LIFE ANNUITIES

Tugas Mid Kelompok
Matematika Asuransi
LIFE ANNUITIES
Di Susun Oleh:
Kelompok 1
1. ANGGUN SARLINA SAILAN
H 121 12 017
2. RAHMADANA
H 121 12 255
PRODI STATISTIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
2014
Matematika Asuransi | Life Annuities
i
KATA PENGANTAR
Ucapan syukur alhamdulillah kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat dan
hidayah yang telah dilimpahkan-Nya sehingga makalah ini dapat tersusun guna memenuhi
salah satu tugas Matematika Asuransi dengan judul “Life Annuities”. Salam dan shalawat
juga patut kita hanturkan kepada junjungan dan panutan kita, Baginda Rasulullah
Muhammmad SAW.
Dalam penyusunan makalah ini, kami menyadari bahwa tentu masih terdapat
kekurangan baik dari segi teknik penulisan maupun dari segi pembahasan materi. Hal ini
disebabkan oleh keterbatasan kemampuan kami dan keterbatasan literatur penunjang
dalam penyusunannya.
Ucapan terima kasih kami sampaikan pula kepada semua pihak yang telah
memberikan dukungan moril maupun materil dalam penyusunan makalah ini. Kami
mengaharapkan kritik dan saran yang sifatnya konstruktif guna membantu dalam upaya
perbaikan makalah berikutnya. Semoga penyusunan makalah ini dapat memberikan
manfaat pada umumnya untuk peserta mata kuliah Matematika Asuransi, khususnya pada
kami selaku tim penyusun makalah ini.
Makassar, 10 Oktober 2014
Kelompok 1
Matematika Asuransi | Life Annuities
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...................................................……..........................................
i
KATA PENGANTAR …………………………………………………………...........
ii
DAFTAR ISI ………………………………………………………………………......
iii
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang …………………………………………………………..... 1
1.2
Rumusan Masalah ……………………………………………………......... 1
1.3
Tujuan Penulisan …….…………………………………………………....... 2
BAB II PEMBAHASAN
2.1
Perbedaan Asuransi Jiwa dengan Anuitas ..……………………………….... 3
2.2
Pengertian Anuitas Hidup .....……………………………………………...... 3
2.3
Macam-macam Anuitas Hidup …………………………………………....... 4
BAB III PENUTUP
3.1
Kesimpulan ……………………………………………………………....... 11
3.2
Saran …………………………………………………………………........ 11
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………......... 12
Matematika Asuransi | Life Annuities
iii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai asuransi jiwa. Jiwa seseorang dapat
diasuransikan untuk keperluan orang yang berkepentingan, baik untuk selama hidupnya
maupun untuk waktu yang ditentukan dalam perjanjian. Orang yang berkepentingan
dapat mengadakan asuransi itu bahkan tanpa diketahui atau persetujuan orang yang
diasuransikan jiwanya. Jadi setiap orang dapat mengasuransikan jiwanya, asuransi jiwa
bahkan dapat diadakan untuk kepentingan pihak ketiga. Asuransi jiwa dapat diadakan
selama hidup atau selama jangka waktu tertentu yang ditetapkan dalam perjanjian.
Pembayaran secara kredit atau mencicil sudah tidak asing lagi di mata masyarakat.
Sebagian besar orang telah menggunakan cara pembayaran seperti itu untuk memenuhi
kebutuhan akan suatu barang, rumah, kendaraan, dan lain-lain. Dalam asuransi pun cara
pembayaran secara kredit telah digunakan dalam bentuk pembayaran premi.
Pembayaran secara kredit disebut juga dengan anuitas.
Dengan demikian anuitas adalah suatu pembayaran dalam jumlah tertentu yang
dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan. Anuitas dapat
digunakan untuk menghitung jumlah dana yang dibutuhkan untuk disimpan. Fungsi
anuitas adalah memberikan proteksi terhadap kesulitan ekonomi karena seseorang
dapat hidup lebih lama dari sumber penghasilan pribadinya. Suatu anuitas yang pasti
dilakukan dalam jangka waktu pembayaran disebut anuitas pasti. Jika pembayaran
dilakukan tergantung hidup matinya seseorang disebut anuitas hidup. Anuitas hidup
terbagi atas anuitas hidup kontinu dan anuitas hidup diskrit. Dari uraian di atas penulis
menuangkan permasalahan anuitas yaitu mengenai anuitas hidup.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas terdapat permasalahan sebagai berikut:
Matematika Asuransi | Life Annuities
iv
1.2.1 Jelaskan perbedaan dari asuransi jiwa dan anuitas.
1.2.2 Apa pengertian anuitas hidup.
1.2.3 Jelaskan macam-macam anuitas hidup.
1.3 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain sebagai berikut:
1.3.1 Untuk mengetahui perbedaan antara asuransi jiwa dengan anuitas.
1.3.2 Untuk mengetahui pengertian dari anuitas hidup.
1.3.3 Untuk mengetahui macam-macam dari anuitas hidup.
Matematika Asuransi | Life Annuities
v
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Perbedaan Asuransi Jiwa dengan Anuitas
Tabel 1. Perbedaan asuransi jiwa dengan anuitas
Asuransi Jiwa
Anuitas
Tujuannya memperkecil risiko, yaitu
risiko keuangan yang mungkin timbul.
Tujuannya untuk membentuk dana yang
dapat digunakan di hari tua nanti.
Memberi jaminan bila seseorang
meninggal dunia sebelum saat tidak
mampu mencari penghasilan (pensiun).
Memberi jaminan bila seseorang belum
meninggal dunia pada saat sudah tidak
mampu mencari penghasilan.
Makin lama tertanggung hidup, makin
menguntungkan perusahaan asuransi
(dapat menunda pembayaran kembali
premi).
Makin lama orang yang bersangkutan
hidup, makin merugikan penyelenggara
anuitas, sebab makin besar pembayaran
kepada yang bersangkutan.
2.2 Pengertian Anuitas Hidup
Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran terus menerus atau pada interval yang
sama seperti bulan, kuartal, tahun yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup.
Atau anuitas hidup adalah anuitas yang setiap pembayarannya hanya akan dilakukan jika
pemegang polis masih hidup atau dalam jangka waktu yang ditentukan sesuai dengan jenis
kontrak asuransinya. Terdapat beberapa jenis sistem pembayaran tersebut, diantaranya:
1. Anuitas dwiguna murni
2. Anuitas seumur hidup
anuitas awal: ̈
anuitas akhir:
3. Anuitas hidup sementara/berjangka
Matematika Asuransi | Life Annuities
vi
anuitas awal: ̈
anuitas akhir:
⌉
⌉
4. Anuitas hidup tertunda n-tahun
anuitas awal:
̈
anuitas akhir:
5. Anuitas hidup sementara tertunda
̈
anuitas awal:
anuitas akhir:
6. Anuitas hidup pembayaran m-kali setahun
anuitas awal: ̈
( )
̈
anuitas akhir:
( )
Contoh soal:
Hitunglah nilai tunai (premi tunggal bersih) suatu anuitas awal seumur hidup dengan
pembayaran Rp. 1.500 setahun untuk seseorang berusia 20 tahun jika
!
Dik: pembayaran
Dit: nilai premi tunggal bersih anuitas awal seumur hidup......?
Penyelesaian:
Premi tunggal bersih
̈
Jadi besarnya premi tunggal bersih anuitas awal seumur hidup adalah
2.3 Macam-macam Anuitas Hidup
Berdasarkan jenisnya anuitas hidup dibedakan menjadi dua yaitu anuitas hidup kontinu
dan anuitas hidup diskrit.
Matematika Asuransi | Life Annuities
vii
2.3.1 Anuitas Hidup Kontinu
Anuitas hidup kontinu adalah anuitas hidup yang dibayar secara kontinu sebesar 1
sesuai dengan kontrak asuransinya. Misalkan ̅ merupakan variabel random nilai saat ini
dari anuitas kontinu sebesar 1. Ekspektasi dari variabel random ̅ ini dinotasikan ̅ dengan
sesuai dengan kontrak asuransinya.
Anuitas seumur hidup yang kontinu merupakan sederetan pembayaran sebesar 1
dibayar secara terus menerus kepada ( ) hingga ia meninggal dunia. Ekspektasi dari
variabel random ̅ , dimana ̅
̅
( )⌉
( )
dinotasikan dengan ̅ . Secara umum ̅
dapat dinyatakan sebagai berikut.
[ ̅]
̅
∫̅
⌉
∫̅
⌉
̅
[̅
( )(
)
(
)
|
⌉
(
( )⌉ ]
∫
)
∫
∫
(
)
̅ dapat dihubungkan dengan asuransi jiwa seumur hidup yaitu:
[ ̅]
̅
[̅
( )⌉ ]
( )
[
]
[
( )
]
Matematika Asuransi | Life Annuities
viii
̅
(
)
Anuitas hidup temporary n tahun yang kontinu merupakan sederetan pembayaran
sebesar 1 dibayar secara terus menerus kepada ( ). Ekspektasi dari variabel random ̅ ,
dimana ̅
{
̅ ( )⌉
̅ ⌉
( )
( )
dinotasikan dengan ̅
⌉.
Secara umum ̅
⌉
dapat
dinyatakan sebagai berikut:
̅
[ ̅]
⌉
∫̅
⌉
∫̅
⌉
̅
( )(
(
(̅
∫̅
)
|
⌉
)
)
∫
∫
⌉
̅
)
)
̅
⌉
̅
̅
( )(
̅ ⌉∫ (
∫
̅
⌉
⌉
|
⌉
∫
̅ (
̅
)
⌉
(
)
dapat dihubungkan dengan asuransi jiwa dwiguna n tahun dimana:
{
( )
( )
( )
yaitu:
̅
⌉
[ ̅]
Matematika Asuransi | Life Annuities
ix
̅
[
]
[ ]
̅
⌉
(
)
Anuitas seumur hidup yang ditunda n tahun yang kontinu merupakan sederetan
pembayaran sebesar 1 dibayar secara terus menerus yang pembayarannya ditunda n tahun
kepada ( ) ekspektasi dari variabel random ̅ , dimana ̅
̅ . Secara umum
dinotasikan dengan
{
̅
( )
⌉
( )
( )
̅ dapat dinyatakan sebagai berikut:
[ ̅]
̅
∫
̅
⌉
∫
̅
⌉
̅
(
⌉
)
( )(
(
)
)
|
∫
∫
∫
(
)
2.3.2 Anuitas Hidup Diskrit
Anuitas hidup diskrit adalah anuitas hidup yang dibayar secara berkala tiap tahun
polis. Anuitas hidup diskrit menurut waktu pembayaran terbagi menjadi dua yaitu segera
(immediate) dan awal (due). Yang dimaksud dengan segera adalah suatu rangkaian
pembayaran, pembayaran pertama setahun dari sekarang, yang kedua dua tahun dari
Matematika Asuransi | Life Annuities
x
sekarang, dan seterusnya. Dan yang dimaksud awal adalah pembayaran pertama dilakukan
sekarang dan pembayaran kedua dilakukan setahun dari sekarang, dan seterusnya. Dan
untuk perhitungan premi ini digunakanlah anuitas hidup awal (due) karena biasanya premi
dibayar di depan. Nilai sekarang dari anuitas seumur hidup adalah:
̈
..............................................(2.6)
⌉
Total nilai sekarang dari anuitas seumur hidup ini adalah:
[ ]
̈
∑ ̈
∑
⌉
(
)
(
)
(
)
Nilai sekarang dari anuitas awal n-tahun adalah:
{
̈
⌉
̈
⌉
Total nilai sekarang dari anuitas ini adalah:
̈
[ ]
⌉
Karena
∑ ̈
⌉
̈
∑
⌉
{
dan
̈
atau ̅
̈
⌉
⌉
, maka
[ ]
[ ]
(
⌉
̅
⌉
)
dengan analogi yang sama, maka ini berlaku juga untuk anuitas seumur hidup yaitu:
̈
(
)
2.3.3 Anuitas Hidup dengan m-kali Pembayaran
Anuitas hidup sebesar 1 pertahun yang dibayarkan sebesar 1/m pada awal setiap 1/m
tahun selama orang yang berusia ( ) tersebut hidup. Total ini sekarang dari anuitas
dinotasikan dengan simbol ̈
( )
⌉.
Sebelumnya kita akan bahas terlebih dahulu satu asumsi
yang sering digunakan dalam interpolasi pada interval (
).
Matematika Asuransi | Life Annuities
xi
Asumsi itu adalah asumsi interpolasi linier, dengan x merupakan integer dan
. Jika menggunakan asumsi interpolasi linier maka:
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
Sekarang kita bahas anuitas untuk m-kali pembayaran pertahun selama n-tahun.
( )
⌉
̈
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
(
)
)
(
)
(
∑
∑
Dimana
̈
( )
⌉
∑
∑[
∑[
)
sehingga,
( )
∑∑
∑
( )
*(
)+ , asumsi interpolasi linier
(
)∑
(
]
)]
Matematika Asuransi | Life Annuities
xii
∑
∑(
)
Jadi,
̈
( )
⌉
̈
(
⌉
̈
(
)
( )
⌉
( )
̈
⌉
⌉
) atau
(
)
Dengan analogi yang sama maka berlaku juga untuk anuitas seumur hidup yang m kali
pembayaran ̈ (
)
( )
̈
(
)
didefinisikan nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut yang merupakan variabel acak
dari Y adalah:
( )
dengan
{
(
)
Matematika Asuransi | Life Annuities
xiii
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari pembahasan di atas adalah sebagai berikut:
1. Perbedaan asuransi jiwa dengan anuitas antara lain (a) asuransi jiwa bertujuan
memperkecil risiko, yaitu risiko keuangan yang mungkin timbul, (b) anuitas bertujuan
untuk membentuk dana yang dapat digunakan di hari tua nanti.
2. Anuitas hidup adalah anuitas yang setiap pembayarannya hanya akan dilakukan jika
pemegang polis masih hidup atau dalam jangka waktu yang ditentukan sesuai dengan
jenis kontrak asuransinya. Anuitas hidup ini merupakan anuitas yang tidak pasti.
3. Anuitas hidup terbagi atas (a) anuitas hidup kontinu adalah anuitas hidup yang dibayar
secara kontinu sebesar 1 sesuai dengan kontrak asuransinya. (b) anuitas hidup diskrit
adalah anuitas hidup yang dibayar secara berkala tiap tahun polis.
4. Anuitas hidup dengan m-kali pembayaran dimana anuitas hidup sebesar 1 pertahun yang
dibayarkan sebesar 1/m pada awal setiap 1/m tahun selama orang yang berusia ( )
tersebut hidup.
3.2 Saran
Dengan selesainya makalah ini, kami selaku penulis berharap makalah ini bisa dijadikan
sebagai referensi dalam proses pembelajaran. Kami menyadari bahwa makalah ini masih
jauh dari kata sempurna, oleh karena itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang
bersifat membangun dari semua pihak pembaca, baik mahasiswa maupun dari dosen.
Matematika Asuransi | Life Annuities
xiv
DAFTAR PUSTAKA
http://statistikanyadarmanto.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/AKT-4-ANUITAS-HIDUP.pdf
http://statistikanyadarmanto.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/2006-2-01303-MTIF-Bab2.pdf
http://statistikanyadarmanto.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/ digital_20182005-053-09Penentuan premi.pdf
Matematika Asuransi | Life Annuities
xv