingkan dengan hanya mengetahui nilai karakteristik Euler
saja dari definisi.
Untuk mempermudah penggunaan grup homologi, ditambahkan satu edge 𝑐
(Wieldberg 2012f). Sehingga terjadi perubahan pada torus 𝑇 menjadi Gambar 5,
Gambar 5 Basic 2-manifold dengan tambahan
edge 𝑐.
Lalu akan dimulai menghitung grup homologi torus 𝑇.
Akan dibuat chain complex terlebih dahulu,
0 → 𝐶2 → 𝐶1 → 𝐶0 → 0
Di mana 𝐶0 = 𝑥 , 𝐶1 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝐶2 = 𝑈, 𝐿 . Kemudian akan dicari
𝐻𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ.
𝑍
𝐻0 = 0 𝐵 ≃ 𝑥 /0 ≃ ℤ
(2.5)
0
𝐻1 =
𝑍1
𝑎, 𝑏, 𝑐
𝐵1 ≃
𝑎+𝑏+𝑐 ≃
𝑎+𝑏+𝑐,𝑏 ,𝑐
𝑎+𝑏+𝑐
≃ 𝑏, 𝑐 ≃ ℤ⨁ℤ
(2.6)
17
𝐻2 =
𝑍2
𝑈−𝑇
𝐵2 ≃
0≃ℤ
(2.7)
𝐻𝑛 = 0 untuk 𝑛 ≥ 0.
(2.8)
Setelah mendapat grup homologi torus 𝑇 dilanjutkan dengan mencari Betti
number,
(2.9)
𝛽0 = rank 𝐻0 = 1.
𝛽1 = rank 𝐻1 = 2.
(2.10)
𝛽2 = rank 𝐻2 = 1.
(2.11)
𝛽𝑛 = rank 𝐻𝑛 = 0, 𝑛 ≥ 3.
(2.12)
Jadi Betti number dari torus 𝑇 adalah 1 2 1.
Lalu setelah mengetahui Betti number dari torus maka akan digunakan
Teorema Euler Poincare untuk mencari nilai karakteristik Euler dari torus
tersebut.
Berdasarkan Betti number yang didapat sebelumnya akan dicari
karakteristik Euler dari torus tersebut (lihat Persamaan (2.9), (2.10). (2.11),
(2.12)),
𝜒 𝑇 = 𝛽0 − 𝛽1 + 𝛽2 − ⋯ + (−1)𝑛 𝛽𝑛 .
= 1 − 2 + 1 − 0 + ⋯ + 0; 𝛽𝑛 = 0 Untuk 𝑛 ≥ 2
= 0.
Setelah itu langkah ketiga. Dengan menggunakan peranti lunak Matlab
dapat dihitung Betti number dari simplicial complex 𝐾, pemakaian peranti lunak
Matlab dikarenakan kesulitan yang dihadapi saat mencari Betti number dari
simplicial complex 𝐾.
Akan dimulai mengkonstruksi dengan menggunakan perangkat lunak
Matlab. Kemudian diberikan kodingan dari pembuatan simplicial complex 𝐾
(lampiran 1). Setelah memasukan koding sebelumnya lalu untuk menunjukan
Betti number dari objek tersebut dengan menuliskan perintah berikut:
% get persistence algorithm over Z/2Z
>>persistence = api.Plex4.getModularSimplicialAlgorithm(3, 2);
% compute the intervals
>>intervals = persistence.computeIntervals(stream);
% get the infinite barcodes
>>infinite_barcodes = intervals.getInfiniteIntervals();
% print out betti numbers array
>>betti_numbers_array = infinite_barcodes.getBettiSequence()
Sehingga output yang muncul ialah:
betti_numbers_array =
1
2
1
18
Nilai Betti number simplicial complex 𝐾 yang didapat akan dipakai dalam
penggunaan Teorema Euler Poincare,
𝜒 𝑇 = 𝛽0 − 𝛽1 + 𝛽2
=1−2+1
=0
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Didapat grup homologi simplicial complex 𝐽 adalah 𝐻0 = ℤ, dan 𝐻𝑛 = 0
untuk 𝑛 ≥ 1. Lalu dalam subbab selanjutnya terlihat bahwa torus 𝑇 dan simplicial
complex 𝐾 itu homeomorfik dengan menggunakan Teorema homeomorphy 2 manifold. karena terlihat karakteristik Euler dari keduanya bernilai sama yaitu
bernilai nol. Dan juga keduanya mempunyai orientasi. Dengan menggunakan
Teorema homeomorphy 2-manifold didapat kesimpulan bahwa torus 𝑇 dan
simplicial complex 𝐾 adalah homeomorfik sehingga ada 𝑓 ∶ 𝑇 → 𝐾 yang
memetakan ruang topologi 𝑇 menuju ruang topologi 𝐾 . Dan fungsi tersebut
berupa fungsi homeomorfisma.
Didapatkan hasil pada pembahasan yaitu pertama nilai Betti number torus
𝑇 adalah 1 2 1 kemudian didapat juga karakteristik Euler torus 𝑇 adalah 0 dengan
penggunaan Teorema Euler Poincare. Dari langkah selanjutnya didapatkan
karakteristik Euler simplicial complex 𝐾 yang bernilai sama dengan karakteristik
Euler dari torus 𝑇 juga menggunakan Teorema Euler Poincare.
Kemudian Betti number yang didapat menggambarkan bahwa bentuk
geometri torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾 adalah suatu satu kesatuan yang utuh
( 𝛽0 = 1) , disusun dari dua lingkaran ( 𝛽1 = 2 ), dan mempunyai sebuah void
(𝛽2 = 1).
Saran
Untuk mengembangkan karya ilmiah ini dapat dibuat komputasi persistent
homology dari suatu objek topologi. Lalu ruang topologi yang menarik untuk
dibahas yaitu klein bottle, bola, projevtive plane dan tetrahedron.
DAFTAR PUSTAKA
Fraleigh JB. 1994. A First Course in Abstract Algebra. Ed ke-5. Michigan
(US):Addison-Wesley.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah. Hardani
HW, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari:Linera Algebra
with Application. Ed ke-5.
19
Munkres JR. 1984. Element of Algebreic Topology. Ed ke-1. Massachusetts
(US):Addison-Wesley.
Munkres JR. 2000. Topology. Ed ke-2. New Jersey (US): Prentice Hall.
Sexton H, Vedjemo-Johannson M. Jplex simplicial complex library. [diunduh
2013 July 20]. Tersedia pada: www.comptop.standford.edu/program/jplex.
Steward J. 2001. Calculus. Ed ke-4. Kalkulus. Susila IN, Gunawan H, penerjemah.
Mahanani N, Hardani W, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan
dari:Calculus. Ed ke-4.
Wilkins DR. 2008. Algabreic Topology. Ed ke-1.[tempat tidak diketahui]:
[penerbit tidak diketahui].
Wieldberg NJ. 2012a. Algabreic Topology 30. [diunduh 01 Desember 2013].
Tersedia pada:www.youtube.com/algtop30.
Wieldberg NJ. 2012b. Algabreic Topology 31. [diunduh 01 Desember 2013].
Tersedia pada:www.youtube.com/algtop31.
Wieldberg NJ. 2012c. Algabreic Topology 32. [diunduh 01 Desember 2013].
Tersedia pada:www.youtube.com/algtop32.
Wieldberg NJ. 2012d. Algabreic Topology 33. [diunduh 01 Desember 2013].
Tersedia pada:www.youtube.com/algtop33.
Wieldberg NJ. 2012e. Algabreic Topology 34. [diunduh 01 Desember 2013].
Tersedia pada:www.youtube.com/algtop34.
Wieldberg NJ. 2012f. Algabreic Topology 35. [diunduh 01 Desember 2013].
Tersedia pada:www.youtube.com/algtop35.
Zomorodian AJ. 2005. Topology for Computing. Ciarlet PG, Iserles A, Kohn RV,
Wright MH, editor. Cambridge (UK):Cambridge Pr.
20
Lampiran 1 Koding bentukan simplicial complex 𝐾.
% We use 9 vertices, which we think of as a 3x3 grid numbered
as a
% telephone keypad. We identify opposite sides. For a picture,
see
% "javaplex_tutorial_solutions.pdf".
clc; clear; close all;
% get a new ExplicitSimplexStream
stream = api.Plex4.createExplicitSimplexStream();
% add simplices
for i = 1:9
stream.addVertex(i);
end
stream.addElement([1,
stream.addElement([2,
stream.addElement([3,
stream.addElement([7,
stream.addElement([8,
stream.addElement([9,
stream.addElement([4,
stream.addElement([5,
stream.addElement([6,
stream.addElement([1,
stream.addElement([7,
stream.addElement([4,
stream.addElement([2,
stream.addElement([8,
stream.addElement([5,
stream.addElement([3,
stream.addElement([9,
stream.addElement([6,
stream.addElement([2,
stream.addElement([3,
stream.addElement([8,
stream.addElement([1,
stream.addElement([9,
stream.addElement([5,
stream.addElement([7,
stream.addElement([6,
stream.addElement([4,
2]);
3]);
1]);
8]);
9]);
7]);
5]);
6]);
4]);
7]);
4]);
1]);
8]);
5]);
2]);
9]);
6]);
3]);
7]);
8]);
4]);
9]);
5]);
1]);
6]);
2]);
3]);
stream.addElement([1,
stream.addElement([2,
stream.addElement([2,
stream.addElement([3,
stream.addElement([1,
stream.addElement([1,
stream.addElement([4,
stream.addElement([4,
stream.addElement([5,
stream.addElement([5,
stream.addElement([6,
stream.addElement([4,
2,
7,
3,
8,
3,
7,
7,
5,
8,
6,
7,
6,
7]);
8]);
8]);
9]);
9]);
9]);
8]);
8]);
9]);
9]);
9]);
7]);
21
stream.addElement([1, 4, 5]);
stream.addElement([1, 2,
stream.addElement([2, 5,
stream.addElement([2, 3,
stream.addElement([3, 6,
stream.addElement([1, 3,
stream.finalizeStream();
5]);
6]);
6]);
4]);
4]);
22
RIWAYAT HIDUP
Penulis yang bernama Qowiyyul Amin Siregar lahir di Medan pada tanggal
07 Oktober 1991, putra pertama dari Muslil siregar dan Enjuh Juhaeriah. Riwayat
pendidikan Penulis SDN Pengadilan 2 (1997), SDIT Ummul Quro (1999), SMPN
2 Bogor (2003), SMAN 3 Bogor (2006), Institut Pertanian Bogor (2009-2014).
Penulis mempunyai pengalaman organisasi sebagai pengurus Gugus
Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2010/2011, dan anggota Badan
Pengawas GUMATIKA periode 2011/2012. Penulis juga aktif mengikuti
kepanitiaan seperti IPB Art Contest sebagai anggota. Serta menjadi asisten
Kalkulus 2 pada tahun 2011/2012 , asisten praktikum Algoritma dan
Pemrograman pada tahun 2012/2013, asisten Persamaan Differensial Biasa pada
tahun 2012/2013, dan aktif menjadi pengajar di Bimbingan Belajar Gugus
Mahasiswa Matematika untuk mata kuliah Pengantar Matematika dan Kalkulus I
program Tingkat Persiapan Bersama pada tahun 2010/2012.
Penulis aktif mengikuti kompetisi olahraga tingkat fakultas. Beberapa
prestasi yang diraih penulis antara lain Juara II Kompetisi Olahraga Cabang
Basket Tingkat Fakultas MIPA pada tahun 2010/2011 dan 2012/2013, dan Juara
III Kompetisi Olahraga Cabang Basket Tingkat Fakultas MIPA pada tahun
2013/2014.