ω μ λ

BAB II
KAJIAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas suatu jenis persamaan differensial parsial tak
homogen yang dikenal sebagai persamaan forced Korteweg de Vries (fKdV).
Persamaan fKdV yang dikaji dalam makalah ini adalah
c
ut + ωux − μuux − λuxxx = Fx ( x)
2
(2.1)
dengan koefisien ω , λ , μ dan c adalah kontanta.
Secara fisis, persamaan ini merupakan model hampiran dari perambatan
gelombang permukaan yang dibangkitkan oleh gaya luar berupa gangguan pada
aliran yang berbentuk gundukan kecil di dasar perairan [4].
Sebelum menyelesaikan persamaan fKdV secara numerik, perlu dijelaskannya
persamaan KdV sebagai langkah awal, yaitu dengan mengambil gaya luar bernilai
nol. Keunikan dari persamaan KdV tersebut adalah kita dapat menyelesaikannya
kedalam bentuk solusi analitik, sehingga solusi numeriknya dapat diuji. Salah satu
solusi analitik yang memenuhinya adalah fungsi sekan hiperbolik, yang dijelaskan
pada subbab berikutnya, sedangkan numeriknya dijelaskan pada bab III.
Pengembangan skema numerik dari persamaan KdV selanjutnya digunakan untuk
menjelaskan solusi persamaan fKdV yang juga telah diselesaikan oleh R.H.J.
Grimshaw, D. –H. Zhang dan K.W. Chow [4] dengan metoda yang berbeda.
2.1. Persamaan Korteweg de Vries (KdV).
Persamaan KdV merupakan persamaan differensial parsial nonlinear yang
homogen, dimana ruas kanan (2.1) bernilai nol, dengan orde turunan tertinggi adalah
orde tiga yang dinyatakan sebagai
ut + ωux − μuux − λuxxx = 0 ,
(2.2)
Secara fisis persamaan tersebut dijumpai sebagai model perambatan gelombang
permukaan (lihat [4]) dengan ω adalah perbedaan kecepatan aliran (v) dan kecepatan
rambat gelombang (c); μ , λ adalah suatu konstanta yang terkait dengan besaran fisis
yang mempunyai hubungan sebagai berikut
μ=
1
3c
ch 2
,λ =
, c = ( gh ) 2
2h
6
(2.3)
dengan h menyatakan kedalaman dan g sebagai gravitasi.
Persamaan KdV (2.2) memiliki dua peubah bebas, yang dituliskan sebagai x dan
t, salah satu jenis solusi yang memenuhi persamaan diatas adalah fungsi sekan
hiperbolik, yang diturunkan pada subbab berikutnya.
2.2. Solusi KdV.
Seperti yang dijelaskan pada persamaan KdV, bahwa gelombang soliter
merupakan gelombang permukaan yang merambat dengan kecepatan yang konstan
tanpa mengalami perubahan bentuk. Sifat perambatan tersebut dapat diamati dengan
memperkenalkan variabel baru, yaitu z = x − ct .
Dengan menggunakan variabel
tersebut persamaan (2.2) menjadi
(ω − c ) f z − μ ( f . f z ) − λ f zzz = 0
(2.4)
dimana u ( x, t ) = f ( z = x − ct ) .
Selain itu, agar tidak merumitkan penurunan pada Persamaan (2.4), kita
gunakan p = ω − c, q = − μ , r = −λ .
Jika kedua ruas Persamaan (2.4) diintegralkan, maka persamaan (2.4) menjadi
q
2
+
p f
f
+
2
r f
=
z z
(2.5)
a
dimana a adalah konstanta integrasi. Kemudian kedua ruas persamaan (2.5) ini
dikalikan dengan 2 f z dan mengintegralkannya sekali lagi pada kedua ruas tersebut,
sehingga diperoleh
p f
2
+
q
f
3
3
+
r
(
f
)
z
2
=
2 a z +
b
(2.6)
dimana b adalah suatu konstanta integrasi lain.
Perhatikan bahwa untuk memperoleh solusi persamaan KdV, sifat f ( z ) beserta
semua turunan-turunannya terhadap z menuju nol sebagaimana z → ±∞ .
Oleh
karena itu, nilai konstanta a dan b haruslah nol, sehingga
p f
2
+
q
3
f
3
+
r
(
f
z
)
2
=
0
(2.7)
Salah satu bentuk solusi yang memenuhinya, berupa f(x-ct)=A.sech2(Bz), dengan
konstanta A dan B ditentukan dari persamaan tersebut. Fungsi f disubstitusikan pada
persamaan (2.7), sehingga diperoleh
⎛ qA 2
⎞
− 4 rB 2 A 2 ⎟ sec h 2 ( Bz ) + ( pA 2 + 4 rB 2 A 2 ) .1 = 0
⎜
⎝ 3
⎠
(2.8)
Perlu diketahui bahwa {sech2(Bz),1} merupakan himpunan yang bebas linier. Oleh
karena itu, koefisien-koefisien pada persamaan (2.7) harus bernilai nol, sehingga
diperoleh
B =
1
Aμ
2
3λ
dan c = ω + A μ ,
3
(2.9)
setelah mengembalikan notasi p, q dan r ke besaran semula.
Dengan demikian, solusi soliter yang memenuhi persamaan KdV adalah
⎧1
u ( x , t ) = A.sech 2 ⎨
⎩2
Aμ ⎡
Aμ ⎞ ⎤ ⎫
⎛
ω
x
−
−
⎜
⎟t ⎬
3λ ⎢⎣
3 ⎠ ⎥⎦ ⎭
⎝
(2.10)
Karena koefisien-koefisien diatas saling bergantung, maka secara fisis diberikan nilai
h, g dan ω , setelah itu nilai-nilai koefisien pada (2.3) diperoleh, sehingga kita dapat
menentukan nilai koefisien A pada (2.10), begitu juga c.
Pada fungsi ini , solusi u(x,t)=f(x-ct) berbentuk sekan hiperbolik, yang bergerak
pada satu arah dengan kecepatan c yang bergantung pada nilai amplitudo sekan
hiperbolik (A), ω dan μ yang diberikan pada (2.9). Untuk mengetahui fungsi yang
berbentuk sekan hiperbolik ini secara numerik bergerak dengan kecepatan konstan,
cukup melihat pergerakan titik puncak pada solusi u ( x, t ) sepanjang sumbu x pada
waktu tertentu, sebagai illustrasi bisa dilihat pada gambar 2.1.
Gambar 2.1 Solusi Korteweg de Vries dengan A=2.5
Pada setiap waktu, kita ambil beberapa data nilai puncak misalkan u peak ( x, t )
untuk t tertentu. Kemudian, dengan data-data yang diperoleh, kita dapatkan bentuk
regresi liner yang sama dengan variabel z = x − ct yang diberikan sebelumnya,
dengan c sebagai kemiringan persamaan liner yang konstan. Jika kita sesuaikan
dengan (2.10), maka kita dapatkan c yang sesuai dengan (2.9).
Jika kita lakukan perhitungan analitik dan memplotkan semua titik pada time
step yang diberikan, dapat disimpulkan bahwa dengan memberikan satu parameter
(A) yang cukup besar akan memberikan nilai c yang cukup besar pula. Hal ini
mengakibatkan lebar fungsi sekan hiperbolik akan semakin mengecil dan
perambatannya semakin cepat seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.1.
Jika
parameter yang diberikan lebih kecil dari parameter tersebut yang diberikan bernilai
kecil, maka bentuk lebar sekan hiperbolik akan semakin membesar, sedangkan
pergerakannya akan semakin lambat, seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.2
berikut ini.
Gambar 2.2. Solusi Korteweg de Vries dengan A=1.
2.3. Persamaan Forced Korteweg de Vries (fKdV).
Perhatian kita pada makalah ini adalah karakteristik solusi pada persamaan (2.1)
yang sampai saat ini masih belum memiliki solusi analitik. Solusi persamaan (2.1)
dapat diselesaikan dengan menggunakan metode numerik. Metode yang digunakan
untuk menyeselesaikan persamaan (2.1) baru-baru ini diselesaikan dengan metoda
beda hingga eksplisit Centre-Space dan Centre-Time yang dilakukan oleh R.H.J.
Grimshaw, D.-H. Zhang, dan K.W. Chow [4].
Proses untuk menyelesaikan persamaan (2.1) yang dilakukan oleh mereka,
terlebih
dahulu
merubah
persamaan
diatas
menjadi
bentuk
persamaan
nondimensional, yaitu semua variabel pada persamaan (2.1) menjadi besaran yang tak
berdimensi. Variabel u (sebagai simpangan), x,dan t yang bersesuaian pada (2.1)
diskalakan dengan menggunakan variabel kecepatan rambat (c) dan kedalaman (h),
sehingga kita dapatkan variabel baru akibat penskalaan yang digunakan, yaitu
u* =
1
h
u , x* =
1
h
x, t * =
c
h
(2.11)
t
Selanjutnya kita hilangkan tanda (*), sehingga persamaan (2.1) menjadi
3
1
1
ut + ωux − uux − uxxx = Fx ( x)
2
6
2
Disini besaran tak berdimensi ω = Fr − 1 , dimana Fr = v
(2.12)
c
adalah bilangan
Froude. Kita dapat merubah koefisien-koefisien pada Persamaan fKdV (2.12) dalam
notasi bilangan bulat dengan mengambil skala nondimensional baru dan
mensubstitusikannya ke dalam (2.12). Skala yang dimaksudkan adalah
t* =
1
6
t, u* =
3
2
u, F * =
9
2
F , ω * = 6ω ,
(2.13)
Selanjutnya kita hilangkan tanda (*) untuk menyederhanakan penulisan, sehingga
persamaan (2.12) akibat (2.13) menjadi
ut + ωux − 6uux − uxxx = Fx ( x)
(2.14)
Persamaan (2.13) diselesaikan dengan kondisi awal u ( x, 0) = 0 dan gaya luar yang
digunakan adalah
F ( x) =
Fm
2
( tanh γ x − tanh γ ( x − L ) )
(2.15)
Bentuk gaya luar yang digunakan diatas, berupa gundukan dengan puncak yang datar
dengan lebar L dan tinggi gundukan sebesar Fm.
Sedangkan γ adalah sudut
kemiringan antara Fm dan s sebagai lebar kaki dari gundukan tersebut, seperti yang
diperlihatkan pada gambar 2.3 dibawah
L
Fm
s
Gambar 2.3 Gaya luar
Hasil numerik yang diperoleh dengan menggunakan metode beda hingga skema
CTCS pada tiga simulasi, dimana ω yang digunakan adalah 0,0.2,dan -0.2 yang
menunjukkan bahwa, gelombang terbentuk diatas gundukan yang diberikan dan
terpecah menjadi dua kelompok gelombang permukaan yang berlawanan arah pada
posisi gaya luar. Kelompok gelombang yang bergerak kearah kiri berbentuk soliton
yang sempurna, sedangkan kelompok gelombang yang bergerak kearah kanan
berbentuk gelombang yang teredam.
Dari penjelasan pada subbab-subbab diatas, penulis menghitung kembali dari
hasil yang diperoleh oleh R.H.J. Grimshaw, D. –H. Zhang dan K.W. Chow [4],
yaitu CTCS dengan skema numerik FTCS. Tujuannya adalah untuk membandingkan
hasil yang diperoleh [4] dengan hasil yang diperoleh dengan FTCS. Pembandingan
yang dilakukan pada makalah ini akan mengambil bentuk gaya luar yang sama
dengan (2.15) berupa skema numerik implisit FTCS. Kemudian, mensimulasikan
(2.14) untuk gaya luar berupa fungsi sekan hiperbolik. Solusi numerik fKdV dengan
metoda FTCS tersebut dapat dilihat di [9].